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考点42 数列的极限、函数的极限与连续性
一、选择题
1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-⎛⎫+= ⎪-⎝
⎭,则=a ( )
(A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6
【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值.
【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞⎡⎤-+--⎛⎫+= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3→∞⎡⎤+-+===⎢⎥-⎣⎦
所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞ )上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[
0,2)x ∈时，()f x =2
2x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞
=（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32
【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)f x f x =+可推得 1()(2)3
f x f x =
-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ，
[)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，，
()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴=
[)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则，
2(2)22(2)f x x x -=--+-（）
把2x -看做一个整体，则21x -=时，(2)=(1) 1.f x f -=最大值 [)12,4=
(2)3x f x f x ∴∈-时，（）211()=.33f x a ∴=最大值，即 同理，2
3341
1(),(),...33a a == 数列{}n a 是首项为1，公比为13
的等比数列， 由等比数列的前n 项和公式可得11()3313()122313
n
n n s -==-⨯-， 故3lim .2
n n S →∞= 故选D. 二、填空题
3、（2011·上海高考理科·T14）已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到12,,,,n P P P ，
则0lim ||n n Q P →∞= . 【思路点拨】此题考查极限问题，紧紧围绕n P 各点的临界位置展开求解，是解决本题的精髓所在，能起到事半功倍的效果。
【精讲精析】n P 的极限点就是以原点为圆心，以2为半径与1y =的交点，0lim ||n n Q P →∞
=4、（2011·上海高考文科·T2）计算3lim(1)3
n n n →∞-
+= 【思路点拨】本题考查极限知识，lim n c c →∞
=，1lim 0n n →∞=等公式灵活求解。 【精讲精析】33lim(1)lim1lim 13233n n n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=-++
