第12讲(椭圆的定义、标准方程及简单性质)

椭圆的标准方程及性质
椭圆是平面上一个动点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

在直角坐
标系中，椭圆的标准方程为：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

下面我们将详细介绍椭圆的标准方
程及其性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程是一个二次方程，其中x和
y的平方项系数分别为a的平方和b的平方。

通过这个方程，我们可以轻松地确定
椭圆的长短半轴，进而画出椭圆的图形。

其次，让我们来了解一下椭圆的性质。

椭圆有许多独特的性质，这些性质在数
学和实际应用中都有着重要的作用。

首先，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个性质被称为椭圆的定义性质。

其次，椭圆的长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长短半轴之比称为离心率，离心率越接近于零，椭圆形状越接近于圆。

另外，椭圆还有对称性，关于x轴、y轴和原点对称的性质。

除此之外，
椭圆还有着许多其他有趣的性质，如切线与法线的性质、椭圆的焦点和直径等。

总之，椭圆的标准方程及性质是数学中一个重要的概念，它不仅有着丰富的数
学内涵，而且在物理、工程等领域都有着广泛的应用。

通过学习椭圆的标准方程及性质，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，为解决实际问题提供数学工具和思路。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。

椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。

椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。

在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。

首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。

椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。

其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。

在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。

在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。

在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。

另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。

例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。

椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。

这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。

总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。

通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。

椭圆知识点总结91929椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a +=的弦,其长ab 222.通径:过焦点且垂直于长轴焦点弦：椭圆过焦点的弦。

第12讲 椭圆的离心率和位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系 1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .[玩转典例]题型一 离心率的求解例1 （1）（2018·河北省隆化存瑞中学高二月考（文））椭圆221259x y +=的离心率为（ ）A ．1B ．13C ．43D ．45（2）（2019·安徽高二期末（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B C 1 D 1（3）（2019·武威市第六中学高二月考（理））过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．12D （4）（2019·湖南高二月考）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B C ．2D ．12（5）（2019·河北省隆化存瑞中学高二月考）已知椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左，右焦点是F 1、F 2，P是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率的取值范围是（） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[玩转跟踪]1．（2019·广东高二期末（文））椭圆2214x y +=的离心率为______.2．（2019·河北石家庄二中高二月考）已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A.12B.13C.2D.33.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.334．（2019·山西高考模拟（理））椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，若△OAB 是直角三角形(O 为坐标原点)，则C 的离心率为A 2B 1C D 题型二 直线和椭圆的位置关系例2 （1）（2018·吉林扶余市第一中学高二月考（文））对不同的实数值m ,讨论直线y x m =+与椭圆2214x y +=的位置关系. （2）（2019·湖南高二期末（文））已知直线l 过点()0,1-，椭圆2212536x y C ：+=，则直线l 与椭圆C 的交点个数为( ) A ．1B ．1或2C ．2D ．0（3）（2019·浙江嘉兴高二期中）经过点(1,2P 且与椭圆2214x y +=相切的直线方程是( )A ．40x +-=B ．40x --=C ．20x +-=D ．20x -+=[玩转跟踪]1.直线y ＝x ＋m 与椭圆2214x y +=有两个不同的交点，则m 的范围是( )A.－5＜m ＜5B.m mC.mD.m 2．（2018·安徽高二月考（文））已知直线2x y 10k -+=与椭圆22x y 19m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(]1,9B ．[)1,∞+C ．[)()1,99,∞⋃+ D ．()9,∞+3.（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l 与椭圆2x 2+y 2=1有公共点,那么直线l 的斜率k的取值范围是( )A.-,-2∞⎛ ⎝⎦B.,2∞⎫+⎪⎪⎣⎭C.11-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.-,22⎡⎢⎣⎦题型三 弦长问题例3 （2019·四川高二期末）直线1y x =+被椭圆2248x y +=截得的弦长是( )A B C D 例4 （2019·武威市第六中学高二月考（理））点P 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF 11． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+被椭圆C ，求m 的值[玩转跟踪]1.（2019·四川双流中学高三月考（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上短轴长为2，过左顶点A 的直线l 与椭圆交于另一点B .（1）求椭圆C 的方程； （2）若43AB =，求直线l 的倾斜角.题型四 点差法的应用例5 （1）（2020·湖南高二月考）已知椭圆22142x y +=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（ ）A ．B ．CD （2）（2019·江西南昌十中高二月考）如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．340x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y --=D ．340x y +-=例6 （2019·河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ）A B ．12C ．14D [玩转跟踪]1．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点(1,1)M 平分，则C 的离心率是______．2.（2020·河南高二月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点11,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ） A ．2224199x y +=B ．22194x y +=C ．22195x y +=D ．222199x y +=题型五 椭圆综合问题例7 （2019·四川高二期末（理））已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1FP 为椭圆E 上任一点，且1||PF1.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆的左焦点1F ，与椭圆交于A B 、两点，且OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.[玩转跟踪]1．（2019·安徽高考模拟（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,1G 作直线l 与曲线交于,A B 两点，求ABO 面积的最大值。

