上交流体力学 lesson16

2
2

d iv. stream lines
3 2
u
x xA , y z0
m xA U 0 3 4 x A

xA
m 4 U
当x→∞时，u→U，物面形成了一个流管，流管横截面面积为 S，根据质量守恒知道流管流量为m，即： m S U m S U
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1 p U 2 2 pmin
B
A
D
Vr 0, V , max 2U , C p 3,
3 p U 2 2
C
3、在 0 180 和 180 360 的范围内，圆柱面上的
压力作用是对称的，即作用在其上的压力是平衡的。
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dividing streamline (see this with PFLOW)
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6.3 物体绕流的势流流动
1 1
三维均匀流和点源、点汇叠加后的速度势为：
m Ux 2
x
a

2
y
2
z
∞
V 2 p p U2 g 2g g 2g
p p
1 1 9 U 2 V 2 p U 2 1 sin 2 2 2 4
引入一个无量纲压力系数，
p p 9 2 Cp 1 sin 1 4 U 2 2
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6.4 匀速运动物体的势流流动
U
如果坐标系固定在物体上，记为 (O', x', y', z')坐标系，则流动是定常 的，它满足下面的控制方程：
S
2 0 在物面上 0, V n n U , 0, 0 , Ux, 当 x , 无穷远处条件 V
——
Ux, Uy
Ux
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6.3 物体绕流的势流流动
例子2：绕三维半无限长物体的势流流动(Rankine Half-body) ——三维均匀流与三维点源的叠加。
U
m
S
sta g n a tio n p o in t d iv . stre a m lin e s
6.3 物体绕流的势流流动
例子5：绕三维球的势流流动(sphere) —— 三维均匀流与三维偶极子流的叠加。 三维均匀流和偶极子流叠加 后的速度势为：
y

U z

cos Ux 4 r 2
速度场为：
r
x
Vr cos U 3 2 r r
∞
V 2 p p U2 g 2g g 2g
1 1 2 2 p p U V p U 2 1 4 sin 2 2 2
工程上为了处理问题方便起见，引入一个无量纲压力系数，
p p 2 Cp 1 4sin 1 U 2 2
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6.3 物体绕流的势流流动
同样，为了满足物面条件，需要在 r = a ( a 为球半径 ) 上，Vr = 0，即：
Vr
r a
cos U 0 3 2 r r a
3
a
2 U
or
2 Ua 3
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6.3 物体绕流的势流流动
圆柱表面上的压力分布由压力系数表示：
p p 1 C pU 2
2
,
C p 1 4sin 2
讨论： 1、前、后驻点(A、B点)：
Vr V 0, C p 1,
2、 C、D点：
pmax
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6.3 物体绕流的势流流动
为了满足物面条件，需要在 r = a ( a 为圆柱半径 ) 上，Vr = 0，即：
Vr
r a
cos U 0 2 2 r r a 2 U
or
a
2 Ua 2
因此，绕三维球的势流流动的速度势为：
a3 U cos r 2 2 r
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6.3 物体绕流的势流流动
a3 U s in 1 3 2 r 当 0, 3 , 当 2 2
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6.4 匀速运动物体的势流流动
前面的物体绕流问题，都是物体固定不动，而是有一个均 匀来流对物体的绕流。而实际问题中，更多的是物体在静止的 流体中运动。 1) 匀速运动物体的势流流动是否与静止物体的势流绕流流动是 相同还是不同？也就是说能不能用静止物体的势流绕流代替 运动物体的势流流动？ 2) 3) 匀速运动物体的势流流动是定常流动还是非定常流动？ 在匀速运动物体的势流流动中，物体是否受流体作用力？即 达朗伯佯谬是否成立？
m U 4
a
2a
2
R
2

3 2
,
这里 R2 y2 z2
y
物体的半径R0可以由下式确定：
2
R0
u
0
x0
R dR m
U
S
+m
a
-m
S
x
dividing streamline (see this with PFLOW)
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6.3 物体绕流的势流流动
例子3：绕三维封闭物体的势流流动(Rankine Closed-body) ——三维均匀流与三维点源、点汇的叠加。
y
要想得到封闭的物面， 就必须保证在物面上的源 汇强度为零，即：
in b o d y

m 0
U
S
+m
a
-m
S
x
因此，可采用均匀流 与相同强度的点源、点 汇叠加。
1 2 2 FL Fy a p U 1 4sin sin d 0 2 0
2
对于均匀来流绕任何物体势流流动，只要流场是对称的和定 常的，物体都不会受到流体任何作用力(阻力和升力)，这个现象 称为达朗伯佯谬(d’Alembert’s paradox)。这与常识不符合，产 生这一结果的原因是没有考虑流体的粘性。
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6.3 物体绕流的势流流动
绕二维圆柱和三维球的势流流动，由于物体表面的压力分 布是对称的，因此既不产生阻力也无升力。 比如，在单位长度的圆柱上作用在微元弧段上的总压力和 阻力分别为 2 1 FD Fx a p U 2 1 4sin 2 cos d 0 2 0
ra

当 0, 0 2U sin 3 , 2U 当 2 2
V U
2U

2U
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6.3 物体绕流的势流流动
圆柱表面上的压力分布可由Bernoulli方程求得。在无穷远 处，速度为 U，压强为 p ，则有：
因此，绕二维圆柱的势流流动的速度势为：
a2 U cos r iversity
6.3 物体绕流的势流流动
在圆柱表面的速度为：
V
ra
1 r
ra
a2 U sin 1 2 r
6.3 物体绕流的势流流动
例子4：绕二维圆柱的势流流动(circle) ——二维均匀流与二维偶极子流的叠加。 二维均匀流和偶极子流叠加 后的速度势为：
U
r


x Ux cos U r 2 2 r 2 r
速度场为：
Vr cos U 2 2 r r
在球表面的速度为：
V
ra
1 r
ra
ra
0 3U s in 3U 2 2


x
3U 2
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6.3 物体绕流的势流流动
球表面上的压力分布同样可由Bernoulli方程求得。在无穷远 处，速度为 U，压强为 p ，则有：
• 典型简单势流流动的速度势和流函数：
名称 点源和点汇 偶极子流 点涡 均匀流
二维
m m ln r , 2 2
M y M x , 2 r 2 2 r 2
三维


m 4 r
M x 4 r 3
Γ ln r , 2 2
U S
2 0 U n U , 0, 0 nx , ny , nz Unx , 在物面上 V n n V 0, 0, 当 x , 无穷远处条件 当 t 0, 初始条件 V U 0 ,
在(O', x', y', z')坐标系下，这个问题与均匀流中固定物体 的势流绕流问题是一致的。
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6.3 物体绕流的势流流动
m
从直角坐标来分析，三维均匀流和点源叠加后的速度势为：
Ux
4