高中数学 苏教版必修一 函数的表示方法(一)

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式． 【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题． 例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ； 当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果． 【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-， 即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1， 故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥， 令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥， 故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（ ）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]， 所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（ ）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（ ）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭， 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（ ） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（ ）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a， 因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上， 所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（ ） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确； 因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误， 所以正确的有①①①，共3个， 故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -． 故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案 【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =， 当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=， 由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解； 由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =， 所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6， 故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解； 当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==， 则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力． 二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556； 当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416， 综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________． 【答案】154． 【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--， 当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅， 可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤， 作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =， 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154． 故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立 【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域； （3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+， 当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=， 解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。

2.1.2函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (4，2)，C (2，2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x )的解析式、定义域、值域．例3 将函数f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f (x )的值域．2．练习：练习1：课本32页7，9两小题．练习2：（1）画出函数f (x )＝的图象． （2） 若f (x )＝ 求f (－1)，f (0)，f (2)，f (f (－1))，f (f (0))，f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数，试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图，点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动，试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0) 1－x (x ＜0) A B C D P x y O A BC分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；含绝对值的函数常与分段函数有关；利用对称变换构造函数的图象．六、作业课堂作业：课本32页3，7，12；课后探究：已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)，试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．。

函数的表示方法：：【学习目标】了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单的应用。

【要点梳理】要点一、构成函数的三要素：1.定义域、对应关系、值域(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.2．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：x a x b a b<<={x|a≤x≤b}=[a，b]；{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；<≤=；[){|},x a x b a b(][)≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},x x b b x a x a要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

3.相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

要点诠释：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。

如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。

2.1.2 函数的表示方法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x ≥9)f [f (x ＋4)] (x <9)，则f (7)＝________________________________. 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________．二、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数是一个函数而非几个函数． 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0) 解析 由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x(x>0)． 2．1解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x 1－x， 则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1. 4．2x －1解析 由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1.5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12 解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0) 解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x.② 由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x 3， 即f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0)． 9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8 解析 设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4…y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解 根据题意可得d ＝k v 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500. ∴d ＝12 500v 2S . 当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎨⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252). 13．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

2.1.2 函数的表示方法(一)一、基础过关1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________．5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．7．根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；(2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]．二、能力提升8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________．①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410]④y ＝[x ＋510]10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________．11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．三、探究与拓展12．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．答案1．y ＝50x (x >0)2．13．f (x )＝1x －1 4．y ＝20－2x (5<x <10)5．26．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ，则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎨⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.7．解 (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x .(2)∵f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，∴f [g (x )]＝3[g (x )]2＋1＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4，∴g [f (x )]＝2[f (x )]－1＝2(3x 2＋1)－1＝6x 2＋1.8．f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1) 9．②10．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 11．解 (1)由题意，知P ＝30＋x .(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元．∴Q＝(1 000－10x)(30＋x)＋200x＝－10x2＋900x＋30 000.12．解因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.。

5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}， 当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3． 因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ， 代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)； 当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。