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第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（一）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）[来源:21世纪教育网学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．[来源:学*科*网Z*X*问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。
1.2.1 矩形的性质与判定教学目标：(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．重点：掌握矩形的性质及证明方法难点：运用综合法证明矩形性质教学建议：1.矩形：有一个角是直角的平行四边形.注：（1）解读定义：作为性质和判别；（2）用几何语言表示.2.探索矩形的性质：可让学生以命题的证明形式加以证明.概括矩形的性质：从边来说，矩形的对边平行且相等；从角来说，矩形的四个角都是直角；从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
练习：①矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分②下列说法错误的是（）．A.矩形的对角线互相平分B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 矩形的对角线相等D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形③已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________.3. 定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.两个条件：（1）直角三角形（2）斜边的中点。
练习：已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.4.例题讲解：讲解时，要把推理过程规范进行板书。
5.随堂练习：6.补充练习：（1）若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .（2）如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．（3）若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为___________.(4) 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作CE ∥BD ，交A•孤延长线于点E ，求证：AC=CE ．7.作业布置：P13 1 3 4选做题：矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，CD FG ⊥于G ，求证：AD FG FH =+B1.2.2 矩形的性质与判定教学目标：1.能够运用综合法判定定理以及其他相关结论；2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.重点：掌握矩形的判定定理以及证明方法难点：运用综合法证明矩形判定定理.教学建议：1.复习：矩形的定义及性质.2.定理两条对角线相等的平行四边形是矩形.（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；（3）请学生交流大体思路；（4）用规范的数学语言写出证明过程；注：判别定理的条件：①平行四边形②对角线相等练习：（1）下列命题是真命题的是（）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形(2)已知平行四边形ABCD，添加条件______________,使得已知平行四边形ABCD成为矩形.3.想一想：结合矩形的性质，证明判别定理2.4.例题讲解：注意分析题意和书写规范.5. 补充练习：（1）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.求证:四边形OCMD是矩形.（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．6.布置作业：P16 1 2 3选做题：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF ⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形1.2.3矩形的性质与判定教学目标：1.能够运用矩形的性质和判定定理以及其他相关结论解决问题.2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；重点：综合运用矩形的性质和判别定理.难点：用综合法解决有关问题.教学建议：1.复习：矩形的性质和判别定理（1）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm ，则∠DAO= ,AC= cm ，ABCD S =矩形_______.（2）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形.2. 例题讲解：注：（1）结合图形，充分分析条件（2）写出规范的解题过程.3. 想一想：学生做出猜想并证明.4. 补充练习：①如图，已知在▱ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥BD 交CB 的延长线于点G .(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？证明你的结论．②如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点。
第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.自学反馈1.矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴?2.请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：(1).矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( )(2).平行四边形是矩形.( )(3).平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有.( )3.已知△ABC 是Rt △,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线.若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝;活动1 小组讨论例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD. ∴OA=OD.∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=21(180°-120°)= 30°. 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),∴BD=2AB =2×2.5=5.活动2 跟踪训练1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对边相互平行B ．对角线相等C ．对角线相互平分D ．对角相等2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）A.3∶2B.2∶1C.1.5∶1D.1∶13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.8B.6C.4D.24.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是（ ）A.CD ＝ADB.∠B ＝∠BCDC.∠AED ＝90°D.AC ＝2DEA B CDE5.在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上中线长为 .6.矩形的一条对角线长10cm ，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为 cm .7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．8.如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，则AE ＝_______．A BCDEF9.在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF=DC ．课堂小结1.矩形的定义及性质.2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.2.(1)√ (2)× (3)√3.6【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.B3.C4.D5.6.5 6.57.98.39.解：连接DE．∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．第2课时矩形的判定1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
北师大版九年级数学上册说课稿：1.2 矩形的性质与判定一. 教材分析《矩形的性质与判定》是北师大版九年级数学上册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了四边形的性质，平行四边形的性质和判定，以及菱形、正方形的性质和判定基础上进行学习的。
通过本节内容的学习，使学生掌握矩形的性质和判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平行四边形的性质和判定，以及菱形、正方形的性质和判定有一定的了解。
但是，对于矩形的性质和判定，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导他们通过观察、思考、讨论，自主探索矩形的性质和判定方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握矩形的性质，学会用矩形的性质解决几何问题；理解并掌握矩形的判定方法，能够运用矩形的判定方法判断一个四边形是否为矩形。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；学会用归纳法、演绎法进行数学论证。
