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3．3 指数函数的图像和性质(1)导入新课思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图像和性质．如何利用指数函数的图像和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路 2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出．在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题．应用示例思路1例1 (1)求使不等式4x＞32成立的x 的集合；(2)已知45a ＞a 2，求实数a 的取值范围．活动：学生先思考，再讨论，然后回答．(1)由于x 在指数位置上，因此，要利用指数函数的性质进行转化，特别是指数函数的单调性，(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围．解：(1)4x ＞32，即22x ＞25.因为y ＝2x是R 上的增函数，所以2x ＞5，即x ＞52.满足4x＞32的x 的集合是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)由于45＜2，则y ＝a x是减函数，所以0＜a ＜1.点评：正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键． 例2 用函数单调性的定义证明指数函数的单调性．活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则 y 2－y 1＝ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以ax 2－x 1＞1，即ax 2－x 1－1＞0. 又因为ax 1＞0， 所以y 2－y 1＞0， 即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝ax 2ax 1＝ax 2－x 1.因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以ax 2－x 1＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数． 变式训练若指数函数y ＝(2a －1)x是减函数，则a 的范围是多少？答案：12＜a ＜1.例3 截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；经过x 年 人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 年后总量y ＝N (1＋p )x，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，a ＞0且a ≠1)的函数称为指数型函数．思路2例1 求下列函数的定义域、值域：(1)y ＝110.4x -；(2)y＝(3)y ＝2x＋1；(4)y ＝2x－22x ＋1.解：(1)由x －1≠0得x ≠1，所以所求函数定义域为{x |x ≠1}．由x ≠1得y ≠1， 即函数值域为{y |y ＞0且y ≠1}．(2)由5x －1≥0得x ≥15，所以所求函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥15.由5x －1≥0得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}．(3)所求函数定义域为R ，由2x ＞0可得2x＋1＞1. 所以函数值域为{y |y ＞1}．(4)由已知，得函数的定义域是R ，且(2x ＋1)y ＝2x －2，即(y －1)2x＝－y －2.因为y ≠1，所以2x ＝－y －2y －1.又x ∈R ，所以2x＞0，－y －2y －1＞0.解之，得－2＜y ＜1.因此函数的值域为{y |－2＜y ＜1}．点评：通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性． 变式训练求函数y ＝1312x +⎛⎫⎪⎝⎭的定义域和值域．解：要使函数有意义，必须x ＋3≠0，即x ≠－3，即函数的定义域是{x |x ≠－3}． 因为1x ＋3≠0，所以y ＝1312x +⎛⎫ ⎪⎝⎭≠⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1. 又因为y ＞0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞). 例2 (1)求函数y ＝2212x x-⎛⎫⎪⎝⎭的单调区间，并证明．(2)设a 是实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )，试证明对于任意a ，f (x )为增函数． 活动：(1)这个函数的单调区间由两个函数决定，是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝x 2－2x 的复合函数，(2)函数单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．(1)解法一：设x 1＜x 2，则y 2y 1＝222211221212x x x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2221212212x x x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2121()(2)12x x x x -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0.当x 1，x 2∈(－∞，1]时，x 1＋x 2－2＜0，这时(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)＜0，即y 2y 1＞1，所以y 2＞y 1，函数单调递增； 当x 1、x 2∈[1，＋∞)时，x 1＋x 2－2＞0，这时(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)＞0， 即y 2y 1＜1，所以y 2＜y 1，函数单调递减； 所以函数y 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．解法二：(用复合函数的单调性)设u ＝x 2－2x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，对任意的1＜x 1＜x 2，有u 1＜u 2，又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u是减函数，所以y 1＞y 2，所以y ＝2212x x-⎛⎫⎪⎝⎭在[1，＋∞)是减函数．对任意的x 1＜x 2≤1，有u 1＞u 2，又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u是减函数，所以y 1＜y 2.所以y ＝2212x x-⎛⎫⎪⎝⎭在(－∞，1]上是增函数．引申：求函数y ＝2212x x-⎛⎫⎪⎝⎭的值域(答案：0＜y ≤2)．点评：求复合函数的单调区间时，利用口诀“同增异减”．此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性的定义进行证明，还应要求学生注意不同题型的解答方法．(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x 2＋1＝22 x 2＋1－22 x 1＋1＝22x 1－2x22x 1＋12x2＋1. 由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1＜x 2，所以2 x 1＜2 x 2，即2 x 1－2 x 2＜0.又由2x ＞0得2x 1＋1＞0,2x2＋1＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数．点评：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性． 知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图像是( )．图7解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x的图像过(0,1)点，在第一象限，图像下凸，是增函数．答案：B2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )．A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－xB ．y ＝1－4xC ．y ＝0.5x－1 D ．y ＝2x 2＋1解析：因为(2－x )∈R ，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ∈(0，＋∞)；y ＝1－4x ∈[0,1]；y ＝0.5x－1∈[0，＋∞)；y ＝2x 2＋1∈[2，＋∞)．答案：A3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )．A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( )． A ．