必修一函数及其表示讲义

1.2函数及其表示一、函数概念及表示方法 课型A例1. 下列能确定y 是x 的函数的是 2 （1）222x y += （2）111x y -+-= （3）21y x x =-+-例2. 以下各组函数表示同一函数的是 4 。

（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1例3. 图中的图象所表示的函数的解析式为 （ B ）A ．|1|23-=x y(0≤x ≤2) B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2)D ．|1|1--=x y(0≤x ≤2)例4．已知函数()y f x =，它的图像与直线,()x a a R =∈的交点的个数是 （ B ）A. 至少一个 B . 至多一个 C. 一个或两个 D. 可能有无数多个例5．已知()f x =⎩⎨⎧<≥,0,0,0,1x x 则不等式()2xf x x +≤的解集是________ {x |x ≤1}例6.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,22x x x x x x x f ，若()3=x f ，则x 的值是__3___________例7.已知函数()()x g x f ,分别由下表给出则()[]1g f 的值 1 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 2 .x12 3 f(x) 1 31x12 3 g(x) 321二、函数的三要素 课型B例1. 求下列函数的定义域（1）5x 4x )x (f 2+--=[]5,1x ∈-（2）1x x 4)x (f 2--=[)(]2,11,2x ∈-⋃（3）10x 6x )x (f 2+-=x R ∈（4）13x x 1)x (f -++-= []3,1x ∈-例2. 求下列函数的值域 （1）32y x= ()(),00,y ∈-∞⋃+∞ （2）231x y x -=+ ()(),22,y ∈-∞⋃+∞ （3）221x x y x x -=-+ 1,13y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭（4）y x =+ 1,2y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭例3. 求下列函数的解析式： （1）221)1(xx x x f +=+ 2()2f x x =-（2） 13()2()4f x f x x+= 2128()5x f x x -=（3）若()[]{}2627+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式. ()32f x x =+三、复合函数及抽象函数 课型B例1．（1）已知函数)(x f 的定义域为[]1,0，求)1(2+x f 的定义域. {}0x x =（2） 已知函数)12(-x f 的定义域为[)1,0，求)31(x f -的定义域. 20,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，则函数2()23f x +的定义域是()(x ∈⋃例3． 设()x x x f +=21)(，()⎩⎨⎧>≤=0,0,2x x x x x g ，则()[]=x g f _______________[]20,(0)(),(0)x f g x x x ≤⎧=⎨>⎩例4．已知()[]⎩⎨⎧<+≥-=∈10,510,2)(,*n n f f n n n f N n 且，则()4f =___8___________例5．已知()()()341.22+=+=x x g a x x f ，若()[]12++=x x x f g ，求a 的值. 1a =例6. 设函数()f x 的定义域是实数集R ，且满足条件：存在12x x ≠使得12()()f x f x ≠，又对任意实数,,()()()x y f x y f x f y +=⋅成立求证：（1）(0)1f = （2）()0f x >对任意的x 均成立。

第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ）A y =( x )2B y=x x 2C 33x y =D y=2x 【例2】x x y 2=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。

