第4章__轴向拉伸与压缩

点是：作用在杆端的外力或其合力的作
用线沿杆件轴线。 变形特点是：杆件沿轴线方向伸长 或缩短。这种变形形式称轴向拉伸与压 缩。
§4.1
轴向拉伸与压缩的概念与实例
§4.2
4.2.1 内力的概念
截面法、轴力与轴力图
☆材料力学中的内力是指在外力作 用下，构件杆件内部各质点之间相 互作用力的改变量，称为“附加内
力”，简称“内力”。 ☆内力：为保持物体的形状和尺寸，物体内部各质点间必定存在
着相互作用的力，该力称为内力。 观察一下手拉弹簧动画，将有助于 理解材料力学中关于内力的概念。
4.2.2
截面法
§4.2 截面法、轴力与轴力图 轴力与轴力图
＊截面法：所谓截面法，是用假想截面将杆件在所需部位截开来，然后用 平衡方程由外力求算内力的方法。用截面法求算内力的步骤： （1）截开
小结
§4.1
轴向拉伸与压缩的概念与实例
联接螺栓、起重机的钢丝绳及吊钩头部都承受拉力作用，而桥墩、
门座起重机的臂架以及建筑物的立柱都承受压力作用。
§4.1
轴向拉伸与压缩的概念与实例
☆轴向拉伸与压缩的概念
以汽缸的活塞杆为例。观 察活塞杆在工作时受什么样的 外力作用？它可能发生什么样 的变形？ 通过观察分析可知，杆件的受力特
试验机
§4.5 材料在轴向拉压时的力学性能 为消除试样横截面尺寸和长度的影响，将F－ l 曲线的纵坐标F和 l 横坐 标分别除以试件的原始横截面面积 A 和原始标距 l 得到 曲线，称为应 力-应变曲线。
§4.5 材料在轴向拉压时的力学性能 4.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢在拉伸时表现出来的力学性能具有典型性。由上图的 曲线可以 看出，整个拉伸过程大致分为以下四个阶段： (1) 弹性阶段 P
（0≤x≤2）
FN F qx 4 2 x
由轴力FN的表达式可知，轴力FN与横截面位置坐标x成线性关系，轴力 图为一斜直线。当x＝0时，FN＝4 kN；当x＝2m时，FN＝8 kN。画出轴力 图如图所示，FN.max＝8 kN，发生在截面A上。 .
§4.3
横截面上的应力
4.3.1
应力的概念
胡克定律
设原长为l，直径为d的圆截面直杆，受轴向拉力F后变形，其杆纵向长度由l变为
l1，横向尺寸由d变为d1，则 杆的纵向绝对变形为 杆的横向绝对变形为
l l1 l d d1 d
§4.4
轴向拉压杆的变形
胡克定律
☆注意：同样的绝对变形，发生在不同的原始尺寸下，变形的程度显然是不
一样的。为反映杆件的变形程度，通常用单位长度的相对变化来度量，称为线应 变（或正应变），即 杆的纵向线应变 杆的横向线应变
FN 、E、A均为常量。 （2）在长为l 的杆段内，
4.4
轴向拉压杆的变形
胡克定律
例4.5 阶梯状直杆受力如图所示，试求杆的总变形量。已知其横截面面 积分别为ACD=300mm2, AAB= ABC 500mm2,E=200GPa。 解: （1）作轴力图。用截面法求
CD BC 得CD和BC段轴力 FN FN 10
FN F 20 kN
(2) 计算最大正应力。 开槽部分的横截面面积为
A (h h0 )b (25 10) 20 300mm 则杆件内的最大正应力 max为
FN 20 103 6 σ max 66 . 7 10 Pa 66.7MPa 6 A 300 10 负号表示最大应力为压应力。
§4.2
截面法、轴力与轴力图
例4.2 钢杆上端固定，下端自由，受 力如图所示。已知l = 2m，F = 4 kN, q = 2 kN/m，试画出杆件的轴力图。
解 以B点为坐标原点，BA为正方向建立x
轴；将杆件从位置坐标为x的C截面处截开。
由BC受力图建立平衡方程：
Fx 0
FN F qx 0
变而变化，若内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力
分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。 ②内力随外力增大而增大外力消失，内力也消失。 直接利用外力计算轴力的规则
杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等于截面一侧
（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背离截面时取正号，外力指向截面 时取负号。
F2
16KN FN (x)
6KN
+ 14KN
+
x
§4.2 解：（1 ）计算D 端 支座反力。由整体受力 图建立平衡方程：
截面法、轴力与轴力图
F2
Fx 0
FD F1 F2 F3 0
FD F2 F3 F1 14kN
(2）分段计算轴力 将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分别用 FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设为拉力，由 平衡方程分别求得：
＊拉伸的初始阶段（OA）， 曲线为一直线，直线段最高点A所对应
的应力称为比例极限，用 P 表示。
率， σ e
＊应力与应变成正比，即满足胡克定律。 E ,弹性模量E是直线OA的斜
即 E tan 。 σ P
＊图中的A A段，应力超过比例极限 P ， 与 不再是线性关系。但当应
CD FN l CD 10 10 3 0.1 1.67 10 5 m 9 6 EACD 200 10 300 10
(3)计算杆的总变形量。
Δl Δl AB Δl BC ΔlCD (2 1 1.67) 105 0.0067mm
l l d d

