高中数学苏教版必修一函数的表示方法(一) 最新

第二课时函数的表示方法课标要求 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.素养要求 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.一、函数的表示方法1.思考(1)若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，可以用y＝300x来表示.(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？提示问题(1)、(2)、(3)分别是用解析法、图像法、列表法表示函数的.2.填空(1)解析法：在函数y＝f(x)中，如果f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.(3)图像法①图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ②作函数图像的方法ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 a.平移：y ＝f (x )错误!y ＝f (x ±a )(左“＋”右“－”)； y ＝f (x )错误!y ＝f (x )±b (上“＋”下“－”). b.对称：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x ).求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把x 轴下方图像翻折到上方y ＝|f (x )|；y ＝f (x )―――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像，并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像y ＝f (|x |).温馨提醒 (1)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域.(2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性. 3.做一做 (1)已知函数f (x )由下表给出，则f (11)＝________.x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x ≤20y2345(2)已知函数f (x )的图像如图所示，其中点A ，B 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f (f (0))＝________.答案 (1)4 (2)0 二、分段函数1.思考 根据实数绝对值的含义将函数y ＝|x ＋1|中的绝对值号去掉，变形后的函数是什么形式？提示 根据绝对值含义可知，y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1，变形后的函数是一个分段函数.2.填空 (1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.温馨提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，要注意分段函数的定义域、值域和图像的理解：(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集.(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像.3.做一做 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，x －1，x >1，则f (2)＝________. 答案 1题型一 三种表示法的应用例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来. 解 (1)列表法：x /台 1 2 3 4 5 y /元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x /台 6 7 8 9 10 y /元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}. 思维升华 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.训练1 将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x ∈N ＋)的函数关系.解 这个函数的定义域为{x |1≤x <10，x ∈N ＋}. ①解析法：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫10－x 42. 将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254， x ∈{x |1≤x <10，x ∈N ＋}. ②列表法： 一段铁丝长x (cm) 123456789两个正 方形的 面积之和S (cm 2)418174298134258134298174418③图像法：题型二 求函数解析式角度1 换元法(配凑法)求函数解析式 例2 求下列函数的解析式： (1)已知f (x ＋2)＝2x ＋3，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ). 解 (1)f (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴f (x )＝2x －1.(2)法一(换元法) 令t ＝x ＋1，t ≥1， 则x ＝(t －1)2，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).法二(配凑法) f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1). 角度2 用待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝16x －25，求f (x )； (2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ). 解 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－5，或⎩⎨⎧k ＝－4，b ＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2－2x －1.角度3 消元法(或解方程组法)求函数解析式例4 已知定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝x 2，求f (x )的解析式.解 ∵对任意的x ∈(－1，1)有－x ∈(－1，1)， 由2f (x )－f (－x )＝x 2，① 得2f (－x )－f (x )＝(－x )2，② ①×2＋②消去f (－x )得3f (x )＝3x 2， ∴f (x )＝x 2(－1<x <1).思维升华 1.已知f [g (x )]＝h (x )求f (x )，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )解出x ，代入h (x )中得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f [g (x )]的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式：已知所要求的f (x )的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出f (x )的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.训练2 (1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).解 (1)法一(换元法) 令x ＋1＝t ， ∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.法二(配凑法) f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1， ∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，令t ＝x －1x ，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴用1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0). 题型三 分段函数求值问题 例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)， f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12. 迁移 (1)例5条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值. (2)例5的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.解 (1)①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去； ②当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3， 即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；③当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.