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(x) (y)( ($z)(A(x,z)∧A(y,z)) ($u)B(x,y,u))
=(x) (y)( ～(($z)(A(x,z)∧A(y,z)))∨($u)B(x,y,u))
=(x) (y)( (z)(～A(x,z)∨～A(y,z) )∨($u)B(x,y,u)) =(x) (y)( (z)(～A(x,z)∨～A(y,z) )∨B(x,y,f(x,y))
基本的出发点：要证明一个命题 为真都可以通过证明其否命题为 假来得到 将多样的推理规则简化为一个— 消解
鲁滨逊
什么叫消解
析取联接词，类似“或”
PQ
﹁P R 亲本子句
QR
消解式
消解式是亲本子 句的逻辑结论
消解只能在仅含否定和析取联接词的公式（子句） 间进行 必须先把公式化成规范的形式（范式，子句集）
( $ x)Q(x) ( $ y)Q(y) Skolemnizing)，两种情况：
存在量词不在全称量词的辖域内 —— 用新的个 体常量替换受存在量词约束的变元 存在量词在全称量词的辖域内 Skolem函数，即具体化函数
( x ) P ( x ) ( $ y ) Q ( y ) ( x ) P( x ) Q ( a ) ( x 1 )( x 2 )...( x n )( $ y ) P ( x 1, x 2 ,..., x n , y ) ( x 1)( x 2 )...( x n ) P ( x 1, x 2 ,..., x n , f ( x 1, x 2 ,..., x n ))
什么叫消解
例 1：
小王说他下午或者去图书馆或者在家休息 小王没去图书馆 R—小王下午去图书馆 S—小王下午在家休息
RS 例 2： ﹁R
S
﹁ P→Q P Q ﹁P
如果今天不下雨，我就去你家 今天没有下雨
含变量的消解
例：苏格拉底论断
凡人都会死. x (Man (x) Mortal (x)) 苏格拉底是人. Man (Socrates) 如何得到结论：苏格拉底会死. Mortal(Socrates)
斯科伦函数 w = g ( x )
⑤ 化成前束范式
⑥ 化成前束合取范式 分配律： P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R)
注：使用分配律两次
⑦ 消去全称量词或者前束
⑧ 消去合取符号，得到子句
⑨ 变量改名，使得变量不相同，得到子句集
消解式的定义
命题逻辑的消解式
设C1与C2是子句集中的任意两个子句，如果C1中的文字L1与 C2中的文字L2互补，那么从C1和C2中分别消去L1和L2，并将 两个子句中余下的部分析取，构成一个新子句C12，则称这一 过程为消解，称C12为C1和C2的消解式，C1，C2为C12的亲 本子句 例：子句 C1=P∨C1' C2=~P∨C2' 消解式 C12=C1'∨C2'
= (x) (y) (z)(～A(x,z)∨～A(y,z) ∨B(x,y,f(x,y)))
子句
例3：
((x)P(x)∨($y)Q(y)) (x)R(x)
=～((x)P(x)∨($y)Q(y)) ∨ (x)R(x)
=(～(x)P(x)∧～($y)Q(y)) ∨ (x)R(x) =( ($x)(～P(x))∧(y)(～Q(y))) ∨ (x)R(x)
人
工
智
能
Artificial Intelligence (AI)
第4章 推理技术
4.1 消解原理
推理是如何进行的？
推理过程多种多样 例 1：
如果今天不下雨，我就去你家 今天没有下雨
例 2：
小王说他下午或者去图书馆或者在家休息 小王没去图书馆
计算机如何选择？
消解原理（归结原理）
美国数学家鲁滨逊 提出消解原理（1965年）
“快乐的人过着激动人心的生活”
(∀z) (Happy(z)→Exciting(z))
目标“李明过着激动人心的生活”的否定
~Exciting(Liming)
消解反演示例—“激动人心的生活”问题
将上述谓词公式转化为子句集如下： (1) Poor(x)∨~Smart(x)∨Happy(x) (2) ~Read(y)∨Smart(y) (3) Read(Liming) (4) ~Poor(Liming) (5) ~Happy(z)∨Exciting(z) (6) ~Exciting(Liming) (结论的否定)
F2的前束合取范式和子句集： ($x)(C(x)∧O(x)) = (C(a)∧O(a)) 子句集={ C(a), O(a) }
～L 的前束范式和子句集： ～($x)(O(x)∧R(x))
= (x)(～O(x)∨～R(x))
子句集={～O(x)∨～R(x)}
构成子句集（注意改名） { ～C(x)∨W(x), ～C(y)∨R(y),
