高等几何 总复习

《高等几何》练习题一 、判断题（ ）1、两个三角形的面积之比是仿射不变量。

（ ）2、变换群越大，它所对应的几何内容越丰富。

（ ）3、无穷远直线与二阶曲线没有交点。

（ ）4、一点的极线是其所有调和共轭点的轨迹。

（ ）5、三角形的三中线共点是仿射性质。

（ ）6、一直线的齐次线坐标唯一。

（ ）7、仿射变换把单位向量仍变为单位向量。

（ ）8、交比是射影不变量。

（ ）9、透视对应必是射影对应。

（ ）10、平面内不共线三点可以确定一条二阶曲线。

（ ）11、渐近线是二次曲线的自共轭直径。

二、填空题1、 梯形的仿射图形是 。

2、 等边三角形的仿射图形是 。

3、 “点”与“ ”叫做平面上的对偶元素。

4、 设)8,1(),21,21(),2,1(C B A ---为共线三点，则=)(ABC 。

5、 已知点)1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-==D B A 且2),(=CD AB ，则=C _________。

6、 四点)1,0,1(),3,1,3(),1,1,1(),1,1,1(4321P P P P --在同一直线上，则=),(4321P P P P _________。

7、 无穷远直线的齐次方程为________________________________。

8、 012=++y x 上的无穷远点的坐标是 。

9、 直线]1,2,[i i -上的实点坐标为 。

10、 一点),,(321x x x x ≡在一直线],,[321u u u u ≡上的充要条件是_________________。

11、 已知点A 的坐标)1,1,2(-及点P 的方程032321=++u u u ，则直线AP 的方程为 。

12、 设二直线]3,1,2[],1,1,1[交点为A ，点P 的线坐标方程为032321=++u u u ，则直线AP 方程为 。

13、 方程03=x 在射影坐标系下表示坐标三点形的第三边，而在仿射坐标系下它表示___________________________。

高等几何复习要点第一章仿射坐标和仿射变换1.1 透视仿射对应单比，透视对应及其性质。

1.2仿射对应和仿射变换仿射对应、仿射变换及其性质。

1.3仿射坐标仿射坐标系的定义，单比的坐标表示，仿射坐标系下的直线方程，仿射变换的代数表示及其计算。

1.4仿射性质仿射性质和仿射不变量。

Ex.1.4：1-4第二章射影平面2.1射影直线和射影平面中心射影，影消线，无穷远元素，射影直线和射影平面，射影性质与射影不变量，Desargues定理及其逆定理。

Ex.2.1：1-3,62.2齐次坐标齐次点坐标，齐次线坐标。

Ex.2.2：4,52.3对偶原理对偶元素，对偶命题，对偶原则。

Ex.2.3：1,2第三章射影变换与射影坐标3.1交比和调和比点列（线束）的交比及其性质，调和共轭，交比的计算，交比是射影不变量，完全四点形与完全四线形的调和性。

Ex. 3.1： 2-53.2一维射影变换一维基本型，一维基本型的透视对应与射影对应及其关系，Pappus定理，一维射影变换，对合。

Ex.3.2： 1-33.3一维射影坐标齐次射影坐标，交比的坐标表示，一维射影对应（变换）的代数表示，对合对应的参数间的关系。

Ex.3.3： 1-43.4二维射影变换与二维射影坐标二维基本型，二维基本型的透视对应与射影对应及其关系，二维射影坐标（齐次射影坐标），二维射影对应（变换）的代数表示，自对应（不变）元素。

P.84,例；Ex.3.4： 1-3第四章变换群与几何学4.1 变换群4.2变换群与几何学射影几何、仿射几何和欧式几何的比较，基本不变量（不变性，不变图形）Ex.4.2： 3,5第五章二次曲线的射影理论5.1二次曲线的射影定义二阶曲线的方程，二阶曲线的矩阵形式，二阶曲线的射影定义，二阶曲线与直线相关位置；二级曲线及其与二阶曲线的关系。

