【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习

专题十一 等差数列与等比数列题型一| 数列的概念及其表示(1)(2016·无锡期末)对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.[解题指导] (1)b n ＋1－b n ＝1――→等差数列定义求b n ――→a n ＋1－a n ＝b n求a n(2)S n ＋1＝2S n ＋1――→构造法求S n ――→a n 与S n 的关系求a n (1)n 2－11n ＋262 (2)⎩⎨⎧ 2，3·2n －2，n ＝1，n ≥2[(1)∵a 3＝1，a 4＝－1，∴b 3＝a 4－a 3＝－2.又b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }是等差数列， ∴b n ＝b 3＋(n －3)×1＝－2＋(n －3)×1＝n －5. ∴a n ＋1－a n ＝n －5.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 4－a 3)＋a 3 ＝(n －6)＋(n －7)＋…＋(－2)＋1 ＝(n －3)(－2＋n －6)2＋1＝n 2－11n ＋262.(2)依题意得S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，因此数列{S n ＋1}是以S 1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，S n ＋1＝3×2n －1，S n ＝3×2n －1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3·2n －2，又a 1＝2，因此a n ＝⎩⎨⎧ 2，3·2n －2，n ＝1，n ≥2.]【名师点评】 1.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.在形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(a n ＋1＋x )＝p (a n＋x )，再由等量关系求得x ，实现构造.,3.在形如“a n ＋1a n ＝f (n )”的数列中，通常用累积法求a n ，即a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1.,4.在形如“a n ＋1－a n ＝f (n )”的数列中，通常用累加法求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 2n －1 [由S n ＝2a n －n ①，得S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2)②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－1(n ≥2)，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2， 又a 1＝1，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.]2．数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n ＝1(n ≥2)．则a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2 [由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n ＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列，所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n＝－2n (n ＋1).因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.]题型二| 等差、等比数列的基本运算(1)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)如图11-1，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.图11-1(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2的值为________．(1)4 (2)14 (3)129 [(1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.(2)根据题意易知a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，所以{a n }构成以a 1＝2为首项，以q ＝22为公比的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.(3)设公比为q ，由2a 3＝a 4＋a 5，即2a 3＝a 3q ＋a 3q 2，解得q ＝－2或q ＝1(舍去，因为S k 与S k ＋1异号)，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－96，a k ＋2＝a k ＋1q ＝192，S k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋2＝－63＋192＝129.]【名师点评】 等差(比)数列基本运算中的关注点 1.基本量.在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本量. 2.解题思路.(1)求公差d (公比q )：常用公式a n ＝a m ＋(n －m )d (a n ＝a m q n －m )；(2)列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量.1．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.3 [由a 2＋a 6＝a 8，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ，S 5a 5＝5a 3a 1＋4d ＝5(a 1＋2d )a 1＋4d＝15d5d ＝3.]2．(2016·苏州期中)等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.4 [由⎩⎨⎧a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，a 4－a 2＝a 1q (q 2－1)＝6，得2q 2－5q ＋2＝0， 即q ＝2.代入a 5－a 1＝15得a 1＝1. ∴a 3＝a 1q 2＝1×22＝4.]3．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．33 [由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1；a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33.]4．已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)，则∑i ＝1n 1a i＝________.【导学号：91632035】有2·3n －n －24 [由已知，2－a n ＋1＝12a n ＋6， 化简得(2－a n ＋1)(a n ＋6)＝12， 即1a n ＋1＝3×1a n＋12，令b n ＝1a n ，则b n ＋1＝3b n ＋12，得b n ＋1＋14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋14是等比数列，b 1＋14＝1，公比为3，所以b n ＋14＝1×3n －1，故b n ＝3n －1－14，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1－3n 1－3－14n ＝2·3n －n －24，所以∑i ＝1n1a i ＝2·3n －n －24.]题型三| 等差、等比数列的性质及应用(1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．(3)等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.(1)5 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 (3)16 [(1)由等比数列的性质知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4⇒a 3＝2，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 2a 53＝5log 22＝5.(2)由题意知d <0且⎩⎨⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.(3)在等差数列中，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得2(a 3＋a 11)－a 27＝0,4a 7－a 27＝0，则a 7＝0或a 7＝4，又因{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则a 7＝0(舍)，a 7＝4，又由b 7＝4得b 6b 8＝b 27＝16.]【名师点评】 1.等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题，有时利用数列的单调性(d >0，递增；d <0，递减)．2．等差、等比数列的性质1．(2016·南通二调)在等比数列{a n }中， a 2＝1，公比q ≠±1.若a 1,4a 3,7a 5成等差数列，则a 6的值是________．149 [由题意可知 8a 3＝a 1＋7a 5， ∴8q 2＝1＋7q 4，解得q 2＝17或q 2＝1(舍去)．又a 2＝1，故a 6＝a 2q 4＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝149.]2．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 2＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4＝________.94 [由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 6S 4＝94.]3．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________． 5972 [易得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43，而y ＝S n－1S n 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤89，43上单调递增， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1772，712⊆[A ，B ]，因此B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1772＝5972.]。

专题十四 高考中的立体几何题型一| 空间位置关系的证明(2016·江苏高考)如图14-1，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.图14-1求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . [解题指导] (1)DE 是△ABC 的中位线――→中位线的性质DE ∥AC ――→平行的传递性DE ∥A 1C 1线面平行的判定DE ∥平面A 1C 1F(2)A 1C 1⊥A 1B 1――→直棱柱的性质A 1C 1⊥平面ABB 1A 1―→A 1C 1⊥B 1D――→B 1D ⊥A 1FB 1D ⊥平面A 1C 1F ―→平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F[证明] (1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC . 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1.2分又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .4分(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.6分又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.8分 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .10分又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .12分 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .14分【名师点评】 1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直.2.证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.1．(2016·苏锡常镇调研一)如图14-2，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，M 是棱AD 的中点，N 是棱PC 的中点．图14-2(1)求证：MN ∥平面P AB ；(2)若平面PMC ⊥平面P AD ，求证：CM ⊥AD .[证明] (1)取PB 中点E ，连结EA ，EN ，NM ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，得EN ∥AM ，EN ＝AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， 4分得MN ∥AE ，MN ⊄平面P AB ，AE ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .6分 (2)过点A 作PM 的垂线，垂足为H .∵平面PMC ⊥平面P AD ，平面PMC ∩平面P AD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH⊂平面P AD，∴AH⊥平面PMC，∵CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM. 12分∵P A⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴P A⊥CM.∵P A∩AH＝A，P A，AH⊂平面P AD，∴CM⊥平面P AD.∵AD⊂平面P AD，∴CM⊥AD. 14分2．如图14-3，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，P A⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：图14-3(1)PB∥平面EAC；(2)平面P AD⊥平面ABCD.[证明](1)连结BD与AC相交于点O，连结OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点. 3分因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC. 6分(2)因为P A⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以P A⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 10分因为P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD. 14分3．如图14-4，正三棱柱ABC-A1B1C1，点D，E分别是A1C，AB的中点．图14-4(1)求证：DE∥平面BB1C1C；(2)若AB＝2BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.[证明](1)连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点. 3分在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.因为DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以DE∥平面BB1C1C. 6分(2)因为△ABC是正三角形，E是AB的中点．所以CE⊥AB.又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1，从而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因为A1B1B1B＝2＝B1BBE，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，12分从而∠B1A1B＝∠BB1E，因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，所以A1B⊥B1E.又因为CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE. 14分题型二| 空间几何体的体积计算如图14-5，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．图14-5(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．【导学号：91632044】[解](1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC. 2分又G为AD的中点，所以CG⊥AD. 3分同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC. 5分又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. 7分(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC. 9分又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 11分在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D-BCG＝V G-BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12. 14分【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.3.在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关系，例如本例中点A、点G到平面BCD的距离的关系.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．图14-6(1)求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；(2)若AD＝3，AB＝BC＝2，P为AC中点，求三棱锥P-A1BC的体积．[解](1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AD⊥平面A1BC，∴AD⊥BC. 3分∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ABB1A1.又∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABB1A1. 6分(2)法一：由等积变换得V P-A1BC＝V A1-PBC，在Rt△A1AB中，由射影定理知AA1＝2 3.∵AA1⊥平面PBC，∴三棱锥的高为AA1＝2 3. 12分又∵底面积S△PBC＝1，∴V P-A1BC＝V A1-PBC＝13S△PBC×AA1＝233. 14分法二：连结CD，取CD中点Q，连结PQ.∵P为AC的中点，∴PQ∥AD，PQ＝12AD.∵AD＝3，∴PQ＝32，12分由(1)知AD⊥平面A1BC，∴PQ⊥平面A1BC，∴PQ为三棱锥P-A1BC的高，又由(1)知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥BA1，∴S△A1BC＝4.∴V P-A1BC＝233. 14分。

