苏教版必修1《8.2.1 几个函数模型的比较》练习卷

8.2函数与数学模型8.2.1几个函数模型的比较课标要求素养要求1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 通过本节的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.自主梳理比较三种函数模型的性质，填写下表：函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随α值的不同而不同增长速度a x的增长快于xα的增长，xα的增长快于log a x的增长增长后果当x足够大时，有a x>xα>log a x(a>1)1.思考辨析，判断正误(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)(2)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.(√)(3)函数y＝log 12x衰减的速度越来越慢.(√)(4)由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>x2(a>1).(×) 提示当x趋于无穷大时a x>x2(a>1)恒成立.2.已知函数为y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位答案 C解析结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确.3.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.y＝e xB.y＝ln xC.y＝x2D.y＝e－x答案 A解析结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确.4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看更为有前途的生意是________(填序号).①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.答案①解析增长速度最快的函数为y＝10×1.05x，故选①.题型一函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A.y＝2 021xB.y＝x2 021C.y＝log2 021xD.y＝2 021x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x 151015202530y1226101226401626901y2232 1 02432 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907答案(1)A(2)y2解析(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 思维升华指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.【训练1】函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2 021)，g(2 021)的大小.解(1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)<g(3).∵f(4)＝16，g(4)＝12，∴f(4)>g(4)，∴3<x2<4.从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 021)>g(2 021).又g(2 021)>g(3)，∴f(2 021)>g(2 021)>g(3)>f(3).题型二函数模型的选取【例2】科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x ＋50，x∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？解(1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000，9 000]上为增函数，且对∀x∈[3 000，9 000]，恒有f(x)≥100且f(x)≤x5.①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f(3 000)＝98<100，不符合要求；②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，显然f(x)为增函数，且当x＝3 000时，f(3 000)>100log2020＋50＝150≥100；又因为f(x)≤f(9 000)＝100log209 000＋50<100log20160 000＋50＝450；而x 5≥3 0005＝600，所以当x∈[3 000，9 000]时，f(x)max≤⎝⎛⎭⎪⎫x5min.所以f(x)≥x5恒成立；因此f(x)＝100log20x＋50为满足条件的函数模型.(2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000，所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.思维升华不同的函数增长模型的特点对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.【训练2】 某汽车制造商在2021年初公告：公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数型函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y 与年份x 的关系？解 建立生产量y 与年份x 的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).(1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0， 则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数型函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)， 将点的坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42， 则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.1.掌握4类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型.2.注意1个易错实际应用题易忘记定义域和作答.一、选择题1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 45678910y 15171921232527A.一次函数模型B.幂函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型答案 A解析根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y＝2tB.y＝2t2C.y＝t3D.y＝log2t答案 D解析由图知该函数可能是y＝log2t.故选D.3.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A.y＝100xB.y＝50x2－50x＋100C.y＝50×2xD.y＝100x答案 C解析将数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应. 4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y 1.517 4.041 87.51218.01A.y＝2x－2B.y＝12(x2－1)C.y＝log2xD.y＝2x答案 B解析由表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.5.2003年至2015年河北省电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是()A.f(x)＝a ln x＋bB.f(x)＝a e x＋bC.f(x)＝e ax＋bD.f(x)＝ax2＋bx＋c答案 A解析 由图象可得这13年间电影放映场次逐年变化规律是随着x 的增大，f (x )逐渐增大，图象逐渐上升.