（5）正切函数2ππ+≠k x【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域。

第一次课函数一、知识要点1. 函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.2. 两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定. 因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相等.3. 求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且 不等于1；(5)函数y ＝x 0的定义域是{x|x ∈R 且x ≠0}.4. 函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法 .5. 映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.二、典例精析题型一：求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x)＝2x ＋3，求f(x －1)的表达式；(2)已知f(x ＋1)＝x 2＋x ＋1，求f(x)的表达式；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x 2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)把f(x)中的x 换成x －1，得f(x －1)＝2(x －1)＋3＝2x ＋1.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(t)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1，所以f(x)＝x 2－x ＋1. (3)由f(x)＋2f(－x)＝3x 2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2f(x)＝3x 2－5x ＋3，解得f(x)＝x 2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x 1+)＝221x x x ++，求f(x).【解析】设u ＝x x 1+，则x 1＝u －1 (u ≠1). 由f(u)＝1＋x 1＋21x ＝1＋(u －1)＋(u －1)2＝u 2－u ＋1. 所以f(x)＝x 2－x ＋1 (x ≠1).题型二：求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2，4]，求f(x2－3x)的定义域.【解析】(1)要使函数有意义，则只要⎪⎩⎪⎨⎧--0＞90,＞　222　x x x 即⎩⎨⎧-＜3,＜30＜2＞x x x ，或解得－3＜x ＜0或2＜x＜3. 故所求的定义域为(－3，0)∪(2，3).(2)依题意，只需－2≤x 2－3x ≤4，解得－1≤x ≤1或2≤x ≤4. 故f(x 2－3x)的定义域为[－1，1]∪[2，4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解. 对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知f(x)的定义域为(－1，1)，求函数F(x)＝f(1－x)＋f(x 1)的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧---＜111＜＜1,1＜1x x 得1＜x ＜2，所以F(x)的定义域为(1，2).题型三：由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l－2πx －x ，半圆的半径为x ，所以y ＝2π2x +(2l －2πx －x)·2x ＝－(2＋2π)x 2＋lx. 由实际意义知2l－2πx －x ＞0，因为x ＞0，解得0＜x ＜π2+l. 即函数y ＝－(2＋2π)x 2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π2+l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义. 如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.题型四：分段函数【例4】 已知函数⎩⎨⎧++=.0 ≥1,0＜3,)(2x x x x x f ，求(1) f(1)＋f(－1)的值；(2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.(2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a ≥0时，f(a)＝a 2＋1＝1，解得a ＝0. 所以a ＝－2或a ＝0.(3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0；当x ≥0时，f(x)＝x 2＋1＞2，解得x ＞1.所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同. 因此，分段函数往往需要分段处理.第二次课函数的单调性一、知识要点1. 增函数(减函数)的定义：设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＜f(x 2)，则说函数f(x)在区间D 上是增函数. 当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，则说函数f(x)在区间D 上是减函数.如果函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间.2. 判定函数为单调函数的常用方法：(1)图象法：函数f(x)在区间D 上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数； (2)利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值x 1、x 2，作差比较f(x 1)与f(x 2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设y ＝f(u)，u ＝g(x)(x ∈[a ，b])都是单调函数，则y ＝f[g(x)]的单调性由“同增异减”来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明【例1】讨论函数f(x)＝21++x ax (a ≠21)在(－2，＋∞)上的单调性.【解析】设x 1，x 2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝2111++x ax －2122++x ax ＝)2)(2()12)((2121++--x x a x x ，因为x 1∈(－2，＋∞)，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，所以当a ＜21时，1－2a ＞0，f(x 1)＞f(x 2)，函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a ＞21时，1－2a ＜0，f(x 1)＜f(x 2)，函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x 1，x 2在给定区间内的任意性. 另外，本题可以利用导数来判断.【变式训练1】讨论函数f(x)＝ax 2+bx+c 的单调性.题型二：函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间. (1)y ＝|x －1|；(2)y ＝x 2＋2|x －1|；(3)y ＝2342-+-x x .【解析】(1)y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧--.1＜,1,1 ≥,1x x x x 所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (2)y ＝x 2＋2|x －1|＝⎪⎩⎪⎨⎧+--+.1＜ ,22,1 ≥ ,2222x x x x x x 所以函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (3)由于t ＝－x 2＋4x －3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.题型三：函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1，1]，且对于任意的x 1，x 2∈[－1，1]，当x 1≠x 2时，都有2121)()(x x x f x f --＞0. (1)试判断函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x －1)＜f(6x 2).【解析】(1)当x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2时，2121)()(x x x f x f --，得f(x 1)＜f(x 2)，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数. (2)因为f(x)在[－1，1]上是增函数. 所以，由f(5x－1)＜f(6x 2)知，⎪⎩⎪⎨⎧----226＜15,1 ≤ 6 ≤ 1,1 ≤ 15 ≤1x x x x ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-2131＜,66≤ ≤ 66,52 ≤ ≤ 0x ＞x x x 或所以0≤x ＜31，所求不等式的解集为{x|0≤x ＜31}.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.【例4】若f(x)＝－x 2＋2ax ＋3与g(x)＝1+x a在区间[1，2]上都是减函数，求a 的取值范围.【解析】若f(x)＝－x 2＋2ax ＋3在区间[1，2]上是减函数，则a ≤1；若g(x)＝1+x a在区间[1，2]上是减函数，则a ＞0. 所以，a 的取值范围为0＜a ≤1.【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定.第三次课函数的奇偶性一、知识要点1. 函数的奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.2. 奇(偶)函数的图象特征：(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.3. 函数的周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.二、典例精析题型一：函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝(x －1)x x-+11；(2)f(x)＝22)1lg(22---x x ；(3)f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+-+；，)0( )0＜( 22x ＞x x x x x (4)f(x)＝23x -+32-x .【解析】(1)由x x-+11≥0，得定义域为[－1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠---0220＞122x x ，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，因为f(x)＝2)2()1lg(22----x x =－22)1lg(x x -，f(－x)＝[]22)()(1lg x x ----＝－22)1lg(x x -＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x 2＋x)＝－f(x)；当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2－x ＝x 2－x ＝－f(x). 所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.(4)由⎪⎩⎪⎨⎧--0 ≥30 ≥322x x ，得x ＝3- 或x ＝3，所以函数f(x)的定义域为{3-，3}，又因为对任意的x ∈{3-，3}，－x ∈{3-，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式【例2】若函数f(x)＝12+++nx x mx 是定义在(－1，1)上的奇函数，求f(x)的解析式.【解析】因为函数f(x)＝12+++nx x m x 是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，从而得m ＝0；又f(21)＋f(－21)＝0，得n ＝0. 所以f(x)＝12+x x (－1＜x ＜1).【变式训练1】已知定义域为R 的函数f(x)＝a b x x ++-+122是奇函数. 求a ，b 的值. 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即21+-a b ＝0，得b ＝1，所以f(x)＝1221++-x x a .又由f(1)＝－f(－1)，知1211421+-=+-a a ，得a ＝2. 故a ＝2，b ＝1.题型三：函数奇偶性的应用【例3】设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x ＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求证：函数f(x)为奇函数；(2)求证：函数f(x)在R 上是增函数；(3)在区间[－4，4]上，求f(x)的最值.【解析】(1)证明：令x ＝y ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0；令y ＝－x 有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)，又x ＞0时，f(x)＞0，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)＞0，即f(x 2)＞f(x 1)，所以函数f(x)在R 上是增函数.(3)因为函数f(x)在R 上是增函数，所以f(x)在区间[－4，4]上也是增函数，所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4). 因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，故函数f(x)在区间[－4，4]上的最大值为12，最小值为－12.【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.【变式训练2】函数f(x)的定义域为D ＝{x|x ≠0}，且满足对任意x 1、x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2). (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【解析】(1)令x 1＝x 2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，得f(－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3. 所以f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，即f[(3x ＋1)(2x －6)]≤f(64). 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧-+-+64 ≤ )62(130＞)62)(13(x x x x ）（，或⎩⎨⎧-+--+64 ≤ )62(130＜)62)(13(x x x x ）（，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⇒5 ≤ ≤ 3731＜3＞x x x ，或或⎪⎩⎪⎨⎧∈-,3＜＜31R x x ，所以3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. 故x 的取值范围为{x|3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x＜3}.第四次课二次函数一、知识要点1. 二次函数的解析式：(1)一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a ≠0)；(3)零点式：f(x)＝ a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0，x 1，x 2是方程f(x)＝0的两个根).2. 二次函数的图象特征：a ＞0时，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向上的抛物线；a ＜0时，二次函数f(x)＝ ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线. 二次函数图象的对称轴是直线a bx 2-=.3. 二次函数的定义域和值域：二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域为R ，当a ＞0时，其值域为 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,442a b ac ；当a ＜0时，其值域为 ⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b ac 44 ,2 . 4. 二次函数的单调性：设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当a ＞0时，f(x)在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,2a b 上是增函数；当a ＜0时，f(x)在⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b 2 ,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,2a b 上是减函数.二、典例精析题型一：求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y ＝f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－2，在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式.【解析】设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-224,1)0(,222a acb f a b ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒,84,1,422a a b c a b解得a ＝21，b=2，c ＝1，所以f(x)＝21x 2＋2x ＋1.【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x 1－x 2|＝aac b 42-.【变式训练1】若二次函数的图象经过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为？ .【解析】此题可选用一般式解决，但计算复杂. 对称轴为x ＝2，最小值是－1，可知其顶点为(2，－1)，从而，可选用顶点式求解. 设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2－1，将(0，1)代入得1＝4a －1，所以a ＝21，所以所求的函数解析式为y ＝21(x －2)2－1.题型二：求二次函数的值域或最值【例2】某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳销售价应为多少？ 【解析】设最佳售价为(50＋x)元，最大利润为y 元，则y ＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40 ＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900，当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳销售价应为70元.题型三：二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1＜x 2，f(x 1)≠f(x 2)，对于方程f(x)＝21[ f(x 1)＋f(x 2)]，证明：(1)方程在区间(x 1，x 2)内必有一解；(2)设方程在区间(x 1，x 2)内的根为m. 若x 1，m －21，x 2成等差数列，则－a b2＜m 2.【证明】(1)令g(x)＝f(x)－21[ f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)g(x 2)＝21[ f(x 1)－f(x 2)]·21[ f(x 2)－f(x 1)]＝－41[ f(x 1)－f(x 2)]2＜0，所以方程g(x)＝0在区间(x 1，x 2)内必有一解.(2)依题意2m －1＝x 1＋x 2，即2m －x 1－x 2＝1，又f(m)＝21[ f(x 1)＋f(x 2)]，即2(am 2＋bm ＋c)＝a 21x ＋bx 1＋c ＋a 22x ＋bx 2＋c ，整理得a(2m 2－21x －22x )＋b(2m －x 1－x 2)＝0， a(2m 2－21x －22x )＋b ＝0，－a b2＝m 2－22221＜2m x x .【点拨】二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点对应二次函数的函数值的正负；(3)相应二次函数的对称轴x ＝－a b2与区间的位置关系.【变式训练2】已知函数f(x)＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件f(－x ＋5)＝f(x －3)，且方程f(x)＝x 有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m 、n (m ＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m ，n]和[3m ，3n]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)函数f(x)满足f(－x ＋5)＝f(x －3)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称， 故－a b2＝1，即b ＝－2a. 