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题目高中数学复习专题讲座应用性问题高考要求数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求重难点归纳1 解应用题的一般思路可表示如下： 数学解答数学问题结论问题解决数学问题实际问题2 解应用题的一般程序（1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础（2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关（3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程（4）答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决（2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决（3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值（4）等量关系问题 建立“方程模型”解决（5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决典型题例示范讲解例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ BA命题意图 本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力 知识依托 重要不等式、导数的应用、建立函数关系式 错解分析 不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到 技巧与方法 关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决 解法一 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a ∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 解法二 由2a +4b +2ab =60,得aa b +-=230, 记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0, ∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值 例2某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 命题意图 本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力 知识依托 数列极限、等比数列、解不等式 错解分析 ①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果技巧与方法 建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高 解 设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0 94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0 94+x =b n –1×0 942+(1+0 94)x ,…所以b n +1=b 1×0 94n +x (1+0 94+0 942+…+0 94n –1)=b 1×0 94n +n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅- 当06.030x -≥0，即x ≤1 8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1 8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }06.0x 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3 6 综上，每年新增汽车不应超过3 6万辆例3 一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 （不考虑汽车与小船本身的大小） 解析 设经过时间t 汽车在A 点，船在B点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ⊂β得AQ ∥l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ ⊥α 作AC ∥PQ ，则AC ⊥α 连CB ，则AC ⊥CB ，进而AQ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m答案 30 m例4 小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序 （1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟 以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟 解析 按以下工序操作所需时间最少，①、④（并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟 答案 15例 5 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ 解 依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ),则⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)5( 2.8)50( 8.22.34.0)(2x x x x x x f (1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0当0≤x ≤5时，有–0 4x 2+3 2x –2 8>0,得1<x <7,∴1<x ≤5当x >5时，有8 2–x >0,得x <8 2,∴5<x <8 2综上，要使工厂赢利，应满足1<x <8 2 即产品应控制在大于100台小于820台的范围内（2）0≤x ≤5时，f (x )=–0 4(x –4)2+3 6故当x =4时，f (x )有最大值3 6而当x >5时f (x )<8 2–5=3 2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为4)4(R =2 4（万元/百台）=240（元/台） 学生巩固练习 1 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额 ①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A4137元B5137元C5466元D 5487元2某体育彩票规定从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A1050元B1052元C2100元D2102元3一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米4有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米5运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等试确定使用哪种运输工具总费用最省（题中字母均为正的已知量）6已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据b（1）根据以上数据，求出函数y=A cosωt+b的最小正周期T，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午800至晚上2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动7某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？ 8 某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个 已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元参考答案 1 解析 此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+（638–500）×70%=450+96 5=546 6元 答案 C 2 解析 从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元 答案 C 3 解析 小球经过的路程为30020021121100100)21(21004121002121003=⨯-+=++⨯+⨯⨯+⨯⨯+= s m 答案 300 4 提示 sin2°=90π 答案 86 m 5 解 设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元)、y 2(元)、y 3(元) 则由题意，,)2(.)(21S vm b y S v m a m v S aS y +=+=+= S v m b a y y S v m c y ]2)[(.)10(213+-=-+=,由a >b ,各字母均为正值， 所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1由y 3–y 2=［(c –b )–vm 52］S 令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b vm 52所以，当c >b +vm 52时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小， 当b <a <c <b +vm 52时，y 3<y 2<y 1,y 3最小 6 解 （1）由表中数据，知T =12，ω=62ππ=T 由t =0,y =1 5得A +b =1 5 由t =3,y =1 0,得b =1 0 所以，A =0 5,b =1 振幅A =21， ∴y =16cos 21+t π (2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放 ∴16cos 21+t π>1, t 6cos π>0 ∴2k π– 2262ππππ+<<k t ,即有12k –3<t <13k +3 由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9 00至下午15 007 解 由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ),则f (n )=50n –［12n +2)1(-n n ×4］–72=–2n 2+40n –72(1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n <18 由n ∈N 知从第三年开始获利 （2）①年平均利润=n n f )(=40–2(n +n36)≤16 当且仅当n =6时取等号 故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n =6,②f (n )=–2(n –10)2+128当n =10时，f (n )|max =128 故第②种方案共获利128+16=144（万美元） 故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案8 解 设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有 ⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤+≤+⎩⎨⎧≤≤≤≤60004700032120008214000641200025000y x y x y x y x y x 则有依题意有 设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n )∴⎩⎨⎧=+=+24312n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5152n m 有x +2y =52(2x +3y )+51(x +4y )≤52×7000+51×6000 当且仅当⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x 时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y )=4000000=400(万元) 另外此题可运用“线性规划模型”解决课前后备注。
专题10第二讲必修四高端备课（下）参与本讲的嘉宾修四部分的最后一节课，这节课里首先要对必修四里的向量内容做一个最后的梳理。
我们先看看通过这几天的研修，老师对我们提供的课案有了自己的思考，还有哪些问题值得我们一起来研讨，我们先做一个小的专题研讨的短片。
座谈主持：第四个问题关于向量的估计性，向量进入高中数学教材已经得到社会和数学界的认可，新材料非常关注向量的工具性和应用型，请宋淇老师谈谈为什么新教材要强化向量的工具性呢？宋：必修四的第一章三角函数与第三章三角恒等变形当中，第二章平面向量，并以向量为载体来解决很多数学问题。
这种知识顺序的安排乍看令人费解，数学过程当中为什么强化向量的工具性呢，我们通过认真研读教材对此问题提出三点认识。