专题限时集训(六) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(建议用时：45分钟)1．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.1分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2， 2分所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2).3分 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.5分故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增. 6分 (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.7分①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值.10分②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值.12分又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值.14分2．已知函数f (x )＝ax －2x －3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．【导学号：91632019】[解] (1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ， 由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.2分由f (x )＝x －2x －3ln x ，∴f ′(x )＝(x －1)(x －2)x 2.由f ′(x )＝0，得x ＝2. 4分 于是可得下表：min (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x >0)，8分由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，10分则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h (0)>0，13分解得0<a <98.14分3．如图6-4，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.图6-4(1)求x 的取值范围；(运算中2取1.4)(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？[解](1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，2分解得⎩⎨⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，4分即9≤x ≤15.6分(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得 y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，8分令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，10分由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15， 列表如下：即当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分4．(理)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x ＞0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [解] (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.1分 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞). 2分①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 3分 ②当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． a ．当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 4分b ．当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12， 所以x 1＜－14，x 2＞－14.5分 由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 6分 因此，函数有两个极值点． c ．当a ＜0时，Δ＞0， 由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 所以函数有一个极值点.7分 综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点. 8分 (2)由(1)知，①当0≤a≤89时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意. 9分②当89＜a≤1时，由g(0)≥0，得x2≤0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意. 10分③当a＞1时，由g(0)＜0，可得x2＞0.所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减．因为f(0)＝0，所以x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不合题意. 11分④当a＜0时，设h(x)＝x－ln(x＋1)．因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增. 12分因此，当x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0，即ln(x＋1)＜x.可得f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，当x＞1－1a时，ax2＋(1－a)x＜0，此时f(x)＜0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是[0,1]. 14分4．设函数f(x)＝e xx2－k2x＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．[解](1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x2e x－2x e xx4－k⎝⎛⎭⎪⎫－2x2＋1x＝x e x－2e xx3－k(x－2)x2＝(x－2)(e x－kx)x3. 2分由k ≤0可得e x －kx >0，3分所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞). 6分(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；7分 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞). 8分 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点. 10分 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； 11分 x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎨⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.13分综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.14分5．(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝ln x ＋a ＋e －2x (a ＞0)． (1)当a ＝2时，求出函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥a 对于x ＞0的一切值恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，函数f (x )＝ln x ＋ex ， 1分 所以f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex 2，2分所以当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，则函数f(x)在(0，e)上单调递减； 3分当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，则函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增. 4分(2)由题意知ln x＋a＋e－2x≥a恒成立，5分原式等价于x ln x＋a＋e－2－ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x ln x＋a＋e－2－ax，6分因为g′(x)＝ln x＋1－a，令g′(x)＝0，得x＝e a－1，a1a1a1 8分令t(x)＝x＋e－2－e x－1，因为t′(x)＝1－e x－1，令t′(x)＝0，得x＝1，且所以当a∈(0,1)时，g(x)的最小值t(a)＞t(0)＝e－2－1e＝e＞0，12分当a∈[1，＋∞)时，g(x)的最小值为t(a)＝a＋e－2－e a－1≥0＝t(2)，所以a∈[1,2]. 14分6．(2016·苏北三市三模)已知函数f(x)＝e xe x，g(x)＝ax－2ln x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的极值；(2)若在区间[0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求a的取值范围．[解](1)因为f(x)＝e xe x，所以f′(x)＝(1－x)ee x，令f ′(x )＝0，得x ＝1.2分当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以f (x )在x ＝1时取得极大值f (1)＝1，无极小值.5分(2)由(1)知，当x ∈(0,1)时，f (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，f (x )单调递减． 又因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (e)＝e·e 1－e ＞0， 所以当x ∈(0，e]时，函数f (x )的值域为(0,1].7分当a ＝0时，g (x )＝－2ln x 在(0，e]上单调，不合题意； 当a ≠0时，g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x ，x ∈(0，e]， 故必须满足0＜2a ＜e ，所以a ＞2e .8分 此时，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以x →0，g (x )→＋∞，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2－a －2ln 2a ，g (e)＝a (e －1)－2.所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，10分使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ≤0，g (e )≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a (e －1)－2≥1.令m (a )＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞，m ′(a )＝－a －2a ，由m ′(a )＝0，得a ＝2.12分当a ∈(2，＋∞)时，m ′(a )＜0，函数m (a )单调递减；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，2时，m ′(a )＞0，函数m (a )单调递增．所以，对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞有m (a )≤m (2)＝0，即2－a －2ln 2a ≤0对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞恒成立．由a (e －1)－2≥1，解得a ≥3e －1. 13分综上所述，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0). 14分。

2017年高考仿真原创押题卷(三) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝() A．(2, 3] B.(－∞，1]∪(2，＋∞)C.1,2)D.(－∞，0)∪1，＋∞)D因为∁U A＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪1，＋∞)．]2．已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A．0 B.－2 5iC.－25 D.25D因为a＋b i＝i2＋i －i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25.]3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q的必要不充分条件．] 4．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()图1①②③④A ．①④ B.②③ C.②④D.①②A 由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①④符合题意．]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( )A ．(2,4) B.(2,4] C.2,4)D.(2，＋∞)A 椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2，整理得c ＜2a ，∴a ＞2.又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)．]6．若数列{a n }满足1a n －1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝()A ．10 B.20 C.30 D.40B由题意知，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列．又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2，∴x 1＋x 20＝20.又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.]7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( )【导学号：85952100】A.25B.2－1C.2425D.1D满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示．∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1表示(－1,0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1.]8．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6C 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0,0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．]9．程序框图如图2所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )图2A ．2 B.－12 C.－3D.13A 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；……，可知S 值周期性出现，周期为4，当i ＝2 017＝4×504＋1时，结束循环输出S ，即输出的S ＝2.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C ，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列 C.a,2b,3c 成等差数列 D ．a,2b,3c 成等比数列B ∵cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC ，∴1－cos 2B ＝cos B ＋cos A cos C ，即sin 2B ＝－cos(A ＋C )＋cos A cos C ＝sin A sin C ，由正弦定理可知：b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列．故选B.]11．已知双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点为F (2,0)，且经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，△ABC 的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k i ≠0，i ＝1,2,3.若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为－1.则1k 1＋1k 2＋1k 3的值为( )A ．－1 B.－12 C.1D.12B 由题易知a ＝233，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝43，b 2＝83，所以T 为：3x 24－3y 28＝1.已知k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 214－3y 218＝1，3x 224－3y 228＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22y 1＋y 22.即k 1＝2kOM⇒k OM ＝2k 1，同理k ON ＝2k 2，k OP ＝2k 3.由k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1，所以2k 1＋2k 2＋2k 3＝－1， 即1k 1＋1k 2＋1k 3＝－12，故选B.]12．如图3，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M -P AB ，M -PBC ，M -P AC 的体积，若f (M )＝(1，x,4y )，且1x ＋ay ≥8恒成立，则正实数a 的最小值是( )【导学号：85952101】图3A ．