椭圆的几何性质讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March28．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。

33．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠ 证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。

圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。

对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。

例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。

2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。

2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。

高二数学椭圆的定义标准方程及几何性质（文）人教实验b 版（文）知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆的定义、标准方程及几何性质二. 本周学习目标把握椭圆的定义，标准方程，能依照条件利用待定系数法求椭圆的方程，把握椭圆的几何性质。

了解椭圆的参数方程，能依照方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用，把握直线与椭圆的位置关系的判定方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一些咨询题。

三. 知识点精析 〔一〕椭圆的定义1、第一定义：平面内与两个定点为F 1，F 2的距离的和等于常数〔大于21F F 〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

专门地，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹。

2、第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线l 的距离之比等于常数e(0﹤e ﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线。

e 叫椭圆的离心率。

椭圆有两个焦点，两条准线。

该定义中的焦点和准线具有〝对应性〞，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

〔二〕椭圆的标准方程及几何性质1 中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数) ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数) 图 形顶 点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --讲明：方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 22、椭圆焦点三角形：设P 为椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝θ，那么△PF 1F 2为焦点三角形，S ＝b 2tan 2θ。

椭圆的定义与标准方程
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。

椭圆可以被定义为平面上到两个定点
F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点被称为焦点，常数2a
被称为椭圆的长轴。

椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与长轴的比值，即
e=c/a，其中c为焦距。

当e小于1时，椭圆是一个封闭曲线，当e等于1时，椭圆
变成一个圆。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。

通
过标准方程，我们可以很容易地得到椭圆的中心、长短轴的长度以及椭圆的离心率等重要信息。

在实际问题中，椭圆有着广泛的应用。

比如在天体力学中，行星围绕太阳运动
的轨道就是椭圆；在工程中，椭圆的反射性质被应用在抛物面天线的设计中；在数学建模中，椭圆可以用来描述很多现实世界中的问题，比如椭圆的轨迹可以用来描述地球绕太阳的运动轨迹等。

总之，椭圆作为一种重要的几何图形，具有着丰富的数学性质和广泛的应用价值。

通过本文的介绍，相信读者对椭圆的定义与标准方程有了更清晰的认识，也能够更好地理解椭圆在实际问题中的应用。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读。

椭圆及其标准方程教学目标：（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．教学过程：（一）设置情景，引出课题问题：2005年10月12日上午9时，“神州六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州六号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六号”运行轨道图片．（二）启发诱导，推陈出新复习旧知识：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？提出新问题：椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式？引出课题：椭圆及其标准方程（三）小组合作，形成概念动画演示椭圆形成过程．提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：1212||||||MF MF F F +> 椭圆1212||||||MF MF F F += 线段1212||||||MF MF F F +< 不存在并归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．（四）椭圆标准方程的推导：1．回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．2．提问：如何建系，使求出的方程最简？由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果．各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）①建系：以21,F F 所在直线为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

