高中数学必修三课件第二章2.2.2

定义:散点图中的点分布在一条直线附近
相关关系→线性相关
回归方程
求法:最小二乘法求回归方程系数 应用:已知一个变量值预测另一个变量值
专题一 三种抽样方法的比较
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表:
类别 共同点
各自特点
联系
适用范围
简单
总体中个
随
从总体中逐个
体无差异
机抽 样
系统 抽样
分层 抽样
答案:0.02 600
专题三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律,我们还可以通过样本数 据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征
作出估计.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值;中位数就是 把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,若数据的个数 是奇数,就是处于中间位置的数;若数据的个数是偶数,就是中间两个 数据的平均数.平均数就是所有样本数据的平均值,用������表示;标准差 是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其计算公式如下:
提示:分层抽样时,在各层所抽取的样本个数与该层个体数的比 值等于抽样比;系统抽样抽取的号码按从小到大排列后,每一个号码 与前一个号码的差都等于分段间隔.
解析:按分层抽样时,在一年级抽取 108×21700=4(人),在二年级、 三年级各抽取 81×21700=3(人),则在号码段 1,2,…,108 中抽取 4 个号码, 在号码段 109,110,…,189 中抽取 3 个号码,在号码段 190,191,…,270 中抽取 3 个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层抽样,④不符合, 所以④不可能是分层抽样;如果按系统抽样时,抽取出的号码应该是 “等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽样,②④ 都不能为系统抽样.

∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2 ＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为 0.3，而第四个小矩形面积 为 0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，令 0.03x＝0.2 得 x≈6.7，故 中位数约为 70＋6.7＝76.7.
2．下列说法中，不正确的是( ) A．数据 2,4,6,8 的中位数是 4,6 B．数据 1,2,2,3,4,4 的众数是 2,4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个 数据 D．8 个数据的平均数为 5，另 3 个数据的平均数为 7， 则这 11 个数据的平均数是8×5＋117×3
解 在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数最
多，即这组数据的众数是 1.75.上面表里的 17 个数据可看成
是按从小到大的顺序排列的，其中第 9 个数据 1.70 是最中
间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平
均数是－x
＝117×(1.50×2＋
1.60×3
＋…＋
(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．(答案精确到 0.1)
解 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即 为所求，所以由频率分布直方图得众数应为 75.
由于中位数是所有数据中的中间值， 故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频 数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等． 因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小 矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
(3) 一 个 样 本 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 10,12,13 ， x,17,19,21,24，其中中位数为 16，则 x＝____1_5___.

答案：B
6．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如 下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数． (2)这50名学生的平均成绩．
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线 所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3.
(2)中位数： 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最位中置间的 那个数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中 位数左边和右边的直方图的面积． 相等 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排 列的那中个间数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两 个数的．平均数
(3)平均数：
管理 高级
人员 经理
工人 学徒 合计
人员 技工
周工资 2 200 250 220 200 100 2 970
(元)
人数 1
6 5 10 1 23
合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数． (2)这个问题中，平均数能客观地反映该公司的工资水平 吗？为什么？ [思路点拨] 由平均数的定义 → 计算平均数 → 已知数据从小到大排列 → 得中位数、平均数 → 结论
如果有 n 个数 x1、x2、…、xn，
那么 x ＝
1 n
(x1＋x2＋…＋xn) ，叫做这
n
个数的平均
数．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积 乘以小矩形底边中点横坐标之和.

s
2
乙
＝
1 6
[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2
＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．
又s2甲>s乙2 ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平 均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等 时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定情况.
[难点] 对样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差意 义的理解．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 众数、中位数、平均数 [填一填]
[答一答] 1．一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？
提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯 一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数 据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这 两个数据都是这组数据的众数．
s＝
30 3.
方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据 又大又多时，更能体现方法2的优越性.
[变式训练4] 一组数据：3,4,6,7,10，其标准差是 6 .
解析：∵ x ＝15×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，
∴s2＝
1 5
×[
(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]
[变式训练2] 一组数据的频率分布直方图如图所示，请你 在直方图中标出这组数据的众数、中位数和平均数对应的位置 (用虚线标明)，并根据直方图读出其相应的估计值．
解：众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众 数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)．由直 方图观察可得众数为2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.

