2010--2011年导数及其应用-教师版

第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。

同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。

1．重视导数的实际背景。

导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。

这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。

2．深刻理解导数概念。

概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。

在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。

3．强化导数在函数问题中的应用意识。

导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。

4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。

在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。

5．加强“导数”的实践应用。

导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。

6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。

定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科）【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。

第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。

导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。

本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

§2、1导数的概念一、 引例1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。

从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。

准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。

设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。

由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。

我们不难求得PQ 的斜率为：00)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(lim 0x x x f x f k x x --=→。

若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。

2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s=（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时， 二、导数的定义 综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(lim 0x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。

第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。

导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。

本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

§2、1导数的概念一、 引例1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。

从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。

准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。

设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。

由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。

我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即0)()(limx x x f x f k x x --=→。

若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。

2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s=（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，0)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，二、导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。

2010---2011学年度第二学期阶段考高中二年数学（理科）《数学选修2-2导数及其应用》试题命题人： 考试时间：2011.03.21一、填空题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分)1. 一个物体的运动方程为2s t =其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 *** 米/秒2.设(),x f x e =则1()(1)lim 1x f x f x →--等于 *** 3. 曲线33y x x =+在点(0,0)处的切线倾斜角为 *** 4. 已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是3y x =+2,则(1)(1)f f '+的值等于 ***5.函数222y x ln x =-的的单调递减区间是 *** 6. 函数22cos y x x =+在[0,]2π上取最大值时,x 的值为 *** 7. 计算112e x dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰= *** 8. 设()f x x =，则22()f x dx -=⎰ ***9. 计算dx x ⎰-1021= *** .10. 已知2()(2)f x x xf '=-，则(0)f '等于 ***11. 计算0311dx (32x)-=+⎰_____ *** ______. 12. 如图，将边长为2的正六边形铁皮的六个角各剪去一个全等四边形，再折起做一个无盖正六棱柱容器，其容积最大时，底面边长为 *** .二、选择题（本大题共6小题,每小题5分,共30分)13. 若函数()y f x =是定义在R 上的可导函数,则0()0f x '=是0x 为函数()y f x =的极值点的( *** )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14. 由直线1,2,2x x ==曲线1y x=-及轴所围图形的面积为 （*** ） A ．-2ln 2 B ．2ln 2 C ．1ln 22 D ．15415. 下列式子不．正确的是(*** ) A. ()sin 22cos2x x '= B. 10xdx ⎰=1 C. 12x 201e dx=(e -1).2⎰ D.2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 16. 对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足(1)()0x f x '-≥,则必有(*** )A.(0)(2)2(1)f f f +<B.(0)(2)2(1)f f f +≤C.(0)(2)2(1)f f f +>D.(0)(2)2(1)f f f +≥17. 下列函数中，在(0，2π)上有零点的函数是（*** ） (A) ()sin f x x x =- (B) 2()sin f x x x π=- (C) 2()sin f x x x =- (D) 22()sin f x x x π=-18. 给出以下命题：（1）若0)(>⎰dx x f ba ，则f (x )>0； （2）22sin 0x x dx e π-π=⎰; （3）微积分基本定理，有)1()2(121F F dx x-=⎰, 则()ln F x x =； （4）若)()(x f x F ='，且F(x)是以T 为周期的函数，则dx x f dx x f T a T a ⎰⎰+=)()(0； 其中正确命题的个数为 （*** ）A ．（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（4）D ．（2）（4）三、解答题(本大题共5小题,共60分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)19. 已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆22:1C x y +=相切,求a 的值.20. 计算由曲线21y x =+，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.21. 设))(1ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=，（1）若)(x f 在1-=x 处有极值，求a ；（2）若)(x f 在[]3,1--上为增函数，求a 的取值范围.22. 一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？23. 设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++,（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）是否存在实数10,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使曲线()y f x '=与曲线1ln()6y x =+及直线x m =所围图形的面积s 为21ln 2ln 33+-，若存在，求出一个m 的值，若不存在说明理由.。