2－ 2 B.22－12C.9－424D.6－4 2C ∵P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2， ∴V P -ABC＝13×12×3×2×2＝2＝1＋x ＋4y ，即x ＋4y ＝1.∵1x ＋a y ≥8恒成立，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋4y )＝1＋ax y ＋4y x ＋4a ≥1＋4a ＋4a ≥8，解得a ≥9－424，∴正实数a 的最小值为9－424.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.1 由题意知(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k －1＋(k －1)a·b ＝0， ∴(k －1)(1＋a·b )＝0.又∵1＋a·b ＝0不恒成立，∴k ＝1.]14．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.13因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1.又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13.]15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1，则函数h (x )＝2f (x )－g (x )在点(0，h (0))处的切线方程是________．x －y ＋4＝0 由f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1知f (－x )－g (－x )＝e －x ＋x 2＋1， 即f (x )＋g (x )＝e －x ＋x 2＋1，∴f (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋22，g (x )＝e －x －e x2，∴h (x )＝2f (x )－g (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋2－e －x －e x 2＝32e x ＋12e －x ＋2x 2＋2，∴h ′(x )＝32e x ＋12e －x ·(－1)＋4x ，∴h ′(0)＝32－12＝1.又∵h (0)＝4， ∴切线方程是x －y ＋4＝0.]16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是0,2]，则实数a 的取值范围是________．1，3] 函数图象如图所示：∴1≤a≤ 3.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin C2＝104.(1)求cos C的值；(2)若△ABC的面积为3154，且sin2A＋sin2B＝1316sin2C，求a，b及c的值.【导学号：85952102】解](1) 因为sinC2＝104，所以cos C＝1－2sin2C2＝－14.4分(2) 因为sin2A＋sin2B＝1316sin2C，由正弦定理得a2＋b2＝1316c2.①6分由余弦定理得a2＋b2＝c2＋2ab cos C，将cos C＝－14代入，得ab＝38c2，②8分由S△ABC＝3154及sin C＝1－cos2C＝154，得ab＝6.③10分由①②③得⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.经检验，满足题意．所以⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.12分18.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生(1)从表2人中恰有1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表：解](1)则m500＝45500＋400，m＝25，∴x＝25－20＝5，y＝20－18＝2.2分表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共10种.4分设事件C表示“从表2的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，∴P(C)＝610＝35，故所求概率为35.6分(2)8分∵1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，而K 2＝45(15×5－15×10)230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，10分∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.12分19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2a ，DA ＝3a ，E 为BC 中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使P A ∥平面BDF ？若存在，请找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由．图--【证明】 (1)连接BD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°， AB ＝a ，DA ＝3a ， 所以BD ＝DC ＝2a ，2分 E 为BC 中点， 所以BC ⊥DE .又因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PD .4分 因为DE ∩PD ＝D ， 所以BC ⊥平面PDE .因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE.6分(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时，P A∥平面BDF.8分连接AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD.又因为AB＝12DC，所以AO＝12OC，10分从而在△CP A中，AO＝13AC，而PF＝13PC，所以OF∥P A，而OF⊂平面BDF，P A⊄平面BDF，所以P A∥平面BDF.12分20．(本小题满分12分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．图6(1)求椭圆C的方程；(2)点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则由题意可知b＝2 3.2分由ca＝12，a2＝c2＋b2，得a＝4.∴椭圆C的方程为x216＋y212＝1.4分(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝12x＋t，5分代入x216＋y212＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0.6分由Δ＞0，解得－4＜t＜4.由韦达定理得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝348－3t 2， ∴当t ＝0，S max ＝12 3.8分②由∠APQ ＝∠BPQ ，可知P A ，PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0. ∴x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2.9分 同理，PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k 2.10分 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2 ＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12. 所以AB 的斜率为定值12.12分21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln ax －x －a x (a ≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数).【导学号：85952103】解] (1)由题意f ′(x )＝x －a x 2.2分当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值.4分当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值. 6分(2)证明：取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln e x ，10分取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．解] (1) C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a .3分因为曲线C 1关于曲线C 2对称，所以a ＝1，C 2：y ＝1.5分(2)|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，6分 |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，7分 |OC |＝22sin φ，8分|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，9分 所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解] (1)因为|x －a |≤m ，所以 a －m ≤x ≤a ＋m ，3分所以⎩⎨⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得a ＝2，m ＝3.5分(2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，6分 当x ≥2时，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，∴舍去；7分当0≤x ＜2时，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立；8分当x ＜0时，2－x ＋t ≥－x ，成立.9分所以原不等式的解集是 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.10分。

2017年高考仿真原创押题卷(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}，N＝{x|x－1＜0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤1}C.{x|－2＜x≤1}D.{x|x＜－2}A M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则M∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.]2．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝()A．3＋3i B.－1＋3iC.3＋iD.－1＋iC复数(1－i)(1＋2i)＝1＋2－i＋2i＝3＋i.故选C.]3．已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)的值为()【导学号：85952090】A．1 B.－1C.2D.－2B函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)＝－f(－1)＝－(2×12－1)＝－1.故选B.]4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2D设M在双曲线x2a2－y2b2＝1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为(－2a，3a)，代入双曲线方程可得，4a2a2－3a2b2＝1，可得a＝b，c＝a2＋b2＝2a，即有e＝ca＝ 2.故选D.]5．(2016·黄冈模拟)若a ，b ∈{－1,0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为( )A.1316 B.78 C.34D.58A 法一 显然总的方法总数为16种．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋b ，显然b ∈{－1,0,1,2}时，原函数必有零点，所以有4种取法；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 为二次函数，若f (x )有零点须Δ≥0，即ab ≤1，所以a ，b 取值组成的数对分别为(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)共9种，综上符合条件的概率为9＋416＝1316，故选A.法二 (排除法)总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有a ≠0且Δ<0，即ab >1，所以此时a ，b 取值组成的数对分别为：(1,2)，(2,1)，(2,2)共3种，所以所求有零点的概率为：1－316＝1316，故选A.]6．在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2 θ－cos 2 θ的值等于( )图1A ．1 B.－725 C.725D.－2425B 依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ.∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝ 125. 又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝15.又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125， ∴2cos θsin θ＝2425，∴1＋2sin θcos θ＝4925， 即(cos θ＋sin θ)2＝4925，∴cos θ＋sin θ＝75，∴sin 2 θ－cos 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－15×75＝－725， 故选B.] 7．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．3 B.－3 C.13D.－13B ∵a ∥b ，∴cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－12， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－3，故选B.]8．下面命题中假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x ＞0B ．∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin βC.∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＞3x ” D 对于A ，根据指数函数的性质可知，∀x ∈R,3x ＞0，∴A 正确． 对于B ，当α＝β＝0时，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β＝0，∴B 正确． 对于C ，当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 3，且在(0，＋∞)上单调递增，∴C 正确． 对于D ，命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，∴D 错误．故选D.]9．执行如图2所示的程序框图，则输出的S ＝( )图2A ．1 023 B.512 C.511D.255C 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S ＝20＋21＋22＋23＋…＋28＝1－291－2＝29－1＝511.故选C.]10.如图3，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )图3A ．y 2＝9xB ．y 2＝6x C.y 2＝3x D ．y 2＝3xC 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°.连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32， ∴抛物线方程为y 2＝3x .故选C.]11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图4所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )【导学号：85952091】图4A ．29π B.30π C.29π2D.216πA 由三视图复原几何体，几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径d ＝42＋22＋32＝29，球的半径R ＝292.该三棱锥的外接球的表面积S ＝4×π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π，故选A.]12．(2015·南昌二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－x )，x ≤0，log 5x ，x ＞0，函数g (x )是周期为2的偶函数，且当x ∈0,1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5 B.6 C.7D.8C 由题意作函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，log 5x ，x ＞0及函数g (x )的图象如下，结合图象可知，函数f (x )与g (x )的图象共有6个交点， 故函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点个数为6， 故选C.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2016·唐山期末)若(x 2＋ax ＋1)6(a ＞0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0a sinx d x 的值为________．1－cos 2 由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2. 故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)． 故⎠⎛0a sin x d x ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x)|20＝1－cos 2.] 14．已知p ：－2≤x ≤11，q ：1－3m ≤x ≤3＋m(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．8，＋∞) 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，但qD ⇒/p ， 即⎩⎨⎧ 1－3m ≤－2，3＋m ≥11，即⎩⎨⎧m ≥1，m ≥8，所以m ≥8.] 15．如图5，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝60°，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，则BE →·BF→＝________.