B．若 x∈R，y≠0，则x＋4y＝|x|＋|4y|≥2
4 |x|·|y|
C．若 x 为负实数，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4
D．若 x≠0，则 x2＋x12≥2 答案 D
x2·x12＝2
解析 因为当 a 为负数时，ba23与ab32均为负数，故直接用基本不等式是错
误的，A 错误；若 x∈R，y≠0，当 x，y 异号时，x＋4y≠|x|＋|4y|，故不成立， B 错误；C 中，因为 x<0，所以4x<0，故不能直接用基本不等式，正确书写为
答案 B
解析 因为 x>0，y>0，且 x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9 ＋xy≤9＋x＋2 y2＝9＋42＝25，因此当且仅当 x＝y＝4 时，(1＋x)(1＋y)取得 最大值，为 25.
t2－4t＋1 8．当 t>0 时， t 的最小值为________． 答案 －2
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
答案
1 16
解析 因为 0<x<12，所以 1－2x>0，所以12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤14 2x＋21－2x2＝14×14＝116，当且仅当 2x＝1－2x，即当 x＝14时，原式取得最 大值116.
14．若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________． 答案 9

A.
3 3 2 2 B. C. D. 2 4 2 3
2
解析:化为标准形式 x + 则 �����2
1 4
= 1, =
3 . 2
1 2 , ������ 4
=
3 ������ , 故e= 4 ������
【做一做3】 已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离 心率为( )
3.弦长公式 剖析:设直线方程为 y=kx+m(k∈R,且
������2 ������
2
= 1(������ > ������ >
������2 0)或 2 ������
+
������2 ������
2
������2 k≠0),椭圆方程为 2 ������
+
= 1(������ > ������ > 0),
=
1 + ������ 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ,
或者|AB|= = =
(������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
2
������1 -������ ������2 -������ ������ ������
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2
(������1 -������2 )2 + (������������1 + ������-������������2 -������)2 = (������1 -������2 )2 · (1 + ������ 2 ) = 1 + ������ 2 · |x1-x2|

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.

频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
说明:
2.03这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。
平均数: 一组数据的算术平均数,即
x= x= 练习: 在一次中学生田径运动会上， 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下 表所示：
成绩(单 位： 米)
1 ( x1 x 2 x n ) n
1．50 1．60 1．65 2 3 2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
3、由于平均数与每一个样本的 数据有关，所以任何一个样本数据的 改变都会引起平均数的改变，这是众 数、中位数都不具有的性质。也正因 如此 ，与众数、中位数比较起来，平 均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息，但平均数受数据中的极 端值的影响较大，使平均数在估计时 可靠性降低。
众数、中位数、平均数的 简单应用 例 某工厂人员及工资构成如下：
人数
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的 一个数据，即这组数据的中位数是1.70； 这组数据的平均数是

这是椭圆的标准方程， 所以点M的轨迹是长轴、短轴长
分别为2a、 2b的椭圆.
椭圆的第二定义：
椭圆是平面内与 一个定点的距 离和它到一条 c 定直线的距离 的 比 是 常 数e (0 e 1) a 的点的轨迹。
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合 MF c P M , d a 由此可得：
( x - c )2 y 2 a2 -x c
c . a
将上式两边平方，并化 简，得
（a 2 - c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 ). 设a 2 - c 2 b 2 , 则方程可化成 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
a2=b2+c2
巩固练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
3、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数
3 列，则其离心率e=__________ 5
25 例 2:点M (x, y )与定点F (4, 0)的距离和它到直线l : x 4 4 的距离的比是常数 ,求点M 的轨迹. 25 5
（3）若点M ( x, y )与定点F (-c， 0)的距离和它到定直线 a2 c l : x - 的距离的比是常数 (a c 0)，此时点M的 c a 轨迹还是同一个椭圆吗 ？ a2 （4）当定点改为 F (0， - c )，定直线改为 l : y - 时，对应 c 的轨迹方程又是怎样呢 ？

【习练·破】
直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是
()
A.3x+y-6=0
B.x+3y-10=0
C.3x-y=0
D.x-3y+8=0
【解析】选A.设所求的直线方程为: x y(a>1 0,b>0).因为过点P(1,3)且与两
ab
坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,所以
【思考】 (1)什么样的直线的方程不能用两点式表示? 提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴. (2)什么样的直线的方程不能用截距式表示? 提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.
2.线段的中点坐标公式 点P(x,y)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x=_x_1_2_x_2_,y=__y_1 _2_y_2 _.
y1 y1
x表示x1 .
x2 x1
(2)×.当a=0或b=0时,在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线不能用方程 x y 1
ab
表示.
(3)×.例如与x轴平行的直线只有在y轴上的截距.
2.直线 x y 1在y轴上的截距是(
34
A.3
B.-3
C.4
) D.-4
【解析】选D.直线 x y即 1 x 在 yy轴1上的截距是-4.
(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为
1 2
时,求直线l的方程.
【思维·引】(1)第一分析直线与两点距离相等的情况,再分情况求直线方程.
(2)设出截距式方程,利用截距表示出面积、直线过已知点列出方程组解题.
【解析】(1)①当直线l∥BC时,kl=kBC=4523
.所1 以直线l的方程为

