第四章 直杆的轴向拉伸与压缩

§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
假设截面 m P P
2、轴力：横截面上的内力 由于外力的作用线与杆件的 轴线重合，内力的作用线也与杆 件的轴线重合。所以称为轴力。
轴力
m m
P
m
N
3、轴力正负号：拉为正、压为负
注意： 内力符号规定与静力学不同，是以变形的 不同确定正负，
或
N 轴力
m P
m
截面上的未知内力皆用正向画出
b b
23
v
§4-2 直杆拉伸和压缩时的变形
二、虎克定律
实验表明
Pl l A Nl l EA
l N 由， l EA
即
E为弹性摸量,EA为抗拉刚度
虎克定律的另一形式
E
24
目录
§4-2 直杆拉伸和压缩时的变形
常用材料弹性模量及横向变形系数的值 弹性模量 材料名称 牌号 E(105MPa) 泊松比
29
目录
§4-3 材料的机械性能
（一 ）低碳钢拉伸及压缩时的机械性能
P
P
30
目录
§4-3 材料的机械性能
（一 ）低碳钢的拉伸试验及其力学性能
明显的四个阶段 2、屈服阶段BD（失去抵 1、弹性阶段OB E 抗变形的能力） s — 屈服极限 P — 比例极限 E tan e — 弹性极限 3、强化阶段DE（恢复抵抗 E 变形的能力） F b — 强度极限 b
内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力 来衡量它，称为应力。 单位：帕斯卡（Pa），或kPa, MPa, GPa
2、轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力
17
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
F F
F
现象：横向线1-1与22仍为直线，且仍然垂 直于杆件轴线，只是间 距增大，分别平移至图 示1‘-1’与2‘-2’位置。
p D
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为 FN
F π 2 D p 6 24
FN 根据强度条件 max A FN d 2 D 2 p 得 A 即 4 24
螺栓的直径为
44
目 录
§4-4 杆件在拉伸及压缩时的强度计算
例题2-5
AC为50×50×5的等边角钢两根，AB为10 号槽钢两根，„σ‟=120MPa。求F。
11
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
内力的求解—截面法
m P m P N’ N
P 1、截面法求内力
截: 假想沿m-m横截面将杆切开 留: 留下左半段或右半段 代: 将抛掉部分对留下部分 P 的作用用内力代替 求: 对留下部分写平衡方程求 出内力的值
12
目录
X 0 N P 0 NP
极限应力

塑性材料 脆性材料
jx （ 0.2）或 b S
jx bt bc） （
许用应力：
工作中构件材料能安全采用的最大应力称 为材料的许用应力
40
目录
§4-4 杆件在拉伸及压缩时的强度计算
塑性材料的许用应力 n s

nb
脆性材料的许用应力
45°
y
B F
解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B为研究对象
x
X 0 Y 0
FN 1 cos 45 FN 2 0 FN 1 sin 45 F 0
21
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
A
1
45°
FN 1 28.3kN
平面假设：杆件变形前为平面的横截面在变形后仍为平面， 且仍然垂直于变形后的轴线
推论：当杆件受到轴向拉伸(压缩)时，自杆件表面到内部 所有纵向纤维的伸长(缩短)都相同 结论：应力在横截面上是均匀分布的(即横截面上各点的 18 应力大小相等)，应力的方向与横截面垂直，即为正应力
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
n —安全系数
n s 1 . 5 ~ 2 .0 nb 2 ~ 3.5
s
bt
0.2 n s bc
n b
—许用应力。
工作应力
N A

jx
n

41
目录
§4-4 杆件在拉伸及压缩时的强度计算
e P
B A D
s
4、局部径缩阶段EF

o

31
目录
§4-3 材料的机械性能
0
两个塑性指标:
材料的延伸率
l1 l0 100% 断面收缩率 A A1 100% l0 A 5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
32
目录
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
h

B
C
b
y

F
F
A
由于结构几何和受力的对称性，两 斜杆的轴力相等，根据平衡方程 Fy 0 得 F 32FN cos 0 F 1000 10 FN 5.32 105 N 2 cos 2 cos 20 x 2、强度校核 工作应力为
P
N P A A
19
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
20
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
A
1
45°
例题4-2
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 B 15×15的方截面杆。
Байду номын сангаасF F
C
2
FN 1
FN 2
10
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力 内力的概念
物体内部各质点间相互作用的力
材料力学研究的内力： 因外力作用而引起构件内部各质点之间相互作用力 的改变量，称为“附加内力”，简称内力。 内力与构件的强度密切相关。内力具有抵抗外力， 阻止外力使构件继续变形的能力 内力的特点：内力随外力的增加而加大，当内力达到 某一限度时会引起构件的破坏。
15
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
思考题： 设两根材料不同，截面积不 同的拉杆，受相同的轴向拉 力，它们的内力是否相同？
16
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
二、直杆横截面上的应力
杆件的强度不仅与内力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。 1、应力的概念
拉伸与压缩在屈服阶段 以前完全相同。
36
目录
§4-3材料的机械性能
二、脆性材料的机械性能 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为 微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。 断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。

