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体育单招历年数学试卷分类汇编目录体育单招历年数学试卷分类汇编第5章三角函数 (1)5.1 三角函数的基本概念 (1)5.2 同角三角函数与诱导公式 (1)5.3 两角和与差及倍角公式 (1)5.4 辅助角公式 (3)5.4 三角函数的单调性和奇偶性 (3)5.5 三角函数的最值和图像变换 (4)5.6 解三角形 (5)1第5章 三角函数5.1 三角函数的基本概念【例5.1.1】 （2005年第6题）“1cos 2θ=”是“3πθ=”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.2 同角三角函数与诱导公式【例5.1.2】 （2016年第2题）已知α是第四象限角，且sin (π-α)=23−,则cos α=（ ） A ．22 B ．21 C ．21− D ．22−【例5.1.3】 （2007年第2题） 已知α是第四象限的角，且sin ()απ−=23−，则cos ()απ+=（ ） A ．21−B ． 21C ．22−D ． 22【例5.1.4】 （2010年第4题）已知()0,,tan 2,sin cos απααα∈=−+=则 .【例5.1.5】 (2022.9)若sin 2θ - cos 2θ = - 13,则cos2θ =____________.【例5.1.6】 （2008年第7题）已知函数()sin(2),()22f x x f πϕ=+=，则()f π=（ ） A ．0 B ．1 C．2D．2−【例5.1.7】 (2019.4)已知22ππα+=k （z k ∈），则=2tanα（ ）A ．-1B ．22−C ．22D ．15.3 两角和与差及倍角公式【例5.1.8】 （2006年第3题）设角θ使得sin 2θ＞0与cos θ＜0同时成立，则角θ是 （ ） （A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角【例5.1.9】 （2017年第7题）设252cos2sin =+αα，则=αsin （ ） A. 23 B. 21 C. 31 D. 412【例5.1.10】 （2004年第2题）已知sin 360,3αα=−︒<<︒那么sin 2α=（ ） A． BC． D【例5.1.11】 （2013年第4题）若1sin cos 5A A +=，则sin 2A =【例5.1.12】 （2005年第9题）设sin 5α=，则cos2α= .【例5.1.13】 （2015年第13题）已知3)tan(=+βα，5)tan(=−βα，则=α2tan 。

体育单招考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合}4,3,2{},,3,2,1{==B A ，则=⋃B A （ ）A 、}4,3,2,1{B 、}3,2,1{C 、}4,3,2{D 、}4,1{2、下列计算正确的是 （ ） A 、222log 6log 3log 3-= B 、22log 6log 31-=C 、3log 93=D 、()()233log 42log 4-=-3、已知(1,2),(1,)a b x =-= ，若a b ⊥ ，则x 等于 （ ）A 、21 B 、 21- C 、 2 D.、－2 4、已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 5、不等式2113x x ->+的解集为（ ） A 、x <-3或x >4B 、{x | x <-3或x >4}C 、{x | -3<x <4}D 、{x | -3<x <21} 6、满足函数x y sin =和x y cos =都是增函数的区间是（ ）A ．]22,2[πππ+k k , Z k ∈ B ．]2,22[ππππ++k k , Z k ∈C ．]22,2[ππππ--k k , Z k ∈D ．]2,22[πππk k - Z k ∈7、直线是y=2x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A 、12y x =-B 、12y x =C 、2y x =-D 、2y x =8、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于 ( ) A 、13 B 、35 C 、49 D 、 639、已知{}n a 为等差数列，且74321,0a a a -=-=，则公差d ＝ （ ）A 、－2B 、12-C 、12D 、210、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）种A 、90B 、180C 、270D 、540二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

体育单招测试题数学及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是整数？A. 3.14B. -2C. 0.5D. π2. 已知函数 f(x) = 2x - 1，求 f(3) 的值。

A. 5B. 4C. 3D. 23. 一个圆的半径是 5 厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 如果一个三角形的两边长分别是 3 和 4，且这两边夹角为 60 度，那么这个三角形的面积是多少？A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√35. 等差数列 3, 7, 11, ... 的第 10 项是多少？B. 41C. 47D. 516. 一个直角三角形的两条直角边分别为 6 厘米和 8 厘米，斜边的长度是多少？A. 10 厘米B. 12 厘米C. 14 厘米D. 16 厘米7. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 2, 3, 4, 5}8. 一个数的平方根是 2，这个数是多少？A. 4B. -4C. 8D. -89. 一个数的立方根是 2，这个数是多少？A. 2B. 4C. 8D. 1610. 已知等比数列 2, 6, 18, ... 的公比是 3，求第 5 项。