Ex.5.1：3,4,55.2 Pascal和 Brianchon定理Pascal定理及其逆定理的应用， Brianchon定理。

《高等几何》复习题一、填空题1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；2、线坐标 (1,2,1) 的直线的齐次方程为：0x x 2x 321=++ ；3、直线0x 2x 321=+上的无穷远点坐标为： （2,-3,0） ；4、设(AB,CD)=2，则点偶 AC 调和分割点偶 BD ；5、两个射影点列成透视的充要条件是 保持公共元素不变 ；6、写出德萨格定理的对偶命题： 三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。

7、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应8、求射影变换012'=+λ-λλ的自对应元素的参数 19、平面上4个变换群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为： 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。

10、二次曲线的点坐标方程为0x x x 42231=-，则其线坐标方程为是 0u u u 2231=-. 11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量. 12、共线三点的简比是 仿射 不变量.13、平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一 仿射变换 . 14、已知OX 轴上的射影变换式为3x 1x 2x '+-=，则原点的对应点 31- 15、2221u u - =0代表点 (1,1,0)、(1,-1,0) 的方程.16、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则 A(BC,DE) = -1 17、对合由 两对不同的对应元素 唯一决定.18、二阶曲线就是 两个射影线束对应直线交点 的全体.19、方程0u 6u u 5u 222121=+-表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0）20、罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做 分散 直线. 21、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 22、直线0x 5x 21=+上无穷远点坐标为： （5，-1，0）23、已知3)l l ,l l (4321=,则=)l l ,l l (1234 3 , =)l l ,l l (4231 -2 24、过点A(1,i -,2)的实直线的齐次方程为： 0x x 231=-25、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二 阶 曲线.26、不在二阶曲线C 上的点P 关于C 的调和共轭点的轨迹是一条直线, 称为P 的 极 线.二、选择1、下列哪个图形是仿射不变图形？( D )A.圆,B.直角三角形,C.矩形,D.平行四边形2、222121u 8u u 2u -+=0 表示( C )A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点,C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点,D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点.3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B ) A.一次, B.两次, C.三次, D.四次.4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A )：A. 三角形的垂心，B. 梯形，C.平面内无三线共点的四线有六个交点，D.椭圆 5、二次曲线按射影分类总共可分为( B ) A.4类， B.5类，C.6类， D.8类 6、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)P P P (321 A . A.1， B.2， C.3， D.47、已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)= D . A.-4， B-3， C.-2， D.-18、若共点四直线a,b,c,d 的交比为 (ab,cd)=-1，则交比 (ad,bc)= B . A.1， B.2， C.3， D.49、点坐标为(1,0,0)的方程是 A .A.u 1=0，B. u 2=0，C. u 2=0，D. u 4=0 10、证明公理体系的和谐性常用 C .A. 公理法，B. 反证法，C. 模型法，D. 演绎法 11、一点列到自身的两射影变换,其中为对合的是 BA.21→，32→，43→；B.10→，32→，01→C.31→，12→，43→；D.10→，32→，21→ 12、下列哪个名称或命题属于射影几何学 ( C )A. 三角形三条高线共点,B. 直角三角形,C. Desargues 定理,D. 梯形. 13、满足条件 ( C ) 的一维射影变换必为对合变换.A. 有一个自对应点,B. 有两个自对应点,C. 有两个对合点,D. 有三个对合点.14、一维射影变换f 如果满足f -1=f, 则称之为 ( A ) 变换.A. 对合,B. 简单,C. 线性,D. 非奇.三、判断1、仿射对应不一定保持二直线的平行性.（ × ）2、两直线能把射影平面分成两个区域.（ √ ）3、当正负号任意选取时，齐次坐标)1,1,1(±±±表示两个相异的点.（ × ）4、若一维射影变换的一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则它一定是对合.（ √）5、配极变换是一种非奇线性对应.（ √ ）6、共线四点的交比是仿射不变量. （ √ ）7、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形. （ × ）8、直线0x x x 2321=+-上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比(ABC)= 0. （ × ） 9、共线三点的简比是射影不变量. （ × ） 10、Desargues 定理是自对偶命题. （ × ）11、二直线所成角度是相似群不变量. （ √ ） 12、二维射影对应有3对对应点唯一确定. （ × ）13、若交比 (P 1P 3, P 2P 4)=2, 则 (P 1P 2, P 3P 4)=-1. （ √ ） 14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换. （ × ）四、计算、作图1、求点 (1,-1,0) 关于二阶曲线0x x 5x x 4x x 7x x 5x 3323121232221=+++++的极线方程.解：极线方程 (1,-1,0)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡12/522/552/722/73⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =0, 即 0x x 3x 321=++2、求仿射变换式使直线x ＋2y －1＝0上的每个点都不变，且使点 (1,-1)变为 (-1,2). 解：设所求仿射变换为⎩⎨⎧++='++='222111c y b x y c y b x x αα在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取 (1,0)、(3,-1), 在仿射变换下，此二点不变。