A B B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B . 答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f x 1－f x 2x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22. 当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝10x 1＋x 2＝10x 1·10x 2＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝10x 1·x 2≠10x 1＋10x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f x 1－f x 2x 1－x 2＞0.所以③正确．因为函数f (x )＝10x的图像如图8所示是上凹下凸的，可解得④正确．图8答案：①③④ 另解：④∵10x1＞0,10 x2＞0，x 1≠x 2，∴10x1＋10x22＞10x 1·10x 2.∴10x1＋10x12＞10x 1+x 2，即10x1＋10x22＞12210x x+.∴f x 1＋f x 22＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图像，讨论它们之间的联系．(1)①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点．答案：如图9及图10.图9 图10 观察图9可以看出，y ＝3x ，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图像间有如下关系： y ＝3x ＋1的图像由y ＝3x 的图像左移1个单位得到； y ＝3x －1的图像由y ＝3x 的图像右移1个单位得到；y ＝3x －1的图像由y ＝3x ＋1的图像向右移动2个单位得到．观察图10可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像左移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图像由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图像由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像右移2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考． 课堂小结 思考我们本堂课主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业习题3—3 A 组3,6,7.设计感想本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质．为此，必须利用函数图像，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题．本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a ＞1,0＜a ＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．(设计者：王建波)。
3．3指数函数的图像和性质(2)导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图像之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图像，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m ∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题．思路 2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本堂课要解决的问题．推进新课新知探究提出问题1指数函数有哪些性质？2利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？3对复合函数，如何证明函数的单调性？4如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图像和性质．一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质如下表所①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图像或从已知图像观察，若图像关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例思路1例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图像，并指出它们与指数函数y＝2x的图像的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图像的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．24图1比较可知函数y＝2x＋1，y＝2x＋2与y＝2x的图像的关系为：将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图像；将指数函数y＝2x的图像向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图像．图2比较可知函数y＝2x－1，y＝2x－2与y＝2x的图像的关系为：将指数函数y＝2x的图像向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图像；将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图像．点评：类似地，我们得到y ＝a x 与y ＝a x ＋m (a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图像可以由y ＝a x 的图像变化而来．当m ＞0时，y ＝a x 的图像向左移动m 个单位得到y ＝a x ＋m 的图像；当m ＜0时，y ＝a x 的图像向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m 的图像．上述规律也简称为“左加右减”．变式训练为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像( )．A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：B点评：对于有些复合函数的图像，常用变换方法作出.例2 已知－1＜x ＜0，比较3－x,0.5－x 的大小，并说明理由．活动：学生审题，考虑解题思路，教师提示：比较大小时一般借助于函数的性质，当不能直接进行比较时，往往寻求中间量，如1，由于－1＜x ＜0，所以0＜－x ＜1，而3＞1，有3－x ＞1.同理0＜0.5＜1.故有0＜0.5－x ＜1.两数的大小可以比较．解：因为－1＜x ＜0，所以0＜－x ＜1.而3＞1，因此有3－x ＞1.又0＜0.5＜1，因而有0＜0.5－x ＜1.故3－x ＞0.5－x .点评：寻求中间量比较大小是常用的比较大小的方法．思路2例1 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋a e x 在R 上满足f (－x )＝f (x )． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导．(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f (－x )＝f (x )可建立方程．(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式．(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f (－x )＝f (x )成立，即1a e x ＋a e x ＝e x a ＋a e x . 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1. 又因为a ＞0，所以a ＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 1－e x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e x 1＋x 2e 1＋2. 由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 2＋x 1＞0，e x 2－x 1－1＞0,1－e x 2＋x 1＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．点评：在已知等式f (－x )＝f (x )成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解．证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观．