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2.几何解释:
当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
A A A
y
y f (x)
o
函数与极限
x0
x0
x0
x
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显然, 找到一个后, 越小越好.
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lim 例2 证明 x x C C , (C为常数).
推论 若 lim f ( x ) A, 且 0, 当x U ( x 0 , )时,
oБайду номын сангаас
f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0).
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4.保序性
定理 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.若 0,
(不论它多么
小),总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的 一切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
x
f ( x ) A(当x )
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sin x 例1 证明 lim 0. x x
证 由 sin x 0 sin x 1 , x x x
0,
1 取X ,
则当 x X时恒有
y
sin x x
sin x 0 , x
x
sin x 故 lim 0. x x
x x0
0, 0, 使当0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
又 lim x n x0 且 x n x0 ,
n
对上述 0, N 0, 使当n N时, 恒有 0 xn x0 .
高等数学Ⅰ
函数的极限 无穷小与无穷大
复习：
N定义 : lim x n a n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
f ( x) A x2 9 x 3 x 3 7 x 3
任给 0, 要使 f ( x ) A ,
只要取 min 1, , 7
当0 x x0 时,
就有 x 9 ,
2
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lim x 2 9.
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定理 : lim f ( x ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A.
x x0
推论：f ( x0 ) f ( x0 ) lim f ( x )不存在 x x0 x 例7 验证 lim 不存在. y x0 x x 1 x lim lim 证 x 0 x 0 x x
定义：如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐近线.
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二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
x0
x0 x0
y y 1 x
1
y x2 1
o
记作x x0 ; 记作x x0 ;
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x 0 , x从右侧无限趋近x 0 ,
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左极限
0, 0, 使当x 0 x x 0时, 恒有 f ( x ) A .
o
5. 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定理 若 lim f ( x ) A,xn 是f ( x )的定义域内任一
收敛于x0的数列，且xn x0，那么 f ( xn )
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x x0
必收敛，且lim f ( xn ) A. 函数与极限
n
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证 lim f ( x ) A
播放
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函数与极限
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通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 一般地， 如果函数 y f ( x ) 在 x 的过程
中, 对应函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
lim ( 1) 1
x 0
o
x
1
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x 0 x
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左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在. x0
函数与极限
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三、函数极限的性质
1.唯一性
定理 若极 lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
lim f ( x ) A
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
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lim f ( x ) A
2.另两种情形:
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
10 . x 情形 : xlim f ( x ) A
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
2 . x 情形 : xlim f ( x ) A
0
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
x x0 x x0
x U ( x 0 , ), 有f ( x ) g( x ), 则A B.
o
推论 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B , 且A B
x x0 x x0
则 0, x U ( x0 , ), 有f ( x ) g ( x ).
lim lim 定理 : lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
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函数与极限
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3.几何解释:
y
A
sin x A x
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
当0 x x 0 时,
f ( x ) A x x 0 成立,
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lim x x 0 .
x x0
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x 1 例4 证明 lim 2. x 1 x 1
2
证 函数在点x=1处没有定义.
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
任给 0,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
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x2 1 当0 x 1 时, 就有 2 , x 1
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例5 证明 lim x 2 9
x 3
证
x 3, 可设 x 3 1,即 2 x 4,
2.函数极限的局部有界性
定理 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在过程 的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
x x0
0 | x x0 |
x
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| x | X
函数与极限
| f ( x ) | M
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3.函数极限的局部保号性
定理 若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0)，
取 min{ x 0 , x 0 },
当0 x x 0 时,
lim 就有 x x0 , x x x
0
x0 .
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函数与极限
3.单侧极限:
例如,
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
lim " " 定义 x x f ( x ) A 0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
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1 注意： .函数极限与f ( x )在点x 0是否有定义无关;
2.与任意给定的正数有关.
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x 0 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都
满足不等式 f ( x ) A ,那么常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作
x x0
lim f ( x ) A 或
0
f ( x ) A(当x x 0 )
x x0
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0)
o
定理 若 lim f ( x ) A, 且A 0，则 0，
x x0 o
