高等几何第五章

a11 a21 a12 a22

0.
注：上面的推导即求解教材习题5.1.
12
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
三、射影坐标的特例
1.仿射坐标
取A1为直线上的无穷远点P，取A2为原点O，则
( A1 A2 , EP) ( P A2 , EP)
( PE , A2 P ) ( PEA2 ) A2 P OP A2 E OE
kx kx2 x x1
k 1
kx2 x
0
8
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
二、笛氏坐标与射影坐标的转换
kx kx2 由 ， x x1
k 1 kx2 x 0
知，同一点的笛氏坐标x和射影坐标λ 之间有一个 行列式不为0的双一次关系式,因此，它们之间的 关系是射影对应（见3.4节）即有： x . 于是由定理3.1知，四点的交比既等于它们笛氏坐 标的交比，也等于它们射影坐标的交比。
a2
p
a1 e
6
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系
2.线束的射影坐标系
说明: (1)设 0，则[u1 , u2 ]与[u1 , u2 ]代表同一线.
2 (0, 0)不代表任何线, u2 0与 相对应.
x1 sin(a1, e) sin(a2 , p) (3) (a1a2 , ep ) x2 sin(a1, p)sin(a2 , e)
4
云南师范大学
5.1 一维射影坐标系
一、一维射影坐标系 1.点列的射影坐标系 说明：
（1）对于任意的数 0，坐标( x1, x2 )和( x1, x2 )代表同一点;

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。

2. 掌握空间解析几何的基本知识。

3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。

教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。

2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。

3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。

教学准备：1. 教案和教材。

2. 多媒体教学设备。

教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。

2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成教材中的练习题。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。

教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。

2. 理解线性变换和矩阵运算。

3. 学会运用向量空间解决实际问题。

教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。

2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。

若 T 作用下，IJ 而 JI，则由 IJ 得
由此得
a11 a12i i a21 a22i
，
(a22 + a11) i a21 a12 0，
故 a22 a11，a21 a12．(由JI 代入可得相同结果)
反之，不难验证仿射变换(5.9)保持{I, J}不动．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
a11 a22，a12 0．
故圆的齐次坐标方程为
a11x12 a11x22 a33x32 2a13x1x3 2a23x2x3 0． 令 b13 a13/a11，b23 a23/a11，b33 a33/a11，化为 非齐次坐标方程，即得结果．
➢ 通过一个圆环点的虚直线称为迷向直线．
坐标系．
o(1)
o(2)
➢ 建立了齐次直角坐标系的扩
大仿射平面称为扩大欧氏平 面．(如右图)
e
e(2)
e(1)
o(3)
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§2 圆环点与欧氏几何
➢2.3 保距变换与欧氏度量
➢ 在扩大欧氏平面上，有如下重要结论
➢ 定理4 在齐次直角坐标下，度量单位圆的方程为
§2 圆环点与欧氏几何
➢ 在以齐次正交坐标系的第三个基点为圆心的圆中， 指定一确定的圆，称为度量单位圆．
➢ 记度量单位圆与o(1)o(3)的交点为e(2)，与o(2)o(3) 的交点为e(1)，令e (o(1)e(1))(o(2)e(2))．
➢ 指定了度量单位圆，且如上选取单位点 e 的齐次
正交坐标系 [o(1), o(2), o(3); e ] 称为齐次直角
高 等 几 何 ( Higher Geometry )