(2)①当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； ②当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； ③当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上，x 的取值范围是{x |x <2}. 思维升华 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.训练3 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f [f （x ＋5）]，x ≤10，则f (5)的值是( ) A.24 B.21 C.18D.16(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范围为()A.(－3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]答案 (1)A (2)C解析 (1)f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21， ∴f (5)＝f (21)＝24.故选A.(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；当－2<a<4时，a＋1<－3，a<－4，此时不等式无解；当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.[课堂小结]1.函数三种表示法的优缺点2.用三种方法表示函数时的注意点：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”.3.理解分段函数要注意的几个方面：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数；(2)处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.一、基础达标1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）的值为( )A.1516 B.－2716 C.89 D.18答案 A解析 当x >1时，f (x )＝x 2＋x －2， 则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f （2）＝14.当x ≤1时，f (x )＝1－x 2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 2.已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.4B.14C.16D.116答案 C解析 根据题意令1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图像是( )答案 A解析 当x ＝－1时，y ＝0，即图像过点(－1，0)，D 错误；当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0，1)，C 错误；当x ＝1时，y ＝2，即图像过点(1，2)，B 错误.故选A.4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图像是如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f [g (2)]＝( )x 1 2 3 f (x )23A.3B.2C.1D.0答案 B解析 由题图知g (2)＝1， ∴f [g (2)]＝f (1)＝2.故选B.5.(多选)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 可以取的值为( )A.－3B.3C.－1D.1答案 CD 解析 ∵f (－1)＝－（－1）＝1，∴f (a )＝1.①当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1. ②当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1. 综上可知a ＝1或－1.6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f {f [f (－2 022)]}＝________.答案 π2＋1解析 f (－2 022)＝0，∴f [f (－2 022)]＝f (0)＝π， ∴f {f [f (－2 022)]}＝f (π)＝π2＋1.7.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝______. 答案 －6或4解析 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8， 即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍).当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或4.8.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________. 答案 1 2解析 由表中对应值，知f [g (1)]＝f (3)＝1.当x ＝1时，f [g (1)]＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足条件； 当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足条件； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，不满足条件； 所以满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是2.9.求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x ). (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x ).(4)若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，求f (x ).解 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2(x ≥1). (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2). (4)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，①∴用1x 代替x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x ＋12，②①×2－②得3f (x )＝4x －2x ＋12，∴f (x )＝43x －23x ＋16(x ≠0).10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈（0，2），3，x ∈[2，＋∞）.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解 (1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3.(2)作出图像如图所示.利用数形结合易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为 (－1，2]∪{3}.二、能力提升11.(多选)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0），x 2＋1，x ∈[0，1]，则下列选项中正确的是( )答案 ACD解析 作出函数f (x )的图像如图：A.将f (x )的图像向右平移一个单位即可得到f (x －1)的图像，则A 正确；B.∵f (x )>0，∴|f (x )|＝f (x )，图像不变，则B 错误；C.y ＝f (－x )与y ＝f (x )关于y 轴对称，则C 正确；D.f (|x |)的图像是把函数f (x )的图像保留y 轴右边的，左边的去掉，再把右边的做关于y 轴的对称，则D 正确. 故选ACD.12.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________.答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图像得值域是(－∞，1].13.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域.解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2， 其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.三、创新拓展14.已知函数f (x )由表给出，则f (f (2))＝________，满足f (f (x ))>1的x 的值是________.x 1 2 3 f (x )231答案11或3解析由题中的表格可知：当x＝1时，f(1)＝2，则f(f(1))＝f(2)＝3>1，所以x＝1满足题意；当x＝2时，f(2)＝3，则f(f(2))＝f(3)＝1＝1，所以x＝2不满足题意；当x＝3时，f(3)＝1，则f(f(3))＝f(1)＝2>1，所以x＝3满足题意.综上，f(f(2))＝1，满足f(f(x))>1的x的值为1或3.。