又方程f(x)＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，所以b ＝1，a ＝－21，所以f(x)＝－21x 2＋x.(2)因为f(x)＝－21x 2＋x ＝－21(x －1)2＋21在区间[m ， n]上的值域为[3m ， 3n]，则3n ≤21，n ≤61，故m ＜n ≤61，所以f(x)在[m ，n]上是增函数，所以f(m)＝3m ，且f(n)＝3n ，所以m 、n 是方程f(x)＝3x 的两个不等实根，所以－21x 2＋x ＝3x ，即x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或－4，又m ＜n ，所以m ＝－4，n ＝0.第五次课指数与指数函数一、知识要点1. n 次方根的定义：若x n＝a ，则称x 为a 的n 次方根. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根.2. 方根的性质：当n 为奇数时，n n a ＝ a ；当n 为偶数时，n n a ＝ a ＝⎩⎨⎧-.0＜,,0 ≥,a a a a3. 分数指数幂的意义：若a ＞0，m ，n 都是正整数，n ＞1，则nma ＝nm a ，n ma-＝n ma 1；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质：a r·a s＝a r+s(a ＞0)；a r÷a s＝a r －s(a ＞0)；(a r )s ＝a rs(a＞0)；(ab)r＝a rb r(a ，b ＞0).5. 指数函数的概念：函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量. 6. 指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象定义域 RR值域 (0， ＋∞ ) (0， ＋∞ )函数值 分布 当x ＞0时y ＞1， 当x ＝0时y ＝1， 当x ＜0时0＜y ＜1 当x ＞0 时0＜y ＜1， 当x ＝0 时y ＝1， 当x ＜0时y ＞1 单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数二、典例精析题型一：指数及其运算 【例1】计算：(1) 214-·2133231)()1.0()4(---b a ab ；(2)(0. 027)31-－2)71(--＋(972)21－0)12(- 【解析】(1)原式＝23232323232110044b b a a ∙-∙-∙∙∙-＝251.(2)原式＝1)925()71()1()100027(212231-+-----＝13549310-+-＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先将底数化成相同.题型二：指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝1212+-xx ，其中x ∈R ，(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：f(x)是区间(－∞，＋∞)上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x ∈R ，且f(－x)＝xxx x 21211212+-=+---＝－f(x)，所以f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数.(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝)12)(12(22121212122121221111++-=+--+-++x xx x x x x x ＜0， 所以f(x)是区间(－∞，＋∞)上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围，应分类讨论.【变式训练1】已知a ＞0，且a ≠1，函数f(x)＝a x－a －x，其中x ∈R.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作函数及其表示方法【学习目标】(1) 会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f:A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 .记作： y=f(x)，x A．其中， x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x A} 叫做函数的值域.要点诠释：（ 1）A、 B 集合的非空性；（ 2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等( 或为同一函数 ) ；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1) 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2) 无穷区间；(3) 区间的数轴表示．区间表示：{ x | a x b} ( a, b);{x|a≤ x≤ b}=[a，b]；{ x | a x b}a,b ；{ x | a x b}a, b ；{ x | x b}- ,b ;{ x | a x}a,.要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1. 映射定义：设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f ，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f ：A→ B.象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象 .要点诠释：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2. 如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象. 对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3. 函数与映射的区别与联系：设 A、B 是两个非空数集，若 f ： A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的函数，记为 y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合 =定义域，值域 =象集合 .4. 函数定义域的求法(1) 当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合. 具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件 .(2) 当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示 .5. 函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点” 和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域 .求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等 . 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例 1：下列式子是否能确定y 是x的函数？（ 1）x2 y2 2;（ 2）x 1 y 1 1;（ 3）y x 2 1 x .【答案】（ 1）不能（2）能（3）不能【解析】（1）由x2 y2 2, 得 y 2 x2 ，因此由它不能确定y 是x的函数，如当 x 1 时，由它所确定的y 值有两个，即 y= 1 .（ 2）由x 1 y 1 1, 得 y (1 x 1) 2 1 ，当 x 在 x | x 1 中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x的函数 .（ 3）由x 2 0,得 x ，1 x 0故由它不能确定y 是x的函数 .【总结升华】判断由一个式子是否能确定y 是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x 的取值的集合中任意一个x 的值，由式子是否可确定唯一的一个y 的值与之对应，也可以看由式子解出的x 的解析式是否唯一. 也就是“取元的任意性，取值的唯一性” . 即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值 .【高清课程：函数的概念与定义域356673 例 2】例 2．下列函数 f （ x）与 g（ x）是否表示同一个函数，为什么？（ 1）f (x) ( x 1)0； g( x) 1（ 2）f (x) x ；g( x) x 2（ 3）f (x) x 2； g(x ) (x 1)2（ 4）f ( x) | x | ；g(x ) x 2【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】（ 1）不是（ 2）不是（ 3）不是（ 4）是【解析】(1) f ( x)与 g( x) 的定义域不同，前者是x | x 1, x R ，后者是x | x 0, x R ，因此是不同的函数；(2) g (x)| x |，因此 f (x)与 g( x) 的对应关系不同，是不同的函数；(3) f ( x)与 g( x) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) f ( x)与 g( x) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.系的本质特征. 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 .举一反三：【变式 1】判断下列命题的真假x 2 1(1)y=x-1 与y 是同一函数；x 1(2)y x 2与y=|x|是同一函数；(3) y (3 x ) 3与 y ( x ) 2 是同一函数；(4) f (x ) x 2 x (x 0)2 -|x| 是同一函数 . x 2 x(x与 g(x)=x0)【答案】 (1) 、 (3) 是假命题，(2) 、 (4) 是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1) 、 (3) 是假命题， (2) 、 (4) 是真命题 . 类型二、函数定义域的求法例 3. 求下列函数的定义域( 用区间表示 ).(1) f (x) x -1(2) f ( x) 3x -8 ；(3) f ( x) 2 - x1.；x 6 x2 -3【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1) 是分式，只要分母不为0 即可； (2) 是二次根式，需根式有意义；(3) 只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（ 1）( , 3) ( 3, 3) ( 3, )（2）8, （ 3）6,23【解析】(1) f ( x) x 1的定义域为 x2-3 ≠ 0，x 3，定义域为：( , 3) ( 3, 3) (3, )；x2 3(2) f ( x) 3x -8，由 3x -8 0得， x 8 , 定义域为8 , ；3 3(3) f ( x) 2 x 1 2 x 0 x 2定义域为6,2. x 6，由6得x -6x 0【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负. 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示）：(1) f (x) 3 ；(2) f (x) 1 x 3 ；（3） f ( x) 1 x x .| x 1| x 12【解析】(1) 当 |x-1|-2=0 ，即 x=-1 或 x=3 时， 3 无意义，当 |x-1|-2 ≠0，即 x≠ -1 且 x≠ 3 时，分式有意义，1| 2| x所以函数的定义域是(- ∞， -1) ∪ (-1 ，3) ∪ (3 ，+∞ ) ；(2)要使函数有意义，须使(3)要使函数有意义，须使x 1 0x且13,1 (1, ) ；，即，所以函数的定义域是x 3 0 3 x1 x 0,x 0. ，所以函数的定义域为 0,1 .【总结升华】小结几类函数的定义域：(1) 如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果 f(x) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果 f(x) 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4) 如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；( 即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义 .类型三、求函数的值及值域例 4. 已知 f(x)=2x 2-3x-25 ， g(x)=2x-5 ，求：(1)f(2) ，g(2) ；(2)f(g(2)) ， g(f(2)) ；(3)f(g(x)) ， g(f(x))【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2)) 表示的是函数f(x) 在 x=g(2) 处的函数值，其它同理可得．【答案】（ 1） -23 ，-1 ；（ 2） -20 ， -51 ；（ 3）2 2．8x -46x+40 ， 4x -6x-55【解析】(1)f(2)=2 × 22-3 × 2-25=-23 ； g(2)=2 × 2-5=-1 ；(2)f(g(2))=f(-1)=2 × (-1) 2-3 × (-1)-25=-20 ；g(f(2))=g(-23)=2 × (-23)-5=-51 ；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2 × (2x-5) 2-3 ×(2x-5)-25=8x 2-46x+40 ；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2 × (2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)( 这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如 f(g(x)) ，里层函数就是g(x) ，外层函数就是 f(x) ，其对应关系可以理解为x g g( x) f f ( g( x)) ，类似的g(f(x)) 为 x f f ( x) g g( f ( x)) ，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4 ，①x；②x2 ,；4 , 1 3(2)f ( x) x2 - 2x 3; (3) f (x) x - 2 .x 3【答案】（1） [7 ，28] [3 ，12] ；（ 2）2, ；（3）(- ∞， 1) ∪(1 ，+∞) ．【解析】(1)法一：配方法求值域．y x22x 4 ( x 1)2 3 ，①当x4, 1 时，y max28, y min7 ，∴值域为[7，28]；②当x2,3 时， y max12, y min 3 ，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为x 1 ，所以函数在区间,1 上单调递减，在区间1, 上单调递增．所以①当x4, 1 时，值域为[7，28]；②当 x2,3 时，值域为[3，12]．(2) y x2 - 2 x 3 ( x -1)2 2 2, 值域为2,；(3) y x - 2 x 3 - 5 1- 5 , 5 0, y 1 ，∴函数的值域为(- ∞， 1) ∪ (1 ，+∞ ).x 3 x 3 x 3 x 3【总结升华】（ 1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．举一反三：【变式 1】求下列函数的值域：（ 1）y x 1；（2）y 2x 1；（ 3）y1 x2 ；（ 4）y 5 4x x2 ．x3 1 x2【答案】（1）1, ；（ 2）y | y 2 ；（ 3）1,1 ；（4） 0,3 ．【解析】（1）x 0, x 1 1，即所求函数的值域为1, ；（ 2）y 2x 1 2x 6 7 2(x 3) 727，70 ， y 2 ，即函数的值域为y | y 2 ；x 3 x 3 x 3 x 3 x 31 x212（ 3）yx2 x21 1函数的定义域为Rx2 1 1, 0 2 2， 1 1 2 1 ，y 1,1 ，即函数的值域为1,1 ．1 x2 1 x2（ 4）y 5 4 x x2 ( x 2)2 90 (x 2)2 9 9所求函数的值域为0,3 ．类型四、映射与函数【高清课程：函数的概念与定义域例 1】例 6. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？应．（ 2） A={平面内的三角形 } ， B={平面内的圆 } ，对应法则是：作三角形的外接圆；（ 3） A=N ， B={0， 1} ，对应法则是：除以 2 的余数；（ 4） A={0 ， 1，2} ， B={4， 1， 0} ，对应法则是 f ： x y x 2 （ 5） A={0 ， 1，2} ， B={0， 1， 1 } ，对应法则是 f ：x1 y2x【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．【解析】(1) 是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2) 是映射，集合 A 中的任意一个元素 ( 三角形 ) ，在集合 B 中都有唯一的元素 ( 该三角形的外接圆 ) 与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3) 是映射，也是函数，函数解析式为f ( x)0,( x 2n)．1,(x 2n1)（ 4）是映射，也是函数．（ 5）对于集合 A 中的元素“ 0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．【总结升华】 判断一个对应是不是映射和函数， 要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射， 反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．举一反三：【变式 1】下列对应哪些是从 A 到 B 的映射？是从 A 到 B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ， B={1 ，-1} ， f ：x y=(-1) x ； (2)A=N ， B=N +， f ： x y=|x-3| ； (3)A=R ， B=R ， f : xy 1 x ;(4)A=Z ， B=N ， f ： x y=|x| 1 x； (5)A=N ， B=Z ， f ： x y=|x| ； (6)A=N ， B=N ， f ： x y=|x|.【解析】 (1) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 是从 A 到 B 的映射也是从 A 到 B 的函数，但只有 (6) 是从 A 到 B 的一一映射；(2) 、 (3) 不是从 A 到 B 的映射也不是从 A 到 B 的函数 . 类型五、函数解析式的求法例 7. 求函数的解析式(1) 若 f ( x) x 2 2 x ，求 f (2 x 1) ；(2) 若 f ( x1) 2x21，求 f (x) ；(3) 已知 f ( x)2 f ( 1) 3x 2 ，求 f ( x) ．x2【答案】（ 1） f ( x) 4x 28x 3 ；（ 2） f (x) 2x 2 4x 3 ；（ 3） f (x)x2 ． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.x(1) 用代入法， f (2 x 1)(2 x 1)2 2(2 x 1) 4x 2 8x 3．(2) 法一：换元法22即： f ( x) 2x 2 4x 3 .法二：凑配法f ( x 1) 2x 2 1= 2( x 1)24( x 1) 3，所以 f (x) 2x 24x 3 ．(3)f ( x) 2 f ( 1 ) 3x 2 ①，用 1代替上式中的 x ，得 f ( 1 ) 2 f ( x)3 2 ②x f ( 1) ，得 x xx由①②联立，消去2xf ( x)x 2x22 ．故所求的函数为 f ( x)xx【总结升华】（ 1）由 yf ( x) 求 y fg ( x) ，一般使用代入法； （2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（ 3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出yf (x) 的解析式．举一反三：【变式 1】已知 f(x+1)=x 2+4x+2，求 f(x) ．【答案】 f(x)=x 2+2x-1【解析】 (1)( 法 1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1) 2+2(x+1)-1∴ f(x)=x 2+2x-1 ；( 法 2) 令 x+1=t ，∴ x=t-1 ，∴ f(t)=(t-1) 22+4(t-1)+2=t +2t-1∴ f(x)=x 2+2x-1 ；2( 法 3) 设 f(x)=ax +bx+c 则2f(x+1)=a(x+1) +b(x+1)+c ∴ a(x+1) 2+b(x+1)+c=x 2+4x+2a 1 a 12a b 4 b 2 f (x ) x 2 2x 1 ；a b c 2c1【总结升华】求函数解析式常用方法：(1) 换元法； (2) 配凑法； (3) 定义法； (4) 待定系数法等 . 注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围 .类型六、函数的图象例 8. 作出下列函数的图象 .（ 1） y1 x(x { 2， 1，0，1，2}) ；（2） y2x1；（ 3）y | x 22x | 1 ．x 1【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。