图5138 BE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12CD →＝BA →·BC →＋12BA →·CD →＋12AD →·BC →＋14AD →·CD→＝1×1×cos 60°＋12×1×1＋12×1×1＋14×1×1×cos 60°＝32＋18＝138.]16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c cos B ＝2a ＋b ，△ABC 的面积为S ＝312c ，则ab 的最小值为________.【导学号：85952092】13 在△ABC 中，由条件及正弦定理可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin (B ＋C )＋sin B ，即 2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0，∴cos C ＝－12，C ＝2π3. 由于△ABC 的面积为S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝312c ， ∴c ＝3ab .再由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，整理可得9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴ab ≥13.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解] (1)设{a n }是公比为q 大于1的等比数列， ∵a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，∴6a 2＝a 3＋4＋a 1＋3，化为6a 1q ＝a 1q 2＋7＋a 1.4分 又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7. 联立解得a 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝2n －1.6分(2)b n ＝ln a n ＝(n －1)ln 2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n (n －1)2ln 2.12分18．(本小题满分12分)性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：(单位：名)(1)从这606的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？(2)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．(精确到0.001)(3)从(1)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解] (1)抽样比为660＝110，则样本中喜爱的观众有40×110＝4名；不喜爱的观众有6－4＝2名.4分 (2)假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，K 2＝140×(60×20－40×20)280×60×100×40＝224192≈1.167＜5.024.所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.8分(3)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2，则基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a,1)，(a,2)，(b ，c )，(b ，d )，(b,1)，(b,2)，(c ，d )，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 故其概率为P (A )＝615＝0.4.12分19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1， (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求三棱锥D -AA 1C 1的体积．图--解] (1)证明：∵AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ⊥BC. ∵BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥BC 1. 4分(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE . ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴E 是BC 1的中点． ∵D 是AB 的中点，∴DE ∥AC 1.又∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.8分(3)VB -AA 1C 1＝VB -ACC 1＝VC 1-ABC ＝13S △ABC ·CC 1＝13×12×3×4×4＝8. ∵D 是AB 的中点，∴VD -AA 1C 1＝12VB -AA 1C 1＝4.12分20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值.【导学号：85952093】解] (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2， 得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，因为点M 在第一象限且MF 2⊥x 轴， 可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c ，由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.4分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0， 由Δ＞0，即144k 2－24(3k 2＋2)＞0， 可得3k 2－2＞0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2，所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2.8分因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2.①令3k 2－2＝t ，由①知t ∈(0，＋∞)， 可得S ＝26tt ＋4＝26tt 2＋8t ＋16＝26t ＋16t ＋8≤62， 所以t ＝4时，面积最大为62.12分 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝mx ＋1＋n ln x (m ，n 为常数)在x ＝1处的切线为x ＋y －2＝0.(1)求y ＝f (x )的单调区间；(2)若任意实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，使得对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒有f (x )≥t 3－t 2－2at ＋2成立，求实数a 的取值范围．解] (1)f (x )＝m x ＋1＋n ln x 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝－m (x ＋1)2＋n x， ∴f ′(1)＝－m 4＋n ＝－1， 把x ＝1代入x ＋y －2＝0可得y ＝1，∴f (1)＝m 2＝1，∴m ＝2，n ＝－12， ∴f (x )＝2x ＋1－12ln x ，f ′(x )＝－2(x ＋1)2－12x. ∵x ＞0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )的递减区间是(0，＋∞)，无递增区间.4分(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上的最小值为f (1)＝1， ∴只需t 3－t 2－2at ＋2≤1，即2a ≥t 2－t ＋1t 对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立.6分 令g (t )＝t 2－t ＋1t ，则g ′(t )＝2t －1－1t 2＝2t 3－t 2－1t 2. ∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴2t 3－t 2－1＝(t －1)(2t 2＋t ＋1)， ∴在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上g (t )单调递减，在1,2]上g (t )单调递增.10分 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝74，g (2)＝52，∴g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是52， ∴只需2a ≥52，即a ≥54，∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若P (－2，－4)，求|PM |＋|PN |的值．解] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，2分用代入法消去参数求得直线l 的普通方程为x －y －2＝0.5分(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝4x ，得到t 2－122t ＋48＝0，6分设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，8分则 t 1＋t 2＝122，t 1·t 2＝48，∴|PM |＋|PN |＝|t 1＋t 2|＝12 2.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ＞1)，且f (x )的最小值为3.(1)求a 的值；(2)若f (x )≤5，求满足条件的x 的集合．解] (1)函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |表示数轴上的x 对应点到4，a 对应点的距离之和，它的最小值为|a －4|＝3，4分再结合a ＞1，可得a ＝7.5分(2)f (x )＝|x －4|＋|x －7|＝⎩⎨⎧ －2x ＋11，x ＜4，3，4≤x ≤7，2x －11，x ＞7.6分 故由f (x )≤5可得⎩⎨⎧ x ＜4，－2x ＋11≤5，① 或⎩⎨⎧ 4≤x ≤7，3≤5，② 或⎩⎨⎧x ＞7，2x －11≤5.③8分 解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x ≤7，解③求得7＜x ≤8，综上，不等式的解集为3,8].10分。

专题十二 高考中的数列题型一| 等差、等比数列的判定与证明(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.[证明] (1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .1分 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4， 2分即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .4分 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *， 有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .6分 (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1， 即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1). 8分令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③10分由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.14分若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.16分【名师点评】 证明(或判断)数列是等差(比)数列的基本方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 是非零常数)⇒{a n }是等比数列；(2)等差(比)中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)⇒{a n }是等比数列.(2016·南通三模)已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列；(3)若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.[解] (1)由a 1＝1，b n ＝n2，知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8.3分(2)证明：法一：因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，所以a 1q nb n ＝a 1(1－q n)1－q ＋1，所以q nb n ＝11－q ＋1a 1－q n1－q，即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －11－q ， 5分所以存在实数λ＝11－q，使得b n＋λ＝⎝⎛⎭⎪⎫11－q＋1a1⎝⎛⎭⎪⎫1qn，又因为b n＋λ≠0(否则{b n}为常数数列与题意不符)，所以当n≥2，b n＋λb n－1＋λ＝1q，此时{b n＋λ}为等比数列，所以存在实数λ＝11－q，使{b n＋λ}为等比数列. 10分法二：因为a n＋1b n＝S n＋1，①所以当n≥2时，a n b n－1＝S n－1＋1，②①－②得，当n≥2时，a n＋1b n－a n b n－1＝a n，③由③得，当n≥2时，b n＝a na n＋1b n－1＋a na n＋1＝1q b n－1＋1q，5分所以b n＋11－q ＝1q⎝⎛⎭⎪⎫b n－1＋11－q，又因为b n＋11－q≠0(否则{b n}为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝11－q，使{b n＋λ}为等比数列. 10分(3)证明：因为{b n}为公差为d的等差数列，所以由③得，当n≥2时，a n＋1b n －a n(b n－d)＝a n，即(a n＋1－a n)b n＝(1－d)a n，因为{a n}，{b n}各项均不相等，所以a n＋1－a n≠0,1－d≠0，所以当n≥2时，b n1－d＝a na n＋1－a n，④当n≥3时，b n－11－d＝a n－1a n－a n－1，⑤由④－⑤，得当n≥3时a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝b n－b n－11－d＝d1－d，⑥12分先证充分性：即由d＝12证明a2，a3，…，a n，…成等差数列，因为d＝12，由⑥得a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝1，所以当n≥3时，a na n＋1－a n－1＝a n－1a n－a n－1，又a n ≠0，所以an ＋1－a n ＝a n －a n －1， 即a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列．再证必要性：即由a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列证明d ＝12，14分因为a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列，所以当n ≥3时，a n ＋1－a n ＝a n －a n －1， 所以由⑥得，a n a n ＋1－a n －a n －1a n －a n －1＝a n a n －a n －1－a n －1a n －a n －1＝1＝d1－d，所以d ＝12，所以a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.16分题型二| 数列中的新定义问题(2014·江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”； (2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．[解] (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”.4分(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ， 即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 6分 因为d <0，所以m －2<0， 故m ＝1.从而d ＝－1.7分 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n (3－n )2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n (3－n )2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.10分(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 12分下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n (n ＋1)2a 1(n ∈N *)． 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n (n ＋1)2， 使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”. 14分 同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.16分 【名师点评】 本例先给出“H 数列”的定义，在此基础上，借助a n 与S n 的关系及等差数列的有关知识对所给命题进行论证，重在考查学生接受新知识及应用已知知识解决问题的能力.(2016·南通调研)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ①求数列{a n }的通项公式；②试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”．[解] (1)①由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． 所以a n －1＝2n －1.所以，数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1＋1. 3分②数列{a n}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列{a n}是“等比源数列”，则存在三项a m，a n，a k(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列．因为a n＝2n－1＋1，所以a m＜a n＜a k.所以a2n＝a m·a k，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾．所以，数列{a n}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上可得，数列{a n}不是“等比源数列”. 6分(2)不妨设等差数列{a n}的公差d≥0.当d＝0时，等差数列{a n}为非零常数数列，数列{a n}为“等比源数列”．当d＞0时，因为a n∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{a n}中必有一项a m ＞0. 12分为了使得{a n}为“等比源数列”，只需要{a n}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得a2n＝a m a k成立，14分即[a m＋(n－m)d]2＝a m[a m＋(k－m)d]，即(n－m)[2a m＋(n－m)d]＝a m(k－m)成立．