2.1.2 函数的表示方法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x ≥9)f [f (x ＋4)] (x <9)，则f (7)＝________________________________. 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________．二、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数是一个函数而非几个函数． 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0) 解析 由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x(x>0)． 2．1解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x 1－x， 则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1. 4．2x －1解析 由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1.5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12 解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0) 解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x.② 由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x 3， 即f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0)． 9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8 解析 设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4…y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解 根据题意可得d ＝k v 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500. ∴d ＝12 500v 2S . 当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎨⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252). 13．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

2.1.2 函数的表示方法(一)一、基础过关1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________．5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．7．根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；(2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]．二、能力提升8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________．①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410]④y ＝[x ＋510]10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________．11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．三、探究与拓展12．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．答案1．y ＝50x (x >0)2．13．f (x )＝1x －1 4．y ＝20－2x (5<x <10)5．26．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ，则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎨⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.7．解 (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x .(2)∵f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，∴f [g (x )]＝3[g (x )]2＋1＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4，∴g [f (x )]＝2[f (x )]－1＝2(3x 2＋1)－1＝6x 2＋1.8．f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1) 9．②10．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 11．解 (1)由题意，知P ＝30＋x .(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元．∴Q＝(1 000－10x)(30＋x)＋200x＝－10x2＋900x＋30 000.12．解因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(15)必修1_02 函数 函数的表示方法（1）班级 姓名目标要求1． 了解函数的三种表示法，以及三种表示法的内在联系；2． 根据具体问题的特点，选用恰当的方法表示函数关系．重点难点重点：函数的表示法；难点：解析法与图象法的联系与转化．课前预习1、回顾初中学过的函数及其表示方法2、函数表示方法列表法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。

解析法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。

图像法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。

3、分段函数在定义域内不同部分上，有不同的 ，像这样的函数通常叫做分段函数。

课堂互动例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x ({1,2,3,4})x 的函数，并指出该函数的值域．例2 某市出租汽车收费标准如下：在km 3以内（含km 3）路程按起步价7元收费，超过km 3以外的路程按2.4元km /收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式．回顾小结：分段函数（1） 概念：（2） 理解：例3 （1）已知⎩⎨⎧<-≥=-=)0.(1)0.()(,12)(2x x x x g x x f ，求[][])(,)(x f g x g f ．例4 如图AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式，并画出)(t f y =的图象.例5 作出函数)1(|2|-+=x x y 的图象，并求函数的定义域与值域．课堂练习１、下列各个图形中，表示函数关系()y f x =的图象的有（１）（２） （３）（４）2、设(),f x π=则2()f x =____________3、1 n mile （海里） 约合1852m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式．4、用长为30 cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积Ｓ（cm 2）表示成矩形一边长x （cm ）的函数，并画出函数的图象．5、在学校的洗衣店中，每洗一次衣服（4.5千克以内）需要付费4元，如果在这家洗衣店洗衣10次，则其后可以免费洗一次(1)根据题意填写下表：(2)问：＂费用c是次数n的函数＂还是＂次数n是费用c的函数＂？(3)写出当n 15时函数的解析式．学习反思1、函数关系的表示方法主要有．2、函数的解析式从＂数＂的层面表示了函数关系；而函数的图象从＂形＂的层面表示了函数关系，它们各有特点，要善于＂取长补短＂；3、分段函数在不同的定义域内各有不同的对应关系，因而分段函数的处理常需要分类讨论，再整合出相应的结论．江苏省泰兴中学高一数学作业(15)班级 姓名 得分1、函数()y f x =的图象与直线()x a a R =∈的交点个数是 （ ）A ．至少一个B ．至多一个C ．有且仅有一个D ．一个或两个以上2、物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。

第五课时 函数的表示方法（2）1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．自学评价1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是 （ ） A ．2-=x y B ．2-=x y C ．22--=x x y D ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是 （ ）3．作出函数221,[1,3)y x x x =--∈-的图象。

解：2(1)2,[1,3)y x x =--∈-例1：（1）若设函数()f x =的定义域为 ，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为 。

（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函数(1)y f x =+的定义域为 。

例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。

已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。

【解】由题意AB x =，»2CDx π=， 22l x xAD π--=，∴2()2222x l x x y x ππ--=⋅+， 即2482ly x x π+=+。

由问题的实际意义可知：AABCD x0202x l x xπ>⎧⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得202l x π<<+。

所以，y 与x 的函数解析式是2482ly x x π+=+，函数的定义域是2(0,)2l π+。

例3．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．追踪训练一1．函数()f x =的定义域为 （ ） ()A [1,1]- ()B (,1][1,)-∞-+∞U ()C [0,1] ()D {1,1}- 2．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式。