3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性；培养学生合作学习的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的性质和判定方法。
2.教学难点：矩形的判定方法的应用，以及如何运用矩形的性质解决几何问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法、探究学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的矩形物体，如矩形桌子、矩形电视等，引导学生思考矩形的特征，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生观察矩形的特点，引导学生发现矩形的性质，如矩形的对边平行且相等，矩形的对角相等等。
3.小组讨论：让学生分组讨论，归纳出矩形的性质，并学会用这些性质解决几何问题。
4.讲解判定：讲解矩形的判定方法，如对角线互相平分的四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形等。
最新北师大版数学精品教学资料第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（二）教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
重点、难点：1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．3．难点的突破方法：矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形．．．．．得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．为了加深印象，我们安排了例1，在教学中可以适当地再增加一些判断的题目．要让学生知道（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．在教学中，除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．三、例的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． （指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）（4）对角线相等的四边形是矩形； （×） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l ）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4 cm ，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ．∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．在Rt △ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ，∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC =∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．。
新北师大版九年级数学上册课时集训：1.2 矩形的性质与判定学案1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．矩形的四个角都是__直角__；矩形的对角线__相等__．3．直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__．知识点一：矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是(B)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B．60°C．90°D．120°,第3题图),第4题图) 4．(2014·宜宾)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝3，则图中长度为1的线段共有(D)A．3条B．4条C．5条D．6条5．(2014·黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(D)A．6 B．12 C．2 5 D．4 5,第5题图),第6题图) 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是__12__．7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.求证：四边形DOCE 是菱形．解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DB＝AC，DO＝OB，AO＝OC，∴DO＝OC，∵EC∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，∴▱DOCE是菱形知识点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8．(易错题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA 的中点，若EF＝4 cm，则CD＝__4__cm.9．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有__9__米．10．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是__30_cm2__．11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．12．如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是( C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°,第12题图) ,第13题图)13．(2014·青岛)如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( A )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．5 14．(2014·凉山)顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是__菱形__．15．如图所示，在△ABC 中，BD ，CE 是高，点G ，F 分别是BC ，DE 的中点，则下列结论中：①GE ＝GD ；②GF ⊥DE ；③GF 平分∠DGE ；④∠DGE ＝60°.其中正确的是__①②③__．(填写序号)16．(2014·湘潭)如图，将矩形ABCD 沿BD 对折，点A 落在点E 处，BE 与CD 相交于点F ，若AD ＝3，BD ＝6.(1)求证：△EDF ≌△CBF ； (2)求∠EBC 的度数．解：(1)证明：由折叠的性质可得，DE ＝BC ，∠E ＝∠C ＝90°，在△DEF 和△BCF 中⎩⎨⎧∠DFE ＝∠BFC ，∠E ＝∠C ，DE ＝BC∴△DEF ≌△BCF (AAS ) (2)在Rt △ABD 中，∵AD ＝3，BD ＝6，∴∠ABD ＝30°，由折叠的性质可得；∠DBE ＝∠ABD ＝30°，∴∠EBC ＝90°－30°－30°＝30°17．如图所示，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，∠1＝∠2，OB ＝6 cm.(1)求∠BOC 的度数； (2)求△DOC 的周长．解：(1)∵AE ⊥BD, ∴∠AEO ＝∠AEB ＝90°，又∵AE ＝AE ，∠1＝∠2，∴△AEO ≌△AEB.∴AB ＝AO.又∵OA ＝OB, ∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝120° (2)由矩形的性质可得△OCD ≌△OAB ，∴OC ＝OA ＝OB ＝6 cm. ∴△DOC 的周长为18 cm18．(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴∠EBD ＝∠FDB ，∴EB ∥DF ，∵ED ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形 (2)∵四边形BFDE 为菱形，∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝30°，∵∠A ＝90°，AB ＝2，∴AE ＝233，BF ＝BE ＝2AE ＝433，∴菱形BFDE 的面积为：433×2＝833第2课时矩形的判定对角线__相等__的平行四边形是矩形；有__三__个角是直角的四边形是矩形．知识点一：对角线相等的平行四边形是矩形1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD 是矩形的是(B)A．AO＝CO，BO＝DOB．AO＝BO＝CO＝DOC．AC＝BD，AO＝COD．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD2．下列关于矩形的说法中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)A．4B．3C．2D．1,第3题图),第4题图) 4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__∠ABC＝90°或AC＝BD(不唯一)__．(添加一个条件即可)5．(易错题)如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__60__度时，四边形ABFE为矩形．6．(原创题)已知，如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若▱ABCD的面积是163，求对角线AC的长．解：∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB，∠OAB＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，BC＝3AB，∴AB·3AB＝163，∴AB＝4，∴AC＝8知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(C)A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量其中三个角是否都为直角D．测量对角线是否相等8．如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__12__.9．