当n＝a m＋m，k＝2a m＋a m d＋m时，上式成立．所以{a n}中存在a m，a n，a k 成等比数列．所以，数列{a n}为“等比源数列”. 16分题型三| 数列的综合应用已知数列{a n}满足a1＝x，a2＝3x，S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和．(1)若数列{a n}为等差数列．①求数列的通项a n；②若数列{b n}满足b n＝2a n，数列{c n}满足c n＝t2b n＋2－tb n＋1－b n，试比较数列{b n}前n项和B n与{c n}前n项和C n的大小．(2)若对任意n∈N*，a n<a n＋1恒成立，求实数x的取值范围．[解](1)①因为S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，所以S3＋S2＋S1＝14，即a3＋2a2＋3a1＝14，又a1＝x，a2＝3x，所以a3＝14－9x，又因为数列{a n}成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，即6x＝x＋(14－9x)，解得x ＝1，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*). 4分②因为a n＝2n－1(n∈N*)，所以b n＝2a n＝22n－1>0，其前n项和B n>0，又因为c n＝t2b n＋2－tb n＋1－b n＝(16t2－4t－1)b n，所以其前n项和C n＝(16t2－4t－1)B n，所以C n－B n＝2(8t2－2t－1)B n，6分当t<－14或t>12时，C n>B n；当t＝－14或t＝12时，C n＝B n；当－14<t<12时，C n<B n. 9分(2)由S n＋1＋S n＋S n－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)知S n＋2＋S n＋1＋S n＝3(n＋1)2＋2(n∈N*)，两式作差，得a n＋2＋a n＋1＋a n＝6n＋3(n≥2，n∈N*)，11分所以a n＋3＋a n＋2＋a n＋1＝6(n＋1)＋3(n∈N*)，再作差得a n＋3－a n＝6(n≥2，n∈N*)，12分所以，当n＝1时，a n＝a1＝x；当n＝3k－1时，a n＝a3k－1＝a2＋(k－1)×6＝3x＋6k－6；当n＝3k时，a n＝a3k＝a3＋(k－1)×6＝14－9x＋6k－6＝6k－9x＋8；当n＝3k＋1时，a n＝a3k＋1＝a4＋(k－1)×6＝1＋6x＋6k－6＝6k＋6x－5；当n＝3k＋2时，a n＝a3k＋2＝a5＋(k－1)×6＝6＋3x＋6k－6＝6k＋3x.因为对任意n∈N*，a n<a n＋1恒成立，所以a1<a2且a3k－1<a3k<a3k＋1<a3k＋2，所以⎩⎨⎧x <3x ，6k ＋3x －6<6k －9x ＋8，6k －9x ＋8<6k ＋6x －5，6k ＋6x －5<6k ＋3x ，解得1315<x <76，故实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1315，76.16分【名师点评】 1.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是函数与数列的联系，二是不等式与函数的联系.2.关注两个转化(1)函数条件的转化.直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x 换成n 即可；(2)数列向函数的转化.可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量取值范围的限制.对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解.(2016·苏锡常镇调研一)已知首项为1的正项数列{a n }满足a 2n ＋1＋a 2n <52a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)若a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，求x 的取值范围；(2)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若12S n <S n＋1<2S n ，n ∈N *，求q 的取值范围；(3)若a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)的公差．[解] (1)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ， 所以34<x <3，x2<4<2x ，解得x ∈(2,3).3分(2)由题意得，12a n <a n ＋1<2a n ，且数列{a n }是等比数列，a 1＝1，∴12q n －1<q n <2q n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧q n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12>0，q n －1()q －2<0，∴q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.又∵12S n <S n ＋1<2S n ，∴而当q ＝1时，S 2＝2S 1不满足题意.6分当q ≠1时，12·1－q n 1－q <1－qn ＋11－q <2·1－q n 1－q，∴①当q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，⎩⎨⎧q n (q －2)>－1，q n (2q －1)<1，⎩⎨⎧q 1(q －2)>－1，q 1(2q －1)<1，解得q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；②当q ∈(1,2)时，⎩⎨⎧q n (q －2)<－1，q n (2q －1)>1，⎩⎨⎧q 1(q －2)<－1，q 1(2q －1)>1，无解．∴q ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.10分(3)∵12a n <a n ＋1<2a n ，且数列a 1，a 2，…，a k 成等差数列，a 1＝1， ∴12[1＋(n －1)d ]<1＋nd <2[1＋(n －1)d ]，n ＝1,2，…，k －1. ∴⎩⎨⎧d (n ＋1)>－1，d (2－n )<1，∴d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1.14分又∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝120，∴S k ＝d 2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2k ＝d 2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－d 2k ＝120，∴d ＝240－2k k 2－k ，∴240－2k k 2－k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1，解得k ∈(15,239)，k ∈N *， ∴k 的最小值为16，此时公差为d ＝1315.16分命题展望从近几年的高考试题看，数列作为江苏高考的压轴大题，难度始终较大，其考查方式主要立足相关数列的推理与证明，且基本数列(等差、等比数列)与新定义数列交替命题.2017年建议强化基本数列的证明问题.(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k 使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数例？并说明理由．[解] (1)证明：因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1,2,3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列.4分(2)不存在，理由如下：令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ， a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da ，则1＝(1－t )(1＋t )3， 且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.6分将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44，依次构成等比数列.10分(3)不存在，理由如下：假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )，分别在两个等式的两边同除以a 2(n ＋k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )·ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )·ln(1＋t )，则g ′(t )＝2[(1＋3t )2ln (1＋3t )－3(1＋2t )2ln (1＋2t )＋3(1＋t )2ln (1＋t )](1＋t )(1＋2t )(1＋3t ). 14分令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )，则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )·ln(1＋t )]．令φ1(t )＝φ′(t )，则φ′1(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ′1(t )，则φ′2(t )＝12(1＋t )(1＋2t )(1＋3t )＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列.16分[阅卷心语]易错提示(1)对等差数列与等比数列间的关系不明，导致第(1)问失分.(2)对探索性问题有畏惧感，推理运算不过关，导致(2)(3)问失分.防范措施(1)若数列{a n }是等差数列，则{2a n }成等比数列，可以采用由一般到特殊的方式证明第(1)问.(2)对探索性问题的处理，常常涉及反证法的有关知识，即先假设其存在，在此基础上推出矛盾，由于本题(2)(3)在运算中涉及函数与方程的转化思想，故运算中务必细心.1．设各项均为正数的数列{a n }满足S n a n＝pn ＋r (p ，r 为常数)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)若p ＝1，r ＝0，求证：{a n }是等差数列；(2)若p ＝13，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (3)若a 2 015＝2 015a 1，求p ·r 的值．【导学号：91632038】[解] (1)证明：由p ＝1，r ＝0，得S n ＝na n ，所以S n －1＝(n －1)a n －1(n ≥2)，两式相减，得a n －a n －1＝0(n ≥2)，所以{a n }是等差数列.3分(2)令n ＝1，得p ＋r ＝1，所以r ＝23，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋23a n ，所以S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋13a n －1(n ≥2)，两式相减， 得a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)， 8分 所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝31·42·53…n ＋1n －1，化简得a n a 1＝n (n ＋1)1·2(n ≥2)， 所以a n ＝n 2＋n (n ≥2)，又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，所以a n ＝n 2＋n . 10分(3)由(2)知r ＝1－p ，所以S n ＝(pn ＋1－p )a n ，得S n －1＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，两式相减，得p (n －1)a n ＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，易知p ≠0，所以a n pn ＋1－2p ＝a n －1p (n －1)(n ≥2). 12分①当p ＝12时，得a n n ＝a n －1n －1(n ≥2)，所以a 2 0152 015＝a 2 0142 014＝…＝a 11， 满足a 2 015＝2 015a 1；②当p >12时，由p (n －1)a n ＝(pn ＋1－2p )a n －1(n ≥2)，又a n >0，所以p (n －1)a n <pna n －1(n ≥2)，即a n n <a n －1n －1(n ≥2)，所以a 2 0152 015<a 11，不满足a 2 015＝2 015a 1；14分 ③当p <12且p ≠0时，类似可以证明a 2 015＝2 015a 1也不成立．综上所述，p ＝12，r ＝12，所以pr ＝14.16分 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑i ＝1n (－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎨⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16.解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.3分 (2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k ＜4k，从而λ＜4k2k .设f(k)＝4k2k，则f(k＋1)－f(k)＝4k＋12(k＋1)－4k2k＝4k(3k－1)2k(k＋1). 6分因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ＜2.②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，则T2k－1＝T2k－(－1)2k a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.代入不等式λT n＜[a n＋1＋(－1)n＋1a n]·2n－1，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，从而λ＞－4k.因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4.综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2. 10分(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列，则(S m－S2)2＝S2·(S n－S m)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12. 12分因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，S m－S2，S n－S m成等比数列.16分。

突破点5 数列的通项与求和若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在使用这个关系式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.n ＋1n c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列.②形如a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列.(2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式.(3)叠乘法：形如a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1，求其通项公式.(4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再转化为等比数列求解.(5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，构造新数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解.(6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法.回访1 数列求和1.(2014·浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n－1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . [解] (1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 2分所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)， 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1). 故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).5分 (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *).7分 ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1， 9分而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0，得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25<1，11分所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.14分回访2 数列的综合问题2.(2016·浙江高考)设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.[证明] (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1， 故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *，2分所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2).5分(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1， 故|a n |<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎭⎪⎫12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.8分从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.①由m 的任意性得|a n |≤2. 否则，存在n 0∈N *，有|an 0|>2， 取正整数m 0>log 34|an 0|－22n 0且m 0>n 0，11分则2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34|an 0|－22n 0＝|an 0|－2，与①式矛盾.