对于A ，a >0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a <0时，为单调递减函数，不符合图象的特征；对于B ，取a >0，b >0，可得满足条件的函数；对于C ，取a >0，b >0，可得满足条件的函数；对于D ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，取a >0，－b2a <0，可得满足条件的函数. 二、填空题6.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f (x )(单位：万斤)与年份x (记2015年为第1年)之间的关系统计如下：则f (x )x )＝2x ＋a ；③f (x )＝x 2＋b .你认为最适合的函数模型的序号是________. 答案 ①解析 若模型为②，则f (1)＝2＋a ＝4，解得a ＝2，于是f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f (1)＝1＋b ＝4，解得b ＝3，于是f (x )＝x 2＋3, 此时f (2)＝7，f (3)＝12，f (4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝4，f （3）＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52，经检验是最适合的函数模型.7.工厂生产某种产品的月产量y (万件)与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品________万件. 答案 1.75解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2， ∴3月份该产品的产量为 y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).8.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年(记为第1年)全年投入研发资金5 300万元，在此基础上以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________(参考数据：lg 1.08≈0.03，lg 5.3≈0.72，lg 7≈0.85). 答案 2023解析 设从第n 年开始超过7 000万元， 则5 300×(1＋8%)n －1>7 000， 即(n －1)lg 1.08>lg 7－lg 5.3，n －1>lg 7－lg 5.3lg 1.08≈0.85－0.720.03≈4.3，取n ＝5，又2 018＋5＝2 023， 因此开始超过7 000万元的年份是2023年. 三、解答题9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中：①y ＝ax 2＋bx ；②y ＝kx ＋b ；③y ＝log a x ＋b ；④y ＝a x ＋b (x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由.(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ；人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销售量最多是多少？解 (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ；人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把x ＝1，y ＝2；x ＝4，y ＝5代入到y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，5＝16a ＋4b ，解得a ＝－14，b ＝94，所以函数解析式为y ＝－14x 2＋94x (x ∈[0.5，8]).因为y ＝－14x 2＋94x ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋8116，所以当x ＝92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116 L.10.某工厂生产一种产品，根据预测可知该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：0.5＋a(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取x ＝1，3这两年的数据求出相应的函数解析式；(2)因受市场环境的影响，2021年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2021年的年产量. 解 (1)符合条件的函数模型是f (x )＝ax ＋b ； 若模型为f (x )＝a ·2x ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝4，f （3）＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝4，8a ＋b ＝7，a ＝12，b ＝3， ∴f (x )＝12×2x ＋3，∴f (2)＝5，f (4)＝11，与已知差距较大；若模型为f (x )＝log 0.5x ＋a ，f (x )为减函数，与已知不符；若模型为f (x )＝ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝4，f （3）＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，a ＝32，b ＝52，∴f (x )＝32x ＋52，∴f (2)＝5.5，f (4)＝8.5，与已知符合较好.∴相应的函数为f (x )＝32x ＋52.(2)2021年预计年产量为f (7)＝32×7＋52＝13， 13×(1－30%)＝9.1，所以估计2021年产量应为9.1万件.11.(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，以下说法正确的是( ) A.当x >1时，乙走在最前面B.当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 答案 BCD解析 f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，∴A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，B 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确.12.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.(1)y与x的关系式为________；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg 时，病人就有危险.则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时(精确到0.1).(参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)答案(1)y＝2 500×0.8x(2)7.2解析(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x.