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高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点8函数的概念和图像函数的概念(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (3)除f (x )外，有时还用g (x )，u (x )，F (x )，G (x )等符号来表示函数．函数的图象函数图象的含义将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f (x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0，f (x 0))．当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x ，f (x ))|x ∈A }，即{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }，所有这些点组成的图形就是函数y ＝f (x )的图象． 常见函数的定义域和值域1．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域为R ，值域是R . 2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ， 当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞， 当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .3．反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ≠0}．求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (4)换元法：对于一些无理函数(如y ＝ax ±b ±cx ±d )，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域一、求函数值或值域例题1若函数()221++=+x x a f x x ()0x ≥的值域为[),a +∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．0,1C ．(],1-∞D ．[]1,2【答案】A【分析】由()222(1)11(1)111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++，然后分10a -≤和1a >判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出a 的取值范围 【详解】解：()222(1)11(1)111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++， 当10a -≤时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)f x f a ==，此时1a ≤，当1a >时，由1()(1)1a f x x x -=++≥+，当且仅当1x +，即 1x =时取等号，因为()f x 在1,)+∞上单调递增，(0)f a =若()f x 的值域为[),a +∞10≤，即2a ≤，则12a <≤， 综上，2a ≤，所以实数a 的取值范围为(],2-∞ 故选：A【点睛】考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为()222(1)11(1)111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++，然后分10a -≤和1a >讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题例题2函数2212x y x-=+的值域是（ ） A ．11,2⎛⎤- ⎥⎦⎝B ．()1,1-C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝D ．()2,2-【答案】A 【分析】先对函数2212x y x-=+分离常数化简，即可求出值域. 【详解】()222+212332x y x x -+==-+++，因为222x +≥，所以212210x ≤+<，所以2111223x -<-+≤+，所以函数2212x y x -=+的值域是11,2⎛⎤- ⎥⎦⎝. 故答案为：A【点睛】考查值域的求法，解题的关键是先分离常数，属于常规题型.训练1设2,11()2,11x k x x f x kx x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，2()g x kx bx c =++，其中,,k b c 为实数，则下列命题中，正确的是（ ）A ．若函数[]()y f g x =的值域为[0,)+∞，则13k ≤-.B ．若函数[]()y f g x =的值域为[0,)+∞，则1k.C ．存在实数,,k b c 且13k ≤-，使函数[]()y f g x =的值域为(,0]-∞.D ．存在实数,,k b c 且1k ，使函数[]()y f g x =的值域为[0,)+∞.【答案】D【分析】取1,0k b c ===，可得()()f g x 的值域为[0,)+∞，可判断A 错误，D 正确；取1,02k b c =-==，可得()()f g x 的值域为[0,)+∞，可判断B 错误；根据()()f g x 的函数值不可能无限小，可判断C 错误. 【详解】对于A ，取1,0k b c ===，21,11()2,11x x x f x x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，2()g x x =，则()()421,112,11x x x f g x x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，可得()()f g x 的值域为[0,)+∞，故不满足13k ≤-， 故A 错误，同时也说明D 正确；对于B ，取1,02k b c =-==，21,11()2,11x x x f x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨⎪--<<⎩或，21()2g x x =-， ()()4211,421,2x x x f g x x x ⎧-≤≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，可得()()f g x 的值域为[0,)+∞，故不满足1k，故B 错误；对于C ，当1x ≤-或1≥x 时，()f x 的最小值是1k +，当11x -<< ，()f x 的取值在2k -和2k 之间，则可得()()f g x 的函数值不可能无限小，即不可能为(,0]-∞，故C 错误. 故选：D.【点睛】考查含有参数的复合函数的值域问题，其中涉及分段函数，解决本题的关键是选取有代表性的特殊值，根据特殊值时的值域判断，这也是解决多数问题的有效方法. 训练2函数f (x )的值域为( )A ．[－43,43] B ．[－43,0] C ．[0,1] D ．[0,43] 【答案】C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.式和平方关系联想到三角代换，二是由sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.二、画函数的图象例题1函数2()xf x x a=+的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】对参数a 进行分类讨论，对各个选项进行分析即可得出正确答案. 【详解】函数表达式中含有参数a ，要对参数进行分类讨论， 若0a =，则21()x f x x x==，选项C 符合； 若0a >，则函数定义域为R ，选项B 符合若0a <，则x ≠，选项A 符合，所以不可能是选项D. 故选：D .【点睛】考查函数图象的识别，考查逻辑思维能力和数形结合思想，属于常考题. 例题2函数321=+x y x 的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】首先根据函数的奇偶性可以排除B 、D 选项，再根据当01x <<时，33221x x x x x<=+可排除C.详解：∈函数()321xy f x x ==+的定义域为R ，()()()()332211x x f x f x x x ---===-+-+ ∈函数()321x y f x x ==+为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B 、D又∈当01x <<时，33221x x x x x<=+可排除C ，故选A.点睛：考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.训练1函数()1=-f x x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数特殊位置进行排除即可. 【详解】当0x =时，10y =≠，排除C ;当12x =时，112y =＜，排除A ; 当12x =-时，312y =＞，排除D ; 故选：B.【点睛】函数图像选择题由函数性质以及特殊值进行排除. 训练2 已知函数()()2f ,,,dx a b c d R ax bx e=∈++的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是A ．0,0,0,0a b c d >>B ．0,0,0,0a b c dC ． 0,0,0,0a b c d >>D ．0,0,0,0a b c d >>【答案】B 【详解】由图象可知，1x ≠且5x ≠，20ax bx c ++≠，可知20ax bx c ++=的两根为1,5，由韦达定理得12126,5b cx x x x a a+=-=⋅==，,a b ∴异号，,a c 同号，又()00df c=<，,c d ∴异号，只有选项B 符合题意，故选B.三、常见函数的定义域和值域例题1下列各函数中，表示相等函数的是（ ）A ．lg y x =与21lg 2y x =B ．211x y x -=-与1y x =+C ．1y =与1y x =-D ．y x =与log x a y a =(0a >且1a ≠)【答案】D【分析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果. 【详解】A 项：函数lg y x =定义域为()0,∞+，函数21lg 2y x =定义域为{}0x x ≠，A 错误； B 项：函数211x y x -=-定义域为{}1x x ≠，函数1y x =+定义域为R ，B 错误；C 项：函数1y =值域为[)1,-+∞，函数1y x =-值域为R ，C 错误；D 项：函数y x =与函数log x a y a =(0a >且1a ≠)定义域相同，对应关系相同，D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题. 例题2函数lg(2sin 1)y x =-的定义域为A ．5{|,}66ππx k πx k πk Z B ．2{|,}33ππx k πx k πk ZC ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈ D ．2{|22,}33ππx k πx k πk Z【答案】C 【详解】函数有意义，则：12sin 10,sin 2x x ->∴>， 求解三角不等式可得函数的定义域为：5{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 本题选择C 选项.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．训练1函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足：（1）()f x 在[],a b 内是单调函数；（2）()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”.下列函数：∈()ln f x x =；∈()()10f x x x =>；∈()()20f x x x =≥；∈()()2011x f x x x=≤≤+.其中存在“3倍值区间”的有（ ） A ．∈∈ B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈∈∈【答案】B【分析】根据题目所给定义，分别利用对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数的单调性，算出()f a 和f b ，进行分析判断即可．【详解】对于∈，函数()ln f x x =为增函数，若函数()ln f x x =存在“3倍值区间”[],a b ，则()()ln 3ln 3f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，由图象可得方程ln 3x x =无解，故函数()ln f x x =不存在“3倍值区间”；对于∈，函数()()10f x x x => 为减函数，若存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()1313f a b af b ab ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩得：13ab =，0a >，0b >例如：13a =，1b =.所以函数()()10f x x x =>存在“3倍值区间”；对于∈，若函数()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()2233f a a a f b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩.所以函数函数()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[]0,3；对于∈，当0x =时，()0f x =.当01x <≤时，()11f x x x=+，从而可得函数()f x 在区间[]0,1上单调递增.若函数()21x f x x =+存在“3倍值区间”[],a b ，且[][],0,1a b ⊆，则有()()223131a f a a a b f b b b ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩，无解.所以函数()21xf x x=+不存在“3倍值区间”. 故选：B.【点睛】本题是函数新定义问题，以及对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数单调性和值域等，根据函数性质及题中所给条件进行一一判断是关键.训练2函数y 的定义域是A ．{|22,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈ B ．{|,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈C ．{|,}3x k x k k Z πππ≤≤+∈ D ．{|,}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【答案】D 【详解】要使原函数有意义，则2210cos x +≥ ，即122cos x ≥-，所以2222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，． 解得：33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．所以，原函数的定义域为{|}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．故选D ．【点睛】考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，解答此题的关键是掌握余弦函数线，在单位园中利用三角函数线分析该题会更加直观综合式测试一、单选题1．函数f （x ）＝223,1,1222,2x x x x x x x ⎧+-≤⎪<≤⎨⎪->⎩则有（ ）A ．f （x ）在x ＝1处不连续B ．f （x ）在x ＝2处不连续C ．f （x ）在x ＝1和x ＝2处不连续D ．f （x ）处处连续【答案】A【分析】紧抓函数连续性概念的定义即可得结果. 【详解】∈1lim x -→f （x ）＝0，1lim x +→f （x ）＝1， ∈f （x ）在x ＝1处不连续又∈22lim ()2,lim ()2xx f x f x -+→→==，()22f = ∈f （x ）在x ＝2处连续. 故选：A ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数连续性的判断，解题思路如下： （1）观察函数解析式的特征，判断间断点的可能位置； （2）分别求函数在分界点处的左右极限； （3）结合函数连续性的定义得到结果.2．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ）A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤， 要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。
第2章 函 数
§2.1 函数的概念
2．1.1 函数的概念和图象(一)
一、基础过关
1．下列对应：
①M ＝R ，N ＝N ＋，对应法则f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；
③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应法则f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有________个．
2．下列各组函数中，表示同一函数的有________个．
①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1
②y ＝x 0和y ＝1
③f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2
④f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2
3．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.
4．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________．
5．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2＋4的定义域为________________________________． 6．给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )
的图象是一条直线；④f (x )＝x 2
x
与g (x )＝x 是同一个函数． 其中正确命题的序号有________．
7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．
(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |；
(2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2；
(3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；
(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.
8．已知函数f (1－x 1＋x
)＝x ，求f (2)的值． 二、能力提升
9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．(填序号)
10．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是________．(填序号)
①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；
④f (x )＝－x .
11．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23
)的定义域为________． 12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时
回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00至12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
三、探究与拓展
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
答案
1．1
2．1
3．[1，＋∞)
4．{x |0≤x ≤1}
5．(－1,2)
6．①②
7．解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数．
(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应法则f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．
(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．
(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应法则f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．
8．解 由1－x 1＋x
＝2，解得x ＝－13， 所以f (2)＝－13. 9．②③
10．③
11．[0，13
] 解析 由⎩⎨⎧
0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1 得⎩⎨⎧
0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]． 12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，
∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2
＝h 2＋2h (m 2)．
(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0<A<6.84.
故值域为{A|0<A<6.84}．
(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．。