综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.15分热点题型1 数列中的a n 与S n 的关系题型分析：以数列中a n 与S n 间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a na n S n －S 2n＝1(n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【导学号：58962024】[解] 由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，2分即2(S n －S n －1)－S n －1S n ＝1，所以1S n －1S n －1＝12.4分又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列，6分所以1S n＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.8分 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).12分因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 15分给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n.提醒：在利用a n＝S n－S n－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形.[变式训练1](1)(2016·合肥三模)已知数列{a n}前n项和为S n，若S n＝2a n－2n，则S n＝__________.(2)已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n＋2＝3a n(n∈N*)，则a n＝__________.(1)n·2n(n∈N*)(2)2×3n－1(n∈N*)[(1)由S n＝2a n－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，S n＝2(S n－S n－1)－2n，即S n2n－S n－12n－1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n2n是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n＝n，S n＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以S n＝n·2n(n∈N*).(2)因为2S n＋2＝3a n，①所以2S n＋1＋2＝3a n＋1，②由②－①，得2S n＋1－2S n＝3a n＋1－3a n，所以2a n＋1＝3a n＋1－3a n，即a n＋1a n＝3.当n＝1时，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n＝2×3n－1(n∈N*).]热点题型2裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于(其中{a n}为等差数列)等形式的数列求和.已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.[解] (1)由已知及等差数列的性质得S 5＝5a 3，∴a 3＝14，1分 又a 2，a 7，a 22成等比数列，即a 27＝a 2·a 22. 2分由(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )且d ≠0， 解得a 1＝32d ，∴a 1＝6，d ＝4.4分 故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2，n ∈N *.6分 (2)证明：由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝2n 2＋4n ，1S n ＝12n 2＋4n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，8分∴T n ＝141－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.11分又T n ≥T 1＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16，所以16≤T n <38.15分裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，常见的裂项方式有：(1)1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋k＝1k (n ＋k －n ).提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.[变式训练2] (名师押题)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，2分 又a 1＋a 4＝9，可得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1.(舍去)4分 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1. 6分 (2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1.8分 又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，12分所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.15分热点题型3 错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . [解] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *). 2分由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 3分 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .4分 整理得b n ＋1n ＋1＝b nn ，所以b n ＝n (n ∈N *).6分 (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 10分 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 12分 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *).15分运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘以公比，再把前n 项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心.提醒：为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证.[变式训练3] 已知在公比大于1的等比数列{a n }中，a 2，a 4是函数f (x )＝(x －2)(x －8)的两个零点.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2na n }的前n 项和S n .[解] (1)因为a 2，a 4是函数f (x )＝(x －2)(x －8)的两个零点，且等比数列{a n }的公比q 大于1，所以a 2＝2，a 4＝8，2分所以q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *).6分(2)由(1)知2na n ＝n ×2n ，所以S n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ，①7分 2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② 11分由①－②，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2－2n ×21－2－n ×2n ＋1，13分 所以S n ＝2＋(n －1)×2n ＋1(n ∈N *). 15分。

专题二 函数的图象与性质题型一| 函数及其表示(1)(2016·苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．(2)(2016·苏州模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x ＞2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．(1)(0,1)∪(1,2) (2)8或－83 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)当m ＞0时，2－m ＜2＜2＋m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ， 解得m ＝8.当m ＜0时，2＋m ＜2＜2－m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得－(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83. 综上所述m ＝8或－83.]【名师点评】 1.对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．2．若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2016·无锡期中)定义在R上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(3－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (11)＝________. 2 [f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)， f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)， ∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.]题型二| 函数的图象及其应用(1)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【导学号：91632003】[解题指导] (1)作出f (x )的图象，根据图象转化为关于x 的不等式． (2)在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．(1)[－1，＋∞) (2)(0,1)∪(9，＋∞) [(1)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)．(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.]【名师点评】 1.识图：在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系.2.用图：函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等.1．设函数y ＝f (x )是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1)时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，则函数f (x )和g (x )的图象在区间[－5,10]内公共点的个数为________． 14 [根据题意可在同一坐标平面内分别作出函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象，如图所示，可见它们在区间[－5,10]内公共点的个数为14个．] 2．函数y ＝12－x的图象与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于________．16 [函数y ＝12－x与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如图所示，易知y ＝12－x 与y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝16.]题型三| 函数的性质及其应用(1)(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．(2)(2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (log 1a 3)＞0(a ＞0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．【导学号：91632004】[解题指导](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92――――――――――→周期为2，f (x )在[－1，1)上已知建立a 的等量关系―→求a ―→求f (5a )(2)f (x )＝x 3＋2x――→奇偶性f (x )为奇函数――――――――→f (1)＋f (log 1a3)＞0f (log a 3)＜f (1)――→f (x )的单调性建立log a 3与1的不等关系――→解对数不等式求a 的取值范围(1)－25 (2)(0,1)∪(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.∴f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. (2)∵f (x )＝x 3＋2x ，∴f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，∴f (1)＋f (log 1a 3)＞0等价于f (1)＞f (log a 3)． 又f ′(x )＝3x 2＋2＞0，∴f (x )在R 上单调递增， ∴log a 3＜1，当a ＞1时，由log a 3＜1得a ＞3， 当0＜a ＜1时，由log a 3＜1得0＜a ＜1. 综上可知，a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．]【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化.2.关于周期性的常用结论,若对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x ) 或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以2a 为一个周期的周期函数.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 [由f (x )为R 上的增函数，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数，1－k ＞0，k ＜1.同时，k ≥e 0－k ＝1－k ，即k ≥12，从而k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.]2．(2016·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．[－1,3] [∵f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x －2，∴f (x )＝2|x |－2.由f (x )≤2得2|x |－2≤2，即2|x |≤4，解得－2≤x ≤2.故由f (x －1)≤2得－1≤x ≤3，即不等式f (x －1)≤2的解集为[－1,3]．]命题展望函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，综合应用函数的性质解题是高考考查的重点内容之一.纵观江苏省近五年高考，我们可以发现以分段函数为载体的函数性质问题，是每年的必考题.(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a.②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.] [阅卷心语]易错提示 (1)对周期函数的定义理解不到位，找不到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的计算方式；(2)找不出f (－1)与f (1)的关系.防范措施 (1)可借助f (x ＋T )＝f (x )间的关系，把自变量的值实现区域转化； (2)要注意函数特殊点(或特殊位置)的函数值.1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.1 [函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] 2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．【导学号：91632005】⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)⇒2f (ln t )<2f (1)⇒f (|ln t |)<f (1)⇒|ln t |<1⇒－1<ln t <1⇒1e<t <e.]3．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．(－5,0)∪(5，＋∞) [设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x ，得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x ，得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]。