第一点，向量在数学中的重要性，在数学中，我们有两个沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。
向量的优越性在于可以不依赖于原点，不依赖与坐标，比坐标系更具有普遍性，更重要向量是代数的对象，可以进行向量的加法、减法、数乘、数量基等多种运算，响亮尔德也是几何的对象，可以用来表示并讨论空间中的点、线、面、度量几何体计算长度、角度、面积等。
我们知道运算是数学学习的一个基本内容，运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。
从数的运算到向量的运算是运算的一次飞跃，中学中引入向量的学习，同时强调向量的工具性对学生今后进一步学习其他数学运算，体会数学运算的意义，以及运算在建构数学系统中的作用奠定了重要基础。
第二，向量有着丰富的物理背景，向量是连接数学和物理的一座桥梁，学习过程当中充分利用了向量丰富的物理背景，帮助学生加深理解。
例如利用物理中简单的概念，位移、速度和力引入向量的概念。
利用位移的合成引入向量的加法、减法等运算问题，利用力的的合成与分解引出向量的基本订立，利用力做的功引出向量的数量积等等。
由物理背景到向量，由向量的概念及运算到向量在几何物理中的运用，教材的这一射之使学生在学习向量时充分体会到向量的实际意义。
小学数学复习专题讲座稿讲座人:吴仙兰谈起复习课,就会让人想起一个坐”冷板凳”得角色。
印象中,复习课就就是先整理归纳知识,再进行练习,很枯燥。
尤其在上公开课得时候,很少有人问津。
然而,受人冷落得复习课却至少占据了教学总课时得1／3！因此,改革传统复习课教学模式,上好复习课,使复习课更好地服务于素质教育.就是完善与发展课堂教学改革十分关键得一步。
小学数学复习课就就是把平时相对独立地进行教学得知识,其中特别重要得就是把带有规律性得知识,以再现、整理、归纳等办法串起来,进而加深学生对知识得理解、沟通,并使之条理化、系统化。
复习课有别于新课与练习课,要避免冷饭重炒。
复习课得基本任务就是抓住双基串成线,沟通联系连成片,温故知新补缺漏,融合贯通更熟练。
复习课得特点之一就是“理”,对所有得知识进行系统得整理,使之“竖成线”、“横成片”达到提纲挈领得目得。
特点二就是“通”,融合贯通,理清思路,弄清知识得来龙去脉,前因后果。
同时,弥补缺漏得到提高。
小学数学复习得好不好,关系到教学质量能否提高,学生素质能否增强,这些都依赖于施教者要组织好学生复习。
依据复习课本身得特点,以及实施素质教育得要求,以学生学会学习为目标,我认为复习课可以分为以下四个阶段。
一、揭示目标阶段二、再现知识阶段三、疏理沟通阶段四、深化提高阶段。
以上四个阶段教学只就是复习课得一般形式。
一般以四个阶段教学顺序进行,但每一个阶段各个教学环节得顺序就是可以改变得,教师应根据复习内容与学生得实际灵活运用,以达到提高复习课效果得目得。
数学复习得目得任务:数学复习得主要目得与任务就是:查漏补缺,系统梳理,夯实“双基”,提高能力,促进学生发展。
具体为以下几个方面:1、帮助学生梳理知识,形成网络,使知识系统化、结构化,以加深对知识得理解及知识之间内在联系得把握,并在梳理得同时查漏补缺,弥补平时学习得薄弱环节。
2、通过全面、系统得复习,进行查漏补缺,综合应用,帮助学生进一步巩固与熟练掌握基本知识,基本技能以及基本得数学思想与方法,达到《课程标准》得目标要求。
让智慧点亮火花——浅谈如何上好小学数学复习课作者：牟佳敏来源：《新课程·上旬》 2014年第21期牟佳敏（江苏省常州市解放路小学教育集团）摘要：复习课体现了教学的智慧，既要有滋有味，更要注重培养学生学习的独立性、条理性。
知识网络的形成，促使了概念的结构系统化；练习的生活化，有利于学生实践能力和创新意识的培养；温故而知新，才能使知识延伸拓宽，实现知识再生长。
关键词：结构；系统化；练习；生活化；知识；再生长如果把我们的教学看作植树，那么新授的教学是“栽活一棵树”，单一而细致，容易成活；复习教学是“育好一片林”，全面而深入，要花工夫。
因此，复习课更能体现教学的智慧。
通过复习课，能夯实学生的基础，培养和提高学生运用知识、解决问题的能力。
都说复习课难，难于精彩。
其实，难的不是课本身，而是课背后的能力要求。
精彩的也不是课的形式，而是内在的知识延伸。
现在的学生大多学习能力强，容易接受新事物，这是他们的优点。
但相对地，他们学习的独立性、条理性不强。
因此，复习课，既要上得有滋有味，更要注重培养学生学习的独立性和条理性，让复习课在教师与学生的智慧中碰撞出智慧的火花。
第一朵火花：知识结构化数学是一门结构性很强的学科，小学数学中的概念往往是一个一个分散出现的，及时注意到它们之间的联系也是有限的。
因此，引导学生对概念作纵向、横向联合的归类、整理，找出概念之间的内在联系，对学过的概念穿线结网，有利于促进学生头脑中的概念结构化。
而知识网络的形成，促使概念的结构系统化。
如,在复习《平面图形的面积》时，有这样一个环节：老师在教学时请学生把学过的平面图形、面积的计算用网络联系图表示出来龙去脉。
生画出，师引导：“从左向右看，怎么看？”生：“由长方形面积推导出正方形、平行四边形、圆的面积，由平行四边形又推导出三角形和梯形的面积。
”师：“从右向左看，怎么说？”生：“求三角形，梯形的面积，可以转化为求平行四边形的面积，求正方形、平行四边形、圆的面积必须转化为求长方形的面积。
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３３高中数学复习课教学的实效性研究高中数学复习课教学的实效性研究Һ胡凌云㊀（南昌大学附属中学，江西㊀南昌㊀３３００４７）㊀㊀ʌ摘要ɔ复习是回顾旧知识㊁连接新知识㊁形成知识网络和体系框架的重要过程．由于高中数学知识点难度大，在高考中占据重要的地位，高中数学教师在教学实践中不仅要重视对新知识的教授，而且要定期带领学生展开高效复习，使数学知识一直活跃于学生的头脑中，提升学生的解题能力，促进学生逻辑思维的形成和数学素养的提升．ʌ关键词ɔ高中数学；复习课；教学实践；实效性高中生面临高考的压力，他们在面对复杂且繁多的数学知识和题型时容易产生紧张㊁焦虑等情绪，从而影响对知识的应用效率．鉴于此，教师在高中数学教学中要定期带领学生回顾旧知识，帮助学生梳理每一章节的知识网络和框架图，引导学生探索知识点之间的联系，增强学生的自信心，从而提升复习课教学的实效性．以下结合当前高中数学教学现状，对教师如何优化复习策略，提升课堂效率进行分析与研究．一㊁设置引导问题，引导学生高效复习高中数学教学中涉及的知识众多，体系庞杂，难度较大，学生在自主复习的过程中难免会出现复习效率不高㊁重难点把握不准等问题．为了提高复习课的实效性，发挥学生的主观能动性，教师可以有针对性地设置一些引导性问题．在复习课堂上，教师可以通过在多媒体上展示这些问题来引导学生进行高效地自主复习，引导学生先自己思考，再以小组为单位讨论并解决问题．在这一过程中，教师通过梳理知识内容，设置一些引导性问题，对学生数学思维的发展以及复习效率的提升都有极大的帮助．