随机变量的函数变换

第六章 随机变量函数第一节 一维随机变量函数一、一维随机变量函数1、一元波雷尔函数：设)(x f 为一元实函数,若1B ∈∀B ,有11})(|{)(B ∈∈=-B x f x B f ，则称)(x f 为一元波雷尔函数. 可以证明：连续函数、单调函数都是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的一维随机变量，)(x f 为一元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.显然,1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B f e X e B e X f e B Y ， 故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为X 1x 2x … k x… P1p 2p…kp…)(X f Y =为X 的函数，那么}{~k k y Y P q Y ==,其中 ∑-∈-=∈=====)(11)}({})({}{k i y fx i k k k k p y fX P y X f P y Y P q .特别,当f 为一一对应函数时,令)(k k x f y =, 有k k k k p x X P y fX P q ===∈=-}{)}({1,那么Y)(1x f )(2x f… )(k x f … P1p2p …kp…例1 设X 的概率分布为X-1 01 P1/3 1/2 1/6求：(1)1-X ;(2)X 2-;(3)2X 的概率分布. 解:列表计算1/3 1/2 1/6 X -1 0 1 1-X -2 -1 0 X 2- 2 0 -2 2X1 0 1所以 (1) 1-X 的概率分布为:1-X-2 -1 0 P1/3 1/2 1/6 (2) X 2-的概率分布为:X 2--2 0 2 P 1/6 1/2 1/3 (3) 2X 的概率分布为: 2X0 1 P1/2 1/2例2 设()kk X P X 2/1}{~==，N ∈k ，)2sin(X Y π=，求Y 的概率分布.解: 显然Y 的可能取值为1,0,1-.由已知条件知:∑∑∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛=+===014021}14{}1{n n n n X P Y P ∑∑∑∞=-∞=∞==-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛====1112131411141414121}2{}0{n n n nn n X P Y P ,152}0{}1{1}1{==-=-=-=Y P Y P Y P .所以Y 的概率分布为:Y-1 0 1 P2/15 1/3 8/15三、连续型设)(~x X ϕ，)(X f Y = 1、 分布函数法先求出⎰≤=≤=≤=yx f Y dx x y X f P y Y P y F )()(})({}{)(ϕ；(2) 再求出)()(y F y Y Y '=ϕ.例3 设)(~x X ϕ,||X Y =,则)()()(y y y X X Y -+=ϕϕϕ，0>y . 解:(1)当0≤y ，0)(=y F Y ,因此0)(=y Y ϕ；(2) 当0>y ,)()(}{}|{|)(y F y F y X y P y X P y F X X Y --=≤≤-=≤=, 那么)()()()()(y y y F y F y X X X XY -+=-'-'=ϕϕϕ.2、公式法(1) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(-∞=f α，)(+∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 )()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=.① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(1)’ 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(+∞=f α，)(-∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 |)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:同(1),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=, 所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y '='-='=ϕϕϕη.例4 设)(~x X ϕ,b aX Y +=,)0(≠a ，则⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y a y X Y ϕϕ||1)(,+∞<<∞-y .解:令b ax x f y +==)(,那么-∞=α，+∞=β，ab y y h -=)(,ay h 1)(=',⎪⎭⎫⎝⎛-='=a b y a y h y h y X X Y ϕϕϕ||1|)(|)]([)(,+∞<<∞-y .例5 设),(~2σμN X ,σμ-=X Y ,，则)1,0(~N Y . 解: b aX Y +=,01>=σa ,σμ-=b ,于是()μσσϕϕϕ+=⎪⎭⎫⎝⎛-=y a b y ay XX Y 1)(,()22][222212yy ee --+-==πσπσσμμσ, +∞<<∞-y .例6 设),(~2σμN X ,b aX Y +=,)0(≠a ，则),(~22σμa b a N Y +.证明: 222)(||21||1)(σμσπϕϕ---=⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y X Y ea ab y a y2222)]([||21ab a y e a σμσπ+--=，+∞<<∞-y所以 ),(~22σμa b a N Y +.