第三讲： 函数及其表示1.函数的定义：映射的定义：设A 、B 时两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有一个唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.函数的定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f 对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的一个函数（function ），通常记为y f x x A =∈()，.其中，所有的输入值x 组成的集合叫做函数y f x =()的定义域（domain ）.函数是两个数集间的一种确定的对应关系.由函数的定义知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，因此如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等.注意问题：（1）“y f x =()”为“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它仅仅是符号，不表示y 等于f 与x 的乘积.（2）给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.在函数定义中，所有能输入的值x 组成的集合A 叫做y f x =()的定义域，而对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成集合称为函数的值域.区间的概念：设a ，b 两个实数，且a<b ，规定有：(1)满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记为[a,b].(2)满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，记为(a,b).(3) 满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，记为[a,b)或(a,b].这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.符号“∞”读作“无穷大”，符号“∞-”读作“负无穷大”，符号“∞+”读作“正无穷大”.2.函数的图像将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f x ()0作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()x f x 00，().当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所以这些点组成的集合（点集）为(){}x f x x A ，()|∈，即{}()|()x y y f x x A ，，=∈，所有这些点组成的图形就是函数y f x =()的图象.3.函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.有两中比较特殊的函数：分段函数和复合函数.(1)分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)复合函数：设 f(x)=2x -3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2)-3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x -3)2+2=4x2-12x+11）为复合函数.例1．下列各组函数中，两个函数是相同的函数是（ ） A. 2)(x y = 2x y = B. 2x y = x y = C. 112-+=x x y 11-=x y D. 121--=x x y 211--=x y 【解析】： A. 定义域不同B. 值域不同C. 定义域不同D. 正确 例2. 求下列函数的定义域：（1）y x x =+-22· （2）y x x =--223（3）()y x x x =+-20【解析】： （1）为使函数有意义，则x x +≥-≥⎧⎨⎩2020解得：x ≥2所以定义域为{}x x |≥2（2）为使函数有意义，则20230-≥-≠⎧⎨⎩x x解得：x ≤2且x ≠32所以定义域为x x x |≤≠⎧⎨⎩⎫⎬⎭232且 （3）为使函数有意义，则x x x +≠->⎧⎨⎩200 解得：x <0且x ≠-2所以定义域为{}x x x |<≠-02且评析：一般地，求函数定义域，归结为解不等式组成的混合组，要注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根被开方数非负；（3）零次幂的底数不为0.例3. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围【解析】解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ①又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ②①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二：如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax , ∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0例4. 对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ),(1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和【解析】：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题，把证明图象对称问题转化到点的对称问题(1)证明：设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0), ∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称， 又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0,∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解：由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根，∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8即f (x )=0的四根之和为8评析：本题提供了数形结合、等价转化的数学思想.1.已知()f x x x x x ()()()=>=<⎧⎨⎪⎩⎪20000π，则{}f f f [()]-2等于（ ）A. 0B. πC. π2D. 42. 求下列函数解析式 （1）一次函数)(x f y =满足1)1(=f ，3)1(=-f ，求)(x f 解析式（2）二次函数)(x f y =对任意R x ∈，有x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 解析式（3）)(x f y =满足17)1(2--=+x x x f ，求)(x f 解析式 （4）)(x f y =满足221)1(x x x x x f ++=+，求)(x f 解析式（5）)(x f y =满足23)1()(2x x f x f =-，求)(x f 解析式3. 画出函数f x x ()=的图象，并求f f f f ()()()()--3311，，，的值. 1. 判断下列对应是为集合A 到集合B 的函数的是（ ）A ．AB R ==，对于任意的x A ∈，对应法则f 是：x x →-12B ．{}A B ==⎧⎨⎩⎫⎬⎭0120121，，，，，，对于任意的x A ∈，对应法则f 是：x x →1 C ．(){}A x y x y R B R =∈=，，，，对于任意的()x y A ，∈，对应法则f 是：()x y x y ，→+D ．A B R ==，对于任意的x A ∈，对应法则f 是：x x →±-12〖本题考查：函数〗2. 如果f t t tg t t t ()()=+=-11，，证明：f t g t g t ()()()-=-22 〖本题考查：函数〗3. 已知()f x x x ()=≠10，画出它的图象，并求出f f f f ()()()()--2211，，，及f x ()-. 〖本题考查：函数〗4. 已知某皮鞋厂一天的生产成本C（元）与生产数量n（双）之间的函数关系是400050.C n=+（1）求一天生产1000双皮鞋的成本.（2）如果某天的生产成本是48000元，问：这一天生产了多少双皮鞋？（3）若每双皮鞋售价为90元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润P关于这一天生产数量n的函数关系式.〖本题考查：函数〗1·2 函数及其表示1.C 本题为分段函数，依据x 的不同取值判断所在区间球的函数值.2.【解析】：（1）设)(x f b ax +=（待定系数法）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+-=+2131b a b a b a ∴ 2)(+-=x x f（2）设c bx ax x f ++=2)( ∴x x c x b x a c x b x a 42)1()1()1()1(222-=+-+-+++++ 即：x x c a bx ax 42)22(2222-=+++ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-==1210224222c b a c a b a ∴12)(2--=x x x f （3）（凑数法，换元法） 29)1(17)1(22--+=--=+x x x x x f 7)1(9)1(2++-+=x x∴79)(2+-=x x x f 令t x =+1 ∴ 1-=t x 代入791)1(7)1()(22+-=----=t t t t t f∴79)(2+-=x x x f （4）令t x x =+1 ∴ 11-=t x 代入 ∴ 1)1()1(1)1(11)1(1)1(1)(2222+-=-+-+=-+-+-=t t t t t t t t f∴1)(2+-=x x x f （5）（方程法）由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=-=-22)1(3)11()1(23)1()(2x x f x f x x f x f即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(3)()1(2)1(3)1()(222x x f x f x x f x f（1）+⨯2（2）2236)(3x x x f += ∴ 2212)(x x x f +=3.【解析】：（图略）f x x x x x x ()==-<≥⎧⎨⎩00，其中f f f f ()()()()-==-==33331111，，，1.A 说明：构成函数的三要素为:定义域、对应关系和值域.2. 证明：f t g t t t t t t t g t ()()()-=+--=--=-11212222 3.21)2(-=-f ，21)2(=f ，1)1(-=-f ,1)1(=f ,)0(1)(≠-=-x xx f )(x f 的图像如下图所示 yy x=1O x4.【解析】：（1）400050100054000+⨯=（2）48000400050880=+=n n ，（3）P n =-404000。