高几复习题1． 求仿射变换，它使点)1,1(,)1,1(,)0,0(-依次变成点)7,3(,)5,2(,)3,2(-．解：设所求仿射变换式为 '11121'21222x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩将三对对应点坐标分别代入上式，解得 仿射变换式为⎪⎩⎪⎨⎧++-='+-='36422121y x y y x x（注：不共线的三对对应点唯一确定仿射变换）2． 求仿射变换，它使直线012=-+y x 上每一点都不动，且将点)1,1(-变成点)2,1(-．解：设所求仿射变换式为 '11121'21222x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩在直线012=-+y x 上任取两点，将三对对应点坐标分别代入上式，解得仿射变换式为 ''22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩432102,03,0,02=+=-=-=-y x y x y x y x 1）求证四直线共点； 2）求 ),(3421l l l l ． 解：1）易见，四直线都通过原点，所以它们共线．2)可以用斜率计算得32))(())((),(132423143421=----=k k k k k k k k l l l l思考斜率不存在怎么解决？（见下题）4．已知四点)1,8,1(),5,0,3(),2,1,1(),1,2,1(D C B A ---． 1）证明：D C B A ,,,四点共线； 2）求交比(,)AC BD ．解：⑴ 因为 0181211121,053211121=--=---所以 D C B A ,,,四点共线．⑵ 设B A D BA C 21λλ+=+=经计算：32221=-=λλ．所以 3),(21-==λλCD AB ， 从而 (,)1(3)A C B D=--=43210,0,02211,021*********==+-=+-=-+x x x x x x x x x x 1）求证四直线共点； 2）求 ),(3421l l l l ．解： 1）∵00111111201112211112==--－－－∴ 4321l l l l 、、、共点． 2）设31124122l l l l l l λλ=+=+、， 经计算 1212λλ=1=-、3∵ 1123422(,)3l l l l λλ==-∴ 23),(1),(43213421-==l l l l l l l l ．6．求一维射影对应式，使直线l 上坐标为2,1,0的三点依次对应于l ' 上坐标为2,0,1--的三点；并求l 上无穷远点的对应点的坐标．解：设所求一维射影对应式为： ⎩⎨⎧+=+=222121'2212111'1x a x a x x a x a x ρρ将三对对应点的齐次坐标()()0, 11, 1→-，()()1, 10, 1→，()()2, 12, 1→-依次代入对应式，得⎩⎨⎧+-=-=21'221'14344x x x x x x ρρ ，将l 上的无穷远点()0 ,1代入上式，得对应点齐次坐标为)3 ,4(-.7．求二维射影变换⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=32132122112'36'4'xx x x x x x x x x ρρρ的不变点和不变直线．解：1）特征根：2,321-==u u （二重）．2）不变点：)0 , 1 , 1( , 31 =u , )1 , 0 ,0( , 22 -=u ．3）不变直线：]0 , 1 , 6[ , 31-= u ， 即 0621=-x x]0 , 1 , 1[ , 2--= ２u ， 即 021=-x x ．（计算方法及过程见课件例题）8．求二维射影变换⎪⎩⎪⎨⎧++='++='++='32133212321122322xx x x x x x x x x x x ρρρ的不变元素．解：1）特征值：125,1λλ==　（二重）．2）不变点：15,(1,1,1)λ= ， 21λ=，不变点列： 02321=++x x x ．3）不变直线：15,[1,2,1]λ= ， 即 02321=++x x x ，21λ=，0321=++u u u ，即以)1,1,1( 为束心的一个不变线束．9．已知有心二次曲线Γ :022********32221=++-++x x x x x x x x x ， （1） 求Γ的一个自极三点形ABC ，且)1,1,0(A ； （2）求Γ的一对共轭直径方程，其中一直径平行于0:321=++x x x l ．解：（1）解：(1) A 的极线a ：0321=--x x x ，在A 的极线上取点B Γ∉)1 , 0 , 1(, 则B 的极线 b ：0321=+-x x x , 取a 、b 的交点C )0 , 1 , 1(, 则ABC 为自极三点形 ．(2) 由1||l l ,则l '1l 上的无穷远点为)0,1,1(-∞P , 所以1l 的共轭直径2l 方程为 021=-x x ;易得直径方程为1l : 0321=-+x x x10．在仿射平面上，已知二次曲线Γ的方程为05222233231222121=+-+--x x x x x x x x x1）证明Γ为双曲线；2）求Γ的一对共轭直径，使其中一条直径平行于直线0321=+-x x x ．解：1） ∵8-=A 且 0233<-=A ，∴Γ为双曲线。