(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效，而低于500 mg 时，病人就有危险，∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x 是单调递减函数，∴x≤7.2，∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.13.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数.(1)求函数P1＝f(t)(2)求函数P2＝g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.解(1)因为P1是按直线上升的房价，设f(t)＝kt＋b(k≠0)，t≥0，由f(0)＝k·0＋b＝20，f(10)＝k·10＋b＝40，可得k＝2，b＝20，即P1＝2t＋20，t≥0.(2)因为P2是按指数增长的房价，设g(t)＝a0a t(a＞0且a≠1)，t≥0，由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40，可得a0＝20，a＝2110，即P2＝20×2t10，t≥0.(3)由(1)和(2)知，当t＝5时，P1＝30，P2＝202；当t＝15时，P1＝50，P2＝402；当t＝20时，P1＝60，P2＝80，则表格如下：t 05101520P1/万元2030405060P2/万元202024040280则图象为：根据表格和图象可知：房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例.14.安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是( ) (参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A.y ＝0.04xB.y ＝1.015x －1C.y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1D.y ＝log 11(3x －10)答案 D解析 对于函数：y ＝0.04x ，当x ＝100时，y ＝4>3不合题意； 对于函数：y ＝1.015x －1，当x ＝100时，y ＝3.432>3不合题意； 对于函数：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 19－1，不满足递增，不合题意；对于函数：y ＝log 11(3x －10)，满足x ∈(6，100]时，函数为增函数， 且y ≤log 11(3×100－10)＝log 11290<log 111 331＝3，知符合题意.故选D.。

8.2.1+几个函数模型的比较+教学设计-苏教版高中数学必修第一册一、单选题(★) 1. 下列函数中，随 x的增大，增长速度最快的是（）A．B．C．D．(★) 2. 函数 y＝2 x－ x 2的大致图象为（）A．B．C．D．(★★) 3. 高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（）A．B．C．D．(★★) 4. 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润 y与售出商品的数量 x的关系，则可选用（）A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数(★★) 5. 四人赛跑，假设他们跑过的路程 f i( x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间 x( x>1)的函数关系分别是 f 1( x)＝ x 2， f 2( x)＝4 x， f 3( x)＝log 2 x， f 4( x)＝2 x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x二、解答题(★★) 6. 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)(★★★) 7. 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.。

8.2.1几个函数模型的比较一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A ．y ＝6x B ．y ＝log 6x C ．y ＝x 6D ．y ＝6x2．以下四种说法中，正确的是()A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B ．对任意的x ＞0，x a ＞log a xC ．对任意的x ＞0，a x ＞log a xD ．不一定存在x 0，当x ＞x 0时，总有a x ＞x a ＞log a x3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是()4．下面给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 25．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系式为：P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为()A.12小时B.59小时C ．5小时D ．10小时6．向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg II0(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.76倍B．10倍C．1076倍D．ln76倍二、填空题9．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg，火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝21＋Mm________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.11．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．三、解答题12．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y 元，求本利和y随存期x变化的函数关系式．13．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．四、探究与拓展14．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断是________．(填序号)15．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表：时间t(单位：天)60100180种植成本Q(单位：元/100kg)11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种值成本是________元/100kg.。