第7讲 导数及其应用的习题一．要点梳理1．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立解出的参数的取值范围确定．2．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 二．疑点清源1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式．2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究．3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值．5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可．6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点． 三．典例精析题型一：利用导数求函数的单调区间例1：已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，t (x )min＝32(1－1)＝0.≨a ≤0.(2)由题意，f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，≨a ＝4.≨f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：≨f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－≦，－3，(3，＋≦)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3.跟踪训练1：已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x ＋x 2，f ′(x)＝11＋x－1＋2x.由于f(1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0. 故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，＋≦，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－k k .当k ＝1时，f ′(x)＝x 21＋x .故f(x)的单调递增区间是(－1，＋≦)．当k>1时，f ′(x)＝x(kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－k k ∈(－1,0)，x 2＝0.所以在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋≦)上，f ′(x)>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，0上，f ′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋≦)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，0.综上：①当k ＝0时，f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0，＋≦)；②当0<k<1时，f(x)的单调递增区间为(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，＋≦，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－k k .③当k ＝1时，f(x)的单调递增区间为(－1，＋≦)；④当k>1时，f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋≦)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，0.题型二：利用导数求解函数的最值或极值例2 已知函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ∈R 且a ≠0)，g (－1)＝0，且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.设x 1、x 2为方程f (x )＝0的两根．(1)求b a 的取值范围；(2)若当|x 1－x 2|最小时，g (x )的极大值比极小值大43，求g (x )的解析式．解：(1)≧g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，≨g (－1)＝－a ＋b －c ＝0，即c ＝b －a . 又f (x )＝g ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f (0)f (1)≤0，得c (3a ＋2b ＋c )≤0，即(b －a )(3b ＋2a )≤0. ≧a ≠0，≨⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫3·b a ＋2≤0，解得－23≤b a ≤1又≧方程f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0 (a ≠0)有两根，≨Δ≥0.而Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12a (b －a )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b －32a 2＋3a 2>0恒成立，于是，b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，1.(2)≧x 1、x 2是方程f (x )＝0的两根，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，≨x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝b －a 3a ＝b 3a －13.≨|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a －13＝49·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－43·b a ＋43＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －322＋13.≧－23≤b a ≤1，≨当且仅当b a ＝1，即a ＝b 时，|x 1－x 2|2取最小值，即|x 1－x 2|取最小值．此时，g (x )＝ax 3＋ax 2，f (x )＝3ax 2＋2ax ＝ax (3x＋2)．令f (x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0.若a >0，当x 变化时，f (x )、g (x )的变化情况如下表：由上表可知，g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝427a ，极小值为g (0)＝0. 由题设，知427a －0＝43，解32由上表可知，g (x )的极大值为g (0)＝0，极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27a . 由题设知0－27a ＝3，解得a ＝－9，此时g (x )＝－9x 3－9x 2. 综上所述，g (x )的解析式为g (x )＝9x 3＋9x 2或g (x )＝－9x 3－9x 2.跟踪训练2：函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ] (t >0)内的最大值和最小值．解：1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．f ′(x )与f (x )随f (0)＝2，最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2；当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2. 题型三：已知单调区间求参数范围例3 已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x .(1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)．当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，≨f (x )在(－≦，－2]内单调递减，在[－2，＋≦)内单调递增，当x ＝－2时，f (x )有极小值．≨f (－2)＝－12是f (x )的极小值．(2)在(－1,1)上f (x )是增函数，由此可得在(－1,1)上，f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)≥0，≨3ax 2＋3ax －1≤0. ①令g (x )＝3ax 2＋3ax －1(－1<x <1)，①当a ＝0；时，①恒成立②当a >0时，若①成立，根据二次函数g (x )＝3ax2＋3ax －1 (－1<x <1)的图象，只需满足g (1)＝3a ×12＋3a ×1－1≤0，即a ≤16，≨0<a ≤16；③当a <0时，若①成立，根据二次函数g (x )＝3ax 2＋3ax －1 (－1<x <1)的图象，只需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋3a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1≤0，即a ≥－43，≨－43≤a <0. 综上所述，f (x )在(－1,1)上是增函数时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，16. 跟踪训练3：设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R)，其中a ，b ∈R.(1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，求b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)．当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2. 当x 变化时f ′(x )，f (x )的所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2和(2，＋≦)上是增函数，在(－≦，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2上是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根．