第12讲解析几何之圆锥曲线的方程一．基础知识回顾（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质线方程：1．双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，________．三．抛物线与抛物线的方程1．抛物线的概念：平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方二．典例精析 探究点一：圆锥曲线的定义及应用例1：（1）一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．（3）已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． 解（1）如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. （2）设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)．所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |.所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2.所以|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．（3）将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知 |P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72， 即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为(2,2)．变式迁移1：（1）求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．（2）已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（3）已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 解：（1）将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6.又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆．a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1. （2）设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝22，又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，∴|C 1C 2|＝8.∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1 (x ≥2)． （3）A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1.]探究点二：求圆锥曲线的标准方程例2求满足下列各条件的圆锥曲线标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆方程 (2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.的椭圆方程 （3）已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线方程．(4) 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程 (5)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点的抛物线方程 (6)过点P (2，－4)的抛物线方程解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a 2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b 2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝14∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. （3）∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3， ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1. （4）设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ (λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y 24＝1. (5)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p >0)且－p 2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(6)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .变式迁移2：(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．（3）已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，求双曲线的方程(4)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)，求双曲线的方程 (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m ≠n)．∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. （3）由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y 轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1. (4)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. （5）设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.探究点三：圆锥曲线的几何性质例3：（一）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．（二）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．（三）过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．解：(一)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn.∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．（二）(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°. （三）由抛物线方程可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫ky ＋p 2，整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，∴点C 坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1.∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴． 变式迁移3：（一）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．（二）已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．（三）已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值． 解（一）(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－b a，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．（二）(1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．（三）证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24.因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝常数，所以1|AF |＋1|BF |为定值．1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( C )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( D )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( A )A. ⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( A )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( B )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5 6．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( B )A ．－12B ． 0C ．－2D ．47．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( D ) A. 2 B. 3 C ．2 D ． 3 8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( B ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．49．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( C )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|10．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( A )A ． 直角B ．锐角C ．钝角D ．以上皆有可能11．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝16. 12．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为163． 13．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为62． 14．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝4 2.15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为324． 16．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解:(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．17．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． 解:(1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪x －12，化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1)，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 12(x 1＋1).同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 22(x 2＋1).因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32.因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋32×⎝⎛⎭⎫－32＝0.综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .18．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F为焦点，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1.RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8，∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。

椭圆的简单性质【学习目标】1. 知识与技能目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴、对称中心、顶点、离心率的概念；进一步掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.2 .过程与方法目标：引导学生通过观察、类比、讨论等方法，让学生迅速获得椭圆的性质.3.情感态度、价值观目标：在椭圆的简单性质的学习过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.【要点梳理】要点一：椭圆的简单几何性质2 22 2对于椭圆标准方程X2y2 =1，把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不a b2 2变，所以椭圆X2 •爲=1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，a b这个对称中心称为椭圆的中心.2. 范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y= ±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x冋,|y冋.3. 顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.2 2②椭圆笃•占=1 (a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A i (—a, 0),a bA2 (a, 0), B1 (0, —b), B2 ( 0, b).③线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A2|=2a, |B1B2|=2b. a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4. 离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e二空二卫.2a a②因为a>c> 0，所以e的取值范围是0v e v 1. e越接近1，则c就越接近a,从而b = • a2越小,(1)|PM i | |PM 2| 因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0, c 就越接近0，从而b 越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆•当且仅当 a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2.要点诠释:2 2椭圆 冷•爲=1的图象中线段的几何特征（如下图）a b,,||PF i | |PF 212a 2PF i| -|PF 2 =2a ，12e ，|PM i | ■ |PM 2'i" ' 'i" ' c(2) BF i| I BF 2 = a ， OF i =0F 2 =c ， AB| |AB = .a 2 b 2 ； (3) AF i = AF 2 =a -c ， AF 2I I A 2F 1 =a c ，a —c _ PF _a c ；要点二：椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示 椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长， 均为正数，且三个量的大小关系为：a > b >0, a >c > 0,且a 2=b 2+c 2. 可借助下图帮助记忆：a 、b 、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b 、c 为两条直角边.和a 、b 、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形PF 1F 2有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定1理（或勾股定理）、三角形面积公式 S^F 1F ^-|P F 1 PF 2 sin N F 1PF 相结合的方法进行计算与解题，将有关线 段PF 1、 PF ?、 F 1F 2，有关角• F 1PF2C F 1PF 2匚F 1BF 2）结合起来，建立 PF 」T PF 2、 PF 1 PF 2之间的关系.要点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程2 2x 1 y pUW a A b 〉。