(2)设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(b f =α，)(a f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则)()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =在),(b a 上存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=. ① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(2)’ 设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(a f =α，(b f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则|)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:同(2),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=,所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y Y '='-='=ϕϕϕ.例7 设)2,2(~ππ-U X ,X A Y sin =,)0(>A ，求)(y Y ϕ.解:已知x A x f y sin )(==,0)(>'x f ,)2,2(ππ-∈x ,A -=α,A =β,Ay y h arcsin)(=,221)(yA y h -='，又 ⎩⎨⎧>≤=.2/|| ,0 ,2/|| ,1/ )(πππϕt t t X所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=. ,0 , ,1|)(|)]([ )(22其他A y A yA y h y h y XY πϕϕ(3) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,)()(x f x f i =,i I x ∈,且在i I 导数恒不为零,)(y h i 为)(x f i 的反函数, }),(|{i i i I x x f y y J ∈==,i I 为互不相交的区间,.,,2,1m i =,则 iJ y i mi i XY y h y h y ∈='=∑|)(|)]([)(1ϕϕ.证明：由(2)知, |)(|)]([)()(y h y h y i i X X f i '=ϕϕ,i J y ∈.∑∑=∈≤=≤=≤=mi iI e X Y y X fP y X f e P y X f e P y F i1)(})({})(|{})(|{)(iJ y i mi i Xmi i Y Y y h y h y X f P dyd dyy dF y ∈=='=≤==∑∑|)(|)]([})({)()(11ϕϕ.例8 设)(~x X ϕ,2X Y =,则)]()([21)(y y yy X X Y -+=ϕϕϕ，0>y .证明:令0,0,)(,)(121><-===y x y y h x x f y ，0,0,)(,)(222><===y x y y h x x f y ,那么),0(21+∞==J J .由(3)知 )]()([21|)(|)]([)(021y y yy h y h y X X y i i i XY -+='=>=∑ϕϕϕϕ,0>y .例9 设)1,0(~N X ,2X Y =,则)1()21,21(~22χ∆=Γ=X Y .解: )(1)]()([21)(y yy y y y X X X Y ϕϕϕϕ=-+=()21121212)2/1(2/1211---Γ==eyeyy π,0>y .所以 )21,21(~2Γ=XY .四、随机变量存在定理设定义在R 上的函数)(x F 满足：(1)R ∈∀x ,1)(0≤≤x F ；(2))(x F 为单调不减函数；(3)0)(lim =-∞→x F x ,1)(lim =+∞→x F x ；(4))(x F 为右连续函数.则)(x F 必为某一维随机变量的分布函数.事实上,取)1,0(~U X ,定义})(|sup{)(x t F t x G <=,则)(X G Y =的分布函数为)(x F .说明: ① 由此可见满足分布函数(1)-(4)的)(x F 可确定一个随机变量.②利用数学或物理的方法产生)1,0(中均匀分布随机变量的子样(称为均匀分布随机数)，再利用变换)(X G Y =可得到任意分布)(x F 的随机数.这在蒙特卡洛方法中具有重要性．证明:①先证明)(x G 单调不减,那么)(x G 是波雷尔函数.R ∈<∀21x x ,若1)(x t F <,有2)(x t F <⇒})(|{})(|{11x t F t x t F t <⊂<⇒})(|sup{})(|sup{21x t F t x t F t <≤<⇒)()(21x G x G ≤. 所以)(x G 单调不减.其次证明)(x G 的定义域)1,0(⊃D .因X 的值域为)1,0(, 这样)(X G 就是一维随机变量.)1,0(∈∀r ,因(3),必R ∈'''∃x x ,,使得)()(x F r x F ''<<'. 因r x F <')(,有})(|{r t F t x <∈',于是})(|{r t F t <非空；又})(|{r t F t s <∈∀,有)()(x F r s F ''<<,因(2),有x s ''<, 于是})(|{r t F t <有界,这样})(|sup{)(r t F t r G <=存在,. 于是D r ∈,那么D ⊂)1,0(.③ 再证明R ∈∀x ，有x y F x G y <⇔<)()(，这样 )()(y F x y x G ≤⇔≤.“⇐”x y F <)(,因(4),则y y >'∃,使得x y F y F <'<)()(， 这样 )(})(|sup{x G x t F t y y =<≤'<“⇒”)(x G y <，因})(|sup{)(x t F t x G <=,则})(|{ x t F t y <∈'∃， 使得y y x G x G '<--])([)(,即y y '<,又因(2),有x y F y F <'≤)()(. ④ 最后证明)(X G Y =的分布函数为)(x F .因)1,0(~U X ,故x x F X =)(,10≤≤x ,而由(1)知1)(0≤≤y F , 因此 R ∈∀y ，)()]([)}({})({}{)(y F y F F y F X P y X G P y Y P y F X Y ==≤=≤=≤=.第二节 n 维随机变量一、n 维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，k X ，)(n N k ∈为S 上的一维随机变 量，称),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量.