第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。

法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。

继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。

出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。

到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。

在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。

英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。

射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。

克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。

在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。

如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。

正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。

这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。

更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。

： ∆ 切 切 边 点 证 例题 设 ABC内 圆 三 BC, CA, AB于 D, E, F, 求 : D(CA, EF) = −1. 其 D(CA, EF)表 以 为 束 心 四 直 DC, DA, DE, 中 示 D 线 中 的 条 线 DF的 比 交 .
： 点 BC 平 线 交 G DF H 证明 过 A作 的 行 ， DE于 , 交 于 , 则 ∠ = ∠2 = ∠3 = ∠4. 1 故 = AE,同 , 有 AG 理 AH = AF. 由 AE = AF, 故 = AH,即 是 段 的 点 P 表 于 以 AG A 线 GH 中 . ∞ BC HG 交 ， 直 GH 线 ， 示 与 的 点 用 线 截 束 得 D(CA, EF) = (P A, GH), ∞ HA 但 P A, GH) = (HG, AP ) = (HGA) = ( ∞ = −1 , ∞ GA 故 (CA, EF) = −1. D
二、线束的交比 设 a,b,c,d为 一线 中 束 的四 直 ， a和 作 条 线 取 b 为基 ， 它们 线 把 的 齐 坐 依 次 标 次表 a, b, c = a + λ1b, d = a + λ2b(a, b既 表 线 又 为 代 直 ， 代 表 线 坐 直 的 标向 ). 量 设 直 s截 一 线 此四 于 A, B, C, D,则 线 点 这四 的 点 坐标 次 顺 为 a× s, b× s, c× s = a× s + λ1(b× s), ( AB, CD) = d × s = a× s + λ2 (b× s). 故四 的 比为 点 交
一维射影几何学 : 和线束 一维基本图形 点列 : 射影变换的不变量交比 一、点列的交比 设射影 平面上 A的 点 齐次坐 标为a = (a1, a2 , a3 ),点B的齐次 坐标 为b = (b1, b2 , b3 ), 则 X在 连 点 AB 线上⇔∃λ, µ ∈R, 使点 的齐 X 次坐 标 x = (x1, x2 , x3 )可 表为x = λa + µb. 对 偶地 设 , 直线l的坐标 a = (a1, a2 , a3 ), 直线 的线坐 为 m 标为b = (b1, b2 , b3 ), 则 直线l与m重 ⇔矢量 与b线性相 . 直线 与 相 合 a 关 l m 异 ⇔矢量 与 线 a b 性无 . 关

a 2 (b c ) d 0,
一维射影变换的分类：
(ad bc 0)
( 2)
相异实根 相异实二重元 双曲型 0 0 (2)有两个相同实根 (1)有两个相同实二重元 称为 抛物型 0 共轭虚根 共轭虚二重元 椭圆型
18
第三章 一维射影几何学
③将每一个特征根λ 分别代入方程组(A’-λ E)u=0，求 出固定线的坐标.
(a11 ) y1 a12 y2 a13 y3 0 a21 y1 (a22 ) y2 a23 y3 0 a y a y (a ) y 0 33 3 31 1 32 2
28
相应的变换群
射影群
3
仿射群
运动群
变换式
xi aij x j , x a1 x b1 y c1
j 1
i 1,2,3,
y a2 x b2 y c2
x x y h y x y k
aij 0
考试重点：作图题
22
第四章 德萨格定理，四点形与四线形
A
几何构形的代号：
完全四点形
4 3 2 6
B C
D
完全四线形 三角形 德萨格构形 帕普斯定理
6 2 3 4
a
d
b c
23
第五章
射影坐标系和射影变换
5.1 一维射影坐标系 5.2 平面内的射影坐标系 5.3 射影坐标的特例 5.4 坐标转换 5.5 射影变换 5.6 二维射影几何基本定理 5.7 射影变换的二重元素（或固定元素） 5.8 射影变换的特例 5.9 换群 5.10 变换群的例证 5.11 变换群与几何学

《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何英文名称：课程代码: 课程类别: 专业必修学分: 3 学时: 48开课单位: 数学系适用专业: 数学与应用制订人：制订日期: 2011.11.18审核人：（教研室主任签字）审核日期：审定人: （分管教学副主任签字）审定日期:一、课程性质与目的（一）课程的性质高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程。

高等几何课程更是大学“数学与应用数学”专业的重要基础课程，在人才培养中有着最基本的重要性，是大学、研究生阶段的数学学习和未来从事数学教学、研究的重要基础。

（二）课程的目的本课程的目的是使学生在已学习初等几何，解析几何和高等代数的基础上，系统地学习射影几何的知识。

并通过学习实射影平面几何的基础知识，使学生认识射影空间、欧氏空间的内在联系。

从而发展空间概念，更深入地掌握初等几何，解析几何和高等代数的知识，在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。

