2021届广东省茂名市五校联盟高三第一次联考试题 数学 PDF版

广东省茂名市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B【解析】【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断.【详解】 由于0.20110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<= 故b a c >>.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.2．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】 由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种. 如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B【点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.4．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ）A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =- 【答案】C【解析】【分析】由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =， 则()112AA AB AD +-+1122a b c =-++ 即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.6．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >， 则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++，当且仅当n m m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．7．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<< 【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.8．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A ．49B ．49-C ．43D ．43- 【答案】B【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+ 2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA = ∴()49PA PB PC ⋅+=-故选B ．【点睛】 判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．9．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】 设抛物线的解析式22(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-， ∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点，又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22y px =，解得2p =， 又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p p DP p =+-==， ∴11||||24422ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C.【点睛】 本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．10．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 【答案】C【解析】【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】 由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为2852c e a +===，故选C ． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．12．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题 1．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.2．已知集合(){}210,|ln 61x A xB x Z y x x x ⎧⎫-==∈=+-⎨⎬+⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-【答案】A【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-，所以{0,1}AB =.故选：A.3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算． 【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+=故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果. 【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222422216A A A A -=.故选：C.5．若10.3221,log 3,32a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】易得12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，然后由222log 3b =推出32b >比较即可.【详解】12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3222222log 3log 9log 82log 23=>==，32b ∴>， 又0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以c a b <<. 故选：D6．在ABC 中，,4B AD π=是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】C【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.【详解】设AD x =，因为,24B CD AD π==，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，由余弦定理，可得222cos10BAC ∠==-. 故选：C.7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:AQI 指数值 0~5051~100101~150151~200201~300300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占13C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100， 第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确：对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14，故B 错误；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ） A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案.【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为132C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得||13OM c ==，再由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有2||||3OE OP =，得23a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11()22ABCD A B CD V h x V '''-===可判断D ．【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B 正确； 连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．三、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_________. 【答案】210【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2n S n =，进而得nS n n=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22n n n a a n n S n ++-===，所以n Sn n =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为2020(120)2102T +==. 故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列.14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．351. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得355OH =，即可求得PQ 长度的最小值.详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值.作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ∆的面积为1113222111212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. ∴11322A N OH ⨯=，则355OH =. ∴PQ 长度的最小值为3515- 351. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.四、双空题16．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________.【答案】2545 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF 的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3,45AM AB BM BF ==， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 整理得241740x x -+=，所以12174x x +=， 所以1225||4AB x x p =++=， 所以254||||sin 545CD AB BAM =∠=⨯=， 所以CDF 的面积为15252⨯⨯=， 故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，120,2,B BC ABC ∠=︒=的面积为23.(1)求AC ；(2)若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积132322ABCSAB =⨯⨯⨯=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解.（2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求得m n +最大值即可. 【详解】（1）由ABC 面积公式得1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=， 所以4AB =，在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ︒=+-⨯⨯⨯=， 所以27AC = （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ︒=+-，2()3m n mn =+-则22()2832832m n m n mn +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即2()284m n +≤，所以m n +≤当且仅当m n ==时，等号成立. 所以四边形ABCD周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2nT <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出2n T <即可. 【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，因为12a =，所以22332131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以234224q q q =+-，即()()22211q q q+=+.又0q >，解得2q，所以2nn a =.选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则212a q a ==， 所以2nn a =. （2）因为2nn a =，所以22(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n =+=+=+，所以22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪++⎝⎭， 所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221111112121223(1)(1)n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 222(1)n =-+因为n ∈+N 时，220(1)n >+，所以2n T <.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（31=-（4）()()1121121212121n n n nn ++=-----.19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .(1)证明:MN AH ⊥；(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC AB PA ==与平面ABCD 所成的角为60°，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且ACBD O =，连结PO .因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AH ⊂平面PAC ，所以，BD AH ⊥， 因为，//BD 平面AMHN BD ⊂，平面PBD ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ︒∠=， 所以，13,2AO PA PO PA ==， 因为，3PA AB =，所以，36BO PA =. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,,0,0,,033O A B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13(0,0,3),,0,2P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，23330,,0,2BD AH ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2333022yx z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0,23y z ==，所以，(2,0,23)n =.因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3cos |cos ,|2||n OP n OP n OP θ⋅=<>==‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为6π. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名 后50名 近视 40 32 不近视1018(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，34. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可； （2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值2003.175 3.84163k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++⨯=，所以0.75a =，4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.25.10.250.2 4.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6. （2）因为2K的观测值2100(40181032)2003.175 3.8415050722863k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.2510.250.754=+所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，则1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3313(),0,1,2,344k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0312013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21302333139131(2),(3)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为14，进而得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭.是中档题. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0,F c P 椭圆上的一动点，且PF 的最小值是1，当PF 垂直长轴时，3||2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O x y +=于,M N 两点，求MON △面积的最大值，并求此时直线l 方程.【答案】（1）22143x y +=；（2y =【分析】（1）由||PF 的最小值为1，得到1a c -=，再由3||2PF =， 结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求得椭圆的方程.