2020高一数学必修一：函数的概念及其表示(1对1讲义)函数的概念及其表示函数是数学中的重要概念，它用于描述两个非空数集之间的对应关系。

具体来说，设A和B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，其中x∈A。

此外，函数还有定义域、值域和对应关系这三要素。

其中，x的取值范围A称为函数的定义域，与x的值相对应的y值称为函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域，显然，值域是集合B的子集。

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法。

此外，映射也是一个重要的概念，它描述了两个非空集合之间的对应关系。

具体来说，设A和B是两个非空集合，如果按照某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。

分段函数是一种特殊的函数，它在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系。

尽管分段函数由几部分组成，但它表示的是一个函数。

区间是数学中一个重要的概念，它用于描述实数的取值范围。

区间有开区间、闭区间、半开半闭区间和无穷区间等多种类型。

其中，满足不等式a≤x≤b的实数的x集合叫做闭区间，表示为[ a。

b ]；满足不等式a<x<b的实数的x集合叫做开区间，表示为( a。

b )；满足不等式a≤x<b的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[ a。

b )；满足不等式a<x≤b的实数的x 集合也叫做半开半闭区间，表示为( a。

b ]。

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，其中“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。

人教版高一数学必修一第一章知识点解析函数及其表示考点一、映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：单对单多对一一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个氧化物y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。

包括：一对一多对一考点二、函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，定出如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。

记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做并集函数的值域。

函数是特殊的态射，是非空数集A到非空数集B的映射。

2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

3.区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：<p="".我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]={x a<x≤b}⑤(a,+∞)={xx;a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=r<p=""}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=r考点三、函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法导出法考点四、不求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集为R;②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