例如，在教学 函数 这一章节内容时，由于二次函数的图像㊁性质与应用题是教学的重难点，在复习过程中，为了强化学生的自主复习能力，增强学生复习的目的性，教师可以在课件上展示以下问题：①总结本章节的核心概念，并说明原因；②该章节最重要的公式是什么？根据这个公式，你能得出哪些有效信息？③二次函数图像的几个关键点是什么？如何通过题目和公式确定这几个关键点？④本章节学习过程中涉及哪些重要题型？⑤学完本章节，你发现了自己的哪些不足？这些问题如同学生前进的导向标，一步步地引导学生由浅入深㊁由表及里地回顾与复习函数章节，从基本的概念㊁性质到例题㊁变式再到反思与总结，学生在问题的引导下系统性地完成了章节复习任务．在小组合作讨论的过程中，学生从知识点研究㊁复习情况总结等方面与同伴互相分享看法，营造了浓厚㊁愉悦的复习氛围，既调动了每位成员的积极性，又保证了复习课堂的实效性．二㊁重视试卷讲评，解决学生存在的问题试卷讲评是阶段性复习的有效方法，它以题目的形式检验学生对单个知识点的掌握情况以及对多个知识点的融会贯通情况．试卷的结果则反映了学生近阶段学习所出现的问题．讲评的过程则以改正学生存在的问题，明确复习方向，强化复习内容为目标．学生只要能将这些问题成功解决，复习效率就能获得大幅度的提升．例如，在复习 三角函数 这一章节内容时，教师可以在复习前先让学生做一套单元测试题，以试卷呈现的结果为落脚点，分析学生存在的问题，有目的地调整复习策略，关注学生的真实学情．教师在批阅试卷的过程中要注意统计易错题和每道题的平均分数，从整体和个人两个角度分析近阶段学生的数学学习情况，从而制订好对应的复习计划．通过分析试卷，教师可以发现诸多问题，如部分学生对三角函数公式记忆不牢，将ｓｉｎ写成ｃｏｓ，或者直接背错；部分学生因计算失误导致丢分，计算能力需要加强；部分学生没有读懂题干中暗含的隐藏条件，导致对题目无从下手 基于学生出现的这些问题，教师在复习时要有所侧重，让学生将所有三角函数整理出来，并代入一个三角形中进行验证，设置计算练习，锻炼学生的解题计算能力 此外，在试卷讲评的过程中，教师应该鼓励学生建立错题本，及时整理错题，分析出错原因，在日后的复习中可以通过看错题来回想对应的知识体系结构，这样既解决了学生易出错的问题，又能加深学生的复习印象，提升复习效率．三㊁应用类比思想，梳理数学知识逻辑类比思想是数学思维的重要组成部分，在高中数学知识学习和解题训练中占据一席之地．在复习课堂上，为了提. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３３升复习实效性，并促进学生数学思维能力的发展，教师可以巧妙应用类比的思想，带领学生找到各个知识点之间的逻辑关系，通过类比的方法将其串联起来，使之更具条理性．这样一方面有助于学生快速抓准复习重点，构建知识网络，另一方面能加深学生记忆，使其更好地理解复杂抽象的知识．例如，在复习 数列 这部分知识时，教师可以指导学生运用类比的方法，将等差与等比数列放到一起进行复习．在这一过程中，如果有的学生经常记错这两个公式，分不清公差㊁公比，那么教师可以在课件上展示一个大表格，分别是等差㊁等比数列的概念㊁性质㊁求和公式等内容．学生通过回忆㊁查阅等方式完成表格后，展开横向对比，从概念㊁性质㊁求和公式等方面寻找等差和等比的共同处和不同处．学生通过类比的方法，对等差㊁等比数列的内容的差异化有了深刻的了解，这时，为了强化学生的复习效果，教师可以在课件上展示两个题目：①已知｛ａｎ｝是等差数列，ａ２＋ａ８＝１２，那么ａ５＝？②已知｛ａｎ｝是等比数列，ａ２ˑａ８＝１２，那么ａ５＝？学生通过分析㊁解决这两道题目，类比地巩固等差㊁等比数列之间项数的关系，相比于单一地记忆等差㊁等比数列的知识，类比的复习方法能够取得更好的效果．四㊁明确复习重点，提高数学复习效率明确的复习目标和复习内容是保障复习效率的关键，也是学生掌握重难点知识的前提．在以往复习的过程中，有的学生分不清重难点知识，容易 钻牛角尖 ，往往将宝贵的复习时间浪费在不必要的地方，导致复习效率十分低下，从而影响复习心态．鉴于此，为了打造高效的复习课堂，教师要先带领学生明确复习重难点，以此确定复习目标，从而帮助学生合理分配时间，避免他们在细枝末节上投入过多的精力，使他们的付出得到更多的回报．例如，在复习 导数的应用 这一章节内容时，教师在指导学生复习时应综合高考大纲㊁教学大纲㊁学生的实际情况来确定复习的重点，从而为学生指明方向，保证复习效率．在复习时，教师还可以将其与上一章节 函数的导数 内容联系到一起，让学生将函数的单调性㊁极值的内容与导数串联到一起，并运用类比的方法区分记忆极大值和极小值出现的情况，让学生了解导数是指函数的变化率，而二次导数是一次导数的变化率的概念．在教师的点拨下，学生围绕重点复习内容做相应的习题训练，并在小组中进行讨论与分析，充分地利用课堂中的每分每秒，从而对函数导数的知识建立了全面而系统性的认知．在这之后，教师应引导学生在把握重点的基础上结合自己的情况向外进行延伸，将导数复习这一根树干向更多方向散发出新的枝叶，使函数导数的知识网络更加宽广㊁严密．五㊁根据学生差异，依照梯度展开复习陶行知先生曾说，教育学生和种植花木一样，要根据学生的情况因材施教．在以 生 为本的教育理念下，教师既要尊重学生的主体地位，更要关注学生的个体差异与个性需求．在高中数学复习课堂上，面对相同的知识点，不同的学生表现出不同的记忆与理解情况，那么教师在制定复习策略时，就应避免 一刀切 的模式，根据学生的具体情况设置梯度性的复习任务，让每名学生都能在自己的最近发展区取得高效的复习成果．例如， 解析几何初步 这一章节中涉及了许多公式定理，如两条直线的距离公式㊁空间两点间的距离公式㊁判断直线与圆位置关系的公式 除此之外，这一章节的知识点难度也较高．鉴于此，在复习本章节时，教师一定要设置好梯度性的复习任务，避免复习难度过大 吓倒 大部分学生．教师应按照学生的实际学情，以２：６：２的比例将学生进行分类，其中，对于学习情况不理想的学生小组，教师为他们布置的复习内容可以以公式的掌握和简单应用为主，帮助这部分学生打牢基础；对于中间部分的学生，教师为他们布置的复习任务可以相应增加本章节思维导图的梳理和中等难度以上题目的练习；对于学习能力较强的部分学生，教师布置的复习任务应在夯实他们基础的同时让他们关注新旧知识点的融会贯通与迁移应用，为这部分学生创造更大的提升空间．教师按照这种方式展开课堂复习，既尊重了学生的个性发展需求，又能最大化地挖掘学生的个人潜力，使他们收获良好的复习效果．六㊁肯定与鼓励学生，增强学生的数学自信心复习是学生查找问题㊁改正问题㊁提升自我㊁融会贯通的过程．学生在复习时经常会出现在同一个知识点上不断出现失误的情形，或者面对一道例题，教师强调并讲解了很多遍，自己再做时仍旧出现错误．在这些情况下，学生的自信心很容易受到打击，复习的状态也会随之受到影响．鉴于此，在高中数学复习课堂上，教师要秉持人性化的理念，在复习的过程中既对学生加以引导，又应不断激励学生，让他们保持高昂的斗志和坚定的信心，使复习课堂的实效性得以维持．