高中数学几何知识复习资料高中数学几何知识复习资料几何作为数学的一个重要分支，是高中数学中的一项重要内容。

掌握好几何知识，对于高中生来说至关重要。

下面，我将为大家提供一份高中数学几何知识复习资料，希望对大家的学习有所帮助。

一、平面几何1. 直线与线段直线是由无穷多个点组成的，没有起点和终点；线段有起点和终点，是有限个点组成的。

2. 角的概念角是由两条射线共同起点组成的，可以用角的顶点来表示。

3. 三角形三角形是由三条线段组成的，其中两条线段的和大于第三条线段，任意两条线段的差小于第三条线段。

4. 四边形四边形是由四条线段组成的，其中相邻两条线段的和大于其他两条线段的和。

5. 圆的概念圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的。

二、空间几何1. 空间中的点、线和面空间中的点是没有长度、宽度和高度的；线是由无穷多个点组成的，没有宽度和高度；面是由无穷多个点组成的，有长度和宽度。

2. 空间中的角空间中的角是由两个平面的交线和这两个平面上的两条射线共同组成的。

3. 空间中的立体图形立体图形是由平面图形组成的，包括立方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等。

4. 空间中的相交关系两个平面相交于一条直线；两个直线相交于一个点；两个平面和一个直线相交于一个点。

三、坐标几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条相互垂直的直线组成的，称为x轴和y轴。

2. 坐标表示平面上的点可以用坐标表示，其中x坐标表示点在x轴上的位置，y坐标表示点在y轴上的位置。

3. 距离公式平面上两点之间的距离可以用勾股定理来表示：d = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。

4. 斜率公式平面上两点之间的斜率可以用斜率公式来表示：k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)。

四、解析几何1. 直线方程直线可以用一般式方程、斜截式方程和点斜式方程来表示。

2. 圆的方程圆可以用标准方程和一般方程来表示。

3. 曲线的方程曲线可以用一般方程、参数方程和极坐标方程来表示。

高三几何专题复习(题型全面)高三几何专题复（题型全面）
一、概述
本文档旨在为高三学生提供几何专题复材料，涵盖了各种题型，帮助学生全面复准备。

二、题型介绍
以下是本文档中包含的几何题型：
1. 平面几何
2. 空间几何
3. 相似三角形
4. 圆与圆之间的关系
5. 直线与圆的关系
6. 几何证明
三、复方法
为了高效复几何专题，建议采取以下简单策略：
1. 制定复计划：根据时间安排合理的复进度，每天留出固定时间复几何专题。