专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题建议用时：45分钟]1．(2016·哈尔滨一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右顶点A (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的直线l 交椭圆于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值，并求此定值．解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)证明：由题意知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋32，与x 24＋y 2＝1联立得(m 2＋4)y 2＋3my －74＝0，6分由Δ＞0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－3mm 2＋4，y 1y 2＝－74m 2＋4，8分k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝y 1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－12＝y 1y 2m 2y 1y 2－12m (y 1＋y 2)＋14 ＝－74－74m 2＋32m 2＋14(m 2＋4)＝－74，∴k 1k 2为定值，定值为－74.12分2．(2016·衡水二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【导学号：85952057】解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.4分(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0，∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.6分由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).8分同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4).10分∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127.12分 ∴k 1k 2为定值－127.3．(2016·太原一模)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆方程；(2)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 解] (1)因为F (－1,0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又b 2＝3， 所以a 2＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.3分(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y ＝x ＋1，和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消掉y ，得到7x 2＋8x －8＝0，4分所以Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，5分所以|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.6分(3)当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0，7分当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)． 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)，消掉y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，8分显然Δ＞0，方程有根，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，9分此时|S 1－S 2|＝2||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)| ＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2＝123|k |＋4|k |≤1223|k |×4|k |＝12212＝3(k ＝±32时等号成立)，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.12分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图15-4(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解] (1)由题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，5分 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.6分故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，7分 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.8分 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d＝|2m|5，10分|PQ|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5(2－m2)，11分所以S＝12|PQ|d＝m2(2－m2)＜m2＋2－m22＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0,1).12分。

1．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝ CDA ＝CB ＝AB －AC ＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．] 2．(2016· 河北联考)在等腰梯形 ABCD 中，AB ＝－2CD ，M 为 BC 的中点，则AM A.2AB ＋2AD B.4AB ＋2AD C.4AB ＋4ADD.2AB ＋4ADB 因为AB ＝－2CD ，所以AB ＝2DC.又 M 是 BC 的中点，所以AM ＝2(AB＋AC)＝2(AB ＋AD ＋DC)＝2(AB ＋AD ＋2AB)＝4AB ＋2AD ，故选 B.]3．已知向量BA ＝ ，⎪，BC ＝ ，2⎪，则∠ABC ＝( )⎪，BC ＝ ，2⎪，所以BA · BC ＝ 4 ＋ 4 ＝ 2 .又因为BA · BC⎝2 2 ⎭ ⎝ 2 ＝|BA||BC|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以 cos ∠ABC ＝ 3.又 0°≤∠ABC ≤180°，4．(2016· 武汉模拟)将OA ＝(1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60°得到OB ，则OB ＝ 专题限时集训 (三)平面向量建议 A 、B 组各用时：45 分钟]A 组 高考达标]一、选择题→ → →()A ．(2,4) B.(3,5)C.(1,1)D.(－1，－1)→ → → →→ → →＝()1 → 1 →3 → 1 → 3 → 1 →1 → 3 →→ → → → → 1 → →1 → → → 1 → → 1 → 3 → 1 →→ ⎛1 3⎫ → ⎛ 3 1⎫ ⎝2 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭A ．30°C.60°B.45°D .120°→ ⎛1 3⎫ → ⎛ 3 1⎫ → → 3 3 3 → → A因为BA ＝ ，⎭2所以∠ABC ＝30°.故选 A.]→ → →()2 ⎪⎝2 ⎭ 2 ⎪ ⎝ 2⎭ C. ， ⎪D. ， ⎪22 2 2 A由题意可得OB的横坐标 x ＝ 2cos(60°＋45°)＝ 2 － 4 2 ，纵坐⎝ 4 标 y ＝ 2sin(60°＋45°)＝ 2＋ 4 ⎛ 6 2⎫ 1＋ 3 → ⎛1－ 3 1＋ 3⎫ 2 ，则OB ＝2 ⎪，故选 A.] ⎝ 4 ⎝ 2 ⎭ ．△5 ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O 满足AO ＝2(AB＋AC)，|AO|＝|AC|， 则向量BA在BC 方向上的投影等于(C 由AO ＝2(AB ＋AC)可知 O 是 BC 的中点，即 BC 为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由 圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB|＝ 3，所以BA 在BC 方向上的投影为|BA |· c os ∠ 1 → → ⎛1－ 3 1＋ 3⎫ A. ，⎛－1－ 3 －1＋ 3⎫⎝ ⎭ ⎛1＋ 3 1－ 3⎫B. ，⎛－1＋ 3 －1－ 3⎫⎝⎭→ ⎛ 2 6⎫ 1－ 3 ⎪＝ ⎭⎪＝ ， ⎭→ 1 → → → →→ →)【导学号：85952018】3A ．－ 23 C.23 B. 2D.3→ →→ → → →→ → → →3ABC ＝ 3×cos 30°＝2，故选 C.]二、填空题6．在如图 3-2 所示的方格纸中，向量 a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方x形顶点)上，若 c 与 x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则y 的值为________．图 3-2e －y)e 1＋λ(x －2y)e 2，∴⎨⎪⎩y ＝ 5 ，7．已知向量AB 与AC 的夹角为 120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数 λ 的值为________． 7 → → → →∵AP ⊥BC ，∴AP · B C ＝0，∴(λAB ＋AC )· B C ＝0， 即(λAB ＋AC )· (AC －AB)＝λAB · A C －λAB 2＋AC 2－AC · A B ＝0. ∵向量AB 与AC 的夹角为 120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 8．(2016· 湖北七州联考)已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则OB · O C－ ∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长 AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且 AO ＝ 3 ，∴OB · OC ＝(AB －AO )· (AC －AO)＝AB · AC －AO · AC－⎛ 3⎫29．设向量 a ＝( 3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎢0，2⎥. ⎝ 3 ⎭⎤ 65设 e 1，2 为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与 x a ＋y b 共线，得 c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x⎧λ(2x －2y )＝1， ⎩λ(x －2y )＝－2，∴ ⎧⎪x ＝3， ⎨ λ2λx 6 则y 的值为5.]→ → → → → → → →→12→ → →→ → → → → → → → → →→ → → →7 ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得 λ＝12.]→ →＝__________.163 → → → → → → → → → →→ → → 3 3 1 AO · AB ＋AO 2＝1×1×cos 60°－ 3 ×1×cos 30°－ 3 ×1×cos 30°＋ ⎪ ＝－6.]三、解答题⎡ π ⎣ ⎦(1)若|a|＝|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)＝a·b ，求 f(x)的最大值．解] (1)由|a |2＝( 3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，又 x ∈⎢0，2⎥，从而 sin x ＝ ，2＝sin 2x －6⎪＋2，9 分当 x ＝3∈⎢0，2⎥时，sin 2x －6⎪取最大值 1.．在△10 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a >c.已知BA · B C ＝解](1)由BA · B C ＝2 得 cacos B ＝2.1 分 π⎤ (2)在△ABC 中，sin B ＝ 1－cos 2 B ＝⎛1⎫ ⎝ ⎭⎪ ＝ 及|a |＝|b |，得 4sin 2x ＝1.4 分⎡ π⎤ 1 ⎣ ⎦π所以 x ＝6.6 分(2)f(x)＝a·b ＝ 3sin x ·cos x ＋sin 2 x3 1 1 ＝ 2 sin 2x －2cos 2x ＋2⎛ π⎫ 1 ⎝ ⎭π ⎡ ⎛ π⎫ ⎣ ⎦ ⎝ ⎭3所以 f(x)的最大值为2.12 分→ →12，cos B ＝3，b ＝3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(B －C)的值．→ →1因为 cos B ＝3，所以 ac ＝6.2 分由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B.又 b ＝3，所以 a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.⎧ac ＝6， 解⎨⎩a 2＋c 2＝13，得 a ＝2，c ＝3 或 a ＝3，c ＝2.4 分因为 a >c ，所以 a ＝3，c ＝2.6 分2 21－ 3⎪2＝ 3 ，7 分c 2 2 2 4 2由正弦定理，得 sin C ＝b sin B ＝3× 3 ＝ 9 .8 分因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，因此 cos C ＝ 1－sin 2 C ＝1－⎛4 2⎫2 7.10⎝ 9 ⎭ 9分AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( B由题意可得OD＝k OC＝kλOA＋kμOB(0<k<1)，又A，D，B三点共线可得kλ3．如图3-3，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·F E等A．－48 B.－917224223于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝3×9＋3×9＝27.12分B组名校冲刺]一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段→→→)A．(0,1) C.(1，2]B.(1，＋∞)D.(－1,0)→→→→1＋kμ＝1，则λ＋μ＝k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]12．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝3，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4 9C.4B.－49 D.－4B∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.31又4|m|＝3|n|，∴t×4|n|2×3＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.]→→→→于()图3-33C.－44D.－9B∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1， ∴FD · FE ＝(FO ＋OD )· (FO ＋OE)＝FO 2＋FO · (OE ＋OD)＋OD · OE ＝ 3⎪2＋0－1＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量 m ＝ 2，4⎪，n ＝ 6，0⎪，点 P 在 y ＝cos x 的图象上运动， 点 Q 在 y ＝f(x)的图象上运动，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中 O 为坐标原点)，则 y ＝f(x) 在区间⎢6，3⎥上的最大值是()Q 点的坐标为(x ，y)，则OQ ＝m ⊗OP ＋n ⇒(x ，y)＝ 2，4⎪⊗(x 0，cos x 0)＋ 6，0⎪⇒(x ，⎧⎪ x ＝2x 0＋6， ⎪⎩y ＝4cos x ， 1 π ⎝2x 0＋6，4cos x 0⎭ ⎧⎪ x ＝2 x －6⎪， 即⎨ 0 ⎪⎩y ＝4cos x ⇒y ＝4cos 2x －3⎪，2x －3⎪，⎛ π⎫ 即 f(x)＝4cos 当 x ∈⎢6，3⎥时， 2x －3⎪≤1⇒2≤4cos2x －3⎪≤4， 所以2≤cos 1 ⎛ ⎛ π⎫ 所以函数 y ＝f(x)在区间⎢6，3⎥上的最大值是 4，故选 A.] 1→ →→ 1 ∴|FO|＝3，→ → → → → → → → → → → → ⎛1⎫ ⎝ ⎭8＝－9.]4．设向量 a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)⎛1 ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭→⎡π π⎤ ⎣ ⎦【导学号：85952019】A ．4C.2 2 B.2D.2 3A 因为点 P 在 y ＝cos x 的图象上运动，所以设点 P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设→ → ⎛1 ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 π ⎛ ⎫y)＝ ⎪⇒⎨⎛ π⎫ ⎝ ⎭ 0⎛ π⎫ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎡π π⎤ ⎣ ⎦π π π 2π π π由6≤x ≤3⇒3≤2x ≤ 3 ⇒0≤2x －3≤3，⎝ ⎭⎝ ⎭⎡π π⎤ ⎣ ⎦二、填空题→与AC满足AB＋AC⎪·B C＝0,且|AB－AC|＝23，点D是⎛→→⎫6．已知非零向量AB⎝|AB||AC|⎭△ABC中BC边的中点，则AB·B D＝________.⎛AB AC⎫⎪→＋－3由→→⎪·B C＝0得BC与∠A的角平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC⊥AD.又|AB－AC|＝23，所以|CB|＝23，所以|BD|＝3，AB·B D＝－BA·B D＝－|BD|2＝－3.]7．已知向量a＝ 2sin ωx＋3⎪，0⎪，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图解](1)因为向量a＝ 2sin ωx＋3⎪，0⎪，b＝(2cosωx，3)(ω>0)，所以函数f(x)a|⎛ωx＋2π⎫⎪cosωx＝4 sinωx·⎛ －⎫⎪＋cosωx·3⎭⎝2⎭＝a·b＝4sin ⎪cosωx＝23·c os2ωx－2sin ωx cosωx＝3(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos 2ωx＋6⎪＋3，4分π5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为3，＝(1，3)，a－2b|＝23，则|b|＝__________.2由题意得|a|＝12＋(3)2＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝π22－4×2cos3|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]→→→→→→⎪→→→→→⎝|AB||AC|⎭→→→→→→→→→→→三、解答题⎛⎛2π⎫⎫⎝⎝⎭⎭象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在0,2π]上的单调递增区间．⎛⎛2π⎫⎫⎝⎝⎭⎭⎝⎝⎛13⎫2⎭⎛π⎫⎝⎭由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π，2π所以2ω＝π，即ω＝1.6分(2)易知 f(x)＝2cos 2x ＋6⎪＋ 3，当 x ∈0,2π]时，2x ＋6∈⎢6，4π＋6⎥，8 分所以函数 f(x)的单调递增区间为⎢12， 12 ⎥和⎢ 12 ， 12 ⎥.12 分．已知△8 ABC 的周长为 6，|BC|，|CA|，|AB|成等比数列，求：(2)BA · B C 的取值范围． 解] 设|BC|，|CA|，|AB|依次为 a ，b ，c ，则 a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac.2 分 (2)BA · B C ＝accos B ＝ ＝ ＝ ＝－(b ＋3)2 ∵0＜b ≤2，∴2≤BA · B C ＜18， 即BA · B C 的取值范围是 2,18).12 分⎛ π⎫ π ⎡π π⎤ ⎝ ⎭ ⎣ ⎦π π故 2x ＋6∈π，2π]或 2x ＋6∈3π，4π]时，函数 f(x)单调递增，10 分⎡5π 11π⎤ ⎡17π 23π⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦→ → →(1)△ABC 面积 S 的最大值；→ →→ → →在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 a 2＋c 2－ac 2ac －ac 1 π2ac ＝ 2ac ≥ 2ac ＝2，故有 0＜B ≤3，4分a ＋c 6－b又 b ＝ ac ≤ 2 ＝ 2 ，从而 0＜b ≤2.6 分1 1 1 π π (1)S ＝2acsin B ＝2b 2sin B ≤2·22·sin 3＝ 3，当且仅当 a ＝c ，且 B ＝3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即 S max ＝ 3.8 分→ →a 2＋c 2－b 2 (a ＋c )2－2ac －b 2 (6－b )2－3b 2 22 2＋27.10 分→ →→ →。