函数模型及其应用（2）分层训练1.某种细胞分裂时，由1个变成2个，由2个变成4个，┅┅，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是______________，在这个关系式中，x 的取值范围是 .，2．某厂1992年的产值为a 万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2004年的产值（万元）为 （ ）()A 13(15%)a + ()B 12(15%)a +()C 11(15%)a + ()D 1210(15%)9a - 3．某新型电子产品2002年初投产，计划到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本（ ）A 10%B 20%C 25%D 30%4．有5000元存款，储蓄一年后从利息中取出100元，其余的钱加到本金里再储蓄一年，第二年的年利率比第一年高1%，利息比第一年多70元，则第一年的年利率为 ．5．已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则y 关于x 的函数关系式是 ．6．某城市现在人口总数为100万人，如果每年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：（1）写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）.7．据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为%x ，到2005年底全世界人口为y 亿，则y 与x 的函数关系是 .8．某种通过电子邮件传播的计算机病毒，在开始爆发后的5个小时内，每小时有1000台计算机被感染，从第6小时起，每小时被感染的计算机以增长率为50%的速度增长，则每小时被感染的计算机数y 与开始爆发后t （小时）的函数关系为 .9．某债券市场发行的三种债券：A 种面值100元，一年到期本利共获103元；B 种面值50元，半年到期，本利共获50.9元；C 种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元．则三种投资收益比例从小到大排列为 （ ）()A BAC ()B ACB()C ABC ()D CAB10．某种商品，如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种商品月初出售好，还是月末出售好？11．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？ （参考数据：51.1 1.61=）拓展延伸12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%（不记复利）；乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次记息时，储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得利息的差为 ________ 元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到0.01元）13.某公司为了实现1000万元的利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：70.25,log 1, 1.002x y x y x y ==+=，其中哪个模型能符合公司的要求.。

8.2.1几个函数模型的比较一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6D．y＝6x【答案】B【解析】D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x【答案】D【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2【答案】A【解析】由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系式为：P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为()A.12小时 B.59小时C．5小时D．10小时【答案】C【解析】由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，∴k＝－15ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01＝ln0.01，∴t＝10，∴至少还需要过滤5小时才可以排放．6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()【答案】B【解析】水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢．7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【答案】A【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝错误!，因为y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg II0(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.76倍B．10倍C．1076倍D．ln76倍【答案】B【解析】由题意，令70＝10lg I1I0，则有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以I1I2＝10.二、填空题9．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．【答案】800【解析】要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg，火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.【答案】e6－1【解析】由题意可知212000，∴6，从而Mm＝e6－1.11．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．【答案】300【解析】把x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)中，得a＝100，故函数关系式为y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，所以到第7年这种动物发展到300只．三、解答题12．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y 元，求本利和y随存期x变化的函数关系式．解已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…，x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.13．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b(k≠0)，当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.≥0，∈N，＝－2x＋24≥0.解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}．(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以当x＝6时，S max＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7920.故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.四、探究与拓展14．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断是________．(填序号)【答案】①【解析】由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．15．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表：时间t(单位：天)60100180种植成本Q(单位：元/100kg)11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种值成本是________元/100kg.【答案】12080【解析】因为随时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝a(t－120)2＋m a60－1202＋m＝116，a100－1202＋m＝84，a＝0.01，m＝80，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种值成本取到最低值80元/100kg.。

