2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

第1讲直线与圆[做真题]1．（2016·高考全国卷Ⅱ）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝( )A．－错误!B．－错误!C。

3 D．2解析:选A.由圆的方程可知圆心（1,4)．由点到直线的距离公式可得错误!＝1，解得a＝－错误!，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ）直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝______．解析：将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋（y＋1)2＝4,则圆心坐标为（0，－1)，半径r＝2,所以圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝错误!＝错误!，所以|AB|＝2错误!＝2错误!＝2错误!.答案：2错误!3．(2019·高考全国卷Ⅰ）已知点A,B关于坐标原点O对称，｜AB|＝4,⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上,求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解:(1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上,且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M（a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切,所以⊙M的半径为r＝｜a＋2|.连接MA，由已知得|AO｜＝2,又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝（a ＋2）2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6。

（2）存在定点P（1,0)，使得｜MA|－|MP｜为定值．理由如下：设M(x，y），由已知得⊙M的半径为r＝｜x＋2｜，|AO|＝2.由于MO⊥AO,故可得x2＋y2＋4＝(x＋2）2,化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点,以直线x＝－1为准线的抛物线,所以｜MP｜＝x＋1.因为|MA｜－｜MP｜＝r－|MP｜＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.［明考情]1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点．2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，其难度多为中档题．直线的方程(基础型)［知识整合]三种距离公式（1）A(x1,y1），B（x2，y2）两点间的距离：｜AB｜＝错误!.(2）点到直线的距离:d＝错误!(其中点为（x0，y0)，直线方程为Ax ＋By＋C＝0）．（3)两平行直线间的距离：d＝错误!(其中两平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[注意］要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．［考法全练]1．已知经过点A（－2，0）和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1）和点Q（a,－2a）的直线l2互相垂直，则实数a的值为( ）A．0 B．1C．0或1 D．－1或1解析：选C。

2019-2020年高三数学二轮复习专题五第1讲直线与圆教案自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A2．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3. 答案 B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(2012·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．[规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．[答案] C【规律总结】直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直． (3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】1．(2012·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析 设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)．OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴C (－1，－3)． 答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程【例2】(2012·镇江模拟)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，∴r ＝|4×5±3×0|42＋2＝4，∴所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16. [答案] (x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22等．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷． 【变式训练】3．(2012·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋12＝2， 解得a ＝－2， 即(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系【例3】(2012·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．[规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx－y －4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2＝3，解得k ＝512，所以直线方程为y ＝512(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4.答案 5x －12y －20＝0或x ＝4 【规律总结】求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．【变式训练】4．(2012·肇庆二模)从点P (m,3)向圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为A ．2 6 B.26 C ．4＋ 2 D ．5解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M ，则CM ⊥MP ， 于是切线MP 的长|MP |＝|CP |2－|MC |2＝m ＋2＋＋2－1，显然，当m ＝－2时，|MP |有最小值24＝2 6.答案 A名师押题高考【押题1】若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析 当m ＝－2时，直线AB 与2x ＋y ＋2＝0不平行； 当m ≠－2时，据题意知， k AB ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案 －8[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．【押题2】直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－125B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－125C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，125解析 圆心(1，－2)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ＝|k ＋5|1＋k2，圆的半径r ＝2，∴|MN |＝2r 2－d 2＝2 4－k ＋21＋k2≥23， 解得k ≤－125.答案 B[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．。

学习资料解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点。

1。

求直线的方程．2。

判断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题。

［题组练透］1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2，1）代入可得4＋3＋m＝0，解得m ＝－7。

故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2020·淮南模拟）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0,此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×（1－λ）＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验,两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件,故选A。

答案：A3．已知直线l:ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2,显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是错误!，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得错误!＝2＋a，解得a＝－2或a＝1,故选D。

答案：D4．（2020·保定模拟）设点P为直线l:x＋y－4＝0上的动点,点A（－2，0)，B（2,0），则｜P A｜＋|PB|的最小值为（）A．210 B.26C．2错误! D.错误!解析:依据题意作出图象如下:设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1（a,b）,则它们的中点坐标为错误!，且｜PB|＝｜PB1｜.由对称性可得错误!，解得a＝4,b＝2.所以B1(4,2)．因为｜P A｜＋｜PB｜＝|P A｜＋｜PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，｜P A｜＋｜PB|最小．此时最小值为｜AB1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝2错误!.故选A.答案：A［题后悟通］1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组错误!，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1。