突破点16导数的应用(酌情自选)提炼1导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．(2)常数函数的判定方法如果在某个区间(a，b)内，恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)．提炼2函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．提炼3函数最值的判别方法(1)求函数f(x)在闭区间a，b]上最值的关键是求出f′(x)＝0的根的函数值，再与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f(x)的单调性，即可得结论．回访1导数与函数的单调性1．(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A ，B ，D.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞)A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0， ∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0，g (x )>0时，f (x )>0,0<x <1，当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]回访2 函数的极值与最值3．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)B f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图(2)所示．(2)不符合题意，排除D.]4．(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．2 a <－1 由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．(1)若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.(2)当a≥－1时，f(x)有最大值；当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1.]热点题型1利用导数研究函数的单调性问题题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第(1)问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等．(2016·辽宁葫芦岛模拟)已知x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－3＋ax，若函数g(x)在区间1,2]内单调递增，求实数a的取值范围.【导学号：85952067】解](1)因为f(x)＝2x＋bx＋ln x，所以f′(x)＝2－bx2＋1x，因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝2－b＋1＝0，解得b＝3，经检验，符合题意，所以b＝3.则函数f(x)＝2x＋3x＋ln x，其定义域为(0，＋∞).4分令f′(x)＝2－3x2＋1x＜0，解得－32＜x＜1，所以函数f(x)＝2x＋3x＋ln x的单调递减区间为(0,1].6分(2)因为g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax，所以g′(x)＝2＋1x＋ax2.8分因为函数g(x)在1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在1,2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在x∈1,2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，而在1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围为－3，＋∞).12分根据函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增，转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立求解．(2)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立求解．(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调，转化为f′(x)在(a，b)上不变号即f′(x)在(a，b)上恒正或恒负．(4)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，转化为f′(x)在(a，b)上变号．变式训练1](2016·重庆模拟)设函数f(x)＝3x2＋axe x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解](1)对f(x)求导得f′(x)＝(6x＋a)e x－(3x2＋ax)e x(e x)2＝－3x2＋(6－a)x＋ae x.2分因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝3x2e x，f′(x)＝－3x2＋6xe x，故f(1)＝3e，f′(1)＝3e，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3e＝3e(x－1)，化简得3x－e y＝0.6分(2)由(1)知f′(x)＝－3x2＋(6－a)x＋ae x.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝6－a－a2＋366，x2＝6－a＋a2＋366.8分当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．由f (x )在3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.12分 热点题型2 利用导数研究函数的极值、最值问题题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以解答题的形式考查，难度较大．(2016·株洲一模)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间；(2)若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值．解] (1)f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2⇒f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，令x ＝1，得f (0)＝1，所以f (x )＝f ′(1)e x －1－x ＋12x 2，令x ＝0，得f (0)＝f ′(1)e －1＝1，解得f ′(1)＝e ，故函数的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2.3分令g (x )＝f ′(x )＝e x －1＋x ，所以g ′(x )＝e x ＋1＞0，由此知y ＝g (x )在x ∈R 上单调递增．当x ＞0时，f ′(x )＞f ′(0)＝0；当x ＜0时，由f ′(x )＜f ′(0)＝0得：函数f (x )＝e x －x ＋12x 2的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).6分(2)f (x )≥12x 2＋ax ＋b ⇔h (x )＝e x －(a ＋1)x －b ≥0，得h ′(x )＝e x －(a ＋1).8分①当a ＋1≤0时，h ′(x )＞0⇒y ＝h (x )在x ∈R 上单调递增，x →－∞时，h (x )→－∞与h (x )≥0矛盾．②当a ＋1＞0时，h ′(x )＞0⇔x ＞ln(a ＋1)，h ′(x )＜0⇔x ＜ln(a ＋1)，得当x ＝ln(a ＋1)时，h (x )min ＝(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)－b ≥0，即(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)≥b ，所以(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)(a ＋1＞0)．令F (x )＝x 2－x 2ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x (1－2ln x )，所以F ′(x )＞0⇔0＜x ＜e ，F ′(x )＜0⇔x ＞e ，当x ＝e 时，F (x )max ＝e 2，即当a ＝e －1，b ＝e 2时，(a ＋1)b 的最大值为e 2.12分利用导数研究函数极值、最值的方法1．若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．2．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．3．求函数f (x )在闭区间a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．变式训练2] (2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.10分 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1).12分热点题型3 利用导数解决不等式问题题型分析：此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的．(2016·长沙十三校联考)设函数f (x )＝x ln x －ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解] (1)由⎩⎨⎧x >0，ln x ≠0，得x >0且x ≠1，则函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，因为f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立． 又f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x 2＋1ln x －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a ， 故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.4分(2)命题“若存在x 1，x 2∈e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”.由(1)知，当x ∈e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14.5分 问题等价于：“当x ∈e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”． ①当a ≥14时，由(1)知，f (x )在e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2.6分 ②当a <14时，由x ∈e ，e 2]得12≤1ln x ≤1，∴f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a 在e ，e 2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，14－a .7分 (ⅰ)－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0，在e ，e 2]上恒成立，故f (x )在e ，e 2]上为增函数，于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e>14，不合题意.8分(ⅱ)－a <0，即0<a <14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x )＝0，且满足：当x∈(e，x0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(x0，e2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；10分所以，f min(x)＝f(x0)＝x0ln x0－ax0≤14，x0∈(e，e2)，所以，a≥1ln x0－14x0>1ln e2－14e>12－14＝14，与0<a<14矛盾.11分综上得a≥12－14e2.12分1．利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．变式训练3](2016·太原一模)设函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x＞0)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)≥(x－1)2；(3)若当x≥1时，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求实数m的取值范围．解](1)函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x＞0)，可得f′(x)＝2a ln x＋ax＋b，因为f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝a e2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，所以a＝1，b＝－1.2分(2)证明：f (x )＝x 2ln x －x ＋1，设g (x )＝x 2ln x ＋x －x 2(x ≥1)，g ′(x )＝2x ln x －x ＋1，(g ′(x ))′＝2ln x ＋1＞0， 所以g ′(x )在0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(1)＝0，所以g (x )在0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥(x －1)2.6分(3)设h (x )＝x 2ln x －x －m (x －1)2＋1，h ′(x )＝2x ln x ＋x －2m (x －1)－1，由(2)中知x 2ln x ≥(x －1)2＋x －1＝x (x －1)，所以x ln x ≥x －1，所以h ′(x )≥3(x －1)－2m (x －1)，①当3－2m ≥0即m ≤32时，h ′(x )≥0，所以h (x )在1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)＝0，成立．②当3－m ＜0即m ＞32时，h ′(x )＝2x ln x －(1－2m )(x －1)，(h ′(x ))′＝2ln x ＋3－2m ，令(h ′(x ))′＝0，得x 0＝e 2m －32－2＞1，当x ∈1，x 0)时，h ′(x )＜h ′(1)＝0，所以h (x )在1，x 0)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，不成立．综上，m ≤32.12分。

专题五平面解析几何建知识网络明内在联系扫一扫，各专题近五年全国考点分布高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点11直线与圆提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d2(弦心距d )．提炼3 求距离最值问题的本质 (1)圆外一点P 到圆C 上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]回访2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B.－34 C. 3D.2A 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 4．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法．(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 (1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎨⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E 2－D2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B.(x ＋1)2＋y 2＝4 C.x 2＋(y －1)2＝4D.x 2＋(y ＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 (1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎨⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法．(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.4 如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.](2)(2016·开封一模)如图13-1，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭圆x 216＋y 2＝1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．(1)求圆G 的半径r ；(2)过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．图13-1解] (1)设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH 得r 36－r 2＝y 06＋r， 即y 0＝r 6＋r6－r， ①2分而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，y 20＝1－(2＋r )216＝12－4r －r 216＝－(r －2)(r ＋6)16，②3分由①②式得15r 2＋8r －12＝0， 解得r ＝23或r ＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝49相切的直线方程为y ＝kx ＋1，③ 则23＝|2k ＋1|1＋k 2， 即32k 2＋36k ＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．变式训练2](1)(2016·哈尔滨一模)设直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为________.【导学号：85952047】y ＝x ＋1 直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.](2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )， 由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，2分 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 即(x －2)2＋y 2＝3为所求.4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ， 解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2， 而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0，或t ＝3，11分所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.12分。