第33课 函数模型及其应用（1）分层训练1．某工厂生产一种产品每件成本为a 元，出厂价为b 元，厂家从每件产品获纯利%p ，则（ ）()A %b a p -= ()B %b ap b-= ()C %b a p a -= ()D %ap b= 2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ） ()A 不赚不亏 ()B 赚了80元()C 亏了80元 ()D 赚了2000元 3．某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）A 10%B 20%C 25%D 35%4．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y （元）表示为茶杯个数x （个）的函数 ，其定义域为 ．5．某种商品的进货价为a 元，零售价为每件1100元，若商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a = 元．6．建筑一个容积为36000m ，深为6m 的长方体蓄水池，池壁的造价为a 元/2m ，池底的造价为2a 元/2m ，把总造价y （元）表示为底的一边长()x m 的函数．7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()b a <，再前进c 千米，则此人t 的关系示意图是()A()B()C ()D8．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：3()360T t t t =-+，时间单位是小时，温度单位是C ，0t =时表示12:00，其后t 取值为正，则上午8时的温度为 （ ） ()A 8C ()B 18C ()C 58C ()D 128C9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了19.6米，则下落的距离S （米）与所经过的时间t （秒）间的关系为 .10．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得进价的25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与获利总额y 之间的函数关系式是 . 11.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定位60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查，销售商一次订购订购量不会超过500件. （1）设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）拓展延伸现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） （A ）2log v t = （B ）12log v t =（C ）212t v -= （D ）22v t =-13．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.。

8.2.1 几个函数模型的比较【基础练习】1．当x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）A ．100y x =B ．e 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2log y x =D ．100y x =【答案】B【解析】因为指数函数e 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的增长是爆炸式的，当x 越来越大时，增长速度最快，所以应选B.2．三个变量1y ，2y ，3y 随着变量x 的变化情况如下表：则与x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ） A ．1y ，2y ，3y B ．2y ，1y ，3y C ．3y ，2y ，1y D ．3y ，1y ，2y【答案】C【解析】观察数表知，三个变量1y ，2y ，3y 均是从5开始变化，变量1y ，2y ，3y 都是越来越大，但增长速度不同，其中增长最快的2y 应呈指数型函数，1y 呈幂函数型函数，3y 呈对数型函数，因此应选C. 3．向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）【答案】B【解析】水深h 为自变量，随着h 增大，A 中V 增长速度越来越快，C 中先慢后快，D 增长速度不变，只有B 中V 增长速度越来越慢．4．若()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）A. 122lg x x x >> B. 122lg x x x >> C. 122lg xx x >> D. 12lg 2x x x >> 【答案】A【解析】()1,2x ∈，22x∴>，(12x ∈，lg x ＜1. 122lg xx x ∴>>.5．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量y （单位：毫克）与时间x （单位：小时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如下散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是（ ）A ．y ax b =+B ．14xy a b ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭C ．()0ay x b a =+>D ．()0,0by ax a b x=+>> 【答案】B【解析】由散点图可知，函数在()0,∞+上单调递减，且散点分布在在一条曲线附近，函数y ax b =+的图象为一条直线，不合乎题意；函数14xy a b ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭的图象为一条曲线，且当0a >时，该函数单调递减； 函数()0ay x b a =+>在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意；由双勾函数的单调性可知，函数()0,0by ax a b x =+>>在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，不合乎题意.6．（多选）下面对函数12()log f x x =与1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x 在区间(0,)+∞上的衰减情况的说法中错误的有（ ） A ．()f x 的衰减速度越来越慢, ()g x 的衰减速度越来越快 B ．()f x 的衰减速度越来越快，()g x 的衰减速度越来越慢 C ．()f x 的衰减速度越来越慢，()g x 的衰减速度越来越慢 D ．()f x 的衰减速度越来越快，()g x 的衰减速度越来越快 【答案】ABD【解析】在平面直角坐标系中画出()f x 与()g x 图象如下图所示：由图象可判断出衰减情况为：()f x 衰减速度越来越慢；()g x 衰减速度越来越慢7．（多选）在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A ．前5 min 温度增加的速度越来越快 B ．前5 min 温度增加的速度越来越慢C ． 5 min 以后温度保持匀速增加D ．5 min 以后温度保持不变 【答案】BD【解析】因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即前5 min 每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后是y 关于t 的增量保持为0，则BD 正确．