学习目标核心素养１．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．（重点，难点）２．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．（重点、难点）３．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．（重点）１．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．２．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．分段函数如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．１．下列给出的式子是分段函数的是（）１f（x）＝错误!２f（x）＝错误!３f（x）＝错误!４f（x）＝错误!Ａ．１２Ｂ．１４Ｃ．２４Ｄ．３４B[结合分段函数的定义可知１４是分段函数，２３中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选Ｂ．]２．函数y＝错误!的值域是________．[答案] [0，＋∞）３．函数f （x ）＝错误!则f （f （４））＝________.0 [∵f （４）＝—４＋３＝—１，f （—１）＝—１＋１＝0， ∴f （f （４））＝f （—１）＝0．]分段函数的求值问题【例１】 已知函数f （x ）＝错误!（１）求f （—５），f （—错误!），f 错误!的值； （２）若f （a ）＝３，求实数a 的值．[解] （１）由—５∈（—∞，—２]，—错误!∈（—２,２），—错误!∈（—∞，—２]，知f （—５）＝—５＋１＝—４，f （—错误!）＝（—错误!）２＋２×（—错误!）＝３—２错误!.∵f 错误!＝—错误!＋１＝—错误!， 而—２<—错误!<２，∴f 错误!＝f 错误!＝错误!２＋２×错误!＝错误!—３＝—错误!. （２）当a ≤—２时，a ＋１＝３， 即a ＝２>—２，不合题意，舍去． 当—２<a <２时，a ２＋２a ＝３， 即a ２＋２a —３＝0． ∴（a —１）（a ＋３）＝0， 解得a ＝１或a ＝—３．∵１∈（—２,２），—３∉（—２,２）， ∴a ＝１符合题意．当a ≥２时，２a —１＝３，即a ＝２符合题意． 综上可得，当f （a ）＝３时，a ＝１或a ＝２．１．分段函数求函数值的方法：（１）确定要求值的自变量属于哪一段区间．（２）代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值．２．已知函数值求字母取值的步骤：（１）先对字母的取值范围分类讨论．（２）然后代入不同的解析式中．（３）通过解方程求出字母的值．（４）检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．１．函数f（x）＝错误!则f（7）＝________.8[∵函数f（x）＝错误!∴f（7）＝f（f（１２））＝f（9）＝f（f（１４））＝f（１１）＝8．]分段函数的解析式【例２】如图所示，已知底角为４５°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为２错误!cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．[思路点拨] 可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．[解] 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为４５°，AB＝２错误!cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝２cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝３cm.（１）当点F在BG上，即x∈[0,２]时，y＝错误!x２；（２）当点F在GH上，即x∈（２,５]时，y＝错误!×２＝２x—２；（３）当点F在HC上，即x∈（５,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD—S Rt△CEF＝错误!（7＋３）×２—错误!（7—x）２＝—错误!（x—7）２＋１0．综合（１）（２）（３），得函数的解析式为y＝错误!图象如图所示．１．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．２．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．２．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（１）５公里以内（含５公里），票价２元；（２）５公里以上，每增加５公里，票价增加１元（不足５公里按照５公里计算）．如果某条线路的总里程为２0公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0,２0]．由题意得函数的解析式如下：y＝错误!函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]１．函数f（x）＝|x—２|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f（x）＝错误!函数f（x）的图象如图所示．２．结合探究点１，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例３】已知函数f（x）＝１＋错误!（—２<x≤２）．（１）用分段函数的形式表示f（x）；（２）画出f（x）的图象；（３）写出函数f（x）的值域．[思路点拨] （１）分—２<x<0和0≤x≤２两种情况讨论，去掉绝对值可把f（x）写成分段函数的形式；（２）利用（１）的结论可画出图象；（３）由（２）中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．[解] （１）当0≤x≤２时，f（x）＝１＋错误!＝１，当—２<x<0时，f（x）＝１＋错误!＝１—x，∴f（x）＝错误!（２）函数f（x）的图象如图所示．（３）由（２）知，f（x）在（—２,２]上的值域为[１,３）．把本例条件改为“f（x）＝|x|—２”，再求本例的３个问题．[解] （１）f（x）＝|x|—２＝错误!（２）函数的图象如图所示．（３）由图可知，f（x）的值域为[—２，＋∞）．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.１．分段函数是一个函数，而不是几个函数．２．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．３．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．１．思考辨析（１）分段函数由几个函数构成．（ ） （２）函数f （x ）＝错误!是分段函数．（ ） [答案] （１）× （２）√２．设函数f （x ）＝错误!则f （f （３））＝（ ） Ａ．错误! Ｂ．３ Ｃ．错误! Ｄ．错误! D [∵f （３）＝错误!≤１， ∴f （f （３））＝错误!２＋１＝错误!.]３．函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则其解析式为________．f （x ）＝错误! [当0≤x ≤１时，设f （x ）＝kx ，又过点（１,２），故k ＝２，∴f （x ）＝２x ；当１<x <２时，f （x ）＝２；当x ≥２时，f （x ）＝３． 综上f （x ）＝错误!] ４．已知f （x ）＝错误! （１）画出f （x ）的图象； （２）求f （x ）的定义域和值域．[解] （１）利用描点法，作出f （x ）的图象，如图所示．（２）由条件知，函数f （x ）的定义域为R .由图象知，当—１≤x ≤１时，f （x ）＝x ２的值域为[0,１]， 当x >１或x <—１时，f （x ）＝１， 所以f （x ）的值域为[0,１]．。