人教版高中选修(B版)2-12.2椭圆课程设计一、课程概述本节课程将介绍椭圆的相关知识，包括：椭圆的定义、性质、参数方程等，并探讨椭圆在数学和实际生活中的应用。

二、教学目标1.了解椭圆的定义和性质。

2.掌握椭圆的参数方程，并能按照参数方程画出椭圆。

3.知道椭圆在数学和实际生活中的应用。

三、教学重点与难点重点1.椭圆的定义和性质。

2.椭圆的参数方程。

难点1.椭圆的参数方程的理解和应用。

2.椭圆在实际生活中的应用。

四、教学内容及进度安排第一课时内容1.椭圆的定义和性质。

2.椭圆的标准方程。

3.椭圆的离心率和焦点。

进度讲解椭圆的定义和性质，让学生能够理解椭圆是什么，并掌握椭圆的一些基本性质，让学生了解离心率和焦点的概念。

第二课时内容1.椭圆的参数方程。

2.按照参数方程画出椭圆。

进度讲解椭圆的参数方程，让学生知道如何用参数方程画出椭圆，并让学生自己练习一下。

第三课时内容1.椭圆的应用。

2.椭圆在几何画图中的应用。

进度讲解椭圆在数学和实际生活中的应用，并介绍一些有趣的几何画图，让学生了解椭圆在实际中的应用。

五、教学方法与手段教学方法1.讲解法。

2.实验法。

教学手段1.黑板、白板、投影仪等。

2.实验器材。

六、教学评价1.考试成绩评价。

2.课堂表现评价。

3.案例分析评价。

七、实验设计实验名称按照参数方程画出椭圆。

实验目的让学生掌握椭圆的参数方程，并能按照参数方程画出椭圆。

实验材料黑板、白板、草稿纸、铅笔。

实验步骤1.教师在黑板或白板上写出椭圆的参数方程。

2.学生按照参数方程画出椭圆并标出焦点、离心率等重要点。

八、教学反思本节课程的教学目的是让学生了解椭圆的相关知识，掌握椭圆的参数方程，并了解椭圆在数学和实际生活中的应用。

通过讲解和实验，学生对椭圆的理解更加深入，对实际应用更加熟悉。

实验环节也让学生有了实践操作的机会，增强了理论学习的应用性和实践性。

在教学评价中，可以采用考试成绩评价、课堂表现评价和案例分析评价等多种方式，对学生的学习情况进行全面评估和反馈。

新培根讲义高二数学椭圆的几何性质一、知识回顾【回扣教材夯实基础】二、梯度练习【突破考点研析热点】三、课后作业【精题精炼规范答题】课前导读：1. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的性质：(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-(2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，c ±(4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c(5)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的，准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2a c .通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2b a，焦准距（焦点到对应准线的距离）c b 2．(6)离心率O F B ab ac a c e 222222cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁. (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和0202)(ex a ca x e PF -=-=（椭圆的第二定义）． 2．椭圆的的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>典型例题例1. 已知椭圆的方程为364922=+y x .（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;（2） 写出与椭圆364922=+y x 有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程.变式 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．例2.（1）求以原点为中心，一个焦点为),1,0(-且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.变式 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)；例3.已知直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x ，当k 在何范围取值时， （1） 直线与椭圆有两个公共点； （2） 直线与椭圆有一个公共点； （3） 直线与椭圆无公共点.例4. 设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．例4. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .（1）求椭圆方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆相较于M 、N 3262=，求直线l 的方程.例5. 已知椭圆13610022=+y x 上一点P ，到其左、右两焦点距离之比为3:1，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标.