8．四人赛跑，假设他们跑过的路程()()1,2,3,4i f x i =和时间()1x x >的函数关系分别是()21f x x =，()24f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ． 【答案】()42x f x =【解析】四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是()42x f x =. 9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．【答案】(4) (1) (3) (2)【解析】A 容器下粗上细，水的高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水的高度变化先越来越慢，后越来越快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水的高度的变化为C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示．（1）指出图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 【解析】（1）C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .（2）当()10,x x ∈时，()()g x f x >； 当()12,x x x ∈时，()()g x f x <； 当()2,x x ∈+∞时，()()g x f x >．【能力提升】11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()()1,2,3,4i f x i =关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为()121x f x =-，()22f x x =，()3f x x =，()()42log 1f x x =+，有以下结论： ①当x ＞1时，甲走在最前面； ①当x ＞1时，乙走在最前面；①当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面； ①丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ①如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________(把正确结论的序号都填上)． 【答案】①①①【解析】作出()()1,2,3,4i f x i =的图象，由图象知，①①①正确．12．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品. 已知各投入x 万元，甲、乙两种商品可分别获得1y ，2y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:P y bx c =+如图所示.（1）求函数1y ，2y 的解析式；（2）为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润. 【解析】（1）11:nP y ax =过点()1,1.25，()4,2.5，51.25,452.54,2n a a ⎧==⎪⎪∴⎨⎪==⋅⎪⎩解得5,41,2a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩[)10,y x ∴=∈+∞； 22:P y bx c =+过点()0,0，()4,1，0,1,4c b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩ [)21,0,4y x x ∴=∈+∞. （2）设用x 万元投资甲商品，则投资乙商品为10x -万元，总利润为y 万元.则()[]21156510,0,1044216y x x ⎫=-=-+∈⎪⎭，52=即25 6.254x ==时，max 6516y =. 此时投资乙商品为10 6.25 3.75-=万元.答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，能获得最大利润.。

课时素养评价四十七几个函数模型的比较(15分钟30分)1.以下四种说法中,正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0,x n>log a xC.对任意的x>0,a x>log a xD.不一定存在x0,当x>x0时,总有a x>x n>log a x【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有a x>x n>log a x,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:6.0x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.003.1y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )A.y=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x 1.99 3 4 5.1 83.0y 0.99 1.58 2.01 2.35现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________.【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.答案:④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.4.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下说法:①第4个月时,残留量就会低于;②每月减少的有害物质质量都相等;③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是________.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=<,故①正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确; 分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.答案:①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=log a(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是________,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为______米.t(年) 1 2 3 4 5 6h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=log a(t+1)中,得1=log a3,解得a=3,即h=log3(t+1). 当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=log a(t+1) 2三、解答题7.(10分)若不等式3x2<log a x在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<log a x,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x2<log a x在x∈内恒成立,当x∈时,若a>1,则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;当0<a<1时,y=log a x的图象必过点A或在这个点的上方,则log a ≥,所以a≥,所以≤a<1.综上,a的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。