函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

第一次课函数一、知识要点1. 函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.2. 两个函数相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则，当函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也随之确定. 因此，函数的定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，称这两个函数相等.3. 求函数的定义域要从以下几个方面考虑：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数大于等于零；(3)对数的真数大于零；(4)指数函数与对数函数的底数必须大于零且 不等于1；(5)函数y ＝x 0的定义域是{x|x ∈R 且x≠0}.4. 函数的表示法：函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法 .5. 映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射.二、典例精析题型一：求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x)＝2x ＋3，求f(x －1)的表达式；(2)已知f(x ＋1)＝x 2＋x ＋1，求f(x)的表达式；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x 2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)把f(x)中的x 换成x －1，得f(x －1)＝2(x －1)＋3＝2x ＋1.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(t)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1，所以f(x)＝x 2－x ＋1. (3)由f(x)＋2f(－x)＝3x 2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2f(x)＝3x 2－5x ＋3，解得f(x)＝x 2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x 1+)＝221x x x ++，求f(x).【解析】设u ＝x x 1+，则x 1＝u －1 (u≠1). 由f(u)＝1＋x 1＋21x ＝1＋(u －1)＋(u －1)2＝u 2－u ＋1. 所以f(x)＝x 2－x ＋1 (x≠1).题型二：求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2，4]，求f(x2－3x)的定义域.【解析】(1)要使函数有意义，则只要⎪⎩⎪⎨⎧--0＞90,＞　222　x x x 即⎩⎨⎧-＜3,＜30＜2＞x x x ，或解得－3＜x ＜0或2＜x＜3. 故所求的定义域为(－3，0)∪(2，3).(2)依题意，只需－2≤x 2－3x ≤4，解得－1≤x ≤1或2≤x ≤4. 故f(x 2－3x)的定义域为[－1，1]∪[2，4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解. 对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知f(x)的定义域为(－1，1)，求函数F(x)＝f(1－x)＋f(x 1)的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧---＜111＜＜1,1＜1x x 得1＜x ＜2，所以F(x)的定义域为(1，2).题型三：由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx＝l ，即a ＝2l－2πx －x ，半圆的半径为x ，所以y ＝2π2x +(2l －2πx －x)·2x ＝－(2＋2π)x 2＋lx. 由实际意义知2l－2πx －x ＞0，因为x ＞0，解得0＜x ＜π2+l. 即函数y ＝－(2＋2π)x 2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π2+l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义. 如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.题型四：分段函数【例4】 已知函数⎩⎨⎧++=.0 ≥1,0＜3,)(2x x x x x f ，求(1) f(1)＋f(－1)的值；(2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.(2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a ≥0时，f(a)＝a 2＋1＝1，解得a ＝0. 所以a ＝－2或a ＝0.(3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0；当x ≥0时，f(x)＝x 2＋1＞2，解得x ＞1.所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同. 因此，分段函数往往需要分段处理.第二次课函数的单调性一、知识要点1. 增函数(减函数)的定义：设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＜f(x 2)，则说函数f(x)在区间D 上是增函数. 当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，则说函数f(x)在区间D 上是减函数.如果函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间.2. 判定函数为单调函数的常用方法：(1)图象法：函数f(x)在区间D 上的图象呈上升趋势时为增函数，呈下降趋势时为减函数； (2)利用函数单调性定义判断函数的单调性：在给定的区间上任取两个自变量的值x 1、x 2，作差比较f(x 1)与f(x 2)的大小，从而得出函数的单调性；(3)复合函数单调性的判断：设y ＝f(u)，u ＝g(x)(x ∈[a ，b])都是单调函数，则y ＝f[g(x)]的单调性由“同增异减”来确定；二、典例精析题型一：函数单调性的判断或证明【例1】讨论函数f(x)＝21++x ax (a ≠21)在(－2，＋∞)上的单调性.【解析】设x 1，x 2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝2111++x ax －2122++x ax ＝)2)(2()12)((2121++--x x a x x ，因为x 1∈(－2，＋∞)，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，所以当a ＜21时，1－2a ＞0，f(x 1)＞f(x 2)，函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a ＞21时，1－2a ＜0，f(x 1)＜f(x 2)，函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x 1，x 2在给定区间内的任意性. 另外，本题可以利用导数来判断.【变式训练1】讨论函数f(x)＝ax 2+bx+c 的单调性.题型二：函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间. (1)y ＝|x －1|；(2)y ＝x 2＋2|x －1|；(3)y ＝2342-+-x x .【解析】(1)y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧--.1＜,1,1 ≥,1x x x x 所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (2)y ＝x 2＋2|x －1|＝⎪⎩⎪⎨⎧+--+.1＜ ,22,1 ≥ ,2222x x x x x x 所以函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1). (3)由于t ＝－x 2＋4x －3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.题型三：函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1，1]，且对于任意的x 1，x 2∈[－1，1]，当x 1≠x 2时，都有2121)()(x x x f x f --＞0. (1)试判断函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x －1)＜f(6x 2).【解析】(1)当x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2时，2121)()(x x x f x f --，得f(x 1)＜f(x 2)，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数. (2)因为f(x)在[－1，1]上是增函数. 所以，由f(5x－1)＜f(6x 2)知，⎪⎩⎪⎨⎧----226＜15,1 ≤ 6 ≤ 1,1 ≤ 15 ≤1x x x x ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-2131＜,66≤ ≤ 66,52 ≤ ≤ 0x ＞x x x 或所以0≤x ＜31，所求不等式的解集为{x|0≤x ＜31}.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.【例4】若f(x)＝－x 2＋2ax ＋3与g(x)＝1+x a在区间[1，2]上都是减函数，求a 的取值范围.【解析】若f(x)＝－x 2＋2ax ＋3在区间[1，2]上是减函数，则a ≤1；若g(x)＝1+x a在区间[1，2]上是减函数，则a ＞0. 所以，a 的取值范围为0＜a ≤1.【点拨】二次函数的单调区间主要依据其开口方向和对称轴的位置来确定.第三次课函数的奇偶性一、知识要点1. 函数的奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.2. 奇(偶)函数的图象特征：(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.3. 函数的周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)成立，那么函数f(x)就叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的周期；(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.二、典例精析题型一：函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝(x －1)x x-+11；(2)f(x)＝22)1lg(22---x x ；(3)f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+-+；，)0( )0＜( 22x ＞x x x x x (4)f(x)＝23x -+32-x .【解析】(1)由x x-+11≥0，得定义域为[－1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠---0220＞122x x ，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，因为f(x)＝2)2()1lg(22----x x =－22)1lg(x x -，f(－x)＝[]22)()(1lg x x ----＝－22)1lg(x x -＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x 2＋x)＝－f(x)；当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2－x ＝x 2－x ＝－f(x). 所以对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.(4)由⎪⎩⎪⎨⎧--0 ≥30 ≥322x x ，得x ＝3- 或x ＝3，所以函数f(x)的定义域为{3-，3}，又因为对任意的x ∈{3-，3}，－x ∈{3-，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.题型二：由奇偶性的条件，求函数的解析式【例2】若函数f(x)＝12+++nx x mx 是定义在(－1，1)上的奇函数，求f(x)的解析式.【解析】因为函数f(x)＝12+++nx x m x 是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，从而得m ＝0；又f(21)＋f(－21)＝0，得n ＝0. 所以f(x)＝12+x x (－1＜x ＜1).【变式训练1】已知定义域为R 的函数f(x)＝a b x x ++-+122是奇函数. 求a ，b 的值.【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即21+-a b ＝0，得b ＝1，所以f(x)＝1221++-x x a . 又由f(1)＝－f(－1)，知1211421+-=+-a a ，得a ＝2. 故a ＝2，b ＝1.题型三：函数奇偶性的应用【例3】设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x ＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求证：函数f(x)为奇函数；(2)求证：函数f(x)在R 上是增函数；(3)在区间[－4，4]上，求f(x)的最值.【解析】(1)证明：令x ＝y ＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0；令y ＝－x 有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)，又x ＞0时，f(x)＞0，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)＞0，即f(x 2)＞f(x 1)，所以函数f(x)在R 上是增函数.(3)因为函数f(x)在R 上是增函数，所以f(x)在区间[－4，4]上也是增函数，所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4). 因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，故函数f(x)在区间[－4，4]上的最大值为12，最小值为－12.【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.【变式训练2】函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1、x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2). (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【解析】(1)令x 1＝x 2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，得f(－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3. 所以f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，即f[(3x ＋1)(2x －6)]≤f(64). 因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧-+-+64 ≤ )62(130＞)62)(13(x x x x ）（，或⎩⎨⎧-+--+64 ≤ )62(130＜)62)(13(x x x x ）（，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⇒5 ≤ ≤ 3731＜3＞x x x ，或或⎪⎩⎪⎨⎧∈-,3＜＜31R x x ，所以3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. 故x 的取值范围为{x|3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3}.第四次课二次函数一、知识要点1. 二次函数的解析式：(1)一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)；(3)零点式：f(x)＝ a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0，x 1，x 2是方程f(x)＝0的两个根).2. 二次函数的图象特征：a ＞0时，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向上的抛物线；a ＜0时，二次函数f(x)＝ ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线. 二次函数图象的对称轴是直线a bx 2-=.3. 二次函数的定义域和值域：二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的定义域为R ，当a ＞0时，其值域为 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,442a b ac ；当a ＜0时，其值域为 ⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b ac 44 ,2 .4. 二次函数的单调性：设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，当a ＞0时，f(x)在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,2a b 上是增函数；当a ＜0时，f(x)在⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b 2 ,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+- ,2a b 上是减函数.二、典例精析题型一：求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y ＝f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－2，在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f(x)的解析式.【解析】设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，由已知有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-224,1)0(,222a acb f a b ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒,84,1,422a a b c a b解得a ＝21，b=2，c ＝1，所以f(x)＝21x 2＋2x ＋1.【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x 1－x 2|＝aac b 42-.【变式训练1】若二次函数的图象经过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为？ .【解析】此题可选用一般式解决，但计算复杂. 对称轴为x ＝2，最小值是－1，可知其顶点为(2，－1)，从而，可选用顶点式求解. 设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2－1，将(0，1)代入得1＝4a －1，所以a ＝21，所以所求的函数解析式为y ＝21(x －2)2－1.题型二：求二次函数的值域或最值【例2】某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳销售价应为多少？ 【解析】设最佳售价为(50＋x)元，最大利润为y 元，则y ＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40 ＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900，当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳销售价应为70元.题型三：二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，x 1＜x 2，f(x 1)≠f(x 2)，对于方程f(x)＝21[ f(x 1)＋f(x 2)]，证明：(1)方程在区间(x 1，x 2)内必有一解；(2)设方程在区间(x 1，x 2)内的根为m. 若x 1，m －21，x 2成等差数列，则－a b2＜m 2.【证明】(1)令g(x)＝f(x)－21[ f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)g(x 2)＝21[ f(x 1)－f(x 2)]·21[ f(x 2)－f(x 1)]＝－41[ f(x 1)－f(x 2)]2＜0，所以方程g(x)＝0在区间(x 1，x 2)内必有一解.(2)依题意2m －1＝x 1＋x 2，即2m －x 1－x 2＝1，又f(m)＝21[ f(x 1)＋f(x 2)]，即2(am 2＋bm ＋c)＝a 21x ＋bx 1＋c ＋a 22x ＋bx 2＋c ，整理得a(2m 2－21x －22x )＋b(2m －x 1－x 2)＝0， a(2m 2－21x －22x )＋b ＝0，－a b2＝m 2－22221＜2m x x .【点拨】二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点对应二次函数的函数值的正负；(3)相应二次函数的对称轴x ＝－a b2与区间的位置关系.【变式训练2】已知函数f(x)＝ax 2＋bx (a≠0)满足条件f(－x ＋5)＝f(x －3)，且方程f(x)＝x 有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m 、n (m ＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m ，n]和[3m ，3n]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)函数f(x)满足f(－x ＋5)＝f(x －3)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称， 故－a b2＝1，即b ＝－2a. 又方程f(x)＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，所以b ＝1，a ＝－21，所以f(x)＝－21x 2＋x.(2)因为f(x)＝－21x 2＋x ＝－21(x －1)2＋21在区间[m ， n]上的值域为[3m ， 3n]，则3n ≤21，n ≤61，故m ＜n ≤61，所以f(x)在[m ，n]上是增函数，所以f(m)＝3m ，且f(n)＝3n ，所以m 、n 是方程f(x)＝3x 的两个不等实根，所以－21x 2＋x ＝3x ，即x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或－4，又m ＜n ，所以m ＝－4，n ＝0.第五次课指数与指数函数一、知识要点1. n 次方根的定义：若x n＝a ，则称x 为a 的n 次方根. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根.2. 方根的性质：当n 为奇数时，n n a ＝ a ；当n 为偶数时，n n a ＝ a＝⎩⎨⎧-.0＜,,0 ≥,a a a a3. 分数指数幂的意义：若a ＞0，m ，n 都是正整数，n ＞1，则nma ＝n ma ，n m a-＝n ma 1；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质：a r·a s＝a r+s(a ＞0)；a r÷a s＝a r －s(a ＞0)；(a r )s ＝a rs(a ＞0)；(ab)r＝a rb r(a ，b ＞0).5. 指数函数的概念：函数y ＝a x(a ＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量. 6. 指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象定义域 RR值域 (0， ＋∞ ) (0， ＋∞ )函数值 分布 当x ＞0时y ＞1， 当x ＝0时y ＝1， 当x ＜0时0＜y ＜1 当x ＞0 时0＜y ＜1， 当x ＝0 时y ＝1， 当x ＜0时y ＞1 单调性在R 上是增函数在R 上是减函数二、典例精析题型一：指数及其运算 【例1】计算：(1) 214-·2133231)()1.0()4(---b a ab ；(2)(0. 027)31-－2)71(--＋(972)21－0)12(- 【解析】(1)原式＝23232323232110044b b a a ∙-∙-∙∙∙-＝251.(2)原式＝1)925()71()1()100027(212231-+-----＝13549310-+-＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先将底数化成相同.题型二：指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝1212+-xx ，其中x ∈R ，(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：f(x)是区间(－∞，＋∞)上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x ∈R ，且f(－x)＝x xxx 21211212+-=+---＝－f(x)， 所以f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数.(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝)12)(12(22121212122121221111++-=+--+-++x xx x x x x x ＜0， 所以f(x)是区间(－∞，＋∞)上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围，应分类讨论.【变式训练1】已知a ＞0，且a≠1，函数f(x)＝a x－a －x，其中x ∈R.。