≧f (x )仅在x ＝0处有极值，则方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2－4×16≤0，解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是惟一极值．因此满足条件的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，83.(3)由(2)知，当a ∈[－2,2]时，4x 2＋3ax ＋4>0恒成立．≨当x <0时，f ′(x )<0，f (x )在区间(－≦，0]上是减函数．因此函数f (x )在[－1,0]上的最大值是f (－1)．又≧对任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，≨f (－1)≤1，即3－a ＋b ≤1.于是b ≤a －2在a ∈[－2,2]上恒成立．≨b ≤－2－2，即b ≤－4.因此满足条件的b 的取值范围是(－≦，－4]． 题型四：利用导数研究方程根的问题例4 已知函数f (x )＝x 2－a ln x 在(1,2]是增函数，g (x )＝x －a x 在(0,1)为减函数．(1)求f (x )、g (x )的解析式；(2)求证：当x >0时，方程f (x )＝g (x )＋2有惟一解．(1)解：f ′(x )＝2x －ax，依题意f ′(x )≥0，x ∈(1,2]，即a ≤2x 2，x ∈(1,2]．≧上式恒成立，≨a ≤2.①又g ′(x )＝1－a2x ，依题意g ′(x )≤0，x ∈(0,1)，即a ≥2x ，x ∈(0,1)．≧上式恒成立，≨a ≥2.②由①②得a ＝2.≨f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －2x .(2)证明 由(1)可知，方程f (x )＝g (x )＋2，即x 2－2ln x －x ＋2x －2＝0.设h (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －2，则h ′(x )＝2x －2x－1＋1x，当h ′(x )＝0时，(x －1)(2x x ＋2x ＋x ＋2)＝0，解得x ＝1.令h ′(x )>0，并由x >0，解得x >1.令h ′(x )<0，由x >0，解得0<x <1. 列表分析：≨h (x )＝0在(0，＋≦)上只有一个解．即当x >0时，方程f (x )＝g (x )＋2有惟一解．跟踪训练4：已知f (x )＝ax 2(a ∈R)，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围．解：(1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋≦)，≨F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a.由ax 2－1<0，得0<x <1a.故当a >0时，F (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋≦，递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .②当a ≤0时，F ′(x )<0(x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋≦)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．≧φ′(x )＝2x (1－2ln x )x4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)．≨φ(x )min ＝φ(e)，如图当f (x )＝g (x )当[2，e]上有两个不等解时有φ(x )min ＝ln 22，≨ln 22≤a <1e.选修2-2导数及其应用考练试题（卷）一．选择题 1．函数x x x y +=sin 的导数是( D ) A./sin cos y x x x =--/sin cos y x x x =+-C. /sin cos y x x x =-+/sin cos y x x x =++2．一物体的运动方程为25s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是( A )A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒3. 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐 标为 （ B ）A ．(0,1)-或(1,0)B ．(1,0)或(1,4)--C ．(0,2)-或(1,4)--D ．(2,8)或(1,0) 4．函数x x y ln =的单调递减区间是（ C ） A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e5．函数()y f x =在点0x 取极值是0()0f x '=的（A ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6.函数3222y x x x =-+共有几个极值. （A ）A. 0B. 1C. 2D. 3 7. 已知()f x x α=，若(1)4f '-=-，则α的值为（A ）A ．4B ．4-C ．5D ．5- 8．32()32f x ax x =++, 若'(1)7f -=, 则a 的值等于( C )A319 B 316 C 313 D 310 9. 函数24-+=x x y 图像上的点到直线4-=x y 的距离的最小值是（B ）A. 225 B. 2 C. 2 D. 22 10．若函数)12ln()(2+-=x ax x f 在区间]2,1[上为单调函数，则实数a 不可能取到的值为( D )A ．1B ．21 C ．31 D ．41 11．若函数3()33f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则（A ） A ．01b << B ．1b < C ．0b >D ．0b <12. 已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]-22，上有最小值3，那么此函数在[]-22，上的最大值为（ D ） A ．5B ．11C ．29D ．4313.设2ln 8y x x =-，则此函数在区间11(,)42和((1,)+∞内分别（D ）A. 单调递增，单调递减B. 单调递增，单调递增C. 单调递减，单调递增D. 单调递减，单调递减14．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(2)()0x f x '->，则必有( A )A. (2)(0)(3)f f f <<-B. (3)(0)(2)f f f -<<C. (0)(2)(3)f f f <<-D. (2)(3)(0)f f f <-< 二．填空题15. 若函数322()f x x ax bx a =+++，在1=x 时有极值4，则a 与b 的值分别为―2，―2716.函数sin(25)x y x -=的导函数为22cos(25)sin(25)x x x y x ---=17. 函数3224y x x x =-++的单调递减区间是2(,)3-∞-和(2,)+∞18．在曲线133+-=x x y 的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方程为13+-=x y ；19．做简谐振动的小球的运动方程是20cos(3),2x t π=-其中x (单位:cm )是小球相对平衡点的距离,t (单位:s )为时间，则3t s π=时刻的速度是60-/cm s ； 20．一个质点以速度2()6(/)V t t t m s =-+沿直线运动，则在时间间隔(1,4)上的位移是31.5m ；21．已知函数xxx f ln )(=，若方程m x f =)(存在两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为1,0(e.三．解答题22．如图，一矩形铁皮的长为8 m ，宽为3 m ，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V （单位：3m ）是关于截去的小正方形的边长x （单位：m ）的函数.（1）写出关于x （单位：m ）的函数.解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：（1）由题意可得：()(82)(32)V f x x x x ==-- 函数的定义域为3(0,)2（2）≧2()124424f x x x '=-+ 令()0f x '=，得122,33x x ==当203x <<时()0f x '>，()f x 为增函数，当2332x <<时()0f x '<，()f x 为减函数 ≨23x =是()f x 的极大值点，≨区间3(0,2上任意点的函数值都不超过2()3f 此时32200()327V f m ==≨当截去的小正方形的边长为23（m ）时，容器的最大容积为20027（3m ）23．已知某家企业的生产成本z （单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x （单位：t ）的函数，其解析式分别为：32187580z x x x =-+-， 15x ω=（1）试写出该企业获得的生产利润y （单位：万元）与产量x （单位：t ）之间的函数解析式；（2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？解：（1）≧利润＝收入－成本，即y z ω=-≨3215(187580)y x x x x =--+-32186080(0)x x x x =-+-+≥ （2）233660y x x '=-+-解方程0y '=，得12,10x x == 根据x ，x ，列出下表10x =是函数的极大值点，比较2x =和10x =的函数值，(2)24y =，(10)280y =≨产量为10t 时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元.24．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) (2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x10h，耗油量为)(x f 升，依题意得313100()(8)12800080f x x x x=-+415800128012-+=x x 233264080800640)('x x x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数 当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 ≨当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升)因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。