☆线应变表示杆件的相对变形。 , 的正负号分别与 l , d 的正负号 一致。
, 存在正比关系，且符号相反。 ☆当应力不超过某一限度时， v 。v 称为材料的横向变形系数，或称泊松比。 即：
§4.4 4.4.2
轴向拉压杆的变形
☆横截面上的正应力：横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上 的轴力FN一致，且垂直于横截面，故称为正应力。其计算公式为

FN A
式中A为杆横截面面积。
§4.3
横截面上的应力
例4.3
如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN，b=20mm。求杆内最大正应力。 解: （1）计算轴力。用截面法 求得各截面上的轴力均为
kN，AB段的轴力
FNAB 20
kN。
（2）计算各段杆的变形量。
Δl BC
BC FN l BC 10 10 3 0.1 5 1 10 m 9 6 EABC 200 10 500 10
Δl AB
Δl CD
AB FN l AB 20 10 3 0.1 5 2 10 m 9 6 EAAB 200 10 500 10
FN 1 F1 16 kN FN 2 F1 F2 16 10 6 kN
FN 3 FD 14 kN
§4.2
截面法、轴力与轴力图
总结：
① ☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量”；可
见内力的大小应完全取决于外力；外力解除，内力也随之消失。
☆杆件横截面上内力的大小及其在杆件内部的分布规律随外力的改
AB CD
FNAB 20 103 MPa 40MPa AAB 500 FNCD 10 103 MPa 33.3MPa ACD 300
可见AB段内横截面上的正应力最大，其值为40MPa。
§4.4 轴向拉压杆的变形 4.4.1 纵向线应变和横向线应变 杆件受拉作用时的变形
BC，此时应力几乎不变，而应变却显著增大，暂时失去抵抗变形的能力，这种
现象称为屈服或流动。
在想要计算内力的那个截面，假想将杆件截开，留下研究对象，
弃去另一部分。 （2）替代 以作用力（即欲求算的内力）替代弃去部分对研究对象的作用。 （3）求算 画研究对象的受力图，用平衡方程由已知外力求算内力。
＊轴力：由于外力的作用线与杆的轴线重合，内力的作用线也必通过杆件 的轴线并与横截面垂直，故轴向拉伸或压缩时杆件横截面上的内力称为轴力。 ☆轴力正负号规定：轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，轴力为 正，反之为负。既杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。一般计算时可先 假设轴力为正，再由计算结果确定其实际方向。
§4.3
横截面上的应力
4.3.2
横截面上的正应力
观察杆件受轴向拉伸时的变形情况。
两横截面A和B，杆件发生伸长变形后，平行移动到A´ 和B´位置 （图b），且仍与杆轴线垂直。
§4.3 横截面上的应力 ☆根据上述观察分析，可作如下假设：横截面在杆件变形后仍保持为垂直 于杆轴线的平面，仅沿轴线产生了相对平移。
杆件强度的大小与分布内力在 截面上每一点处的集度有关。 ＊应力：分布内力在截面上某
一点处的集度称为应力。
为确定杆件某一截面m-m（上任意一点K处的应力，在截面上任一点K周围 取微小面积,设ΔA ,设 ΔA 面积上分布内力的合力为FR ,则比值FR A 称为面
积
上的平均应力。用pm表示 即,
pm
第4 章
轴向拉伸和压缩
☆分析轴向拉（压）时杆件的受力特点和变形情况，介绍材料 力学分析内力的基本方法——截面法。
☆通过对拉（压）杆的应力和变形分析，解决拉（压）杆的强 度和刚度计算问题。 §4.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
§4.2 截面法、轴力与轴力图 §4.3 横截面上的应力 §4.4 轴向拉压杆的变形 胡克定律 §4.5 材料在轴向拉压时的力学性能 §4.6 轴向拉压杆的强度计算
§4.5
材料在轴向拉压时的力学性能
4.5.1
拉伸试验和应力－应变曲线