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第二章随机过程的基本概念说明与解释2.1 随机过程的定义◆{X(t), t∈T}称为随机过程，是定义在样本空间Ω和参数集T上的一个二元函数◆当t=t0固定时，X(t0)为一个随机变量，当样本点ω固定时，X(ω,t)随时间变化，称为样本函数，在平面上为一条曲线，或折线段2.2 随机过程的分布◆对于随机过程{X(t), t∈T}，当参数t取有限n个不同值时，则得到一个n维随机向量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))，它的概率分布即为概率论中多维随机向量的联合概率分布。
◆定理2.2.1的说明（1）对称性随机过程的n维分布函数F(x1,x2⋯,x n;t1,t2⋯,t n)=P[(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯,X(t n)≤x n]上面大括号内是n个事件的积，事件的积运算满足交换律，所以对称性成立。
（2）相容性以二维随机向量(X,Y)为例，有F X(x)=F XY(x,∞)所以，相容性成立。
◆例2.2.1的说明因为U、V相互独立且同分布，都服从标准正态分布，因此它们的线性组合也服从正态分布，只需求出X(t)=U+tV的数学期望和方程即可。
（1）一维密度函数根据期望与方差的性质，有E(X(t))=E(U+tV)E(U)+tE(V)=0D(X(t))=D(U+tV)=D(U)+D(tV)=1+t2D(V)=1+t2而一维正态随机变量的密度函数为f(x)=1√2πσ{−(x−μ)22σ2}（2）n维密度函数可以根据定理1.2.2证明(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))服从n维正态分布，所以下面只需求出其数学期望向量μ和协方差矩阵Σ根据（1）的计算结果，μ=E(X(t))为0向量cov(X(t i),X(t j))=cov(U+t i V,U+t j V)=cov(U,V)+t i cov(V,U)+t j cov(U,V)+t i t j cov(V,V)=D(U)+0+0+t i t j D(V)=1+t i t j记σij=1+t i t j,( i,j=1,2,⋯,n),Σ=(σij)n×n,x=(x1,x2,⋯,x n)由定理1.2.1知n维正态变量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))的密度函数为f(x)=1√2πn√|Σ|{−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}◆如果随机过程{X(t),−∞<t<+∞}的任意有限为分布都是正态分布，则称随机过程为正态过程，或高斯过程2.3 随机过程的数字特征◆随机过程的数字特征与概率论中的数字特征完全类似◆均方值函数存在的随机过程称为二阶矩过程◆例设随机过程X(t)=tV,t>0，其中V为离散型随机变量，其分布律为试求X(t)的均值函数、均方值函数、方差函数、均方差函数、自相关函数、协方差函数解根据概率论知识，E(V)=0.2,E(V2)=1，由此可得均值函数μX(t)=E(tV)=tE(V)=0.2t均方值函数ψX2(t)=E((X(t))2)=E((tV)2)=t2E(V2)=t2方差函数σX2(t)=ψX2(t)−(μX(t))2=t2−(0.2t)2=0.96t2均方差函数σX(t)=√σX2(t)=√0.96t自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))=E(sVtV)=stE(V2)=st自协方差函数C X(s,t)=R X(s,t)−μX(s)μX(t)=st−0.04st=0.95st◆在随机过程所有的数字特征中，均值函数和自相关函数是最基本的数字特征，其它数字特征都可从它们推出2.4 二维随机过程和复随机过程2.5 几类常用的随机过程◆平稳过程的分布只与参数的起点有关，而与参数的增量无关，即(X(t))与X(t+ℎ)同分布◆定理2.5.1的说明一般来说，利用随机过程的自协方差函数可以直接写出它的方差函数，但定理2.3.1告诉我们，当随机过程在初始时刻的状态为常数时，则已知方差可直接写出自协方差函数，即C X(t,t)=σX2(t)◆独立过程独立抛掷一颗骰子100次，观察每次掷出的点数，记X n为第n次出现的点数，则{X n, n=1,2,3,⋯,100}为独立过程（独立时间序列）◆参数为p的贝努利过程{X n, n≥1}是独立过程◆以贝努利过程{X n, n≥1}说明平稳独立增量过程记N n =∑X i n i=1，则服从二项分布B(n,p). 当m <n 时， N n −N m =N m+1+N m+2+⋯+N n ~B(n −m,p) 对任意正整数k ≥1,N n+k −N m+k =N m+k+1+⋯+N n+k ~B(n −m,p) 所以，{X n , n ≥1}是平稳过程其次，如果n 1<n 2<⋯<n mm ，可证N n 2−N n 1,N n 3−N n 2,⋯,N n m −N n m−1相互独立。
随机向量的特征函数
随机向量是由多个随机变量组成的向量。
在概率论和统计学中，随机向量是一个重要的研究对象。
特征函数是描述随机变量分布的一种方式，而随机向量的特征函数可以用来描述随机向量的分布。
随机向量的特征函数是一个多元复值函数，定义为所有分量的指数函数的乘积的期望值。
具体来说，如果随机向量X = (X1,
X2, ..., Xn)，则其特征函数φ(t1, t2, ..., tn)定义为：φ(t1, t2, ..., tn) = E[exp(i(t1X1 + t2X2 + ... + tnXn))]
其中i是虚数单位。
特征函数的变量是一个n维向量(t1,
t2, ..., tn)。
随机向量的特征函数具有一些重要的性质。
首先，特征函数是复值函数，因此可以表示为实部和虚部的组合。
其次，特征函数具有唯一性，即如果两个随机向量的特征函数相同，则它们具有相同的分布。
此外，特征函数具有连续性和可微性等性质。
在实际应用中，随机向量的特征函数可以用来求解随机向量的矩、相关系数、协方差矩阵等统计量。
此外，特征函数还可以用于估计随机向量的分布，例如通过逆傅里叶变换将特征函数转换为概率密度函数。
总之，随机向量的特征函数是描述随机向量分布的一种常用工具，具有许多重要的性质和应用。
第二 随机向量请先选择题目,然后再选择正确答案.(每小题3分,30题4分,共100分) 1. X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A. (X,Y) B. XYC. X+YD. X －Y答案：（A ）2. 设X,Y 独立同分布,,21}1{}1{,21}1{}1{=====-=-=Y P X P Y P X P 则（ ）. A. X=Y B.0}{==Y X PC. 21}{==Y X P D. 1}{==Y X P答案：（B ）3. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b a B. 32,32==b a C. 23,21=-=b a D. 23,21-==b a答案：（A ）4. 设随机变量的分布,1}0{)2,1(412141101~21===⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X X i X i 且则}{21X X P ==( ).A. 0B.41 C.21 D. 1答案：（A ）5. 下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 答案：（D ）6. 设随机变量(X,Y)的联合分布为:则b a ,应满足( ).A ．1=+b aB. 1=-b aC. 32=+b aD.23,21-==b a 答案：（D ）7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A. 91,92==b a B. 92,91==b a C. 31,31==b a D. 31,32=-=b a 答案：（A ）8.同时掷两颗质体均匀的骰子,以X,Y 分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A. 6,2,1,,361},{ ====j i j Y i X P B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X P D. 21}{=≤Y X P答案：（A ）9. 