第1讲 直线与圆直线的方程[核心提炼]1．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．2．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[典型例题](1)(2019·温州十五校联合体联考)已知直线l 1：mx ＋(m ＋1)y ＋2＝0，l 2：(m ＋1)x＋(m ＋4)y －3＝0，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．【解析】 (1)当m ＝－2时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝12，此时k 1×k 2＝－1，则l 1⊥l 2.而m ＝－1时，也有l 1⊥l 2，故选A.(2)动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10，所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5， 当且仅当|MA |＝|MB |时取等号． 【答案】 (1)A (2)5解决直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．[对点训练]1．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1解析：选C.因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，即直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.2．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到该直线的距离最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0x ＋2＝0，解得x＝－2，y ＝3.所以直线l 恒过定点Q (－2，3)，P (1，1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.答案：(－2，3)133．在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．解析：由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14|，又1<m <4，所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值． 答案：94圆的方程及应用[核心提炼]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[典型例题](1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．【解析】 (1)由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．(2)设圆心为(a ，0)(a ＞0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝（a －0）2＋（0－5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)(x －2)2＋y 2＝9求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．[对点训练]1．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：选A.y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′＝－2x 2，令－2x2＝－2，得x ＝1，得平行于直线2x ＋y ＋1＝0的曲线y ＝2x(x >0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为55＝5，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.2．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝4 6.3．(2019·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则m ＝________； |MP |＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称， 所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过圆心C (1，2)， 所以1＋2m ＋1＝0.解得m ＝－1.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)，半径r ＝2， 因为经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ， 所以|MP |＝（1＋1）2＋（2＋1）2－4＝3. 答案：－1 3直线与圆、圆与圆的位置关系[核心提炼]1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系的判定 (1)d ＞r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；(3)|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．[典型例题](1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2【解析】 (1)由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2 a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ， 所以若四边形PACB 的最小面积是2， 则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5， 即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 【答案】 (1)B (2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－252．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点A (0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. 所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5. 答案： 5直线、圆与其他知识的交汇问题[核心提炼]高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．(2)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．【解析】 (1)设P (x ，y )，则由PA →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，（x ＋6）2＋（y －3）2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)． 易知－52≤x ≤1.(2)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b 2＝(a 29＋4b 29)(1a 2＋1b 2)＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1.【答案】 (1)[－52，1] (2)1对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．1．(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，直线x ＋2y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝a ，则实数a 的值为( )A.5－654 B.65－54 C.5－554D.55－54解析：选A.OA →·OB →＝cos ∠AOB ＝a ， 所以AB ＝1＋1－2cos ∠AOB ＝2－2a ， 所以O 到直线AB 的距离d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a 22， 又d ＝|a |5，所以1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a 22＝|a |5， 解得a ＝5－654或a ＝5＋654>1(舍)．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A (6，1)，B (－2，1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.答案：371．(2019·杭州二中月考)已知直线3x －y ＋1＝0的倾斜角为α，则12sin 2α＋cos 2α＝( )A.25 B ．－15 C.14 D ．－120解析：选A.由题设知k ＝tan α＝3，于是12sin 2α＋cos 2α＝sin αcos α＋cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan α＋11＋tan 2α＝410＝25. 2．(2019·义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B.10 C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.3．(2019·杭州七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，圆心(1，0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－0＋3|2＝2.由条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，可得0＜r ＜3.则p 是q 的充要条件．故选C.4．