例如，在复习 简单几何体的面积和体积 这一内容时，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３３有的学生在求几何体的表面积时总是会出现少求一个底面或侧面的情况，这从侧面反映出学生分析题目不细心，对公式知识的掌握不扎实等问题．面对这种情形，首先，教师要分析学生出错的原因，引导学生多加注意自己的出错行为，为他们设置相对应的习题练习，帮助他们成功解决这一问题．其次，学生在出现多次失误时的内心多多少少会对自己产生怀疑，丧失自信心，这时，教师要以温和的语言鼓励学生，肯定他们在别处的优势，帮助他们找回自信，使他们在激励的作用下对自己存在的问题进行改正，对易错点展开多次有效的复习，保证复习的实效性．七㊁结合新课程改革，提升复习效率在新课程改革的背景下，在高中数学复习课程上，教师应当重视教学过程中的细节部分，结合教学目标和教学要求使复习课堂更具有实效性．原有的复习课堂主要依托课本教材进行，知识的讲解围绕课本知识点展开，这样方式的优点是不会脱离考试范围，在让学生反复回顾的过程中对知识的掌握更为牢固，而缺点是内容较为单一，重复多次的复习仅限于课本涉及的知识范围．加之教材内容变动周期长，知识概念有所更新，考纲也会有所调整，但以教材为主的复习课程很难做到同步优化，从而间接导致了复习课程的效率降低．因此，在复习课程中，教师除了参考课本内容外，还要留意新课程改革的实时变动，正确制定教学目标，并在教学过程中突出重点，提升学生的学习效率．例如，在回顾 圆锥曲线性质 这一内容时，教师可以参照新课程改革的最新变化，对现有的教学重点进行调整与优化，使学生复习与巩固的重点不偏离要点知识．在明确复习目标没有偏移后，教师可以准备一些典型题目为学生布置练习任务，在解题的过程中引导学生发现题眼，即出题者想要考查的点．在学生解题后，教师可以在讲解题目时帮助学生再次梳理解题的过程，这样既巩固了这部分知识，又培养了学生自主思考的能力，从而提升复习课程的效率．八㊁借助思维导图，明确知识脉络思维导图是人们梳理系统框架常用的工具之一，能直观呈现事件脉络和形象地表达各元素之间关系的特性，使得其应用于数学教学中如鱼得水．作为抽象化学科的代表，思维导图与数学教学的融合，可以把数学中的规律㊁运算步骤直观展现出来，降低学生学习数学的难度．同时，清晰的因果关系能让学生对数学有一个新的认知和理解，激发学生的求知欲望和学习兴趣．思维导图在课堂中的具体应用可以从两个方面进行探讨：一方面，教师可以借助思维导图帮助学生梳理知识框架．在复习课程开始前，教师可以通过书写板书，或者在ＰＰＴ课件中插入导图的方式，列出这节课的教学目标或重点知识．然后，在正式课堂中，教师可以引导学生按顺序一一讲解这些知识，使得学生在学习知识的同时能对该部分内容中的知识点与知识点之间的关联有一个更为深入的了解．另一方面，思维导图可以帮助学生高效地理解题目．在数学复习课堂中，教师不仅要关注学生的学习状态，而且要关注学生的思维特点，借助思维导图把数学知识具体呈现出来，因为只有学生明确各个知识概念之间的关系，他们在解决问题时才能做到举一反三，把握住题目的重心和要点，灵活解题，使速度与质量共同提升．例如，在复习 函数 这一内容时，通过思维导图，教师可以一一列出函数的性质㊁函数的特点㊁函数的种类，内容详细且条理清晰，为课程进行提供方向．然后，教师可以引导学生依次回顾这些知识，使学生在学习的过程中对函数有更深一步的了解，提升学生的数学解题能力．九㊁结语总而言之，高中数学是一门体系庞大㊁知识点严密的学科，复习是学生巩固新旧知识㊁构建体系框架必不可少的一步．当前，高中数学教学中存在学生浮躁心强等问题，因此，教师在教学实践中要有针对性㊁有阶段性地展开复习策略，帮助学生及时消化知识，加深印象，消除浮躁心理，通过复习收到融会贯通㊁举一反三的学习效果，通过复习进行自我反思与总结，增强个人的数学知识技能水平，提升课堂教学实效性．ʌ参考文献ɔ［１］刘天祥．提升高中数学课堂教学有效性策略探究［Ｊ］．新一代：理论版，２０２０（５）：１２４．［２］马如平．如何提高高中数学复习课的实效性［Ｊ］．甘肃教育，２０１９（４）：６２．［３］牛美．如何提升高中数学复习课教学实效性［Ｊ］．课程教育研究：学法教法研究，２０１９（１）：８２．［４］严达强．核心素养视域下的高中数学复习课教学分析：评‘学霸笔记：高中数学“［Ｊ］．中国教育学刊，２０２１（３）：１２４．［５］张东．基于发现和提出问题推进初中数学复习课教学的实践与思考［Ｊ］．数学通报，２０１９（４）：３７－４０．. 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理解数学理解学生理解教学r——一节省赛课的教学设计与教后反思代银【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)013【总页数】5页(P8-12)【作者】代银【作者单位】安徽省淮南市第三中学;全国新青年数学教师工作室【正文语种】中文笔者有幸参加了2015年安徽省高中青年教师数学优秀课评比和观摩活动，并执教了高二年级《人教A版选修2-1》中“充分条件与必要条件”一课.评比采用随机抽签分成两组进行现场教学比赛，笔者以其中一组第一名的成绩获得了省赛一等奖，得到了评委老师的一致好评.然而“教学永远是一门遗憾的艺术”，反思才是不断进步的基础.章建跃博士也说过，数学课堂教学应该理解数学、理解学生、理解教学.笔者借此与大家一起从“理解”的三个方面分享比赛后的心得与收获的同时，反思教学的“遗憾”，寻求数学教学的真谛.（一）教学目标（1）使学生理解充分条件、必要条件的概念；（2）能正确判断是否是充分条件或必要条件；（3）通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受；（4）通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯.（二）教学重难点（1）重点：充分条件、必要条件概念；（2）难点：必要条件概念的理解，充分条件、必要条件的判断.（三）教学方法启发诱导、合作探究.（四）教学过程1.问题引入问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？设计意图：从学生已有的知识体系出发提出问题，在学生的最近发展区构建新知，符合学生的普遍认知规律.另外，对于充要条件和必要条件的学习涉及命题的真假，通过具体的例子有助于学生对这两个概念的理解.2.铺垫过渡“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，数学讲究简洁美，用符号语言，记作p圯q.例如：“若x>1，则x>0”为真命题，即“x>1圯x>0”.设计意图：通过对命题的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.3.新知建构下面我们探究命题中条件与结论之间的关系.“若p，则q”为真命题，由于p的成立可以使得q成立，我们就称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.定义：一般地，如果有p圯q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.