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A表示“第一次取到次品”， B表示“第二次取到次品”
2 1 1 P （A ）= ，P （B A ）= 10 5 9 1 1 1 故P （A B ）= P（A ）P（B A）= 5 9 45
例4 设P( A) 0.8, P( B) 0.4, P( B A) 0.25, 求P( A B).
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件, B1 , B2 , 1, 2, , Bn为 S 的一个划分, 且 P( Bi ) > 0(i , n), 则 P( A Bn ) P( Bn )
全概率公式
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 )
A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P ( B )
S HH , HT TH , TT 分析 设 H{为正面 , T,为反面 . }.
2. 定义
设 A, B 是两个事件 , 且 P ( B) > 0, 称 P ( AB ) P ( A B) P ( B)
解 设A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球” .
5 3 4 5 则 P(A)= , P(A)= ,P(B A )= , P(B A )= 8 8 7 7 由全概率公式知
P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A)
5 4 3 5 5 = 8 7 8 7 8
由乘法公式知
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
5 4 2 4 7 6 5 21
课堂练习
练习 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破 的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破 的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
解
P( AB) P( A)P(B A) 0.8 0.25 0.2
P( AB) 0.2 P( A B) 0.5. P( B) 0.4
则
例5 盒中有5个白球2个黑球，连续不放回的从中取 三次球，每次取一个，求第三次才取到黑球的概率. 解
设Ai (i 1, 2, 3)表示“第i次取到黑球”， 于是所求的概率为P( A1 A2 A3 )
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复 杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概 率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
全概率公式的最简单形式为
P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A).
例８ 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两 次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率.
且 P ( A1 A2 An1 ) > 0, 则有
P ( A1 A2
An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( An1 A1 A2 An1 ).
An 2 )
P ( An A1 A2
例3 在10个产品中，有2件次品，不放回地抽取2件产 品，每次取一个，求取到的两件产品都是次品的概率. 解
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1 , B2 , E 的一组事件, 若 (i) Bi B j , i j , i, j 1, 2, (ii) B1 B2
B2
B3
, Bn 为
, n;
Bn S .
则称 B1 , B2 ,
, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
B1
Bn1 Bn
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ空间的划分
P ( B A) 5 7
二、 乘法定理
设 P( A) > 0, 则有 P( AB) P( A) P( B A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) > 0, 则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2,
证明
A AS A ( B1
B2
Bn )
AB1 AB2 ABn .
由 Bi B j ( ABi )( AB j )
P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( ABn )
P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
例９ 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产 的占 30% ，二厂生产的占 35% ，三厂生产的占35%， 又知这三个厂的产品次品率分别为5% ，4%，3%， 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解 设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为“ 任取一件为i 厂的产品 ” , i 1, 2, 3. P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 ).
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率.
P ( AB ) > 同理可得 当 P ( A) 0, P ( B A ) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
计算条件概率有两个基本的方法：
P ( AB ) P ( AB ) , P ( B A) １、利用定义 P ( A B ) P( B) P ( A)
n 1 P ( A) n
由全概公式得：
1 n
P( B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
四、小结
P ( AB ) 1.条件概率 P ( B A) P ( A)
乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
全概率公式
P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn )
0.72 0.75 0.96
例2 盒中有5个黑球3个白球，连续不放回的从 中取两次球，每次取一个，若已知第一次取出的 是白球，求第二次取出的是黑球的概率. 解 A表示“第一次取到的是白球”，B表示“第二次取到
的是黑球”， 所求的概率为P（B | A）
由于第一次取到的是白球，所以第二次取球时，盒 中 有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法知
§1.4
条件概率全概率公式
一、条件概率 二、乘法定理
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
2 1 . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P ( B ). P ( B A), 则 P ( B A) 3 34 P ( A)
P ( B1 ) 0.3, P ( B2 ) 0.35, P ( B3 ) 0. 35 P ( A B1 ) 0.05, P ( A B2 ) 0.04, P ( A B3 ) 0.03
故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
练习 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破 的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破 的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
", 解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
例１０ 设n（n≥2）张彩票中有1张奖券，甲、乙两人 依次每人摸一张彩票，分别求甲、乙二人摸到奖券的 概率. （抽签公平性） 解 设A表示“甲摸到奖券”， B表示“乙摸到奖券”， 显然 P ( A) 1
n
而A发生与否直接影响B的发生的概率 1 1 而 P ( A) , P( B | A) 0, P( B | A) n n 1
来计算
２、在古典概型中利用古典概型的计算方法直接 计算
例1 在全部产品中有4%的废品，有72%的一等品. 先从中任取一件为合格品，求它是一等品的概率. 解
设A表示“任取一件为合格品”，
B表示“任取一件为一等品”，
P（A）=0.96，P（AB）=P（B）=0.72
P（A B ） 所求的概率P （B A ）= P（A ）