B. 108C. 162D. 324二、填空题（每题2分，共10分）11. 一个数的相反数是 -5，这个数是 _______。

12. 若 a + b = 10，且 a - b = 2，则a × b = _______。

13. 一个数的绝对值是 7，这个数可以是 _______ 或 _______。

14. 已知一个等差数列的首项是 5，公差是 3，求第 6 项。

15. 已知一个等比数列的首项是 2，公比是 2，求第 4 项。

三、解答题（每题10分，共20分）16. 求函数 y = x^2 - 4x + 4 的顶点坐标。

1.（2013年第7题）若等比数列的前项和为，则 .n 5na +a =2.（2013年第13题）等差数列共有20项，其奇数项之和为130，偶数项之和为150，则该数列的公差为 .3.（2012年第9题）等差数列的前项和为，若，则 .{}n a n n S 11,19,100k k a a S ===k =4.（2012年第15题）已知是等比数列，，则 .{}n a 1236781,32a a a a a a ++=++=129a a a +++= 5.（2011年第9题）是等差数列的前项和，已知，则公差 .n S {}n a n 3612,6S S =-=-d =6.（2011年第14题）已知是等比数列，，则 .{}n a 12123,231a a a a a ≠+==1a =7.（2010年第5题）等差数列中，，公差，若数列前项的和为，则 .{}n a 12a =12d =-N 0N S =N =8.（2010年第13题）是各项均为正数的等比数列，已知，则 .{}n a 334512,84a a a a =++=123a a a ++=9.（2009年第17题）是等比数列，是公差不为零的等差数列，已知，{}n a {}n a 1122351,,a b a b a b ====(Ⅰ) 求和的通项公式；{}n a {}n b (Ⅱ)设的前项和为，是否存在正整数，使；若存在，求出。

若{}n b n S n 7n a S =n 不存在，说明理由。

10.（2008年第9题）是等比数列的前项和，已知，公比，则 .n S n 21S =2q =4S =11.（2008年第17题）已知是等差数列，，则的通项公式为 .{}n a 1236a a a +=={}n a n a =12. （2005年第4题）设等差数列的前项和为，已知，则 .{}n a n n S 3316,105a S ==10S =13. （2005年第22题）已知数列的前项和为满足。

体育对口单招数学卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题6分，共60分）1．复数32ii -+的虚部为（）A．i B．-i C．1D．-12.设集合{|2011},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（）A．M N R = B．{|01}M N x x =<< C．N N∈D．M N φ= 3．已知平面向量a，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．从221x y m n -=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（）A．12B．47C．23D．345、数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ，123100n a a a a +++⋯+=，则n 的最大值为()A．9B．10C．11D．126、已知集合A ={}1,3,B ={}2,3,则A B 等于（）A.∅B.{}1,2,3C.{}1,2D.{}37.设,“”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要充分条件C.充要条件D.既充分又必要条件8．函数)0(tan )(>=ωωx x f 图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是()（A）0（B）1（C）－1（D）9．已知n m ，是夹角为o60的单位向量，则n m a +=2和n m b 23+-=的夹角是()（A）o30（B）o60（C）o90（D）o12010．已知锐角ABC ∆的面积为，4,3BC CA ==，则角C 的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°11、“1=x ”是“0122=+-x x ”的()A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件12、“2)1(+=n n a n ”是“0)2(log 21<+x ”的()A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件13、设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的()A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件14．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数的虚部为（）A．i±B．C．1±D．15．若,,,,a b c d R ∈且,a b c d >>，则下列结论正确的是（）A．22ac bc>B．ac bd>C．11a b<D．a c b d +>+16、设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件17、已知x x x f 2)(2+=，则)2(f 与)21(f 的积为()A、5B、3C、10D、818、“ααcos sin =”是“02cos =α”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件19、函数)32(log )(22-+=x x x f 的定义域是()A、[]1,3-B、()1,3-C、(][)+∞-∞-,13, D、()()+∞-∞-,13, 20、设,6.0,6.05.16.0==b a 6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是()A、c b a <<B、b c a <<C、ca b <<D、ac b <<二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分）1、f(x)=+(m-4)x+2为偶函数，那么实数m 的值为____2、f(x)=-+mx 在(一∞，1]上是增函数，么m 的取值范围是___3．计算dxex)1(03-⎰=______4．右图所示的伪代码输出的结果S 为______5．与圆22(4)x y +-=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_______条。

体育单招数学试题及答案2024一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C2. 已知等差数列的首项为a1=2，公差为d=3，求第10项a10的值。

