第五章 轴向拉伸与压缩
一、轴向拉伸与压缩
承受拉伸或压缩杆件的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
这种杆件称为拉压杆。
二、轴力及轴力图
杆件在外力作用下将发生变形，同时杆件内部各部分之间产生相互作用力，此相互作用力称为内力。
对于轴向拉压杆，其内力作用线与轴线重合，此内力称为轴力。
轴力拉为正，压为负。
为了表现轴向拉压杆各横截面上轴力的变化情况，工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
三、横截面上的应力
根据圣文南原理，在离杆端一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也应是均匀的，并垂直于横截面，此即为正应力。
设杆的横截面面积为Ａ，则有
A
F N =σ 工程计算中设定拉应力为正，压应力为负。
四、强度条件
工程中为各种材料规定了设计构件时工作应力的最高限度，称为许用应力，用［σ］表示。
轴向拉伸（压缩）强度条件为
[]σσ≤=A
F N
用强度条件可解决工程中三个方面的强度计算问题，即：（1）强度校核；
（2）设计截面；（3）确定许可载荷。
五、斜截面上的应力
与横截面成θ角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=θστθσσθθ2sin 2)2cos 1(2 由上式可知，当θ＝０°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。
当θ＝±４５°时，切应力达到极值。
六、拉压变形与胡克定律
等值杆受轴向拉力Ｆ作用，杆的原长为l ，横截面积为Ａ，变形后杆长由l 变为l ＋△l ，则杆的轴向伸长为
EA
Fl l =∆ 用内力表示为
EA
l F l N =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的胡克定律。
式中的Ｅ称为材料的拉伸（压缩）弹性摸量，ＥＡ称为抗拉（压）刚度。
用应力与应变表示的胡克定律为
σ＝Ｅε
在弹性范围内，杆件的横向应变ε‘和轴向应变ε有如下的关系：
μεε-='
式中的μ称为泊松比。
七、简单拉压静不定问题
当结构的未知力的个数多于静力平衡方程的个数时，只用静力平衡平衡条件将不能求解全部未知力，这类问题称为超静定问题。
未知力个数和静力平衡方程个数之差称为超静定次数。
1．解决超静定问题，除列出静力平衡方程外，还需找出足够数目的补充方程，这些补充方程可由结构各部分弹性变形之间的几何关系以及变形和力之间的物理关系求得，将补充方程与静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。
2．解超静定问题的步骤
（1）列出静力平衡条件；
（2）观察结构可能的变形，根据变形协调关系列出结构的变形几何条件；
（3）列出物理条件；
（4）解联立方程组。
八、应力集中的概念
工程中，由于结构上和使用上的需要，构件经常带有圆孔、切槽和螺纹等。
在构件形状尺寸的突变处，发生局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
九、材料在拉伸和压缩时的力学性质
１．低碳钢在拉伸时的力学性质
（１）低碳钢应力－应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。
（２）低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服（或流动）现象，劲缩现象和冷作硬化想象。
（３）低碳钢在拉伸时的特性
a.比例极限σＰ：应力应变成比例的最大应力。
b.弹性极限σe ：材料只产生弹性变形的最大应力。
c.屈服极限σs ：屈服阶段相应的应力。
d.强度极限σb ：材料能承受的最大应力。
（４）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标
a.延伸率δ
%1001⨯-=l
l l δ
工程上通常将δ≥５％的材料称为塑性材料，将δ<５％的材料为脆性材料。
b.断面收缩率ψ
%1001⨯-=A
A A ψ ２．工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生０.2％残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以σ0.2表示，称为名义屈服极限。
３．灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。
４．材料在压缩时的力学性质
（１）低碳钢压缩时弹性模量Ｅ和屈服极限σs 与拉伸时相同，不存在抗压强
度极限。
（２）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。
５．极限应力（破坏应力）
塑性材料以屈服极限σs （或σ0.2）为其极限应力；脆性材料以强度极限σb 为其极限应力。
十、难题解析
【例1】图5-1（a ）所示桁架，在节点B 处承受铅垂载荷F 作用。
杆1与杆2的材料相同，许用应力均为[]σ，二杆间的夹角为θ。
试分别根据杆1的重量最轻与整个桁架的重量最轻的要求，确定夹角θ的最佳值。
解：1. 内力分析。
设杆1受拉，杆2受压，节点B 的受力如图5-1（b ）所示。
由平衡方程∑=0x F 与∑=0y F 得
θsin 1F F N =，θ
tan 2F F N =
图5-1
2．按杆1重量最轻要求确定夹角θ的最佳值。
根据强度要求，杆1所需最小横截面面积为
[][]θ
σσsin 11F F A N == 由此得杆1的体积为
[][]θ
σθθσ2sin 2cos sin 111Fl l F l A V === 显然，要使杆1的重量最轻，应使其体积最小。
由上式得夹角θ的最佳值为
︒=45opt θ
3．按桁架重量最轻要求确定夹角θ的最佳值。
根据强度要求，杆1与杆2所需最小横截面面积分别为
[][]θ
σσsin 11F F A N == []θ
σtan 2F A = 由此得桁架的体积为
[][]θ
σθθσtan cos sin 221121Fl l F l A l A V V V +=+=+= 或
[]⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=θθσtan 12sin 2Fl V 由上式解得，使桁架的体积或重量最小的θ值，即夹角的最佳值为
'2454︒=opt θ
【例2】如图5-2所示横梁AB 为刚性梁，不计其变形。
杆1、2的材料、横截面面积、长度均相同，其2200,100][mm A MPa ==σ。
试求许用载荷][F 。
解：有平衡方程
0)2(0)(21=-+-=∑a F Fa a F F M C （1）
几何变形方程为 2
1221==∆∆a a l l （2） 将虎克定律代入几何变形方程（2）式，则
2
12121==F F EA
l F EA l
F 代入平衡方程（1）式，得
5
2;521F F F F == 解得 kN N A F F 1002001005][5][5][11=⨯⨯===σ
kN N A F F 502001005.2][2
5][25][22=⨯⨯===σ 比较可知，取][F 为kN 50。
【例3】如图5-3（a ）所示，由铝镁合金钢质套管构成一组合柱，它们的抗压刚度分别为11A E 和22A E 。
若轴向压力通过刚性平板作用在该柱上，试求铝镁杆和钢套管横截面上的正应力。
解：受力分析如图5.3（b ）、（c ）所示。
根据图5.3（b ），有平衡方程
0021=-+=∑F F F F
N N y
另有几何变形关系 21l l ∆=∆
图5-2
（a）（b）（c）
图5.3
将物理关系式代入上述几何变形方程，得
2
2
2
1
1
1
A
E
l
F
A
E
l
F
N
N=
将
2
2
2
1
1
1N
N
F
A
E
A
E
F=代入平衡方程式，得
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1A
E
A
E
F
A
E
A
E
A
E
F
F
F
F
F
A
E
A
E
N
N
N
+
=
+
=
=
+
则
2
2
1
1
1
1
2
1A
E
A
E
F
A
E
F
F
F
N
N+
=
-
=
【例4】图5-4所示为两端固定的杆件，求两端的约束反力。
解：由
图5-4
0321=∆+∆+∆=∆l l l l
即
0)3()(321=++++=++EA
a F F EA a F F EA a F EA a F EA a F EA a F A A A N N N 得 )(34←-=F F A )
(3530
20←=+==-++=∑F F F F F F F F F A B B A x。