导数及其应用一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-3.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)xxe e =')( (8)a a a xxln )(=' 5.函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

三、经典例题导讲[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.[例2]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。

错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y ，即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ，故0024262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。

即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为： 1512,14-=-=x y x y点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例3]求证：函数xx y 1+=图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数xx y 1+=的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1）111,12<-='∴+=xy x x y ，即对函数x x y 1+=定义域内的任一x ，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数xx y 1+=图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令0112=-x，得1±=x ，当1=x 时，2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ， ∴曲线xx y 1+=的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(--，切线方程分别为2=y 或2-=y 。

专题020：导数的应用(极值与最值)（教学设计）（师）考点要求：1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．4．复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.知识结构：1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法……列表法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤……列表法①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（一般情况下为单峰函数）(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．4．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．（定义域优先原则）(2)在实际问题中（一般情况下为单峰函数），如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．5．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 基础自测：1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案 D2．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极大值，有极小值C ．有极小值，无极大值D ．无极小值，无极大值 解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2 f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 ＋f (x )43因此有极小值无极大值． 答案 C3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )． A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0解得x ＝9(－9舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0，则当x ＝9时，y 取得最大值，故选C. 答案 C4．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)当x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时取得极小值．答案 2 5．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3例题选讲：例1：(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．分析：由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值，列表法．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.小结： 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤……列表法：(1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2：已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． 分析：先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0， 所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.小结：一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．例3：(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 分析： 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.小结：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 巩固作业： A 组： 一、选择题：1．如果函数428y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c =（ B ）()A 1()B 2()C 1-()D 2-2．下列函数中，0x =是极值点的函数是(B ）（A ）3y x =- （B ）2cos y x = （C ）tan y x x =- （D ）1y x=3．下列说法正确的是（D ）（A ）函数的极大值就是函数的最大值 （B ）函数的极小值就是函数的最小值 （C ）函数的最值一定是极值 （D ）在闭区间上的连续函数一定存在最值 二、填空题：4．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则点),(b a 为 ．答案：（-4,11） 5．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为427，极小值为0． 6．函数321()252f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞． 7．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。

导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，0.1xyO0.在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A（福建文6）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x ≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 【答案】C（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12- B ．12C ．22-D ．22【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以 2411'|2(sincos )44x y πππ===+。