A. 25B. 29C. 31D. 35答案：B3. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B4. 已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，判断三角形的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形答案：B5. 函数f(x) = 2x - 3在区间[1,4]上的最大值和最小值分别是多少？A. 最大值：5，最小值：-1B. 最大值：5，最小值：-1C. 最大值：7，最小值：-1D. 最大值：7，最小值：-5答案：C6. 已知一个正方体的体积为27，求其边长。

A. 3B. 6C. 9D. 27答案：A7. 将一个圆分成4个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 30°B. 45°C. 90°D. 360°答案：C8. 已知等比数列的首项为a1=2，公比为q=2，求第5项a5的值。

A. 32B. 64C. 128D. 256答案：A9. 抛物线y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2,0)B. (2,2)C. (2,4)D. (0,4)答案：A10. 已知向量a = (3, 4)和向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。

A. 10B. 8C. 6D. 2答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若sinθ = 0.5，则cosθ的值为________。

答案：±√3/22. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度为________。

体育对口单招数学卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题6分，共60分．单项选择题．）1．定义在R 上的函数)1(+=x f y 的图象如图1所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①)0(f =1；②1)1(=-f ；③若0>x ，则0)(<x f ；④若0<x ，则0)(>x f ，其中正确的是()（A）②③（B）①④（C）②④（D）①③2．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，8174=+a a ，则20642a a a a ++++ 的值为()（A）40（B）45（C）50（D）553．已知θ是三角形的一个内角，且21cos sin =+θθ，则方程1cos sin 22=-θθy x表示()（A）焦点在x 轴上的椭圆（B）焦点在y 轴上的椭圆（C）焦点在x 轴上的双曲线（D）焦点在y 轴上的双曲线4、已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，若当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为()A、2±B、C、D、3±5、数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ，123100n a a a a +++⋯+=，则n 的最大值为()A．9B．10C．11D．126、已知集合A ={}1,3,B ={}2,3,则A B 等于（）A.∅B.{}1,2,3C.{}1,2D.{}37.设,“”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要充分条件C.充要条件D.既充分又必要条件8．函数)0(tan )(>=ωωx x f 图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是()（A）0（B）1（C）－1（D）xyO11-9．已知n m ，是夹角为o60的单位向量，则n m a +=2和n m b 23+-=的夹角是()（A）o30（B）o60（C）o90（D）o12010.设,,,都为正数,且不等于,函数,,,在同一坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小顺序是()A、B、B、D、11、“1=x ”是“0122=+-x x ”的()A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件12、“2)1(+=n n a n ”是“0)2(log 21<+x ”的()A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件13、设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的()A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件14、0=b 是直线b kx y +=过原点的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件15、方程4322(log =x 的解为（）A、4=xB、2=xC、2=x D、21=x 16、设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件17、已知x x x f 2)(2+=，则)2(f 与)21(f 的积为()A、5B、3C、10D、818、“ααcos sin =”是“02cos =α”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件19、函数)32(log )(22-+=x x x f 的定义域是()A、[]1,3-B、()1,3-C、(][)+∞-∞-,13, D、()()+∞-∞-,13, 20、设,6.0,6.05.16.0==b a 6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是()A、c b a <<B、b c a <<C、ca b <<D、ac b <<二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分）1、f(x)=+(m-4)x+2为偶函数，那么实数m 的值为____2、f(x)=-+mx 在(一∞，1]上是增函数，么m 的取值范围是___3、f(x)=a-+3的图象一定过定点P，那么P 点的坐标是__.4.在中,,,,则______.5.若向量,的夹角为,则——————随机抽取名年龄在,,,年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为_____.三、解答题：（本题共3小题，每小题10分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1．已知在ABC ∆中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度．①2c b =；②周长为43+；③面积为334ABC S ∆=．2.求经过两点(10)A -，、(32)B ，，且圆心在y 轴上的圆的方程.3设c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，S 是ABC ∆的面积，已知4,5,3a b S ===.（1）求角C ;(2)求c 边的长度.参考答案：一、选择题：参考答案1-5题：BBBCC 参考答案6-10题：BAADC参考答案11-15题:ABACA;参考答案16-20题:DCADC.二、填空题：1.答案:4解析:因为f(x)=x+(m-4)x+2为偶函数，所以f(-x)=-(m-4)x+2=f(x)=+(m-4)x+2,故-(m-4)=m-4，解得m=4.故填4.2、答案:m≥2解析:解:因为f(x)=-+mx 在(一∞，1]上是增函数，说明了对称轴x=m/2，在1的右侧，3.答案:(1,4)4、2；5、2；三、解答题参考答案：1、【解答】解：（1）2cos c b B = ，由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，即sin sin 2C B =，23C π=，∴当2C B =时，3B π=，即C B π+=，不符合题意，舍去，2C B π∴+=，23B π∴=，即6B π=．（2）选①c =，由正弦定理可得sin 21sin 2c C b B===，与已知条件c =矛盾，故ABC∆不存在，选②周长为4+，23C π=，6B π=，∴6A π=，由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C ===，即21122a b R ===，∴,,a R b R c ===，(24a b c R ∴++=+=+2R ∴=，即2a =，2b =，c =，ABC ∴∆存在且唯一确定，设BC 的中点为D ，1CD ∴=，在ACD ∆中，运用余弦定理，2222cos ADAC CD AC CD C=+-⋅⋅∠，即2141221()72AD =+-⨯⨯⨯-=，AD =，BC ∴．选③面积为ABC S ∆=，6A B π==，a b ∴=，∴211sin 2224ABC S ab C a ∆==⨯=，解得a =余弦定理可得22223212cos33424AD AC CD AC CD π=+-⨯⨯⨯=++，2AD =．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．2、解：设圆心为)0b ，（，圆的方程为()222r b y x =-+且过点A ()0,1-,B ()2,3有：()()()⎩⎨⎧=-+=-+-2222222301r b r b ⎩⎨⎧==⇒1032r b ∴所求圆的方程为()10322=-+y x 3、解：(1)由题知5,4,35===b a SC ab S sin 21=Csin 542135⨯⨯=∴23sin =∴C 又 C 是ABC ∆的内角3π=∴C 或32π=C (2)当3π=C 时，3cos2222πab b a c -+=215422516⨯⨯⨯-+=21=21=∴c。