（2）设切线l 的方程为y kx t =+，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得2234t k -=，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MON △的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 椭圆上的一动点，且||PF 的最小值是1，得1a c -=，因为当PF 垂直长轴时，可得3||2PF =，所以232b a =，即223b a =， 又由222a bc =+，解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON △，设切线l 的方程为y kx t =+， 联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()222(8)4344120kt k t ∆=-+-=，化简得2234t k =+，则2234t k -=， 因为点O 到直线l的距离d =所以||MN ==||MN = 故MON △的面积为114||122||||S MN d t t =⋅==+ ， 因为22304t k -=≥，可得23t ≥，即t ≥1||||y t t =+在)+∞上单调递增，所以1||||t t +≥||t =则S ≤=MON △当||t =0k =，所以直线的方程为y =【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.22．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+. (1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222x xf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-.【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln x m x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立，即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln xm x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立. 设()(2)ln xh x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<， 设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x →+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增. ()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。

2021年广东省茂名市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．〔5分〕复数z满足〔z﹣i〕i=2+i，i是虚数单位，那么|z|=〔〕A．B．C．D．33．〔5分〕变量x，y满足约束条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．﹣14．〔5分〕设X～N〔1，1〕，其正态分布密度曲线如下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是〔〕〔注：假设X～N〔μ，σ2〕，那么P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，P〔μ﹣2σ＜X＜μ+2σ〕=95.44%〕A．.7539B．6038C．7028D．65875．〔5分〕数学文化?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一〞，其意大致为：有一栋七层浮屠，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，那么该塔中间一层有〔〕盏灯．A．24B．48C．12D．606．〔5分〕甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，获得面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．假设这三人中仅有一人说法错误，那么以下结论正确的选项是〔〕A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．〔5分〕函数的局部图象大致为〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕执行如下图的轨范框图，那么输出的S值是〔〕A．B．﹣1C．2021D．29．〔5分〕设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，假设△PF1F2的面积是1，且a+b=3，那么双曲线的离心率为〔〕A．.2B．C．D．10．〔5分〕△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，假设2sin〔﹣〕=1，且a=2，那么△ABC的面积的最大值为〔〕A．B．C．D．211．〔5分〕三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕定义在R上的奇函数f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，假设函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔e，e3〕C．〔e，e2〕D．〔1，e3〕二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，13．〔5分〕，假设，那么λ=．14．〔5分〕在〔1﹣x〕2〔1﹣〕4的展开式中，x2的系数是．15．〔5分〕函数f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx〔ω＞0〕在区间上是增函数，且在区间[0，x]上刚好取得一次最大值，那么ω的取值范围是_．16．〔5分〕从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，假设直线AB的倾斜角为，那么P点的横坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔12分〕设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，假设T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．〔I〕求证：平面EAC⊥平面PCD；〔II〕求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．〔12分〕交强险是车主必需为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为a元，鄙人一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通变乱的情况相联系，发生交通变乱的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔I〕按照我国?机动车交通变乱责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，a=950〔元〕，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；〔II〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为变乱车，假设购进一辆变乱车亏损5000元，一辆非变乱车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆变乱车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．20．〔12分〕椭圆C1：〔〔a＞b＞0〕〕的一个焦点为F1，且经过点P．〔I〕求椭圆C1的标准方程；〔II〕椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍〔λ＞1〕，过点C〔﹣1，0〕的直线l与椭圆C2交于A，B两个分歧的点，假设，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．21．〔12分〕函数〔a∈R〕．〔I〕讨论g〔x〕的单调性；〔II〕当时，函数在其定义域内有两个分歧的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，假设m≥1，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选标题问题对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为〔t为参数〕，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．〔I〕假设直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；〔II〕设M〔x，y〕为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅰ〕设函数f〔x〕的最大值为M，假设不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2021年广东省茂名市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B={0，1，2}．应选：C．2．