符号约定：设nn n y y y y x x x x R ∈==),,,( ),,,,(2121 ,规定： ① y x <⇔k k y x <；n k ,,2,1 =.②y x ≤⇔k k y x ≤，)(n N k ∈.③将),,,(21n x x x x =写成列(column)向量) (21'n x x x ,即==),,,(21n x x x x ) (21'n x x x .) (),,,(2121'==n n X X X X X X X .2、X 关于J X 的边缘分布：),,,(21mk k k I X X X X =.)(),,,(21n N k k k I m ⊂= 表示)(},,,{21n N k k k m ⊂ .3、X 的分布：}{B P ∈X , n B B ∈. 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},)(|{S e B e X e .4、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量, n x R ∈∀,规定}{)(x X P x F ≤=.称)(x F 为X 的分布函数.(2) 性质① n x R ∈∀,1)(0≤≤x F .② )(x F 关于k x 为单调不减右连续函数，)(n N k ∈. ③ 0)(lim =-∞→x F J x ,)(n N J ⊂；1),,,(=+∞+∞+∞ F .④ ),,,(lim }{)(21n x J JJ x x x F x XP x FJ JX +∞→=≤=,)(n N J J =+.5、相互独立: 设),,,(21m X X X X =,)(x F 为X 的分布函数, 而),,,(21kkn k k k X X X X =为k n 维随机变量, )(k k x F 是k X 的分布函数,m k ,,2,1 =，恒有)(x F ∏==mk k kx F1)(，则称m X X X ,,,21 相互独立.注：① 若mmn m n X X ,,,,,,11111X X 独立,即X 独立， 则m X X X ,,,21 独立.②m X X X ,,,21 独立⇔kn k B B ∈∀，m k ,,2,1 =恒有}{}{}{},,,{22112211m m m m B X P B X P B X P B X B X B X P ∈∈∈=∈∈∈ .③ 若),,,(21m X X X X =相互独立 ⇒kJ J J X X X ,,,21独立,)(21m N J J J k ⊂+++ .6、随机变量序列}{n X 的独立：若}{n X 中任意有限个随机变量独立，则称}{n X 独立.n 维离散型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量，若X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称X 为S 上的n 维离散型随机变量.显然：X 为S 上的n 维离散型随机变量⇔i X ),,2,1(n i =均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：假设X 所有可能取的值为I x ),,,(21ni i i x x x =，nn i i i I N ∈=),,,(21 ，令},,,{}{2121ni n i i I I x X x X x X P x X P p ====== ,称其为n 维随机变量X 的概率分布.3、分布律性质(1)0≥I p ; (2) 1=∑II p ;(1)(2)为离散型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3) ∑∈=∈Bx I I p B X P }{,n B B ∈；(4)n X X X ,,,21 独立⇔nI N∈∀,恒有}{}{}{}{2121n i n i i I x X P x X P x X P x X P ===== .4、IJ p Y X ~),(的边缘分布,n I N ∈,mJ N ∈(1)),(Y X 关于X 的边缘分布：∑=∙JIJ I p p X ~.(2)),(Y X 关于Y 的边缘分布：∑=∙IIJ J p p Y ~.5、IJ p Y X ~),(的条件分布(1)在I x X =的条件下Y 的分布：∙===I IJ I J p p x X y Y P }|{.在J y Y =的条件下X 的分布：JIJ J I p p y Y X X P ∙===}|{.三、n 维连续型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x F 为X 的分布函数,若存在非负可积函数)(x ϕ，对n x R ∈∀,有⎰≤=xt dt t x F )()(ϕ,则称X为n 维连续型随机变量. )(x ϕ为X 的概率密度函数.记作)(~x X ϕ. 注：(1) )(x F 为连续函数；(2) )(x ϕ意义与一维相同.2、性质(1)0)(≥x ϕ; (2)⎰∈=nx dxx R1)(ϕ；(1)(2)为连续型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3)⎰∈=∈Bx dx x B X P )(}{ϕ,nB B∈；(4)n B B ∈∀,若0)(=B m ,有0}{=∈B X P .(5)n X X X ,,,21 独立⇔nn R x x x x ∈=∀),,,(21 ,恒有∏==nk k X X x x k1)()(ϕϕ.3、 X 关于J X 的边缘分布： ⎰=JJ dx x x )()(ϕϕ，)(n N J J =+.4、在J J x X =的条件下L X 的分布： )()()|(J L J J L x x x x ϕϕϕ+=，)(n N L J ⊂+. 例1 (均匀分布) 在n A B ∈(0)(>A m )中任取一点X ，则X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=. ,0 , )(1)(A x A x A m x ，ϕ 此时，记：)(~A U X .例2 (n 维正态分布) 设)(~),,,(21x X X X X n ϕ =,n R ∈μ,C 为n 阶正定对称矩阵，且)()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x Cx eC x n,n x R ∈称X 服从n 维正态分布，记作),(~C N X μ.