江苏东海高级中学苏教版必修1---函数测试卷一．选择题：1．与y x =有相同图象的一个函数是 ( )A.y =B. 2x y x=C. log (0,1)a y x a a =>≠且D. log (0,1)xa y a a a =>≠且2. 若()f x 的定义域为[3,1],-则函数()()()F x f x f x =+-的定义域为 ( )A.[3,3]-B.[1,1]-C. [3,1]-D.[1,3]-3. 函数y =( ) A. (3,5] B. [1,3) C. [1,5] D.[1,3)(3,5]⋃4. 若函数213,[1,]22y x x x b =-+∈的值域也为[1,]b ,则b 的值为 ( ) A.1或3 B.1或32 C. 32D. 35. 已知1x x -+=且1x >,则1x x --的值为 ( )A. 2或2-B.2 D. 2-6. 当10x -<<时,下列不等式中成立的是 ( )A. 550.5x x x -<<B. 50.55x x x-<<C. 550.5x x x -<<D. 0.555x x x-<<7. 下列各式中正确运用对数运算性质的是 ( )A. 22lg(lg lg x x y =+B. 22lg(lg lg 2lg x x y z =++C. 2lg(2lg lg 2lg x x y z =+- D. 21lg(2lg lg lg 2x x y z =++8. 函数log (3)x y x =-的定义域为 ( )A. (1,3)B.(,3)-∞ C . (0,1)(1,3)⋃ D. (1,2)(2,3)⋃9. 方程lg 3x x +=根的情况是 ( ) A. 有两个正根 B. 有一正根一负根C. 仅有一正根D. 没有实根10. 方程22log log (1)1x x +-=的解集为M,方程2129240x x +-⋅+=的解集为N,那么M 与N的关系是 ( ) A. M=N B.M ⊂≠N C. M N ⊃≠ D. M N ⋂=∅ 11. 设指数函数()(01)xf x a a a =>≠且,则下列等式不正确的是 ( )A. ()()()f x y f x f y +=⋅B. [()]()()nnnf xy f x f y =⋅ C. ()()()f x f x y f y -=D. ()()nf nx f x = 12. 设函数()f x 的定义域为D,如果对于任意的1x D ∈,存在唯一的2x D ∈,使12()()2f x f x +(C C =为常数)成立,则称函数()y f x =在D 上的均值为C,给出下列四个函数:① 3y x = , ② 2y x -= , ③ lg y x = , ④ 2xy =;则满足在其定义域上均值为2的所有函数是 ( ) A.①② B. ③④ C. ①③④ D. ①③ 二.填空题:13. 函数y =的递增区间为 .14. 若函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3,最小值2,则m 的取值集合为 . 15. 函数4(4)(),(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩则[(1)]f f -= .16. 函数2231()2xx y -+=的值域为 .17. 如果函数()f x 满足2()()2,2,f n f n n =+≥且(2)1,f =那么(256)f = .18. ()y f x =在(0,2)上是增函数,(2)y f x =+是偶函数,则57(1),(),()22f f f 的大小关系是 .三.解答题:19. 判断下列函数的奇偶性:(1). 11()(01)12x f x a a a =+>≠-且; (2). 22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩20. 讨论函数2()(0)1axf x a x=≠-在区间(1,1)-上的单调性.21. 已知函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R,求a 的取值范围.22. 约定R +表示正实数集,定义在R +上的函数()f x ,对任意的,x y R +∈都有()()(),f xy f x f y =+当且仅当1x >时,f()0x >成立.(1) 设,,x y R +∈求证:()()();y f f y f x x=-(2) 设12,x x R +∈,若12()(),f x f x >比较1x 与2x 的大小;(3) 解不等式(3)(01).x f f a a >-<<23. ()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,f(x)=2x-x 2, (1) 求x<0时,f(x)的解析式;(2) 问是否存在这样的正数a,b,当[,]x a b ∈时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[11,]?b a若存在,求出所有的a,b 值,若不存在,请说明理由.参考答案:1.D2. B3. D4.D5.B6.B7.D8.C9.C 10.B 11.B 12.D 13. [3,1]-- 14. [1,2] 15. 0 16. 1(0,]4 17. 7 18. 75()(1)()22f f f << 详细答案:1. D 从定义域,值域,对应法则分析只有log (0,1)xa y a a a =>≠且与y x =的图象相同.2.B 由3131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩得定义域为[1,1].-3.D 由22501030x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≥⎩得:[1,3)(3,5].⋃4.D 由二次函数图象知:21322b b b -+=,得13,b b ==或又因为1,b >所以 3.b = 5.B由1x x -+=2228x x -++=,则221224,()4x x x x ---+=∴-=,又11, 2.x x x ->∴-=6.B 结合指数函数图象分析知,选B.7.D 由对数函数运算性质:21lg(2lg lg lg 2x x y z =++,故选D. 8.C 由300(0,1)(1,3).1x x x ->⎧⎪>⋃⎨⎪≠⎩得 9.C 设12lg ,3,y x y x ==-结合图象分析知,仅有一个正根,故选C. 10.B 由题意知:M={2},{21},x x N x x x ====-或∴M ⊂≠N ,故选B. 11.B 逐一验证知B 不正确. 12.D20,20,x y x y -=>=>∴当1()4f x >时,就取不到2x ,能使得12()()2,2f x f x +=所以比较知只有①③能成立.13.[3,1]-- 由2320x x --≥得31x -≤≤,所以增区间为[3,1].--14.[1,2] 由223y x x =-+即2(1)2y x =-+,结合图象分析知m 的取值范围为[1,2]时, 能使得函数取到最大值3和最小值2.15.0 [(1)][(2)][(5)](1)(4)0.f f f f f f f f -=====16.1(0,]4 设1()2u y =,2232u x x =-+≥,所以结合函数图象知,函数y 的值域为1(0,]4. 17.7 22(256)(16)(16)2(4)2f f f f ==+=+=2(4)4(2)4f f +=+=(2)6f +167.=+= 18. 75()(1)()22f f f <<结合图象分析知:()y f x =的图象是由(2)y f x =+的图象向右平移两个单位而得到的,所以可以得到75()(1)()22f f f <<.19．解析：（1）()f x 的定义域为{,0}x x R x ∈≠且又1111()()1212x xf x f x a a --+=+++--11110111x x x x x a a a a a -=++=+=---()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数。