二、与相关课程的联系与分工高等几何、高等数学、数学分析统称为“三高”，它们是高等师范院校数学专业的三门基础课程。

但是，本课程与其他两门课程相比，地位就相形见绌了。

同时本课程是以射影几何学为理论基础，因此学习本课程的学生应具备相应的初等几何、解析几何、高等代数等课程的基础知识。

三、教学内容及要求第一章仿射坐标与仿射变换【教学要求】本章是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点。

要求掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换、仿射坐标系，并能熟练地求出仿射变换的代数表示式，区别什么是射影平面，仿射平面，欧氏平面【教学重点】仿射坐标系；仿射变换的代数表示【教学难点】仿射性质；射影观点的建立；仿射变换的应用【教学内容】第一节透视放射对应第二节仿射对应与仿射变换第三节仿射坐标一、仿射坐标系二、放射变换的代数表示三、几种特殊的仿射变换第四节仿射的性质第二章射线平面【教学要求】本章作为学习全课程的基础和中心内容，重点讲解欧氏平面的拓展过程，在此基础上给出射影直线和影射平面的概念和模型，使得学生明确了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系。

命射影变换
保持l∞：x3=0不变a31=a32=0. 则得：
5.8射影变换的特例
二、射影变换的特例 1.仿射变换
这正是第一章中介绍过的仿射变换，因此， 仿射变换是射影变换的一种，它使无穷远直线不 变。它将有限点变为有限点，无穷远点变为无穷 远点。
5.8射影变换的特例
二、射影变换的特例 2.相似变换 限制T满足： I(1,i,0) → I； J（1，-i,0） →J, 则得
5.10变换群的例证
一、概念
一切射影变换构成一个群，称为射影变换群. 设在一切射影变换所构成的集合里任取一个变换T1，使
点x变为点x’：
再在集合里任取一个变换T2，使点x变为点x”：
5.10变换群的例证
一、概念 那么T1与T2之积T1T2就将点x变为x’：它的形式
是：
且由矩阵乘法规律
5.10变换群的例证
二、常见的变换群
5.10变换群的例证
二、常见的变换群
5.11 变换群与几何学
对于一个给定的空间S，研究图形关于群G( G为S
上的一切变换的集合 )的不变性质、不变量及关于图形 的分类称为空间S上群G附属的几何学.
一、Klein变换群观点
1872年克莱茵在德国的爱耳兰根大学宣读了 现在人们称为“爱耳兰根纲领”的演说《近世几何 学研究的比较评论》，在这篇文章中他总结了射 影、仿射以及其它几何的发展结果，明确地表述 了构成这些几何的普遍原则，那就是：
二、变换群
定理：一个集合S的所有一一变换（单射）的集合 ，对变换的乘法构成群，称为变换群.(证明参看教 材P.99).
对于所考虑的空间内每一个映像点A’，只有一 个原像点A和它对应，这种变换称为一对一的变换 或可逆变换.凡可逆变换一定具有一个逆变换.以T-1 表示T的逆变换，则T（A）=A’,T-1(A’)=A

高等几何
第五章 二次曲线的射影理论
➢ 这一章将用射影的观点研究二次曲线。 ➢ 首先介绍二次曲线的射影定义； ➢ 然后研究二次曲线的射影性质； ➢ 最后给出二次曲线的射影分类。
§1 二次曲线的射影定义
1.1 二次曲线的射影定义
➢我们既可以用点几何的观点讨论二次曲线 又可以用线几何的观点来讨论，但是我们主 要用点几何的观点讨论问题。
,
q3）
p1 p2
p3
已知点Q(q1,q2,q3)在直线p上：（q1,
q2
p3
, q3）
p1 p2
0.
p3
配极原则：若点Q在直线p上，则点Q的极线通过直线p 的极点。
A
O
K
P 在两个不同中心的射影对应
B’ S
A’ K’
M
O’
线束O(P)、O’ (P) 所构成的二
B 阶曲线上任取两点A、B，由这
两点向二阶曲线投射直线，得 到两个线束A(M)、B(M).
✓ 须证明A(M) 与B(M) 射影对应，已知 O(M) 与O’ (M)
射影对应： O(A, B, P, M )O'( A, B, P, M )
➢直观上，二阶曲线的切线的集合为二级曲 线，二级曲线切点的集合为二阶曲线，且这 二阶曲线、二级曲线表示同一条二次曲线。
➢定理1.3 一条非退化的二阶曲线的切线的 集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条 非退化的二级曲线的切点的集合是一条非退 化的二阶曲线。
设S≡∑aijxixj=(x1x2x3)A(x1x2x3)T是一条非退化的二阶曲 线，[u1,u2,u3]是该二阶曲线的任意一条切线，现在寻找 u1,u2,u3满足的方程。
➢定义3.2 定点P关于一条二阶曲线的 调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直 线叫做点P关于此二阶曲线的极线，点P 叫这条直线关于此二阶曲线的极点。