特别,当2=n 时, ),(21μμμ=,因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211c cc c C 为二阶正定对称矩阵,于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22121211c cc c C ,且011>c ,0||2122211>=-C c c c ,那么022>c , 令111c =σ,222c =σ,221112c c c =ρ，这样1||<ρ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22212121σσρσσρσσC , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-212121221||1σσρσσρσσC C, )1(||22222ρσσ-=C , 于是 )()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x C x eC x n⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121σμσσμμρσμρρσπσy y x x e，这正是二维正态分布.第三节 n 维随机变量函数一、n 维随机变量函数1、n 元波雷尔函数：设)(x f 为n 元实函数,若1B ∈∀B , 有n B x f x B fB ∈∈=-})(|{)(1，则称)(x f 为n 元波雷尔函数.可以证明：连续函数是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x f 为n 元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.3、显然：1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B fe X e B e Xf e B Y ，故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为}{I x X P =,n I N ∈,)(X f Y =为X 的函数， 则Y 的概率分布为)}({I x f Y P =.例1 设),(Y X 的概率分布为YX -1 1-1 1/4 1/3 1 1/6 1/4求：(1)Y X +；(2) Y X -2 的概率分布.解:列表计算P),(Y X Y X + Y X -2 1/4 (-1,-1) -2 -1 1/3 (-1,1) 0 -3 1/4 (1,1) 2 1 1/6 (1,-1) 0 3所以:(1) Y X +的概率分布为:Y X +-2 0 2 P1/4 1/2 1/4(2)Y X -2的概率分布为:Y Z -2-3 -1 13 P1/3 1/4 1/4 1/6例2 设)(~i i P X λ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 )(~2121λλ++=P X X Z . 解：Z 的可能取值为 ,2,1,0,而∑=-====+==ki i k X i XP k X X P k Z P 02121},{}{}{∑∑=---=-=-===ki ik iki ei k ei i k X P i XP 02102121)!(!}{}{λλλλ)(21210)(2121!)()!(!!!λλλλλλλλ+--=+-+=-=∑ek i k i k k eki k i ki ，0N k ∈,所以)(~2121λλ++=P X X Z .三、连续型1、分布函数法: 设),(~),(y x Y X ϕ，),(Y X f Z =,为S 上的二维随机变量, (1) 先求出⎰⎰≤=≤=≤=zy x f Z dxdyy x z Y X f P z Z P z F ),(),(}),({}{)(ϕ,R ∈∀z ；(2) 再求出)()(z F z Z Z '=ϕ.2、随机变量四则运算公式: 设二维随机变量),(~),(y x Y X ϕ.(1)Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ，或⎰+∞∞--=dyy y z z Z),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx x z x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤+==xz z y x Z dyy x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyx t dx x t x dt dtx t x dx ),(),(ϕϕ⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=zzdt t dt dx x t x )(),(ζϕϕ,所以⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.例3 设)1,0(~N X i ,2,1=i 独立,则)2,0(~21N X X Z +=. 证明：由 222222)(z xz x x z x +-=-+ 22222222)2(22222z z x z z zxx +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=, 从而 ⎰⎰+∞∞----+∞∞-=-=dx eedx x z x z x z xX X Z 2)(2222121)()()(πϕϕϕ⎰⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2221221222222222222222z x d eedx eez x z z x zπππ ()2222221⋅-=z eπ,R ∈z . 所以)2,0(~N Z .注：一般地，设),(~2i i i N Z σμ,2,1=i 独立,则),(~22212121σσμμ+++=N X X Z .4 设),(~λi i r X Γ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 ),(~2121λr r X X Z +Γ+=.