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( )A ．1B ．2C ．－1D ．0解析：选D.由题意知圆心到直线l 的距离等于12r ＝1(r 为圆C 的半径)，所以|k ×0－0＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0.5．(2019·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，3]解析：选D.依题意，设点P (3＋cos θ，1＋sin θ)，因为∠APB ＝90°，所以AP →·BP →＝0，所以(3＋cos θ＋t )(3＋cos θ－t )＋(1＋sin θ)2＝0，得t 2＝5＋23cos θ＋2sinθ＝5＋4sin(θ＋π3)，因为sin(θ＋π3)∈[－1，1]，所以t 2∈[1，9]，因为t >0，所以t ∈[1，3]．6．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8解析：选C.圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4， 即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 由D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10， 所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．7．动点A 与两个定点B (－1，0)，C (5，0)的距离之比为12，则△ABC 面积的最大值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选D.设A 点坐标为(x ，y )． 因为|AB ||AC |＝12，所以2（x ＋1）2＋y 2＝（x －5）2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋6x －7＝0， 即(x ＋3)2＋y 2＝16.所以A 的轨迹表示以(－3，0)为圆心，半径为4的圆． 所以△ABC 面积的最大值为S max ＝12|BC |·r ＝12×6×4＝12.8．(2019·浙江省名校联盟质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10， 此时|AB |min ＝214－10＝4， 故选B .9．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －4y ＋3＝0.答案：2x －4y ＋3＝010．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2，所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．答案：－5或211．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△PAB的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△PAC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠PAC，所以|PC |＝22sin ∠PAC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 212．(2019·台州调研)已知动圆C 过A (4，0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意得，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝（2－1）2＋（－1＋2）2＝2<5，所以点M 位于圆C 内，点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF |最小，其最小值为2（5）2－（2）2＝2 3.答案：2 313．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M ：x cos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．解析：因为点(0，2)到直线系M ：x cos θ＋(y －2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，直线系M ：x cos θ＋(y －2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)表示圆x 2＋(y －2)2＝1的切线的集合，①由于直线系表示圆x 2＋(y －2)2＝1的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；②存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故②正确； ③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故③正确；④如图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M 中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相等，故④不正确．答案：②③14．(2019·南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k (k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点)，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．解析：直线y ＝33(x ＋1)的倾斜角为30°，与x 轴的交点为P (－1，0)，又△A 1B 1A 2是等边三角形，所以∠PB 1A 2＝90°，所以等边△A 1B 1A 2的边长为1，且A 2B 1∥A 3B 2∥…∥A 10B 9，A 2B 1与直线y ＝33(x ＋1)垂直，故△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，△A 4B 3B 4，…，△A 10B 9B 10均为直角三角形，且依次得到A 2B 2＝2，A 3B 3＝4，A 4B 4＝8，A 5B 5＝16，A 6B 6＝32，A 7B 7＝64，A 8B 8＝128，A 9B 9＝256，A 10B 10＝512，故△A 10B 10A 11的边长是512.答案：51215．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2（x －x 22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解：(1)圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6；所以此切线方程为y ＝(2±6)x .②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.所以此切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，此切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，即x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，所以直线PO 的方程为2x ＋y ＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310y ＝35， 故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.17.(2019·杭州市高三期末考试)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B (1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A (－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．(1)求证：|EA |＋|EB |为定值；(2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ，证明：|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |.证明：(1)设AE 切圆于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ， 则EM ＝EB ，所以|EA |＋|EB |＝|AM |＝AP 2－PM 2＝AP 2－PB 2＝AN 2－BN 2＝4为定值．(2)同理|FA |＋|FB |＝4， 所以E ，F 均在椭圆x 24＋y 23＝1上，设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，令x ＝4，y Q ＝3m，直线与椭圆方程联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝ －6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 因为E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |等价于－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m－y 1y 2，所以2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3m，代入y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4成立， 所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |.18．(2019·金华十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k （x 1－1）x 1－t＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，x 轴平分∠ANB .。