设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则错误的是( ). A.1}0{=≥X P B. 1}0{=≤X PC. X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在}10,10:),{(≤≤≤≤=y x y x D 的概率为1答案：（C ）10. 接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.⎰⎰=Gdxdy y x f G Y X P ),(}),{(εB. ⎰⎰=Gydxdy xG Y X P 26}),{(εC. ydxdy x G Y X P x 20106}),{(⎰⎰=εD. ⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(答案：（B ）11. 设(X,Y)的联合 概率密度为⎩⎨⎧≠=其他,0),(,0),(),(Dy x y x h y x f ε,若}2:),{x y y x G ≥=为一平面区域,则下列叙述错误的是( ).A.⎰⎰=Gdxdy y x f G Y X P ),(),{εB.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C. ⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D. ⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{答案：（C ）12. 设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ).A.GDS S D y x P =}),{(εB.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P -=∉1}),{(D. GDS S D Y X P =∉}),{(答案：（A ）13. 设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},max{212X X Y = C. 213X X Y +=D. },min{211X X Y =答案：（A ）14. 设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=YX Y X V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A. 0B.41C.21 D.43 答案：（D ）15.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ). A.),(~211σμN XB. ),(~221σμN XC.若0=ρ,则X,Y 独立.D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(S,T)不一定服从二维正态分布 答案：（B ）16. 若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ). A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB. ),(~222121σσμμ---N Y X C. )4,2(~2222121σσμμ+--N Y X D. )2,2(~2222121σσμμ+--N Y X答案：（C ）17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布N （0，1），令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（ ）。
A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为21的指数分布 D.N (0,1) 分布答案：（C ）18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,)4,3,2,1(4.0}1{,6.0}0{=====i X P X P i i .记4321X X X X D +,则==}0{D P ( ).A. 0.134 4B. 0.731 2C. 0.865 6D. 0.383 0 答案：（B ） 19. 已知Y X N Y N X ,)1,2(~),1,3(~且-相互独立,记~,72Z Y X Z 则+-=( ). A. )5,0(N B. )12,0(N C. )54,0(N D. )2,1(-N答案：（A ）20.已知(X,Y)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其他,0,4,0),sin(),(~πy x y x C y x f 则C 的值为( ).A. 21B. 22C. 12-D. 12+答案：（D ）21. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ). A. 7265 B. 727 C. 721 D. 7271答案：（A ）22. 为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A. 0B. 6C. 10D. 16答案：（Ｂ）23. 若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 答案：（Ｃ）24. 在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ). A. 21 B. 31 C. 41 D. 51答案：（C ）25. 设X 服从0 —1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量度D.取值为0的概率为0 答案：（B ）26. 设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ). A. Z 也服从]1,0[上的均匀分布 B.0}{==Y X P C. Z 服从]2,0[上的均匀分布 D.)1,0(~N Z答案：（B ）27. 设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A. )1(414--eB. 441-⋅e C. 43414+-e D.21答案：（A ）28. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ).A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8 答案：（C ） 29. 随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A. 1-eB. 2-eC. 11--eD. 21--e答案：（B ）30. 设])3(25)3)(5(8)5[(22),(~),(-+-+++-=y y x x Ae y x f Y X ,则A 为( ).A.3π B. π3C. π2D.2π答案：（B ）31. 设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点。
设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A. 481 B. 21C. 121D. 241答案：（A ）32. 设n X X X ,,,21Λ相独立且同服从),(2σμN ,则( ).A. n X X X =Λ==21B. ),(~)(1221nN X X X n n σμ+Λ++C. )34,32(~3221+++σμN XD. ),0(~222121σσ--N X X答案：（B ）33. 设⎩⎨⎧≠=其他,0),(,0),(),(~),(Gy x y x g y x f Y X ε,D 为一平面区域,记G ,D 的面积为,,D G S S ,则}),{(D y x P ε=( ).A. GDS S B. G G D S S C.⎰⎰Ddxdy y x f ),( D. ⎰⎰Ddxdy y x g ),(答案：（C ）。