2. 强化基础知识：重点复几何基础概念和公式，确保对基础知识的掌握。

3. 做题训练：通过做大量的几何题目来提高解题技巧和速度，重点训练各种题型。

4. 总结归纳：复过程中，及时总结归纳各类题目的解题方法和要点，加深记忆。

四、注意事项
为了保证复效果，请注意以下事项：
1. 独立复：自觉独立完成复任务，不依赖他人的帮助。

2. 执行简单策略：避免选择涉及复杂法律问题的策略，保持简单和高效。

3. 注重证实：在文档中不引用无法确认真实性的内容，确保信息的准确性。

五、结语
本文档提供了高三几何专题复的全面内容和策略建议，希望能对学生们的准备工作有所帮助。

祝愿大家在考试中取得优异成绩！。

合用文档高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的种类1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的极点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

㈡几种空间几何体的结构特色1棱柱的结构特色棱柱的定义：有两个面互相平行，其他各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的分类棱柱的性质⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。

长方体的性质⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个极点上三条棱的平方和： AC12 = AB 2 +AC 2 + AA 12图 1-2 长方体⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点 A 的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2⑶长方体的一条对角线AC 1与过定点 A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 1棱柱的侧面张开图：正n 棱柱的侧面张开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。

棱柱的面积和体积公式S 直棱柱侧面= c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高 )S 直棱柱全= c ·h+ 2S底V 棱柱 = S 底·h2圆柱的结构特色2-1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其他各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

图 1-3 圆柱2-2圆柱的性质⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；⑵过轴的截面 (轴截面 ) 是全等的矩形。

考研数学高等几何重点整理高等几何在考研数学中占据很大的比重，掌握好高等几何的重点知识，对于考研数学的学习和应试都至关重要。

本文将为大家整理一些关于考研数学高等几何的重点知识，希望能够帮助大家在考试中取得好成绩。

一、平面几何平面几何是高等几何的基础，它涉及到直线、圆、多边形等图形的性质和计算。

在考研数学中，平面几何是必考的内容，以下是平面几何的重点内容：1. 直线的性质和计算：直线的斜率、截距和方程等重要性质，直线的位置关系和相交情况，直线的平行和垂直关系等。

2. 圆的性质和计算：圆的圆心、半径和方程等重要性质，圆的位置关系和相交情况，切线和切点的性质等。

3. 多边形的性质和计算：三角形、四边形和多边形的内角和外角和等重要性质，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理等。

二、立体几何立体几何是考研数学高等几何中的重点内容，它涉及到空间中的几何体和它们的性质和计算。

以下是立体几何的重点内容：1. 空间几何体的性质和计算：球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等几何体的表面积和体积等重要性质，它们之间的位置关系和相交情况等。

2. 空间几何体的投影和截面：空间几何体在平面上的投影和截面的性质和计算，如柱体在平面上的截面形状等。

3. 空间几何体的相似性和全等性：空间几何体的相似和全等的判定和性质，相似和全等几何体之间的关系和计算等。

三、向量和线性代数在考研数学高等几何中，向量和线性代数是与空间几何紧密相关的内容，也是考生需要重点掌握的知识。

以下是向量和线性代数的重点内容：1. 向量的性质和计算：向量的加法、减法和数乘等运算法则，向量的模、单位向量和方向角等重要性质，向量之间的夹角和垂直关系等。

2. 平面直角坐标系和空间直角坐标系：平面直角坐标系和空间直角坐标系的性质和计算，平面上的点的坐标和距离的计算等。

3. 线性代数的基础知识：矩阵的性质和运算法则，矩阵的秩和特征值等重要性质，线性方程组的解的计算等。

通过学习和掌握以上的高等几何的重点知识，我们可以在考试中更加得心应手，提高答题的准确性和速度。