2019-2020年高三数学《直线和圆的方程》复习教案 新人教A 版一、本讲进度《直线和圆的方程》复习 二、本讲主要内容1、直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。

2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。

3、直线和圆位置关系的研究。

三、复习指导1、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。

借助于平面直角坐标系，形和数可 以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。

当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。

当曲线C 和方程F(x ，y)=0满足如下关系时：①曲线C 上点的坐标都是方程F(x ，y)=0的解；②以方程F(x ，y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 为方程F(x ，y)=0表示的曲线；方程F(x ，y)=0是曲线C 表示的方程。

从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。

解析几何研究的内容就是给定曲线C ，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形。

坐标法是几何问题代数化的重要方法。

2、直线的倾斜角α和斜率k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan α，α∈[0，),2()2πππ ，当α=2α时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k 与之对应。

当已知k ，求倾斜角α时：k ≥0时，α=arctank ；k<0时，α=π+arctank 。

或：k=0时，α=0；k ≠0时，cot α=k 1,α=arccot k1。

由正切函数可知，当α∈（0，2π），α递增时，斜率k →+∞。

当α∈（2π，π），α递减时，斜率k →-∞。

当涉及到斜率参数时，通常对k 是否存在分类讨论。

3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）一一对应。

从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。

第一讲直线与圆直线方程与应用授课提示：对应学生用书第46页[悟通——方法结论]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.4．与已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)平行的直线可改为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0.5．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， 直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 当l 1⊥l 2时，有A 1A 2＋B 1B 2＝0，当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0.[全练——快速解答]1．(2018·洛阳一模)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m·m ＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m ＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.答案：C2．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32； 若a ＝0，则l 1：x －1＝0，l 2：x ＝0，互相平行． 答案：C3．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )。

第1讲 直线与圆[考情考向·高考导航]对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：A [由已知A (－2,0)，B (0，－2)．圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|2＋0＋2|2＝22，又圆的半径为 2.∴点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离的最小值为2，最大值为32，又|AB |＝2 2.∴△ABP 面积的最小值为S min ＝12×22×2＝2，最大值为S max ＝12×22×32＝6.]2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，直线x －my －2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d 可取到最大值，设圆心到直线的距离为d 0，d 0＝21＋m2，d ＝d 0＋1＝21＋m2＋1，可知，当m ＝0时，d max ＝3，故选C.]3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x ＝04．(2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：圆方程可化为x 2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r ＝2，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22＝2，∴|AB |＝222－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 2[主干整合]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r＝D 2＋E 2－4F2.4．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．热点一 直线的方程及其应用[例1] (1)(2020·大连模拟)“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] A [由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行，得a (a －1)＝2，∴a ＝－1，a ＝2.经检验当a ＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的充要条件．](2)(2020·厦门模拟)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程为________________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不存在时，所求直线为x ＝1，显然不符合题意．故设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝|－2－k |1＋k 2，所以k ＝0或k ＝43. 所以所求直线的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝0(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________． ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．[解析] 设，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝＝2y 1.。

第1讲 直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]C.[2，32]D.[22，32]解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6. 答案 A2.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.解析 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，所以k OA ＝1，k AB ＝1－01－2＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，所以OA ⊥AB .所以OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. 答案 x 2＋y 2－2x ＝03.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2.所以圆C的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________. 解析 因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案 3考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2k 1＝k 2，l 1⊥l 2k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ相交；Δ＝相切；Δ相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)(2018·惠州三模)直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，则“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)过点(1，2)的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积最小时，直线l 的方程为( ) A.2x ＋y －4＝0 B.x ＋2y －5＝0 C.x ＋y －3＝0 D.2x ＋3y －8＝0 解析 (1)由(3＋m )(5＋m )－4×2＝0， 得m ＝－1或m ＝－7.但m ＝－1时，直线l 1与l 2重合.当m ＝－7时，l 1的方程为2x －2y ＝－13， 直线l 2：2x －2y ＝8，此时l 1∥l 2.∴“m ＝－7或m ＝－1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件.(2)设l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则1a ＋2b＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ≥22ab.则1≥22ab，∴ab ≥8(当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时，取“＝”).∴当a ＝2，b ＝4时，△OAB 的面积最小. 此时l 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0.答案 (1)B (2)A探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析 (1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大. ∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －3＝0 热点二 圆的方程【例2】 (1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.(2)(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________. 解析 (1)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a .由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a ). 又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a ). 由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a2＝－12，解得a ＝ 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.答案 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)(x ＋1)2＋(y －3)2＝1探究提高 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.(2)(2018·日照质检)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.解析 (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0). 设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(2)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (2)(x －2)2＋y 2＝9热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考法1 圆的切线问题【例3－1】 (1)过点P (－3，1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为______.(2)(2018·湖南六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，433解析 (1)点P (－3，1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为x －(a ＋3)y －a ＝0. 依题意，直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切. ∴|－a |12＋[－（a ＋3）]2＝1，解得a ＝－53. (2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0.由d ＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k ＝± 3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫433，2.故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞.答案 (1)－53 (2)B考法2 圆的弦长相关计算【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离(2)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________________.解析 (1)圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，d ＝a2，所以有a2＝a 22＋2，解得a ＝2. 所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. (2)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)x ＋y －3＝01.解决直线方程问题应注意：(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x 轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.3.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A.－43B.－34C.3D.2解析 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 答案 A2.(2018·昆明诊断)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝m＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件. 答案 A3.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0 D.x －2y －7＝0解析 依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031B.921 C.1023D.911解析 易知P 在圆C 内部，最长弦为圆的直径10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 解析 设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，∴x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤9，解之得0≤a ≤125. 答案 A 二、填空题6.过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________.解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0. 又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32－22＝ 5. 因此|k －2|k 2＋（－1）2＝5，解得k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝07.(2018·济南调研)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.解析 由y ＝ax 2，得x 2＝ya ，∴准线l 的方程为y ＝－14a.又l 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相交的弦长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，则a ＝12. 答案 128.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆C 的方程为________.解析 由题意，1002 500＝a 1 000＝b 600，∴a ＝40，b ＝24， ∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|25＋9＝334， ∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，∴r ＝634， ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817三、解答题9.已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即l 1与l 2的交点P (1，2). ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标.解 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2， ∴圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.由|PM |＝|PO |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2.整理，得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程. 解 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5，(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6， y 0).因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22， 所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。