第二讲 导数及其在函数性态上的应用一、导数及其求法1．导数的定义 00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆ 00000()()()()limlim h x x f x h f x f x f x h x x →→+−−==− 2．导数的求法 （1）利用定义 （2）利用基本公式 （3）复合函数求导 （4）隐函数求导 （5）参数方程求导 （6）对数求导法 （7）高阶导数二、导数在函数性态上的应用 单调性、极值、凹凸性 三、不等式的证明方法 1．利用单调性 2．利用中值定理 3．利用泰勒展开 四、方程根的讨论 1．利用罗尔定理2．利用零点定理和单调性说明根的唯一性3．利用零点定理、极值、单调性讨论根的个数 五、例题利用导数的定义的有关问题例 1 设()f x 连续，1()()d g x f xt t =⎰，且0()lim ,x f x A A x→=为常数，求()g x '，并讨论()g x '在0x =处的连续性。

(2009首届，15分，97考研)例2设函数()f x 连续，且0)0(')0(==f f ，记000d ()d , 0,()ln[1()]d ,0,x u xu f t t x F x f x t t x −⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩⎰⎰⎰求)('x F 及)0(''F .练习：设函数 ()cos ,0(),0x xx f x x a x ϕ−⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中，()x ϕ具有连续的二阶导数，且(0)1ϕ=， （1）确定a 的值，使()f x 在0x =处可导，并求()f x ' （2）讨论()f x '在0x =处的连续性。

例3 设函数()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且0()lim 0x f x x →=，证明级数11|()|0n f n ∞==∑收敛。

第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。

北师大版高中数学选修2-2第三章《 导数应用》全部教案扶风县法门高中 姚连省 §1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。

2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 2() 4.9 6.510h t t t =-++中高度h 随时间t 变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'()f x表示函数()f x在点00(,)x y处的切线的斜率．在x x=处，'()0f x>，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在x附近单调递增；在1x x=处，'()0f x<，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b内，如果'()0f x>，那么函数()y f x=在这个区间内单调递增；如果'()0f x<，那么函数()y f x=在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x=，那么函数()y f x=在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x=单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x=的定义域；（2）求导数''()y f x=；（3）解不等式'()0f x>，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x<，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x>，即时，函数2()23f x x x=--；当'()0f x<，即时，函数2()23f x x x=--；函数32()23241f x x x x=+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4、求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x =单调区间；（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A 组1、2 五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。

2011 考研数学之导数应用函数的零点和符号的讨论方法1．利用闭区间上连续函数的性质主要利用两个定理：介值（零点）定理和最值定理。

【参考题】 1．证明方程 4 x = 2 x 至少有一个小于1 的正根. 22．设函数 f ( x) 在[0，1] 上连续， 0 ≤ f ( x) ≤ 1 ，求证存在 ξ ∈ [0，1]，使得 f (ξ) = ξ 。

已知 f ( x) 在[0， 上非负连续， f (0) = f (1) = 0 ，则对于任意一个实数 L 0 < L < 1 ） 1] （ ， 3． x0 ∈ [0，1]，使得 f ( x0 ) = f ( x0 + L) .介值定理除了表现为零点定理以外，以下这种形式要格外重视： 若函数在一个闭区间上连续，则它可以取得介于函数在该区间上的最大值和最小值之间 的任何一个数。

例 1．010210 设 f ( x) 在 [ a, a ] 上二阶连续可导（ a > 0 ） f (0) = 0 。

1）写出 f ( x) 的 ， （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的 一 阶 麦 克 劳 林 公 式 ； 2 ） 证 明 在 [ a, a ] 内 至 少 存 在 一 点 η ， 使 得 （a 3 f ′′(η) = 3∫ f ( x)dx 。

a a比较： 若 二 阶 导 数 f ′′( x) 在 [2 ， 4] 连 续 ， 且 f (3) = 0 ， 求 证 在 [2 ， 4] 必 有 一 点 ξ ， 使 得f ′′(ξ) = 3∫ f ( x)dx ．24【真题】020308 设 f ( x) ， g (x) 在 [a, b] 连续，且 g ( x) > 0 。

利用闭区间上连续函数的性质， 证明在 [a, b] 存在一点 ξ ，使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (ξ) ∫ g ( x)dx 。

b b a a-1-2011 考研数学之导数应用反证法的使用在此类问题的证明中是重要的叙述手段。