〔5分〕复数z满足〔z﹣i〕i=2+i，i是虚数单位，那么|z|=〔〕A．B．C．D．3【解答】解：由〔z﹣i〕i=2+i，得z﹣i=，∴z=1﹣i，那么|z|=．应选：A．3．〔5分〕变量x，y满足约束条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A〔1，2〕，此时z max=3×3+2=11，应选：B．4．〔5分〕设X～N〔1，1〕，其正态分布密度曲线如下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是〔〕〔注：假设X～N〔μ，σ2〕，那么P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，P〔μ﹣2σ＜X＜μ+2σ〕=95.44%〕A．.7539B．6038C．7028D．6587【解答】解：∵X～N〔1，1〕，∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，∴那么P〔0＜X＜2〕=68.26%，那么P〔1＜X＜2〕=34.13%，∴暗影局部的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是6587．应选：D5．〔5分〕数学文化?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一〞，其意大致为：有一栋七层浮屠，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，那么该塔中间一层有〔〕盏灯．A．24B．48C．12D．60【解答】解：按照题意，设最底一层有a盏灯，那么由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7==381，解可得a=192，那么a4=a×〔〕3=24，即该塔中间一层有24盏灯；应选：A．6．〔5分〕甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，获得面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．假设这三人中仅有一人说法错误，那么以下结论正确的选项是〔〕A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，那么乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，那么丙说的是真话，假设乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；假设乙被录用，那么甲和乙的说法都错误，不成立．应选：C．7．〔5分〕函数的局部图象大致为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，可得f〔x〕为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间〔1，+∞〕上f〔x〕单调递增，排除D，应选C．8．〔5分〕执行如下图的轨范框图，那么输出的S值是〔〕A．B．﹣1C．2021D．2【解答】解：依题意，执行如下图的轨范框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2021时，S2021=S1=，k=2021，退出循环．输出S=．应选：A．9．〔5分〕设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，假设△PF1F2的面积是1，且a+b=3，那么双曲线的离心率为〔〕A．.2B．C．D．【解答】解：方式一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，那么mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，按照勾股定理得m2+n2=4c2∴〔m﹣n〕2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得〔m﹣n〕2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，那么b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，应选C．方式二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，那么∠F1PF2=90°，那么△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，应选C．10．〔5分〕△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，假设2sin〔﹣〕=1，且a=2，那么△ABC的面积的最大值为〔〕A．B．C．D．2【解答】解：∵2sin〔﹣〕=1，A∈〔0，π〕，∴∈，∴=，∴．又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．按照根本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．当且仅当b=c时，等号成立．△ABC面积S=bcsinA≤=〔当且仅当b=c时，等号成立〕∴△ABC的面积的最大值．应选：B．11．〔5分〕三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B．C．D．【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，那么截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，那么截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，那么球的半径R为，所以球的体积为=4．应选：A．12．〔5分〕定义在R上的奇函数f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，假设函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔e，e3〕C．〔e，e2〕D．〔1，e3〕【解答】解：∵f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕且为奇函数，函数f〔x〕=f 〔2﹣x〕=﹣f〔﹣x〕∵f〔﹣x〕=f〔2+x〕⇒f〔x+4〕=f〔x〕∴f〔x〕周期为4，∵当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，按照m〔x〕=|f〔x〕|与n〔x〕=ae﹣|x|图象，函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，即m〔x〕=|f〔x〕|与n〔x〕=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，∴即e＜a＜e3．应选：B二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，13．〔5分〕，假设，那么λ=．【解答】解：∵，，∴=﹣1+2λ=0，解得λ=．故答案为：．14．〔5分〕在〔1﹣x〕2〔1﹣〕4的展开式中，x2的系数是﹣10．【解答】解：〔1﹣x〕2〔1﹣〕4=〔1﹣2x+x2〕〔1﹣4+﹣+x2〕∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．故答案为：﹣10．15．〔5分〕函数f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx〔ω＞0〕在区间上是增函数，且在区间[0，x]上刚好取得一次最大值，那么ω的取值范围是_．【解答】解：f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx=4sinωx﹣﹣2sin2ωx=2sinωx〔1+sinωx〕﹣2sin2ωx=2sinωx，即：f〔x〕=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵ω＞0，∴，又函数在区间[0，π]上刚好取得一次最大值，按照正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得．故答案是：．16．〔5分〕从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，假设直线AB的倾斜角为，那么P点的横坐标为．【解答】解：如图，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，P〔x0，﹣1〕，那么，又∵，，∴，那么．由x2=4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1=〔x﹣x1〕，切线PB的方程为y﹣y2=〔x﹣x2〕，即切线PA的方程为y﹣=〔x﹣x1〕，即；切线PB的方程为y﹣=〔x﹣x2〕，即．∵点P〔x0，﹣1〕在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=2x0，得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔12分〕设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，假设T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：〔I〕设等比数列{a n}的公比为q〔q＞0〕，由题意，得…〔2分〕解得…〔3分〕所以…〔4分〕〔II〕由〔I〕得，…〔5分〕．…〔6分〕∴，…〔8分〕∴，…〔10分〕假设恒成立，那么恒成立，那么，所以…〔12分〕18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．