第1讲 直线与圆[考情考向分析] 高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题．其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是C 级要求．热点一 直线、圆的方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为____________． 答案 x －y －1＝0解析 方法一 易知l 的斜率必存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt△OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt△OMH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以l ：x －y －1＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1，又点A 在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为x －y －1＝0.(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋1)2＋y 2＝4解析 由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，a ＞－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.思维升华 求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用．跟踪演练1 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________． 答案 x ±3y ＋4＝0解析 设AB 的中点为D ，则CD ⊥AB ， 设CD ＝d ，AD ＝x ，则PA ＝AB ＝2x ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得d 2＋x 2＝r 2＝5，① 在Rt△PDC 中，由勾股定理得d 2＋9x 2＝CP 2＝25，② 由①②解得d 2＝52.易知直线l 的斜率一定存在，设为k ， 则l ：y ＝k (x ＋4)，圆心C (1,0)到直线l 的距离为d ＝|5k |k 2＋1＝102，解得k 2＝19，k ＝±13，所以直线l 的方程为y ＝±13(x ＋4)，即为x ±3y ＋4＝0.(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程为________________________． 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上， 说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，③由①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52 或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2018·江苏仪征中学检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A ()－1，0， B ()1，2.(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12 ？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为()x －22＋y 2＝4，所以圆心C ()2，0，半径为2.因为l ∥AB, A ()－1，0， B ()1，2，所以直线l 的斜率为2－01－()－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0, 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝||2－0＋m 2＝||2＋m 2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝()2＋m 22＋2,解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P ()x ，y ， 则()x －22＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝()x ＋12＋()y －02＋()x －12＋()y －22＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋()y －12＝4,因为||2－2<()2－02＋()0－12<2＋2，所以圆()x －22＋y 2＝4与圆x 2＋()y －12＝4相交，所以点P 的个数为2.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法： ①几何法：利用d 与r 的关系； ②代数法：联立方程之后利用Δ判断；③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． (2)判断圆与圆的位置关系，一般用几何法，其步骤为： ①确定两圆的圆心坐标和半径长；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪演练2 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23， 得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.(2)(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－72， 72 解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10, 即x 2＋y 2－2x －3≤0， 因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2， 所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0， 化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72.热点三 直线、圆的综合问题例3 如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP →是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1,2)，设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连结AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP → ＝2BA →·BP →；当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10， 综上所述，(BM →＋BN →)·BP →为定值－10.思维升华 直线、圆的综合问题包括和圆有关的定点定值问题、范围问题及探究性问题．解决的基本思路有两种：代数法和几何法，解题时要注意充分利用方程、向量及图形的特征． 跟踪演练3 (2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)． 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 答案 3解析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.2．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为____________．答案 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解析 方法一 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝(a －3)2＋(－4a ＋2)2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝ (1－3)2＋(－4＋2)2＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.3．(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是______． 答案 (－32，－6]∪[6，32)解析 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即||OD →2≥18||AB →2，再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d <r ，得||b 2<3，所以－32<b <32，根据||OD→2≥18||AB →2，||AB →2＝4()9－|OD →|2得，||OD →2≥3，由点到直线的距离公式可得||OD→2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－6，综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32)．4．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． (1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解 (1)设圆心M ()a ，0，由已知得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， ∴||8a －382＋()－62＝12，又∵M 在l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1. 