证明: ⎰⎰+∞+∞∞--=-=)()()()()(2121dx x z x dx x z x z X X X X Z ϕϕϕϕϕ,① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ； ② 当0>z 时,⎰⎰------ΓΓ=-=zx z r r r r zX X Z dx ex z r exr dx x z x z 0)( 12 x11 0221121)()()()()()(λλλλϕϕϕ⎰⎰---+-=--+--⋅ΓΓ===-ΓΓ=111121 0112121212121)1()()()()()()(dt t tz r r edx x z xr r er r r r zxzt zr r r r z λλλλλzr r e z A 121)(λλλ--+=，又因 ) ()()()(1210121r r A z d ez A dz z zr r Z +Γ===⎰⎰+∞--++∞∞-λλϕλ,⇒[]121) (-+Γ=r r A ，这样 []z121 1121212121)()() ()(λλλλλϕ--++--+-+Γ=+Γ=ezr r ez r r z r r r r zr r Z .所以),(~21λr r Z +Γ.(2)Y X Z -=,则 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx z x x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤-==zx z y x Z dy y x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyt x dx t x x dt dtt x x dx ),(),(ϕϕ,所以 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.独立时简单证明: 因 )()(y y Y Y -=-ϕϕ,于是⎰⎰+∞∞-+∞∞---+-=-==dx z x x dx x z x z z Y XY XY X Z )()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕ.(3) XY Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ，或⎰+∞∞-=dx xzx x z Z ),(||1)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dx xzx x z Y X Z )()(||1)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞+≤+==),(),(),()(yzyzzxy Z dxy x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-=+===01),(1),(zzxyt dt yy yt dydt yy yt dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-+=00),(||1),(||1zzdt y yt y dydt y yt y dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdy y yt y dtdt y yt y dy),(||1),(||1ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ.例5 设),(~),(y x Y X ϕ,且⎩⎨⎧<≤<= . ,0,10 8),(其他，y x xy y x ϕXY Z =,求)(z Z ϕ.解:⎰⎰==+∞∞-1),(1),(||1)(dy y yz ydy y yz y z Z ϕϕϕz z y d y yz yZZZ ln 481110-==+=⎰⎰⎰,10<<z .(4) YX Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dy y yz y z Y XZ )()(||)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞≤+==),(),(),()(zyzyzyxZ dx y x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞--∞=+===00),(),(zzxty ydty ty dy ydt y ty dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-∞-+=00),(||),(||zzdt y ty y dy dt y ty y dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdyy ty y dt dt y ty y dy ),(||),(||ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.例5 设)(~i Exp X i ,2,1=i 独立, 21X X Z =,求)(z Z ϕ. 解: ⎰⎰+∞+∞∞-==)()()()(||)(2121dy y yz y dy y yz y z X X X X Z ϕϕϕϕϕ，① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ；当0>z 时, ⎰+∞--=22)(dy eyez yzyZ ϕ22)2(122)2(2)2()2(2])2[()2()2(2z z y z d ez z yz +=+Γ=+++=⎰+∞+--.所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0 ,0 ,0 ,)2(2)(2z z z z Z ϕ四、最大、最小公式设),,,(21n X X X 为S 上的n 维随机变量,且n X X X ,,,21 独立.(1) },,,max{21n X X X Z =，则∏==ni X Z z Fz F i1)()(.证明: }},,,{max{}{)(21z X X X P z Z P z F n Z ≤=≤= },,,{21z X z X z X P n ≤≤≤=∏==≤≤≤=ni X n z Fz X P z X P z X P i121)(}{}{}{ .(2)},,,min{21n X X X Z =，则∏=--=ni X Z z F z F i1)](1[1)(.证明: }},,,{min{1}{1}{)(21z X X X P z Z P z Z P z F n Z >-=>-=≤=},,,{121z X z X z X P n >>>-=∏=--=>>>-=ni X n z F z X P z X P z X P i 121)](1[1}{}{}{1 .