〔I〕求证：平面EAC⊥平面PCD；〔II〕求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】证明：〔I〕∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2△ABC是等腰直角三角形，∴AC=，CD=，…〔2分〕∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…〔3分〕又∵PC∩CD=C，…〔4分〕∴AC⊥平面PCD，…〔5分〕∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．…〔6分〕解：〔II〕解法1：由〔1〕得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，作PH⊥EC，那么PH⊥平面EAC，…〔8分〕∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…〔9分〕在Rt△PAC中，PA=，在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…〔10分〕sin=，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…〔12分〕解法2：∵PC⊥底面ABCD，那么建立如下图的直角坐标系，…〔7分〕那么P〔0，0，2〕，，，，．…〔8分〕设平面EAC的法向量为=〔x，y，z〕，那么，即，…〔9分〕令z=1，解得…〔10分〕记直线PA与平面EAC所成角为θ，那么sinθ==，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…〔12分〕19．〔12分〕交强险是车主必需为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为a元，鄙人一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通变乱的情况相联系，发生交通变乱的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔I〕按照我国?机动车交通变乱责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，a=950〔元〕，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；〔II〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为变乱车，假设购进一辆变乱车亏损5000元，一辆非变乱车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆变乱车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．【解答】解：〔I〕由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…〔1分〕由统计数据可知：，，，，，．…〔4分〕∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a 1.3aP…〔5分〕∴…〔6分〕〔II〕①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为变乱车的概率为，…〔7分〕三辆车中至多有一辆变乱车的概率为…〔9分〕②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，P〔Y=﹣500〕=，P〔Y=10000〕=，∴Y的分布列为：Y﹣500010000P…〔10分〕…〔11分〕所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…〔12分〕20．〔12分〕椭圆C1：〔〔a＞b＞0〕〕的一个焦点为F1，且经过点P．〔I〕求椭圆C1的标准方程；〔II〕椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍〔λ＞1〕，过点C〔﹣1，0〕的直线l与椭圆C2交于A，B两个分歧的点，假设，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：〔1〕设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2为直角三角形，那么，∴，由椭圆的定义得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，∴椭圆C1的标准方程；〔2〕设椭圆C2的方程为，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．∵λ＞1，∴点C〔﹣1，0〕在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个分歧的交点．当直线l 垂直于x 轴时，〔不是零向量〕，不合条件；故设直线 l 方程为y=k 〔x +1〕〔A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0〕，由，得．∴，∵，而点C 〔﹣1，0〕，∴〔﹣1﹣x 1，﹣y 1〕=2〔x 2+1，y 2〕，即y 1=﹣2y 2，那么y 1+y 2=﹣y 2， ∴．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ===═×==．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值． ∴直线l 的方程为或．21．〔12分〕函数〔a ∈R 〕．〔I 〕讨论g 〔x 〕的单调性； 〔II 〕当时，函数在其定义域内有两个分歧的极值点，记作x 1，x 2，且x 1＜x 2，假设m ≥1，证明：．【解答】解：〔I〕〔a∈R〕，方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a，①当时，△≤0，g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕为增函数，②当时，△＞0，方程2x2+x﹣a=0的两根为，当时，x1＜x2≤0，g〔x〕在〔0，+∞〕为增函数，当a＞0时，x1＜0＜x2，g〔x〕在〔x2，+∞〕为增函数，在〔0，x2]为减函数，综上所述：当a≤0时，g〔x〕的增区间为〔0，+∞〕，无减区间，当a＞0时，g〔x〕的增区间为〔x2，+∞〕，减区间〔0，x2]，〔II〕证明：f〔x〕=xlnx﹣x2﹣x+a，所以f'〔x〕=lnx﹣ax因为f〔x〕有两极值点x1，x2，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲证等价于要证：，即1+m＜lnx1+mlnx2，所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a〔x1+mx2〕，因为m≥1，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明：．又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得ln=a〔x1﹣x2〕，所以a=所以原式等价于要证明：，令t=，t∈〔0，1〕，上式等价于要证：，t∈〔0，1〕，令，所以，当m≥1时，h′〔t〕＞0，所以h〔t〕在〔0，1〕上单调递增，因此h〔t〕＜h〔1〕=0，所以在t∈〔0，1〕上恒成立，所以原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选标题问题对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为〔t为参数〕，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．〔I〕假设直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；〔II〕设M〔x，y〕为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，整理得：〔x﹣2〕2+y2=4∴曲线C是圆心为C〔2，0〕，半径为2的圆．∵直线l过点P〔﹣2，0〕，当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k〔x+2〕，即kx﹣y+2k=0直线l与圆有公共点，那么，解得：∵α∈[0，π]，∴α的取值范围是：[0，]．〔II〕曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，可化为：〔x﹣2〕2+y2=4．其参数方程为：〔θ为参数〕∵M〔x，y〕为曲线C上任意一点，∴=2+，由于：那么：所以：∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅰ〕设函数f〔x〕的最大值为M，假设不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕当x≥3时，f〔x〕=﹣8，此时f〔x〕≥2无解；…〔1分〕当﹣5＜x＜3时，f〔x〕=﹣2x﹣2，由f〔x〕≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…〔3分〕当x≤﹣5时，f〔x〕=8，此时f〔x〕≥2恒成立．…〔4分〕综上，不等式f〔x〕≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…〔5分〕〔Ⅰ〕由〔Ⅰ〕可知…〔6分〕易知函数f〔x〕的最大值M=8，…〔7分〕假设x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…〔8分〕即m≤[﹣〔x+1〕2+9]max=9．…〔9分〕因此，m的取值范围是m≤9．…〔10分〕。