第五章 二次曲线的仿射性质如果将仿射变换(5.0.1) 111112213221122223''x a x a x a x a x a x a =++⎧⎨=++⎩ 111221220a a a a ∆=≠ 用点的齐次坐标表示，设''1212''3333',',,x x x xx y x y x x x x ====，于是(5.0.1)化为'112111213'333'212212223'333x x x a a a x x x x x x a a ax x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩设'33x x ρ=，上式变为(5.0.2) 1111122133221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++⎧⎪=++∆≠≠⎨⎪=⎩上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。

显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。

本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。

§1 二次曲线的仿射性质1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置设二次曲线的方程为(5.1.1) 3,,10,()ij ijij ji i j S a x xa a ====∑现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得(5.1.3)1211x x =因此当21211220a a a -<时，(5.1.3)为二虚根； 当21211220a a a -=时(5.1.3)为二相等实根； 当21211220a a a ->时(5.1.3)为二不等实根。

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。

2. 掌握几何图形的性质和相互关系。

3. 理解几何变换的基本原理。

教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。

2. 几何图形的性质和相互关系。

3. 几何变换的基本原理。

教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。

2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。

3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。

3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。

教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。

2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。

3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。

课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。

2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。

3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。

教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。

2. 理解平面的性质和方程。

3. 学会利用直线和平面解决几何问题。

教学内容：1. 直线的性质和方程。

2. 平面的性质和方程。

3. 直线与平面的相互关系。

教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。

2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。

3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。

3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。

教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。

2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。

3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。

课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。

第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD 가BC ，由于T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；又∵（AGD ）=（A'G'D'）即 31AD A D GD G D ''=='' 3311BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：， ∴G'是△A'B'C'的重心。

第五章射影坐标系和射影变换第六章二次曲线的射影性质第五章射影坐标系和射影变换1、将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ+=-≠+以齐次坐标表达。

解 设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为x ，则齐次坐标为（x 1，x 2），且x ＝12xx ，一点的射影坐标为λ，齐次坐标为（λ1,λ2）且λ=12λλ，将λ和x 代入关系式（1）有112122x x x x αβλλγδ+=+，化简得：1212121(0)x x x x λλραβγδρ==≠++令∴1122120x x x xαβρλαβρλγδγδ=+⎧≠⎨=+⎩且为齐次变换式。

2、在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E ，(i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？解：笛氏坐标 0 ． 2． 3． x ． 射影坐标： A 2 A 1 E λ（i ）由定义 λ=（A 1A 2，EP ）=（2 0，3x ）=(32)(0)(2)(30)36x xx x --=--- 10603636xx λ==≠-故：，且(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有36xx x =-，即3x 2－7x=0， ∴当x=0及x=73时两种坐标相等。

3、在二维射影坐标系下，求直线A 1E ，A 2E ，A 3E 的方程和坐标。

解：坐标三角形顶点A 1（1，0，0）,A 2（0，1，0）,A 3（0，0，1）和单位点E （1，1，1） 设P （x 1，x 2，x 3）为直线A 1E 上任一点，其方程为：1231000111x x x =即x 2－x 3=0，线坐标为（0，1, －1）直线A 2E 的方程为：123100111x x x =，即x 1－x 3=0，线坐标为（1，0，－1）；直线A 3E 的方程为：123010111x x x =，即x 2－x 1=0，线坐标为（－1，1，0）4、写出分别通过坐标三角形的顶点A 1，A 2，A 3 的直线方程。