2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,12.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.23.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n - B.122n -C.112n-D.122n-8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为212.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷答案解析一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,1【分析】集合{}22|1A x x y =+=是x 的取值范围，{}2|B y y x ==是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x ===+∞A B = [][)[]1,10,+=0,1=-∞ 故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++，所以对应的点为()6,23a a -+，代入直线y x =可得623a a -=+，解得1a =，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<【分析】先由221b b ->得，20b b ->，又由0b >，可得1b >，而log 0a b <，可得01a <<【详解】解：因为221b b ->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >，因为log 0a b <，1b >，所以01a <<，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D 【解析】【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，可求出d ，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-= 秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C 【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-【答案】D 【解析】【分析】设向量OP与x 轴的夹角为α，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得cos ,sin ,cos(),454si (5n )αααα++︒︒，得到点P '的坐标，进而求得'OP.【详解】由题意，向量OP =，则OP =设向量OP与x 轴的夹角为α，则cos αα==，所以4545sin sin 452210cos()cos cos ααα︒︒-︒=-+=223104545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒=++=，可得cos()(14510OP α+=-=︒-，45sin()310OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n -B.122n -C.112n-D.122n-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==，令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==，令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴111011001(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑ ，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=【答案】D 【解析】【分析】分别在正四棱柱中找到α和β，将α和β放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：∵在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，∴111AA B D ⊥∵底面1111D C B A 是正方形∴1111B D AC ⊥又∵1111AA AC A ⋂=∴11BD ⊥平面1111D C B A ∴1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，即1=B AO α∠∵11CD A B∥∴11BA C ∠是直线1CD 与直线11A C 所成的角，即11=BA C β∠∵11A B B A =，11A O B O =，OA OB =∴11A BO B AO △≌△∴111=BA C AB O β∠∠=∵11B D ⊥平面1111D C B A ∴1B O OA⊥∴11+=+2B AO AB O παβ∠∠=故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高【答案】BC 【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求得2ω=，6π=ϕ，进而求得()cos 4g x x =，()sin(26f x x π=+，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位后变为：sin 6x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后变为：sin 26x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()sin 26g x x ωπωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭.因为()g x 的最小正周期为2π，所以222ππω=，解得：2ω=.所以()sin 43g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为()g x 为偶函数，所以,32ππφkπk Z +=+∈，所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ.所以()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()sin(26f x x π=+.对于选项A ，因为()sin 2()sin 0012126f πππ⎡⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦，所以()y f x =图像关于点(,0)12π-对称，故A 正确.对于选项B ，因为x ∈5(0,)12π时，2,66x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设26t x π=+，则()sin ,,6f t t t ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，因为()f t 在,6π⎛⎫π⎪⎝⎭不是单调递增，所以()f x 在5(0,)12π不单调递增，故B 错误.对于选项C ，()cos 22x g x =，()sin(2)6f x x π=+，画出(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像如图所示:从图中可以看出：(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像有三个交点，所以()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解，故C 正确.对于选项D ，()cos 4g x x =在5()124ππ,的图像如图所示：从图中可以看出()g x 在5(124ππ,有且仅有2个极大值点，故D 选项错误.故选：AC .【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2【答案】ABD 【解析】【分析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及0FA FB FC ++=，可得122x x +=，从而可证得2FA FC FB += ；由A ，F ，C 三点共线，得121211y y x x =--，结合22112211,44x y x y ==，化简即可得到本题答案；设AC 的中点为00(,)M x y ，由AF CF AC +≥，结合1201122AF CF x x x +=+++=+，即可得到本题答案.【详解】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB = ，22(1,)FC x y =- ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++== ，即FA ，FB，FC 成等差数列，故B 正确；因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x x x x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭∴()ln f x x x x '⎛⎫=⎪⎝⎭∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数）∴()21ln 2f x x x bx=+∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b =∴()211ln 22f x x x x =+∴()112f =，满足()011f <<∴C 正确∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴B 错误，A、D 正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【解析】【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-，故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交.【详解】因为//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为//l α，所以α内存在一条直线m 与l 平行，又l β⊥，所以m β⊥，所以可得αβ⊥，即①③作为条件，可以得出②；因为αβ⊥，l β⊥，所以//l α或者l α⊂，因为l 是平面α外的直线，所以//l α，即即②③作为条件，可以得出①；故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．【答案】32【解析】【分析】首先求,P Q 两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得2b a =，最后再求双曲线的离心率.【详解】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a =，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b ---++=，c b > ，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即52b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =.故答案为：32【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】(1).278sin cos θθ+(2).【解析】【分析】分别计算出OE 、OF ，相加可得EF 的长；设()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()f θ的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点O 分别作OA AE ⊥，OB BF ⊥，则OEA BOF θ∠=∠=，在Rt OAE △中，27OA =，则27sin sin OA OE θθ==，同理可得8cos OF θ=，所以，278sin cos EF OE OF θθ=+=+.令()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()3333222222278cos tan27cos8sin8sin27cos8 sin cos sin cos sin cosfθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭=-+='=，令()00fθ'=，得327tan8θ=，得03tan2θ=，由22003tan2sin cos1sin0θθθθ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin13cos13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当00θθ<<时，()0fθ'<；当02πθθ<<时，()0fθ'>.则()()min1313f fθθ===.故答案为：278sin cosθθ+；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.。