解 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，
1 1 2 ∴bn＝4(bn＋1) －4(bn－1＋1)2
1 2 ＝4(bn－b2 n－1＋2bn－2bn－1).
2 整理，得 b2 － b n n－1－2bn－2bn－1＝0，
∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0，
∵b n ∴Sn＝25n＋ (n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169， 2 ∴当n＝13时，Sn有最大值169.
又因为an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等
差数列.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n.
解 35 2 1 225 由 Sn＝35n－2n ＝－2(n－ 4 ) ＋ 8 .
2
当且仅当n＝9时，Sn最大.故n＝9. 规律方法
n＝1， S1 一般地，an与Sn有如下关系：an＝ Sn－Sn－1 n≥2.
3.等差数列前n项和的最值
d 2 d (1)因为等差数列前n项和可变为Sn＝ n ＋(a1－ )n，若 2 2 d≠0， 则从二次函数的角度看： 当d>0时， Sn有 最小 值；
当d<0时， Sn有 最大 值； 且n取最接近对称轴的自然数时， Sn取到最值.
(2)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 最大 值，
要点二 由数列的Sn求通项an 例2 (1) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn ＝ n2 － 3n ，求证数列 {an}是等差数列. 证明 a1＝S1＝1－3＝－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，
当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，∴an＝2n－4.

【问题导思】 频率分布表能够反映出总体的部分特征，我们还学过哪 些更为直观地体现数据分布规律的方法？
【提示】 频率分布直方图与折线图．
1．(1)定义：我们用直方图反映 样本的频率分布规律 ， 这样的直方图称为频率分布直方图，简称频率直方图． (2)绘制步骤 ①先制作 频率分布表 ； ②建立直角坐标系：把横轴分成若干段，每一段对应一 频率 个组的 组距 ，竖轴等于该组的 组距 ，并标上一些关键点； ③画矩形：在横轴上，以连结两相邻两点的线段为 底 ， 频率 以纵轴上 为高作 矩形 ，这样得一系列矩形，就构成了 组距 频率分布直方图．
[157.5,161.5)
[161.5,165.5) [165.5～169.5]
40
48 50
15
8 2
0.30
0.16 0.04
合计
50
1.00
列频率分布表的注意事项： (1)计算全距，需要找出这组数据的最大值和最小值．当 数据很多时，可选一个数当参照； (2)将一批数据分组，目的是要描述数据的分布规律，要 根据数据多少来确定分组数目．一般来说，数据越多，分组 越多； (3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位 小数，并且把第一组的起点稍微减小一点； (4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个 小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．
课 标 解 读
1.体会用样本的频率分布估计总体分 布的思想(重点)． 2．会用频率分布表、画频率分布直 方图，频率分布折线图(重点).
频率分布表
【问题导思】 如下样本是随机抽取近年来北京地区 7 月 25 日至 8 月 24 日的最高气温．
41.9
7月25日至 8月10日 32.5 28.6 8月8日至 8月24日

(2)算法框图：如图所示．
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通常说一年有365天，它表示地球围绕太阳一周所需要的时间，但事实上，并 不是那么精确，根据天文资料，地球围绕太阳一周的时间是365.2422天，称之
为天文年，这个误差看似不大，却引起季节和日历之间难以预料的大变动，在
历法上规定4年一闰，百年少一闰，四百年多一闰，如何判断一年是否是闰年， 请你设计一个算法，解决这个问题，并用流程图描述这个算法。
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第二章 · 算法初步
§2.1顺序结构与选择结构
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
我们来看一个例子：
例1 尺规作图，确定线段的一个5等分点。 1°请同学们两人一组，同桌一人作图，一人写算法，并请同学们用文 字语言写出步骤作法。 2°你认为文字语言写出算法方便吗？
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练习1 设计一算法：输入圆的径,输出圆的面积，
开始
并画出流程图
算法分析： 第一步：输入圆的半径
定义Pi=3.14
输入半径R
第二步：利用公式“圆的面积=圆周率×（半径 的平方）”计算圆的面积；
第三步：输出圆的面积。 思考：整个程序框图有什么特点？
计算S=Pi*R*R
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还 可 以 优 化 如 图 所 示
算 法 的 流 程 如 图 所 示
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为了使算法的表述简洁、清晰、直观、便于检查，我们今天学习用一些通用图 型符号构成一张图即流程图表示算法。本节要学习的是顺序结构与选择结构。
图形符号 名称 终端框（起止框） 输入、输出框 处理框（执行框） 判断框 流程线 连接点 功能 表示一个算法的起始和结束 表示输入和输出的信息 赋值和计算 用于判断，有两个出口 连接流程框，指明方向 连接程序框图的两个部分