必修1 函数及其表示讲义课前导入：1、初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？答：设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

下边来谈论下面的两个问题：问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？问题2：y =x 与y =xx 2是同一函数吗？显然，运用初中的知识很难回答这问题、所以，我们要从新来认识函数概念 观察下边的两个非空集合：分析：观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？新课讲授：函数的概念 （一）函数与映射1、函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。

函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。

2、函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

3、映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象.4、映射概念的理解(1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f 、两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 5、函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射B A f →:函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 注意（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。

第一节、函数、函数1、函数的定义： 设集合A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数X ,按照确定的法则f ,都有唯一 确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作 y =f x , x A 。

其中，x叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。

所有函数值构成的集合，即{ y y = f (x ),x w A}叫做这个函数的值域。

2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验:例2、 卜列等式中， 能表小 y 是x 的函数的是()A. y h' f xB.2y =x 1C.y - -1- x 2D3、如何判断函数的定义域:(1) 分式的分母不能为零；(2) 开偶次方根的被开方数要不小于零；(3) 多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集;(4)函数x 0中x 不为零。

例3、求下列函数的定义域第二章、函数(1 )定义域和对应法则是否给出; 例 A CD3 -2x 3 2x (2) f(x)»2x-1;(1) f (x)二5、区间：设a , b R ,且a v b ,x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b )或(a,b ]；分别满足x > a,x > a,x w a,x v a 的全体实数的集合分别记作 [a, +8) , ( a, + 8) ,(—8 ,a ], (―^ ,a )。

6、 映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f : A T B 为从集合A 到集合B 的一个映射•其中x 叫做原象，y 叫做象。

注：映射可以是多对一，不可以一对多。

即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。

特别的，集合B 中的任意元素在集合 A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。

7、 映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有n m 个。

yx y oo yo xyo x x 第二章、函数第一节、函数一、函数1、函数的定义：设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作y = f (x)，x ∈A 。

其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。

所有函数值构成的集合，即{y y =f (x), x ∈A}叫做这个函数的值域。

2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：（1）定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。

例1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（）A B C D例2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（）A.y =±B.y2=x + 1C.y =D.y =3、如何判断函数的定义域：（1）分式的分母不能为零；（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集；（4）函数x0中x 不为零。

例 3、求下列函数的定义域3 - 2x（1）f (x) =3 +2x ；（2）f (x) =；x-1 -x2 1 -x22x -122（3） f (x ) = (x 2 - 4)0 ； （4） f (x ) = +1x + 2例 4、求下列函数值域（1） f (x ) = 2x + 1, x ∈{1, 2, 3, 4}（2） f (x ) = x 2 - 2x - 1, x ∈[0, 3]（3） f (x ) = 1, x ∈(-1,+∞) x（4） f (x ) =2x - 1x + 1, x ∈[1, +∞)4、函数的 3 要素：定义域、值域和对应法则。

判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。

注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。