例2 已知函数f (x )＝3x ，且x ＝a ＋2时，f (x )＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )的单调区间，确定其增减性并用定义证明；(3)求g (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝3x ，且x ＝a ＋2时f (x )＝18，所以f (a ＋2)＝3a ＋2＝18.所以3a ＝2.所以g (x )＝3ax －4x ＝(3a )x －4x .所以g (x )＝2x －4x.(2)因为函数g (x )的定义域为[0,1]，令t ＝2x ，因为x ∈[0,1]时，函数t ＝2x 在区间[0,1]上单调递增，所以t ∈[1,2]，则g (t )＝t －t 2＝－(t 2－t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈[1,2]． 因为函数t ＝2x 在区间[0,1]上单调递增，函数g (t )＝t －t 2在t ∈[1,2]上单调递减，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间[0,1]上任意两个值，且x 1＜x 2， g (x 2)－g (x 1)＝2x 2－4x 2－2x 1＋4x 1＝(2x 2－2x 1)－(2x 2－2x 1)(2x 2＋2x 1)＝(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)，因为0≤x 1≤x 2≤1，所以2 x 2＞2x 1，且1≤2x 1＜2,1＜2 x 2≤2.所以2＜2x 1＋2x 2＜4.所以－3＜1－2x 1－2x 2＜－1，可知(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)＜0.所以g (x 2)＜g (x 1)．所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减．(3)因为函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，所以x ∈[0,1]时，有g (1)≤g (x )≤g (0)．因为g (1)＝21－41＝－2，g (0)＝20－40＝0，所以－2≤g (x )≤0.故函数g (x )的值域为[－2,0]．点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题，要通盘考虑． 知能训练求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1＋2x |＋|x －2|的单调区间． 活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．解：由题意可知2与－12是区间的分界点． 当x ＜－12时，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－2x －x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－3x ＝23x －1＝12·8x ， 所以此时函数为增函数．当－12≤x ＜2时，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2x －x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋x ＝2－3－x ＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 所以此时函数为减函数．当x ≥2时，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2x ＋x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1＝21－3x ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫18x ， 所以此时函数为减函数．当x 1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，2，x 2∈[2，＋∞)时，因为2·⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 2－18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝2·2－3x 2－2－3·2x 1＝21－3x 2－2－3－x 1，又因为1－3x 2－(－3－x 1)＝4－3x 2＋x 1＝4＋x 1－3x 2＜0，所以1－3x 2＜－3－x 1，即2·⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 2＜18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1. 所以此时函数为减函数．综上所述，函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减．拓展提升设m ＜1，f (x )＝4x4x ＋2，若0＜a ＜1，试求： (1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001的值． 活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．解：(1)f (a )＋f (1－a )＝4a 4a ＋2＋41－a 41－a ＋2＝4a 4a ＋2＋44a 44a ＋2＝4a 4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a 4a ＋2＋22＋4a ＝4a ＋24a ＋2＝1. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9991 001＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5001 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5011 001 ＝500×1＝500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系．课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．作业习题3—3 B 组3,6.设计感想指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．备课资料富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．y n ＝m (1＋a )n 就是复利公式，其中m 为本金，a 为年利率，y n 为n 年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，两者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．(设计者：刘玉亭)。
学习资料§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1。
理解指数函数的概念和意义．2。
能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．3.初步掌握指数函数的有关性质。
精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示：对应学生用书第44页［基础认识]知识点指数函数错误!（1）细胞分裂时，第1次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？提示:y＝2x。
它的底数为常数，自变量为指数，而y＝x2，恰好反过来．(2)函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质？提示：函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性，可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．知识梳理指数函数思考：1.函数y＝3·5x是指数函数吗？为什么？提示：不是．不符合指数函数的定义,指数函数的解析式必须满足：①自变量为x在指数位置上;②底数a＞0且a≠1;③a x的系数是1.2．指数函数定义中为什么规定a＞0且a≠1?提示：（1)如果a＝0，当x＞0时，a x＝0；当x≤0，a x无意义．（2）如果a＜0，当x＝错误!，错误!等时,a x无意义．(3）如果a＝1,当a x＝1，无研究的价值．为了避免上述各种情况,所以规定a＞0且a≠1.［自我检测］1．函数y＝2－x的图像是图中的()解析：y＝2－x＝错误!x.答案：B2．函数y＝(a－1）x在R上为减函数，则a的取值范围是()A．a＞0，且a≠1 B．a＞2C．a＜2 D．1＜a＜2解析:由0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.答案：D3．若指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f（－π)＝________。
解析:设f（x)＝a x（a＞0,且a≠1)，则f（π）＝e，即aπ＝e。
∴f（－π）＝a－π＝1aπ＝错误!。