变式 已知椭圆的焦点是()0,41-F 、()0,42F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1021=+B F B F .椭圆上不同的两点()()2211,,,y x C y x A 满足条件：A F 2，B F 2，C F 2成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标.当堂检测1. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 2. 曲线()6161022<=-+-m m y m x 与曲线()9519522<<=-+-m my m x 的（ ）. (A)焦距相等 (B)离心率相等 (C) 焦点相同 (D)准线相同3. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB 的，则椭圆的离心率为 （ ）()A()B ()C 12 ()D 454.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22 (C) 21(D)425．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，截口是一个椭圆， 该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7. 点P 在椭圆252x +92y=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.8. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,且焦点到椭圆上点的最短距离为3,求此椭圆的方程,准线方程,离心率.9. 点P 是椭圆14522=+y x 上的一点, F 1、F 2是左、右焦点,且321π=∠PF F ,求三角形21PF F 的面积.10. 椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为2，求 ab 值.1．在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）A ．2x =4yB ．2x ＋2xy ＋y=0C ．2x －42y ＝5xD ．92x ＋2y =4． 2. “0>>n m ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件．3．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A 有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距 ()C 有相等的离心率 ()D 有相同的准线 4. 对于椭圆369:221=+y x C 与椭圆21216:222=+y x C ，更接近于圆的是 . 5.椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则=a . 6. 求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标： (1)252x +42y -100=0； (2)2x +42y -1=0．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P(3，0)； (3)离心率等于0.8，焦距是8．。

椭圆图像的原理及应用教案一. 椭圆图像的原理1.椭圆的定义–椭圆是平面上所有到定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

2.椭圆的方程–椭圆的标准方程为 x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

3.椭圆的性质–椭圆是一个闭合曲线，呈现出一定的对称性。

–椭圆的焦点与椭圆的形状有关，离心率小的椭圆形状更加接近于圆。

4.椭圆图像的绘制方法–通过确定椭圆的焦点及离心率，可以绘制出椭圆的图像。

二. 椭圆图像的应用1.天体运动–天体运动中的行星、卫星等运动轨迹可以近似为椭圆。

通过研究椭圆轨道可以推断天体的运动规律。

2.导弹轨迹预测–导弹发射后的轨迹也可以近似为椭圆。

利用椭圆轨道的运动规律，可以精确地预测导弹的落点。

3.轨道工程设计–在轨道工程设计中，椭圆轨道被广泛应用于卫星、航天器等的运行轨道设计中。

4.机械运动分析–在机械工程中，通过分析椭圆的运动规律，可以设计出满足特定要求的机械结构。

5.电子技术–在电子技术领域中，椭圆滤波器被用于信号处理、通信系统等方面。

三. 实验教学设计1.教学目标–了解椭圆的定义及其方程。

–掌握绘制椭圆图像的方法。

–了解椭圆图像在实际应用中的意义。

2.实验准备–实验材料：纸、铅笔、直尺、圆规等。

–实验环境：教室或实验室。

3.实验步骤–步骤一：讲解椭圆的定义及其方程。

–步骤二：演示绘制椭圆图像的方法。

–步骤三：学生实践绘制椭圆图像。

–步骤四：讨论椭圆图像的应用领域。

–步骤五：总结实验结果和经验。

4.实验要求–学生需主动参与实验，积极思考和讨论。

–学生需完成实验报告，总结实验过程和结果。

5.实验评估–根据学生的实际操作情况和实验报告的内容进行评估。

四. 总结通过本教案的学习，学生可以了解椭圆的原理和应用。

掌握椭圆的方程和绘制方法，并了解椭圆在各个领域的实际应用。

通过实验教学，学生可以加深对椭圆的理解，培养实践操作和团队协作的能力。

同时，也为学生今后深入学习相关领域打下坚实的基础。