结合学生之前的举例，直观感知概念.从定义可见，“充分条件”、“必要条件”是在“若p，则q”为真命题的条件下，对命题的条件与结论之间关系的一种描述，条件p叫作结论q的充分条件，结论q叫作条件p的必要条件.例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若x>3，则x>2；（2）若x=1，则x2-4x+3=0；（3）若f（x）=x，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数.问题2：对于命题（1）、（2）、（3），我们可不可以称q是p的必要条件呢？设计意图：通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.4.巩固新知练习1：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？（1）p：两圆面积相等；q：两圆半径相等.（2）p：x>a2+b2；q：x>2ab.（3）p：a>b；q：ac>bc.（4）p：x为无理数；q：x2为无理数.问题3：像在（3）（4）两个问题中p与q的关系应如何描述？设计意图：概念的否定是概念理解的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.练习2：判断下列各组问题中，q是p的必要条件吗？（1）p：x>3；q：x>5.（2）p：x>3；q：x>2.（3）p：同位角相等；q：两直线平行.（4）p：四边形对角线相等；q：四边形是平行四边形.设计意图：提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”.总结例1、练习1、练习2：（1）判断p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件，都是在判断“若p，则q”是否为真命题；（2）“p圯q”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是“三种表述，一个意思”.问题4：在什么条件下，我们能说q是p的充分条件？p是q的必要条件？例2用“充分条件”或“必要条件”填空：（1）a>5是a>0的______________；（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.设计意图：本例的设计和应用主要目的有：（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（3）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备.课堂活动：请同学们自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.设计意图：让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识.教师补充：p：x∈Z，q：x∈R，p圯q.（p是q的充分条件，q是p的必要条件）设计意图：为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.思考：已知p：x∈A，q：x∈B，且p圯q，试判断集合A，B间的关系.设计意图：从集合关系的角度帮助同学们进一步理解“充分条件”和“必要条件”，并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果.历史文化：我国战国时期《墨经》对充分条件、必要条件的描述：充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”；必要条件：“无之则必不然，有之则未必然”.设计意图：通过历史文化的学习，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，进一步加深对新知的全面认识.理性认识：追根溯源，其实对必要条件的理解，还可以从逆否命题的角度看待：原命题“若p，则q”为真命题，其逆否命题“若劭q，则劭p”也为真命题.即“q 不成立，则p一定不成立”.例如：“小明是芜湖人，则小明是安徽人”；“小明是芜湖人”是“小明是安徽人”的充分条件.“小明不是安徽人，则小明不是芜湖人”.“小明是安徽人”是“小明是芜湖人”的必要条件.设计意图：通过原命题与逆否命题的真假联系，从理性上认识必要条件这一难懂的概念认识，实现难点的有效突破.5.能力提升例3填空：（写出一个满足题意的即可）（1）“ab=0”的一个充分条件是_________；（2）“x<3”的一个必要条件是___________.练习3：（1）“x>a”是“x>2”的充分条件，求实数a的取值范围；（2）“x>a”的一个充分条件是“x>2”，求实数a的取值范围.思考：将上述练习中“充分条件”改为“必要条件”，结果又会如何？设计意图：（1）引导学生观察问题的问法和之前例题有无不同，培养学生的观察能力；（2）从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么”、“还存在什么问题”，使后面的教学更有针对性！6.牛刀小试练习4：判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件，以及p是不是q的必要条件？（1）p：|x|=x；q：x2≥0.（2）p：tanα=1；q：α=.（3）p：直线l与平面α内的两条相交线垂直；q：直线l与平面α垂直.（4）p：函数（fx）满足（f0）=0；q：函数（fx）是奇函数.结合练习，引导学生归纳如下：从练习中我们发现在p与q之间存在以下几种关系：（1）q且qp；（2）p圯q且qp；（3）pq且qp；（4）pq且qp.对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.设计意图：反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础.7.课堂小结师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：（1）知识内容：①充分条件与必要条件的概念；②充分条件与必要条件的判断；③充分条件和必要条件与集合的联系.（2）思想方法：学会观察、归纳、总结，进行探索发现，注意逻辑推理的合理性和严密性.设计意图：再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.8.作业布置（必做）课本第12页A组1、2，B组1.（一）理解数学，有的放矢1.知识地位“充分条件与必要条件”是高中《人教A版数学选修2-1》第一章简单逻辑用语第二节的内容.逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.2.知识内容“充分条件与必要条件”是在p圯q时，对条件p与结论q之间关系的一种描述，是一个数学概念.