b
o

37
目录
σb—拉伸强度极限。它是衡量脆性材料
（铸铁）拉伸的唯一强度指标。

F1
0 N1 F1 10kN
x
F
x
BC段
F4
25
0 N 2 F2 F1 N 2 F1 F2
F
N kN
CD段
x
10
N3 F4 25kN
10 20 10kN Fx 0
14
目录
2、绘制轴力图。
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
第四章 直杆的轴向拉伸与压缩
1
目录
工程构件的基本类型
轴线：杆件的各个横截面形心的连线称为轴线。
2
杆件变形的基本型式
扭转
3
4
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力 工程实例
5
§2-1
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
工程实例
6
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力 工程实例
FN FN 5.32 10 5 236.4 106 Pa 236.4MPa 120MPa A bh 25 90 106
斜杆强度不够
43
目 录
FN
FN
§4-4 杆件在拉伸及压缩时的强度计算
例题
D=350mm，p=1MPa。螺栓 [σ]=40MPa， 求螺栓直径。 π F D2 p 解： 油缸盖受到的力 4
F
2、根据斜杆的强度，求许可载荷 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
1 A1 1 120 106 2 4.8 104 F1 2 2 57.6 103 N 57.6kN
FN 1 A1
45
目 录
二 、强度计算
max
N A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题 1、设计截面：
N A
2、确定许可载荷： P A 3、强度校核：
N max A
42
目录
§4-4 杆件在拉伸及压缩时的强度计算
例题
F
A
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。 „σ‟=120MPa。试校核斜杆的强度。
4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变 13 化
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
A
1 B
1 F2
2 C
2
3 D
F1
F3
3
F4
例题4-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。 AB段
F1
N1 N2 F2 N3
10
0.23~0.27
0.33
0.16~0.18
25
§4-2 直杆拉伸和压缩时的变形
26
目录
§4-2 直杆拉伸和压缩时的变形
27
目录
§4-3 材料的机械性能
机械性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能。
试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
28 §2-4
目录
§4-3 材料的机械性能
§4-3 材料的机械性能
脆性材料（铸铁）的压缩

bt
o

脆性材料的抗拉与抗压 性质不完全相同 压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限
bc
bc bt
38
目录
§4-3 材料的机械性能
39
目录
§4-4 杆件在拉伸及压缩时的强度计算
一、 材料的许用应力
极限应力： jx
通常指构件不能正常工作而失效时材料的应力
低碳钢
中碳钢 低合金钢 合金钢 灰铸铁 球墨铸铁 铝合金 硬质合金 混凝土 木材（顺纹） LY12 45 16Mn 40CrNiMoA
2.0~2.1
2.05 2.0 2.1 0.6~1.62 1.5~1.8 0.71 3.8 0.152~0.36 0.09~0.12
0.24~0.28
0.25~0.30
7
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
工程实例
8
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
一、直杆横截面上的内力
特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆 件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长 或缩短。
杆的受力简图为 拉伸
F
压缩
F F
F
9
目录
§4-1 直杆轴向拉伸及压缩的内力和应力
22
目录
§4-2 直杆拉伸和压缩时的变形
一 、杆件拉伸或压缩时的变形
P
l
P
l
b
b
a
a
纵向变形 l l l
横向变形 b b b
应变：指构件单位长度的伸长量或缩短量
纵向应变
泊松比
钢材的E 约为200GPa，μ约为0.25—0.33
v
l l
横向应变

解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平 杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
FN 1
FN 2 α
y
A
F
y
x
0 FN 1 sin F 0 FN1 F / sin 2F FN 2 FN1 cos 3F
B F
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
FN 1 28.3 103 1 A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa
C
2
FN 1
y
F
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 Pa 89MPa
§4-3 材料的机械性能
附加
卸载定律及冷作硬化

e P
d
e
b
f
即材料在卸载过程中应力 和应变是线形关系，这就 是卸载定律。
b
a c
s
材料的比例极限增高，延 伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
f h
o

d g

1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
33
目录
§4-3 材料的机械性能
其它材料拉伸时的力学性质 对于没有明显屈 服阶段的塑性材 料，用名义屈服 极限σ0.2来表示。
QT450-1

0.2
o
0.2%
34
目录
§4-3 材料的机械性能
压缩时的试件和实验条件
常 温 、 静 载
35 §2-5
目录
§4-3 材料的机械性能
塑性材料（低碳钢）的压缩
p — 比例极限 e — 弹性极限 S — 屈服极限 E —弹性摸量