例6 设)(~i i Exp X λ,2,1=i 独立,},max{211X X Z =,},min{212X X Z =, 求)(1z Z ϕ,)(2z Z ϕ.解:已知 xX i i ex F λ--=1)(,0>x ,那么① )1)(1()()()(21211zzX X Z eez F z F z F λλ----==,0>z ,zzzZ Z eeez F z )(2121212111)()()(λλλλλλλλϕ+---+-+='=，0>z .⎩⎨⎧≤>+-+=+---.0 ,0,0 ,)( )()(212121211z z e e e z z z z Z λλλλλλλλϕ② zX X Z ez F z F z F )(212121)](1)][(1[1)(λλ+--=---=,0>z ,zZ Z ez F z )(212122)()()(λλλλϕ+-+='=，0>z .所以 ⎩⎨⎧≤>+=+-.0 ,0,0 ,)( )()(21212z z e z z Z λλλλϕ五、函数的独立性设m X X X ,,,21 独立，),,,(21kkn k k k X X X X =，)(k k k X f Y =，m k ,,2,1 =.则 m Y Y Y ,,,21 也独立.证明：121,,,B ∈∀m B B B ,有},,,{2211m m B Y B Y B Y P ∈∈∈)}(,),(),({121221111m m m B f X B f X B f X P ---∈∈∈= )}({)}({)}({121221111m m m B f X P B f X P B f X P ---∈∈∈=}{}{}{2211m m B Y P B Y P B Y P ∈∈∈=例8 设),(~2i i i N X σμ,m i ,,2,1 =独立,则),(~1211∑∑∑====mi i mi i mi iN XY σμ.例9 设),(~λi i r X Γ,m i ,,2,1 =独立, 则),(~11λ∑∑==Γ=mi i mi ir XY .例10 设X 与Y 独立，且)(),(y x Y X ϕϕ,),(y x ϕ均连续, 而)(),(~),(22y x q y x Y X +=ϕ,则X 与Y 均服从正态分布.引理:设)(x f 与)(y g )0,(≥y x 都连续不恒为0,且0,≥∀y x 恒有)()()(y x h y g x f +=,则xka x f =)(,0≥x ，此处a k ,是常数, 0>a .证明:①先证明0)0(≠f .反证.假设0)0(=f ，则0)(≡x h .)(y g 不恒为0,故00≥∃y ,使得0)(0≠y g ,,那么0)()()(00≡+=y g y x h x f ,这与)(x f 不恒为0矛盾,故0)0(≠f .同理可证0)0(≠g .② 由于)()()0()0()(x h x g f g x f ==,那么)()0()0()()0()()0()(x p g f x h g x g f x f ===, 于是)()0()0()()0()()0()()()(y x p g f y x h g y g f x f y p x p +=+==,0,≥y x . ③ 再证明 0)1(≠p .反证. 假设0)1(=p ⇒0)1()1(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n p n⇒0)1(lim )0(==→∞n p p n .而1)0()0()0(==f f p ,故0)1(≠p .④ 因)()()(y x p y p x p +=,0,≥y x .则 x a x p =)(⇒x x ka a f x f ==)0()(.此处a k ,是常数,且 0)21()21()1(>==p p p a .例10证明: 因X 与Y 独立,则)(),()()(22y x q y x y x Y X +==ϕϕϕ.考虑在第一象限1D 中,令)()()(22x x x f X X ϕϕ==,)()()(22y y x g Y Y ϕϕ==, 显然都连续不恒为0,再令 )()(2222y x q y x h +=+,于是 )()()(2222y x h y g x f +=,因此2)()(2x X ka x f x ==ϕ,0)0()0()1(>=g f h a .由于σπσπσπϕσ222)(12222k dx ek dx a kdx x xx====⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-+∞∞-,有σπ21=k ,其中,因⎰+∞∞-dx a x2收敛,于是10<<a ,这样0ln 21>-=aσ.从而22221)(σσπϕxX ex -=，在其他三象限同样有此结果,于是),0(~2σN X .由对称性知道, ),0(~2σN Y .六、随机变量的变换)(~x X ϕ为S 上的n 维随机变量，)(x f y =为nn R R →的变换,)(x f y =在其定义域x D 上雅可比行列式0≠∂∂=xyJ ，y D 为其值域， 则)(x f y =有逆变换)(y h x =,)(X f Y =也是S 上的n 维随机变量，且1)]([)]([)(-=∂∂=Jy h yx y h y X X Y ϕϕϕ，y D y ∈. 证明：n y R ∈∀,有⎰≤=≤=yx f XY dx x y X f P y F )()(})({)(ϕ,0≠∂∂xy ,x D x ∈,故)(x f t =有逆变换)(t h x =,且0≠∂∂tx ，那么⎰⎰≤≤∂∂==yt X yx f X Y dt tx t h dx x y F )]([)()()(ϕϕ.又⎰≤=yt YY dt t y F )()(ϕ,故 yx y h y X Y ∂∂=)]([)(ϕϕ，y D y ∈.华东师大《数学分析(下)》例11 设),(~),(y x Y X ϕ，Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.证明：令Y X Z +=,X W =,定义域和值域都是2R ,且雅可比行列式为10111-==∂∂∂∂∂∂∂∂=y w x w yzx z J , 而逆变换),(w z h 为W X =,W Z Y -=.这样),(W Z 的密度函数为),(),()],([),(11w z w y x J w z h w z -===-ϕϕϕϕ，于是⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dx x z x dww z w z Z ),(),()(ϕϕϕ.。