故圆M 的方程为()x －12＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2，∵圆M 与AC 相切，∴1＝||k 1＋t 1＋k 21，∴k 1＝1－t22t ， 同理， k 2＝1－()t ＋622()t ＋6，∴k 1－k 2＝3()t 2＋6t ＋1t 2＋6t ，∴S ＝6()t 2＋6t t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274，∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.A 组 专题通关1．直线过点(－5,4)且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为5，则此直线方程为________． 答案 2x ＋5y －10＝0解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为x a ＋yb＝1，a >0，b >0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋4b ＝1，12a ·b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，故所求直线方程为2x ＋5y －10＝0.2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x ＋5)2＋y 2＝5 解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5. 所以圆O 的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为______． 答案2555解析 圆心为点(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 4．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆O 相切，则直线x ＋y ＋m ＝0与圆O 的位置关系是________．答案 相交解析 由点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点， 得5|t |<1.因为直线 tx ＋2ty ＝m 圆O 相切，所以|m |5|t |＝1， 所以|m |<1.又圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O (0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以位置关系为“相交”．5．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________________． 答案 4解析 ∵圆的标准方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝5， 可知圆心为C (3,4)，半径为 5. 如图可知，CO ＝5，∴OP ＝25－5＝2 5. 设OC 与PQ 的交点为M ， 在Rt△POC 中，OC ·PM ＝OP ·PC ，∴PM ＝25×55＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.6．(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． 答案 19解析 根据题意画图，连结OP ，OA ，过O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，又AB ⊥CD ，AB ＝CD ，∴四边形EPFO 为正方形，由圆的方程得圆心O (0,0)，半径r ＝4 ，OP 2＝()－22＋32＝13，OE 2＝132 AE 2＝OA 2－OE 2＝16－132＝192， ∴AE ＝192，∴AB ＝CD ＝38， ∴S 四边形ACBD ＝12AB ·CD ＝19.7．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________． 答案 4解析 由题意知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5＜|m |＜35， 又O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝(5)2＋(25)2＝25，∴m ＝±5， ∴AB ＝2×5×255＝4. 8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 52－4解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝5 2. 所以(PM ＋PN )min ＝52－4.9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________． 答案 x ＋y －3＝0解析 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0， 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1， 又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3， 故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0，即m ＝－3， 故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. ∵x 1,2＝4(1＋k )±－12k 2＋32k －122(1＋k 2)， ∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．圆心M 在曲线y 2＝－18x 上，圆M 与y 轴相切且与圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1外切，则圆M 的方程为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4解析 设圆M ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵b 2＝－18a ，r ＝|a |，∴a ＝－b 218，r ＝b 218，圆心C (－2,3)，r c ＝1，又圆M 与圆C 外切，则MC ＝r ＋r c ， 即(a ＋2)2＋(b －3)2＝r ＋1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 218＋22＋(b －3)2＝b 218＋1，解得b ＝3或b ＝6.∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4.12．已知以O 为圆心的圆与直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )(m ∈R )恒有公共点，且要求圆O 的面积最小，则圆O 的方程为________________． 答案 x 2＋y 2＝25解析 因为直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )过定点T (4,3)， 由题意知，要使圆O 的面积最小， 定点T (4,3)在圆上， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.13．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为________． 答案 －3＋2 2 解析 如图所示，设PA ＝PB ＝x (x ＞0)，∠APO ＝α， 则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x 2， sin α＝11＋x2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos 2α＝x 2(1－2sin 2α)＝x 2(x 2－1)x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1，令PA →·PB →＝y ，则y ＝x 4－x 2x 2＋1，即x 4－(1＋y )x 2－y ＝0.因为x 2是实数，所以Δ＝[－(1＋y )]2－4×1×(－y )≥0，y 2＋6y ＋1≥0，解得y ≤－3－22或y ≥－3＋2 2.又因为x2＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋y ＞0，－y ＞0，所以y ∈[)－3＋22，0. 故(PA →·PB →)min ＝－3＋2 2.14．(2018·江苏省如皋中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度；(2)如图，设M ()x 1，y 1， P ()x 2，y 2是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于()0，m 和()0，n ，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解(1)由于圆心()0，0到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝||－232＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1()－x 1，－y 1，M 2()x 1，－y 1， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点， 可得x 21＋y 21＝4, x 22＋y 22＝4. 直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0， 求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0， 求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝ x 22()4－x 21－x 21()4－x 22x 22－x 21＝4.故mn为定值．。