体育对口单招数学卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1．函数()f x =的单调递增区间为（）A．[0,1] B.1(,]2-∞ C.1[,1]2D．1[0,]22．已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数的取值范围是()A．1->a B．1=a C．1≥a D．1≤a 3.命题“存在0x ∈R，02x 0”的否定是()A.不存在0x ∈R,02x >0B.存在0x ∈R,02x 0C.对任意的x ∈R,2x 0D.对任意的x ∈R,2x >04.若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为,则实数的取值范围是()A )2,2(-B ]2,2(-C ),2()2,(+∞--∞D )2,(-∞5．已知函数()cos cos 2f x x x =-，试判断该函数的奇偶性及最大值()A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为986．对24小时内降水在平地上的积水厚度()mm 进行如下定义：0~1010~2525~5050~100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨7．若tan 2α=,则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为（）A．0B．34C．1D．548．函数14(cos 22--=πx y 是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数9．如果函数p x nx y ++=21的图象关于点A （1，2）对称，那么()（A）=p －2，=n 4（B）=p 2，=n －4（C）=p －2，=n －4（D）=p 2，=n 410．已知}{n a 的前n 项和142+-=n nS n ，则||||||1021a a a +++ 的值为()（A）67（B）65（C）61（D）56二、填空题：（共30分．）1、f(x)=+3x-4的零点是____________.2、y=+x 在点A(1,2)处的切线方程是_____.3、等比数列{n a }的公比0q >,已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =______。