“p圯q”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中条件与结论之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性，在判断上还需关注方向性.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，帮助我们从“形”上（韦恩图表示集合关系）进一步理解充分条件与必要条件的内涵.3.过程方法充分条件与必要条件的知识学习过程中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性、严密性，以及数形结合的数学思想，这些都是数学的精髓.（二）理解学生，因材施教理解学生，就是课前充分认识当前的数学知识与学生的生活经验和已有认知基础的联系，以及它们之间的距离，以便在“最近发展区”创设问题，也即理解学生的当期与需求，做好课堂预设；课中坚持以学生为本、发挥学生的主体性，关注每个学生的个性发展，能根据学生的不同“生成”及时反馈，调整教学策略、教学方法；课后通过作业辅导、谈话交流等方式了解学生“学会了多少”，“还有哪些不会”，关注学生对知识的掌握情况，为后续教学工作提供借鉴、打好基础.其中，课前对学生的充分了解是上好一节课的必要前提，笔者所任教的班级是安师大附中高二年级（8）班的学生，该班是理科普通班，参加上课的25名学生（学号26~50）整体水平较好，但据课前了解，其中尚有4~5名学生数学成绩不够理想，学生数学基础存在参差不齐的现象.因此，“高立意、低起点、小跨度、多层次”成为本节教学设计的基本理念.但在实际教学中，在对充分条件与必要条件的认识上所用到的已有知识的选取存在过偏、过难，干扰学生新知的构建，成为学生学习的“绊脚石”的情况，这些都是因为笔者对学生的了解不够，过高地估计了学生的学习水平所致.可见备好课先要备学情，充分了解学生才能真正做到“因材施教”.（三）理解教学，科学自然“充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容，难点内容.笔者希望通过本节课的教学，让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识，并希望能够通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不要产生畏难情绪.为了达到这样的教学效果，笔者的教学设计力求做到以下几点：1.坚持“师为主导，生为主体”的教学理念本节课的教学设计和实际教学中，教师更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走.例如：在例题的教学中，笔者大多是先带领学生分析问题，探求解决问题的方法，在学生通过自己的努力尝试解答之后，笔者再进行总结，避免了“满堂灌”.2.注重对学生的思维训练引导学生多角度的审视问题，从不同角度去看问题、分析问题、思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.例如：在概念教学中，为了更好地理解概念，笔者通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合的联系）来辅助概念教学.3.课堂教学层次鲜明、衔接自然笔者把整个教学过程划分为七个环节：问题引入、铺垫过渡、新知建构、巩固新知、能力提升、牛刀小试、课堂小结.以问题为主线，为了解决问题，学习新知识，掌握了新知识再来解决问题.这样就把几个环节很自然地联系在一起.（四）肯定亮点1.尊重学生，关注学生体验波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的规律、性质、联系.”教师要相信学生的认知潜能，防止铺垫过多、提问过细、指导过滥，多为学生提供探索的时间和空间，鼓励学生主动地从事观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动，在“探”中学习数学.本节课的教学引入，笔者采用的是问题引入的方式：“问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？”从学生的最近发展区搭起“台阶”，学生熟悉，易于接受，而且能迅速将学生的注意力集中起来，共同参与课堂探究.另外，通过对学生自己所举例子的研究，分析构建新知，学生以“主人翁”的角色“身临其境”地体验了知识的形成过程，提高学生学习的“成就感”，教学效果自然会大大提高.为进一步加深对充分条件与必要条件概念的理解，帮助学生进行知识的重组与构建，笔者安排了一个课堂活动：“请同学们自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.”这样做，一方面，可以让全体学生“动起来”，参与课堂讨论，自主构建知识网络；另一方面，可以帮助笔者及时了解每个学生对知识的掌握情况，方便课堂教学策略的及时调整.2.妙问揭本质，思维上台阶“思维是从问题开始的”.学生认知的发展就是观念上的“平衡—失衡—再次平衡”的反复渐进过程.在学生初步理解充分条件与必要条件的概念之后，笔者安排了一个问题思考：“问题4：在什么条件下，我们能说q是p的充分条件？p是q的必要条件？”看似不经意的一问，打破原有“平衡”，引领学生寻找新的“平衡点”，不显山不露水地揭示了概念的本质，加深了学生对概念的深层理解，创新了思维，提高了认识. 3.直观认识、严格论证，多角度认识事物充分条件与必要条件的教学重点在于对概念的理解，难点在于学生对必要条件概念的理解.著名数学家笛卡尔说过：“要想获得真理和知识，唯有两件武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎.”为了帮助学生理解充分条件与必要条件的概念，笔者设置了思考问题：“思考：充分条件、必要条件与集合间的联系.已知p：x∈A，q：x∈B，且p圯q，试判断集合A，B间的关系.”将充分条件、必要条件与集合建立联系，并通过韦恩图直观认识充分条件与必要条件.同时为了兼顾数学思维的严密性，笔者还给出从原命题与逆否命题的等价关系上论证了充分条件与必要条件的内在含义，帮助学生从“形”“数”的不同维度理解概念.4.注入文化元素，关注情感教育关注学生数学文化意识的养成，努力推进数学文化教育，已经成为当今数学教育改革的一个重要特征.在学生对充分条件与必要条件的概念理解有足够认识的基础上（尤其是在与集合建立联系之后，以韦恩图直观展现），介绍我国战国时期《墨经》对充分条件与必要条件的描述，通过古代精辟的概括性语言加深学生对概念理解的同时，领略我国数学历史文化的博大精深，努力提高学生的学习兴趣和民族自豪感.5.注重知识连贯性、整体性数学的课堂教学不能仅仅局限于当前的一节课，要考虑到知识的连贯性和整体性，教学中不仅要引用、巩固所学，还要为以后所学做好铺垫、埋下伏笔，考虑到下节内容要带领学生学习“充要条件”，笔者在“巩固新知”和“小试牛刀”中分别安排了例2和课堂练习题.