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件__BC＝2AB__时，四边形PEMF为矩形．10．已知▱ABCD 的对角线交于点O ，分别添加下列条件：①∠ABC ＝90°；②AC ⊥BD ；③AC ＝BD ；④OA ＝OD .使▱ABCD 是矩形的条件的序号是__①③④__.11．如图，点E ，F 分别△ABC 的边BC ，CA 的中点，延长EF 到点D ，使得DF ＝EF ，连接DA ，DC ，AE .(1)求证：四边形ABED 是平行四边形；(2)若AB ＝AC ，求证：四边形AECD 是矩形．解：(1)证明：∵AF ＝CF ，DF ＝EF ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝CE ，又∵BE ＝CE ，∴AD ＝BE ，∴四边形ABED 是平行四边形(2)∵AB ＝AC ，BE ＝CE ，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴▱AECD 是矩形12．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)证明：∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEO ＝∠DFO ＝90°，∵点O 是EF 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠DOF ＝∠BOE ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )(2)四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD ，又∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OA ＝12BD ，OA ＝12AC ，∴BD ＝AC ，∴▱ABCD 是矩形13．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，DE ＝BC 且∠BAD ＝∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形．解：证明：∵AC ＝AB ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠CAD ＝∠BAD －∠CAB ＝∠CAE －∠CAB ＝∠BAE.∴△ADC ≌△AEB.∴DC ＝BE ，∠ABE ＝∠ACD.又∵DE ＝BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝ACB ，∴∠ABC ＋∠ABE ＝∠ACB ＋∠ACD ，即∠EBC ＝∠DCB ＝90°.∴四边形BCED 为矩形14．(教材例4变式题)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.连接AE ，AF.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ，∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE.∴OE ＝OF (2)由(1)知：OF ＝OC ，OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC.∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.而∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°，∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°，∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF是矩形．.理由如下：由(1)知OE ＝OF, 当点O 移动到AC 中点时有OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠ECF ＝90°， ∴平行四边形AECF 是矩形第3课时矩形的性质与判定的综合运用1．矩形的性质：(1)矩形具有__平行四边形__的一切性质；(2)矩形的四个角都是__直角__；(3)矩形的对角线__相等__．2．矩形的判定：(1)有一个角是__直角__的平行四边形是矩形；(2)有三个角是__直角__的__四边形__是矩形；(3)对角线__相等__的__平行四边形__是矩形．知识点：矩形的性质与判定的综合运用1．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(B)A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2,第1题图),第2题图) 2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(B)A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cm3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于(D)A.7 B．2 2C．2 3 D.104．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD 是矩形的是(C)A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOCD．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝__75__度．,第5题图),第6题图) 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为．7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，则这个四边形是__矩形__．8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA ＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤⇒四边形ABCD是矩形，请再写出符合要求的两个：__①②⑥⇒四边形ABCD 是矩形；③④⑤⇒四边形ABCD 是矩形；(另外③④⑥，②③⑤⇒四边形ABCD 是矩形)__．9．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：BD ＝BE ；(2)若∠DBC ＝30°，BO ＝4，求四边形ABED 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，AB ∥CE ，又∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴BE ＝AC ，∴BD ＝BE (2)S 四边形ABED ＝12(AB ＋DE )·BC ＝12(4＋8)×43＝24310．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为( C )A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.811．矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若OE ∶ED ＝1∶3，AE ＝3，则BD ＝__4或855__． 12．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD ＝120°，求证：BE ⊥AC .解：证明△AOB 为等边三角形，点E 是OA 的中点即可13．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 为矩形ABCD 外一点，若AE ⊥CE ，求证：BE ⊥DE .解：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∵AE⊥CE ，∴OE ＝12AC ，∴OE ＝12BD ，∴OE ＝OB ＝OD ，可证∠BED ＝90°，∴BE ⊥DE14．如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CD 的中点．(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若菱形ABCD 的面积是50，求四边形EFGH 的面积．解：(1)∵点E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF 綊12DB ，同理GH 綊12DB ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ，∴FG ⊥EF ，∴∠GFE ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形 (2)由(1)知EF ＝12DB ，FG ＝12AC ，∴S 矩形EFGH ＝EF·FG ＝14AC·BD ＝12·(12·AC·BD )＝12×50＝2515．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC .(1)求证：CD ＝AN ；(2)若∠AMD ＝2∠MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．解：(1)证△AMD ≌△CMN 得AD ＝CN ，又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形，∴CD ＝AN (2)∵∠AMD ＝2∠MCD ，∠AMD ＝∠MCD ＋∠MDC ，∴∠MCD ＝∠MDC ，∴MD ＝MC ，由(1)知四边形ADCN 是平行四边形，∴MD ＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC ＝DN ，∴▱ADCN 是矩形16．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N .(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，由折叠知∠CNM＝∠ANM ，∴∠CNM ＝∠CMN ，∴CN ＝CM (2)∵AD ∥BC ，S △CMN ∶S △CDN ＝3∶1，∴CM ∶DN ＝3∶1，设DN ＝x ，则CM ＝3x ，过点N 作NK ⊥BC 于点K ，∵DC ⊥BC ，∴NK ∥DC ，又∵AD ∥BC ，∴CK ＝DN ＝x ，MK ＝2x ，由(1)知CN ＝CM ＝3x ，∴NK 2＝CN 2－CK 2＝(3x )2－x 2＝8x 2，∴MN ＝MK 2＋NK 2＝（2x ）2＋8x 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x＝23。