2021 年全国一般高等学校运动训练，民族传统体育专业单招统一招生考试数学一，挑选题：本大题共 10 小题，每道题 6 分；在每道题给出的四个选项中，只 有哪一项符合题目要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑72A { x | 0 x , x N} ，就 1，如集合 的元素共有（ ）A A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 无穷多个D. 222，圆 x y2y 7 0 的半径是（）6C. 2 2A. 9B. 8D. 3，以下函数中的减函数是 （）xxee 232yxy 2x x sin xA. y | x |yB.C.D. 2f (x) 2x x 4，函数 的值域是（）(,1) (1,) [0, 2][0, 1] A. B. C. D . y 3 sin 4 x 3 cos4x 的最小正周期和最小值分别是 5，函数 （）32 332 3和和D . A.和和B.C.22ABC BC 4 ， AC 4 3 ，就 B是钝角三角形， A 30 6.已知 ， （）A. 135B. 120C. 60D. 30l ， m ，平面 7.设直线 ， ，有以下 4 个命题：①如 l ， m ，就 l // m ②如 l // ， m // ，就 l // m ③如 l， l//m//m ////，就 ④如 ， ，就 其中，真命题是 （）A . ①③8.从 5 名新队员中选出 165 种 ②③①④D. ②④B. C. 2 人， 6 名老队员中选出 B. 120 种1 人，组成训练小组，就不同的组成方案共有（ ）C. 75 种D. 60 种2 2x ay b3 ，就此双曲线的离心率为的一条渐近线的斜率为 （）1 9，双曲线222 3 3A.B.C. 2D. 43x2x 2 x 0 时， f ( x)ln( x1 ) ，就当 x 0 时， f ( x) f ( x) 是奇函数，当 10，已知 （ ）2222x ln( x 1 x ) x ln( x 1 x ) A ． B. 2222xln( x1 x )xln( x1 x )C.D.二，填空题 : 本大题共 6 小题，每道题6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上；1 x2 x 3的解集是；0 11，不等式3 ，就该椭圆的标准方程为5( 3,0) ，(3,0) ，离心率为 ；12，如椭圆的焦点为 tan 213，已知 tan() 3 ， tan() 5 ，就 ；2 3a ，b 满意， 2 ， a b 14，如向量 | a | 1 ， | b | ，就 cos a, b ；4 315， (2x1) 的绽开式中 x 的系数是；(2a2log 1) log (3a) 0 ，就 a 的取值范畴是；16，如 0 a 1 ，且 a a 三，解答题 : 本大题共 3 小题，共 54 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．3 417，某校组织跳远达标测验， 已知甲同学每次达标的概率是 .他测验时跳了 4 次，设各次是否达标相互独立 .（Ⅰ）求甲恰有 3 次达标的概率； （Ⅱ）求甲至少有 1 次不达标的概率； （用分数作答） 2x4y ，直线 l ： 18，已知抛物线 C ： x y m 0 ；与l m1 ；（ 1）证明： C 有两个交点的充分必要条件是 m 1，C 与 l y 轴于点 GAB （ 2）设 有两个交点 A ，B ，线段 的垂直平分线交 G ，求 面积的取值范AB 围；1CD 2P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， AB // CD ，且 AB19，如图，四棱锥 ， ADC 90 .PA 平面 ABCD PD M ， 是 的中点；P（ 1）证明： AM // 平面 PBC ； （ 2）设 PAAD 2 AB ，求 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值MBCAD绝密★ 启用前2021 年全国一般高等学校运动训练，民族传统体育专业单独统一招生考试数学试题参考答案和评分参考评分说明：1．本解答指出了每题要考查的主要学问和才能，并给出了一种或几种解法供参考．假如考生 的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细就，2．对运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和 难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分效的一半： 假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数．表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，挑选题和填空题不给中间分．挑选题：此题考查基本学问和基本运算．每道题6 分，满分 60 分．( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) B （ 4） D （ 5） D( 6 ) B ( 7 ) A ( 8 ) D ( 9 ) C （ 10） A 1，考点：自然数概念，集合元素个数求法，集合的表示法－－描述法和列举法7 , x 2解：∵集合 A { x | 0 x N}={ 1,2,3} ，∴ A 的元素共有 3 个；选 B2，考点：圆半径求法 x2y2x2 （ y+1）22 y7 0 变形为 8 ，所以半径是 解：将圆方程 2 2 ，选 C. a)2b)2r 2的圆心为（ a ， b ），半径为 说明：圆方程( x ( y r3，考点：函数的单调性 x x x x 0解： A.y | x|当 x 0, y x 是增函数，当 x 0, y x 是减函数，不符合题意；3y x 是减函数符合题意；所以选B.B3x 的定义域是 说明：用函数单调性的定义判定：∵ 是任意两个实数，且 x x ，yx R ，∴设 x 1 , x 2 1 2 3333 3就△ xx 2 x 1 0 ，△ y ( x 2 ) ( x 1 )x1x20 ，所以 y x 在定义域内是减函数；4，考点：根式函数的定义域和值域的求法，一元二次不等式的解法，二次函数最大值求法； 2x解：由平方根的定义知(2 x ） x 0 x 2 ，当 x 0 ，x 2 时， 2 x 0 ，即 0 ，解得 y 0 ，当 2( x 1) 0 x 2 时 y1 的最大值为 1，22所以函数 f ( x)2 x x( x 1)1 的值域是 [ 0,1] 选 D.5，考点：三角函数最小正周期和最小值，三角函数加法公式解：用帮助角公式：a a2b a2b a2222a sin xb cos x ab (sin x cos x) ab sin( x) （ tan）b2b23 3 3由于 y3sin 4x 3cos 4x 2 3( sin 4x cos4 x)2 2 31= 2 3( sin 4 x232 22 4cos 4 x ) = 2 3 sin(4 x ) ， T 322 3 所以函数y3sin 4 x 3cos4 x 的最小正周期是，最小值是；应选 D26，考点：正弦定理和钝角三角形的概念 解：∵已知ABC 是钝角三角形， BC4 ， AC 4 3 ，A 30 ， 4 sin 304 3 3 2∴由正弦定理得， sin B，sin B0 0 0∴ B 120 B 60 B 60 ABC （ 不符合题意，当 时 变为直角三角形，故舍去）选 Bl ， m ，平面 7.设直线 ， ，有以下 4 个命题：①如 l ， m l // m l // ， m // ，就 l // m ，就 ②如 ③如 l， l//m//m ////，就 ④如 ， ，就 其中，真命题是 （）A. ①③②③①④D. ②④B. C. 考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系； l m，就 l // m 正确，垂直于同一平面的两直线平行；解：①如 ， l ， m 可能平行，相交，异面，故结论错误， ②如 l // ， m // ，就 l // m 错误， l ，l // ③如 ，就 正确，垂直于同始终线的两平面平行；④如 m//， m////，就 错误，平行于同始终线的两平面可能平行，相交，故结论错误，因此①③正确，应选 A8.从 5 名新队员中选出 2 人， 6 名老队员中选出 1 人，组成训练小组，就不同的组成方案共有（ ）种考点：组合数，乘法原理B. 120 种C. 75 种D. 60 种解：由于从 5 名新队员中选出 2 人， 6 名老队员中选出 1 人，组成训练小组，只有同时选出任务才算完成， 5 4 2 1故用乘法原理， C 5 C66 60 （种），应选 D2x 2y 23 ，就此双曲线的离心率为1的一条渐近线的斜率（ ）9.双曲线 22 ab2 3 B.3A.C. 2D. 43考点：双曲线渐近线方程的斜率，双曲线的离心率22x y bx ab a1 的一条渐近线方程为3 ，即解：双曲线y3 ，双曲线的离心率为，其斜率为 a2 b222c aabab 2 e1 ( ) a= 1 3 2 ，选 C 2x2x ) ，就当 x 0 时， x 0 时， 10.已知 f ( x) 是奇函数，当 f (x) ln( x1 f ( x) （ ）x 21 x 2) x 2x 2 ln( x ln( x 1 ) A ． B. x2 x 2x2x 2)ln( x1 )ln( x1 C.D.考点：奇函数性质，对数函数的运算x2x2解：∵ f ( x) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x ) ln( x1) 且当 x 0 时 x 0222[ x2x )][( x)ln( x1 ( x) )] = ∴ f (x)f ( x) = ln( x1 22ln( (x 1 x )( x21 xx x))1 2xx2x2ln() 1 1 xx2x21= x2x 2) ，选 ln( 1 x) ln( x 1 A二．填空题：此题考查基本学问和基本运算．每道题6 分，满分 36 分．