云南师范大学
高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第五章 射影坐标系和 射影变换
5.2平面内的射影坐标系 5.3射影坐标的特例
云南师范大学数学学院
1
云南师范大学
提 纲
5.2平面内的射影坐标系
一、概念
二、重要内容例讲 5.3射影坐标的特例 一、仿射坐标
二、笛氏坐标
三、射影坐标的作图
2
云南师范大学
5.2平面内的射影坐标系
取A3为原点， A1 A2为无穷远线,那么有
P 3 1 （因为此时A2 A3为无穷远线） e3
这时平面上一点P的非齐次 坐标变成
x1 p1 x x3 e1
O
y
P
A2
E1
E
A3
E2
A1
z
x2 p2 y x3 e2
图5.4
10
云南师范大学
一、仿射坐标
5.3射影坐标的特例
由E和P引平行线， 分别与A3A1及A3A2平行， 这些平行线与A3A2及 A3A1相交，给出长度e1’， e2’和p2’（图5.4）.由相 似三角形得：
6
云南师范大学
5.2平面内的射影坐标系
二、重要内容例讲
1.射影坐标的等价性证明
设Ai P, Ai E (i 1, 2,3)与坐标 A1 A2 A3中Ai的对边交于点P i , Ei (见下页图)，则 3.2Th.3
（A2 A3 , E1P ）=（E1P ）=A （ ）= 1 1, A 2A 3 1 E 1P 1, A 2A 3
3
云南师范大学
5.2平面内的射影坐标系
A1
一、概念
P 3
E3
p3
P
e3

高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

a12 a13 方程组（2） a11 a21 a22 a23 | A E | 0. 有非零解，μ a31 a32 a33 满足方程.
(2)
(3)
18
云南师范大学
二、二重元素的求法
1.固定点
5.7 射影变换的二重元素
• 总之，要求射影变换（1）的二重点。第一步求变 换矩阵的特征方程（3）的根.第二步将所求每一特 征根代入（2）解出相应的二重点.
1 交比为 ，后者也如此，即四点的交比在二维 2 射影变换下不变.
同理，若由线坐标变换公式出发，可以在二 维射影变换下，平面内的一个线束和对应线束成 射影对应。
16
云南师范大学
5.7 射影变换的二重元素
一、二重元素的概念 不为射影变换所变更的元素（点和直线）， 称为射影变换的二重元素（或固定元素）。
4
云南师范大学
5.6二维射影几何基本定理
一、引理
引理证明分析： 要证明这种变换的存在，要能找到9个系数
aij , 使 aij 0. 将四个基点和P的坐标分别代入5.5节（1）式 i 并注意比例因子 对于不同的点各有其值，可得 如下的方程组：
5
云南师范大学
5.6二维射影几何基本定理
一、引理
11 a11 , 2 1 a12 , 3 1 a13 , a a a , 11 12 13 4 1 1 2 a21 , 2 2 a22 , 3 2 a23 , (1) 4 2 a21 a22 a23 , a , a , a , 31 2 3 32 3 3 33 1 3 4 3 a31 a32 a33 , 1 2 3 4 0 由此可知，如果决定了1、 2、3、 4，那么 aij 也就决定了。将（1）中各aij消去便得出

第一章 仿射几何的根本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的根本定理，T 可使等腰△ABC 〔AB=AC 〕与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，如此AD ⊥BC ，且β=γ，T 〔D 〕=D' 〔图1〕。

∵T 保存简比不变， 即〔BCD 〕=〔B'C'D'〕= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T 〔 β〕= β'，T 〔 γ 〕= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，如此AD 가BC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'〔一般三角形〕，D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保存简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线〔图2〕。

设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G) ∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；又∵〔AGD 〕=〔A'G'D'〕即 31AD A D GDG D ''==''3311BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：，∴G'是△A'B'C'的重心。