随机变量函数分布随机变量函数分布是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量经过函数转换后的分布情况。

在实际问题中，我们常常需要通过随机变量的函数来描述某种现象的规律或特性。

本文将介绍随机变量函数分布的基本概念和常见的分布形式。

一、随机变量函数分布的定义随机变量函数分布指的是一个随机变量经过某种函数转换后的概率分布情况。

在数学上，对于一个随机变量X和一个函数Y=f(X)，我们可以描述函数Y的概率分布，也就是Y的取值在各个区间内的概率。

通常情况下，我们可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述随机变量函数分布。

二、常见的随机变量函数分布形式1. 线性变换最简单的随机变量函数分布形式就是线性变换。

设X是一个随机变量，Y=aX+b是X的线性变换，其中a和b为常数。

如果知道X的分布情况，就可以通过线性变换得到Y的分布。

具体地，如果X服从均匀分布，则Y也会服从均匀分布。

2. 指数变换指数变换是常用的随机变量函数形式之一。

如果X服从指数分布，经过指数变换Y=e^X后，Y会服从对数正态分布。

指数变换在描述某些事件的时间间隔时非常有用，比如描述两次地震事件之间的时间间隔。

3. 幂变换幂变换是一种常见的函数形式，如果X服从正态分布，Y=X^2后，Y会服从卡方分布。

幂变换在统计学中的应用非常广泛，比如方差分析和回归分析中就经常用到幂变换来处理数据。

三、实际应用举例在实际问题中，随机变量函数分布具有广泛的应用。

比如在金融领域中，可以通过随机变量函数分布来描述股票价格的涨跌情况，进而进行风险管理和投资决策。

在生物学领域中，可以通过随机变量函数分布来描述基因的变异情况，进而研究遗传特性。

总的来说，随机变量函数分布是概率论中一个重要的概念，它通过函数转换描述了随机变量的特性和规律。

通过研究随机变量函数分布，我们可以更好地理解现实世界中复杂的随机变量关系，从而进行更加精确的建模和分析。