1 2 x 12的解集是 0 { x | 3 x } ；11，不等式x 3 考点：分式不等式1 2x 00 1 x 2x 3 00 1}2解：原不等式等价于或 解得 { x | 3 x x 3 x 2 25 y 2163 5，就该椭圆的标准方程为( 3,0) ， (3,0) ，离心率为1 ；12，如椭圆的焦点为 考点：椭圆的标准方程，椭圆的离心率3 5解：∵椭圆的焦点为 ( 3,0) ， (3,0) ，离心率为x 2y 23 5c ac 3， e∴设椭圆的标准方程为 1 (a b 0) ，由题知 ，22 a b∴ a5 ， b22a2c25 9 16 ，x 225 y 216∴该椭圆的标准方程为 1 ；4 7tan 213，已知 tan( ) 3 ， tan( ) 5 ，就 ；考点：正切函数加法公式 解：∵已知 tan() 3 ， tan( ) 5 tan( ) tan( ) tan( ) )3 54 7tan 2 tan[() ()]∴ 1 tan(1 3 52 ，就 31 3 a ， b 满意， | a | 1 ， | b |2 ， a bcos a, b14，如向量 ；考点：向量夹角公式2 3解：∵向量 a ， b 满意， 2 ，a b | a | 1 ， | b | ，2 3 2a b | a | | b | 1 3∴ cosa, b1 4315， (2x 1) 的绽开式中 32 x 的系数是 ；考点：二项式绽开式及通项公式 r 4 r rrr 4 r 4 r解：由通项公式得 T r C 4(2x) ( 1)( 1) C 42x1 4(2 x 1) 的绽开式中 3x 1 4 1 ∴当 r1 时，满意题意，故 的系数是 ( 1)C 23241 12log a (2a 1) log a (3a) 0 ，就 a 的取值范畴是 0 a 1，且 ；( , ) 3 216，如 考点：对数函数的性质 解：∵ 0 a 1∴ f ( x )log a x 在定义域上是减函数2∵ log a (2a1) log a (3a) 0 log a 113 12 ( 1 , 1) 3 222a∴ a 的取值范畴是 1 3a 1 ，解得 x，即 2a23a 1 13a (1)2a22a 2（不等式 解（ 1） 1 3a 1 等价于3a 1 0 ， (2 a 1)(a 1) 0 解(2)12 12）得 a，所以 a 的取值范畴是 3 1 1( , ) 3 2得 ） a 或 a 1 ，解（ 三．解答题：17.考点： n 重贝努力试验3 3 33 4 27 64 解：（Ⅰ）甲恰有 3 次达标的概率为 C 4( ) (14 3 41 ( ))9 分 175 256（Ⅱ）甲至少有 1 次不达标的概率为 18 分418.考点：直线与曲线有交点的判别法，根与系数的关系，中点坐标的求法，两点间距离公式，点到直线的 距离公式，求直线方程，三角形面积的运算及取值范畴的确定； 2x4 ym 0解：（Ⅰ） C 与 l 的交点（ x ， y ）满意x y x2由其次个方程得 y m x ，代入第一个方程得4 x 4m 0① 4 分= 42△>0方程①的判别式△ 4( 4m) 16 16m 16(1 m)m1 ，故命题得证；C 与 l 有两交点8 分（Ⅱ）设 C 与 l 的交点 A( x 1 , y 1) B( x 2 , y 2 ) ，就 x 1, x 2 满意方程① x 1 x 24 ， x 1 x 24m，所以 22222(x 1 x 2 )( x 1 x 2 )4x 1 x 2 16(m 1)， ( y 1 y 2 )[( x 1 m) ( x 2 m)] = ( x 1 x 2 )222∴ x 2 ) = 4 2(m 1) ，AB( x 1 x 2 )( y 1y 2 )2( x 1 分12 y 1 y 2( x 1 x 2 ) 2m 4 2mx 1x 2 y 1 y 2Q 2,m 2 ，即 Q(, ) AB 中点 2 2AB 垂直的直线方程为 x y m 4 0 ， 过 Q 与 它与 y 轴的交点 G(0, m 4) 到直线 l 的距离0 m 4 md2 2 ，212所以 GAB 的面积 S ΔGAB d AB 8 m 11 m 1 ，所以 08 2 ，故 (0,8 2) 由于 S S GAB 的取值范畴是 ；18 分GAB1CD 2P ABCD ABCD AB // CD AB ADC 90 19.如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ，且 ， .PA 平面 ABCD 是 PD 的中点；， M P（ 1）证明： AM // 平面 PBC ； M（ 2）设 PAAD 2 AB ，求 PC ABCD 所成角的正弦值与平面 19.考点：线面平行，线面所成的角BC1 MN / / CD ，2A解：（Ⅰ）取 PC 中点 N ，连接 BN ， MN ；由于 1CD 由已知 AB ∥ AB MN ABNM ，所以 ∥ ，故四边形 为平行四边形；2DAM ∥ BN ， BN 平面 PBC ， AM 平面 PBC ，所以 AM ∥ PBC ；10 分（Ⅱ）设 PA ADa ，就 CD =2 AB = a ，连接 AC AC 是 PC 在平面 ABCD PCA 为；就 上的射影，PC 与平面 ABCD 所成的角；2AD 2CD2a 2a∵ PAC2a N2222PC所以PAAC a2a3aMCPA PCa 3a3 3Bsin PCA18 分AD19 题图。