例：求Skolem函数(斯柯伦范式)
$x y z $u v $w A(x,y,z,u,v,w)
(用a替代x，删除$x)
= y z $u v $w A(a,y,z,u,v,w) （用f(y,z)代替u，删除$u） = y z v $w A(a,y,z, f(y,z),v,w) （用h(y,z,v)代替w，删除$w） = y z v A(a,y,z, f(y,z),v,h(y,z,v))
L: ($x)(O(x)∧R(x)) 试证：L是F1，F2的逻辑结果，即F1∧F2L
证明：
利用消解原理来构造F1∧F2∧～L的一个反演
首先分别求出F1，F2和 ～L 的子句集
F1的前束合取范式与子句集： (x)(C(x)(W(x)∧R(x)) = (x)(～C(x)∨(W(x)∧R(x)) = (x)((～C(x)∨W(x) )∧(～C(x)∨R(x))) 子句集={ ～C(x)∨W(x) , ～C(x)∨R(x) }(未改名)
~Happy(z)∨Exciting(z)
消解原理的局限性
消解原理推进了用逻辑方法进行机器证明的研究，使得 自动定理证明领域发生了质的变化。 但是
要求把逻辑公式转化为某种范式，丧失了其固有的逻辑 蕴含语义y)(～Q(y))) ∨ (z)R(z) (改名)
=( ($x)(～P(x))∧(y)(～Q(y))) ∨ (z)R(z) ＝ ( (～P(a))∧(y)(～Q(y))) ∨ (z)R(z) （消去存在量词） ＝ (y) (z)(( ～P(a)∧ ～Q(y)) ∨ R(z) ) （化成前束范式）
{P(x), P(a)}的最一般的合一者为 {a/x} c’1= Q(x) c’2= R(y)
则c1, c2的消解式为 c=Q(a)∨R(y)
怎么利用消解原理进行证明？
消解反演 通俗的说就是“反证法”
要证命题A恒为真，等价于证﹁A恒为假
证明过程
否定结论R，得﹁R ； 把﹁R添加到已知前提集合F中去； 把新产生的集合｛ ﹁R ，F｝化成范式； 应用消解原理，不断求消解式，直到得到一个表示矛 盾的空子句
一阶谓词逻辑的消解式
设C1与C2是两个没有相同变元的子句，L1和L2分别是C1和C2 中的文字，若σ是L1和~L2的最一般合一者，则称 C12=(C1σ - {L1σ})∪(C2σ - {L2σ}) 为C1和C2的二元消解式，L1和L2为消解式上的文字
例：
设c1 = P(x) ∨ Q(x), c2 = ～P(a) ∨ R(y)
5) 化为前束形式 把全称量词提到最外层 前束形:= (前缀) {母式} ↑ ↑
全称量词串 无量词公式
6) 把母式化为合取范式 7) 消去全称量词 8) 消去连词符号∧，写成子句集 9) 变量分离标准化 改变变量名称，使一个变量符号不出现在一个 以上的子句中
例1： (x)A(x) ($x)B(x)
⑧
φ
⑥⑦
消解反演示例—“激动人心的生活”问题
假设：所有不贫穷并且聪明的人都是快乐的，那 些看书的人是聪明的。李明能看书且不贫穷，快 乐的人过着激动人心的生活。 求证：李明过着激动人心的生活。 解：先定义谓词： Poor(x) x是贫穷的 Smart(x) x是聪明的 Happy(x) x是快乐的 Read(x) x能看书 Exciting(x) x过着激动人心的生活
仔细分析量词的辖域
= ～(x)A(x)∨($x)B(x) （消去“蕴含”）
= ($x) (～A(x))∨($x)B(x) （“非”直接作用谓词符号）
= ($ x) (～A(x) ) ∨ ($z) B(z) (改名)
= ～A(a)∨B(b) （消去存在量词）
子句集= { ～A(a)∨B(b) }
例 2：
(1)子句定义 任何文字的析取式称为子句 不包含任何文字的子句称为空子句（空子句是永假的） 由子句构成的集合称为子句集 例：{P（x）∨Q(x) , ~P（x，f(x)）∨Q(x,g(x)) }
(2)谓词演算公式化为子句式 任何一个谓词演算公式可以化为一个子句集合 步骤： 1) 消去蕴涵符号 用~A∨B代换A→B 2) 把非号~移入内层
要完成消解还面临几个问题
“”和“ ”必须消去
Man (x) Mortal (x) Man (x) Mortal “”怎么办？
化为子句集 置换与合一
如果能消去“”，Man (x) 和Man (Socrates)也不能构成互补对，形式不一样， 怎么办？
化子句集
相关概念
文字：原子公式及其否定统称为文字 子句集
~ (P Q) = ~ P ~ Q ~ (P Q) = ~ P ~ Q ~ ( x)P = ( $x) ~ P ~ ($ x)P = ( x) ~ P
3)对变量标准化 改变变量名，使不同的变量不同名
( x)P(x) ( x)P(x) 4)消去存在量词(具体化
1. 2.
从父子句求消解式的若干例子