1 解 (1)x甲＝ (99＋ 100＋ 98＋ 100＋ 100＋ 103)＝ 100， 6 － 1 x乙＝ (99＋ 100＋ 102＋ 99＋ 100＋ 100)＝ 100. 6 1 2 s 甲 ＝ [(99－ 100)2＋ (100－ 100)2＋(98－ 100)2＋ (100－ 100)2＋ 6 7 2 2 (100－ 100) ＋ (103－ 100) ]＝ ， 3 1 2 s 乙 ＝ [(99－ 100)2＋ (100－ 100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2＋ 6 (100－ 100)2＋ (100－ 100)2]＝ 1.
2．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是 (
)
A．众数
答案
A. 2
B．平均数
C．标准差
D．中位数
(
D．2
C )
B． 0 C．1
3．样本101，98，102，100，99的标准差为 答案 A
－
解析 样本平均数x＝100，方差为 s2＝2，∴标准差 s＝ 2， 故选 A.
4．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．
－
样本平均数 x是___________.
要点一 众数、中位数、平均数的简单运用
例1 在上一月调查的100位居民的月均用水量的问题中，制
作出了这些样本数据的频率分布直方图：
从中可以看出，月均用水量的众数估计是________；中位数 是________；平均数为________． 答案 2.25 t 2.02 t 2.02 t
－ －
规律方法
1.利用频率分布直方图估计数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两侧直方图的面积相等． (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和． 2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际

练习1、：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
练习2、：已知：一个整数的平方能被2整除，
求证：这个ห้องสมุดไป่ตู้是偶数。 证明：假设a不是偶数，
那么无论怎样翻转，都不可能做到。 你能解释这种现象吗？
上述现象可以用直接证明的方法解释，但是我们 这里采用反证法。
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上， 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需 要翻转奇数次，所以3枚硬币全疗反面朝上时， 需要翻转（3个奇数之和）次，即使翻转奇数次。
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币 被番的次数只能是2的倍数。即偶数次，这个 矛盾说明假设错误，原结论正确，即使无论怎 样翻转都不能使3枚硬币全部反面朝上。
王戎说：“树在道边而多子，此必苦李。”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样 的推理方法？
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会 被过路人摘去解渴呢？
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设 是错的。
1．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过
正确的推理
，最后得出 矛盾 ，因此说明假设
错误
，从而证明了原命题 成立 ，这样的证明方法
叫做反证法。
反证法是 间接证明 的一种基本方法。
2．盾反可证以法是的与关键是已在知正条确件的矛推盾理，下或得与出矛假盾设，矛这盾个，矛

求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原 点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐 标和终点坐标，再运用终点坐标 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量 a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则 a－2b＝
＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)． BC －2 AB＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． [答案] (11,13) (－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的
坐标．
()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．
()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×

反思与感悟
解析答案
跟踪训练4 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象.
解析答案
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达标检测
1.下列函数为对数函数的是( C ) A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1) C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D.y＝2logax(a＞0且a≠1)
3.两个函数图象的对称性
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 特例
函数 y＝ax 与函数 y＝(1a)x 的图象关于 y 轴对称
推广 函数 y＝f(x)与函数 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称
(2) 特例
推广
函数y＝logax与函数y＝log 1 x 的图象关于x轴对称 a
函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称
解析答案
类型二 对数函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y＝loga(9－x2)； 解 由9－x2>0，得－3<x<3， ∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3<x<3}. (2)y＝log2(16－4x). 解 由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则( A )
A.a＞b＞c
B.a＞c＞b
C.b＞a＞c
D.b＞c＞a
解析 ∵a＝log3π＞1，b＝12log23，
则12＜b＜1，c＝12log32＜12，∴a＞b＞c.
解析答案
类型四 对数函数的图象 例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.

(3)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3，若该样 本的平均值为 1，则样本方差为___2_____．
解析 由题意知15×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得 a＝－1. 所以样本方差为 s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2 ＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
课堂互动探究
解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为
x 甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，
乙的平均数为 x 乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8
＋8)＝8，
甲的标准差为
s
甲
＝
110×[8－82＋9－82＋…＋6－82]＝ 2，
乙的标准差为
s
乙
＝
110×[10－82＋9－82＋…＋8－82]＝ 530，
＝6，ຫໍສະໝຸດ 则标准差为
51×[2－62＋4－62＋6－62＋8－62＋10－62] ＝
2 2.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛， 四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比 赛，最佳人选是___丙_____．(填“甲”“乙”“丙”“丁” 中的一个)
拓展提升 由图形分析标准差、方差的大小
从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第 二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相 对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．
【跟踪训练 3】 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差