这些习题的安排检验了本节所学的同时，也为下一节充要条件的四种类型做好铺垫、打下基础，可以很好地将本章知识继续“串”下去. （五）反思不足1.课堂想“放”，但却没有完全“放”开教学开始环节，笔者通过设置问题，试图放开让学生举例引入新课的探究.另外，在安排的“课堂活动”：请学生自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系时的学生展示上，笔者没有给学生更多的时间与机会展示自己所找到的例子，而只是通过3~4名学生的展示，“急匆匆”进入下一环节.这样做一定程度上挫伤了部分同学学习的积极性，也没有尽量全面地了解每个学生的个性成长情况.2.例题与练习的安排不够精简，感觉时间“紧”，任务“重”为了使得学生能更加深入认识问题本质，笔者从不同维度、不同层次设置了例题、练习及变式思考，但是在有限的课堂45分钟里，量的增多必然影响学生对问题“质”的认识，比如：“能力提升”环节例3之后笔者设置了练习1，并在此练习之后设置了思考，课堂上留给学生去思考、反馈，让学生和老师都感觉太过匆忙，学生大脑思维过于“紧绷”，影响教学效果.若是教师“不贪多”，而留给学生课下思考、求解，效果可能会更好一些.（六）完善教学，优化设计鉴于以上分析与反思，并结合课堂实际教学反馈，现把“充分条件与必要条件”的教学设计做如下调整：1.降低选取的已学知识的难度，保证学生新知构建顺利自然充分条件与必要条件的概念教学必然需要通过我们已经学习过的必修部分为依托说明逻辑关系，但是已学知识的选取过难、过偏往往会适得其反.如例1的练习1中“p：x>a2+b2，q：x>2ab”的判断，课堂练习中“p：函数f（x）满足f（0）=0q：函数f（x）是奇函数”的判断，都可换成一些更简单的知识条件，减少不必要的障碍，更有利于学生对新知的学习与构建.2.变式思考，课后思考将“能力提升”环节例3练习1的变式思考留给学生课下思考，既能为其他教学环节的充分开展“节约”时间，也可以为学生的深入“思考”、“对比”、“提升”提供保证.3.让学生更多参与讨论，展示个性收获“课堂活动”与“课时小结”应该把更多时间与机会交给更多的学生，让大家一起分享、展示自己的收获，以帮助教师更好地了解每个学生个体的成长，同时提高学生学习数学的成就感，分享学习的快乐.教学是一门科学，也是一门艺术，上好数学课是需要智慧的.数学教师的课堂应力求达到理解数学、理解学生、理解教学.数学教学应从数学的本质出发、以学生的现有认知程度为基础，训练他们的数学思维，培养并提升他们的数学核心素养. 【相关文献】1.赵绪昌.数学教学应从学生的认知基础出发［J］.中学数学（上），2015（6）.2.张国林.在数学概念课中寻找生长点的几种策略［J］.数学通讯，2016（4）.3.孙福元.重视数学课堂参与，提高教学有效性［J］.中学数学（上），2012（10）.4.刘广琼，俞晓芸.把握课堂节奏，提高教学效率——基于沪教版《实数的概念》公开课的启示［J］.数学教学，2015（9）.F。
更新观念大胆实践勇于创新——学好高中数学《修订大纲》，
指导高中数学新教材教学
戴佳珉;李承业
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2000(000)007
【摘要】《全13制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》(以下简称《修订大纲》)，已经国家中小学教材委员会审定，由国家教育部正式颁发了．它是以原国
家教委1996年颁发的《全13制普通高级中学数学教学大纲》(供试验用)》(以下
简称《试验大纲》)为基础，在广
【总页数】4页(P1-4)
【作者】戴佳珉;李承业
【作者单位】江西吉安地区教研室343400;江西省教委教研室330046
【正文语种】中文
【中图分类】G632.3
【相关文献】
1.高中数学新教材“思考”栏目的认识与教学实践——基于人教A版高中数学必
修4《三角函数》为例 [J], 聂哲夏
2.高中数学新大纲新教材新在哪里--学习高中数学教学大纲(试验修订版)的认识[J], 鲁献蓉
3.更新观念，学好、用好高中数学新课程 [J], 卓智聪
4.浅析高中数学新大纲新教材 [J], 唐建
5.《普通高中数学课程标准（实验）》课程目标与近年高中数学教学大纲教学目的之比较研究 [J], 刘喆
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作者： 戴佳珉
作者机构： 江西省高中数学新教材试验研究组
出版物刊名： 课程．教材．教法
主题词： 简易逻辑;开语句;新教材;条件命题;新大纲;高中数学;教学内容;充分条件;逻辑知识;
逻辑推理
摘要： 关于增加“简易逻辑”的一些思考江西省高中数学新教材试验研究组戴佳珉从１９９７年秋季起，我省已对人民教育出版社编写的《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学》进行全面试验。
在这套书的第一册里，安排了一部分“简易逻辑”。
由于这是新增内容，我们对其试验情况...。
读书| 数学史与中学数学教学——综述《被遗忘的数学课》（用于学习，如有侵权，请联系删除，谢谢。
）原创：戴佳珉原江西省教育厅教研室高中部主任、数学科组长，第五届苏步青中学数学教育奖获得者。
曾任教育部中学数学实验教材领导组成员。
2003年开始参与高中数学课程标准的研究和实验教科书的编写，担任新课标数学教科书（北师大版）《必修5》和《选修4：不等式选讲》两册书的主编。
2006年被教育部特聘为“高中新课程数学学科骨干培训国家级培训主讲专家”，2015年被教育部教育管理信息中心聘为“基于微课的翻转课堂教学模式创新应用研究课题组专家”。
应试体制下的中学数学教学，大多是以考试出成绩为基本目的。
说白了，就是教师让学生背公式、做习题、考高分。
这种僵化的教学模式，使数学变成一门无趣的学科，让许多学生害怕又无奈。
如何在教学中激发学生学习数学的兴趣和热情，培养学生主动学习的动机？如何在教学中提升学生对数学的认知，提高运用数学解决问题的能力，加深对数学和数学活动本质的理解？如何在平常的教学中传承数学文化，向学生展现数学的魅力，服务于学生的终身学习和终身发展的需要？将数学史融入平常的教学和学生的数学学习，是解决这些问题的钥匙。
歌德曾经指出，认识一门学科，最好的方法是了解它的历史。
数学史作为人类文明史的重要组成部分，是一座巨大的宝藏，蕴含着取之不尽、用之不竭的教学资源和思想养料。
数学史与数学教育的关系在我国数学教育界是一个较新的领域。
近些年，这一个领域逐渐为国内数学教育界所重视和熟悉。
学者经过研究、实践、总结和提炼，发现将数学史融入数学教学，能再现数学概念诞生的背景及其发展、完善的过程，让学生全面地建构数学概念，更好地理解数学概念，改变学生的数学观；能给课堂注入更多的活力，激发学生的学习兴趣；能培养学生坚持真理、不懈探究、提出问题、追求创新的品质；同时，数学史也为教师提供丰富的教学素材，是改进教学的工具，是提供新课引入的话题以及帮助学生“发现”新概念或新思想的方法。
