高二数学必修5数列通项公式的求法归纳(精)

数列求通项公式归纳总结数列是数学中常见的概念，在各个领域都有着广泛的应用。

通过观察数列的规律并找出通项公式，可以使我们更好地理解数列的性质，进而解决更复杂的问题。

本文将对数列求通项公式的方法进行归纳总结。

一、等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，n为正整数。

二、等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，n为正整数。

三、斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中第一项为1，第二项为1，之后每一项都等于前两项之和的数列。

设斐波那契数列的第n项为Fn，则斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的开平方。

四、完全平方数列求通项公式完全平方数列是指数列中每一项都是一个完全平方数的数列。

设完全平方数列的第n项为an，则完全平方数列的通项公式可以表示为：an = n^2其中，n为正整数。

五、特殊数列求通项公式除了常见的等差数列、等比数列、斐波那契数列和完全平方数列，还有许多特殊的数列。

对于这些特殊的数列，求通项公式的方法也不尽相同，需要根据具体的规律进行归纳总结。

总结：数列求通项公式是数学中的一个重要内容，有着广泛的应用价值。

通过观察数列的规律并应用相应的方法，可以找到数列的通项公式，从而解决更加复杂的问题。

本文对等差数列、等比数列、斐波那契数列、完全平方数列以及特殊数列的求通项公式进行了归纳总结。

希望读者能够通过本文的介绍，掌握数列求通项公式的方法，并能够运用于实际问题的解决中。

求数列通项公式的各种方法
1、数列通项公式的求法
正确求解数列通项公式需要正确使用正确的数学方法，一般有以下几
种方法：
(1)数值计算法
数值计算法是运用一定的运算规则进行计算，可以求出数列通项公式。

运用的计算规则可以是把数列值转化到一个函数中求解，也可以是求出数
列中一组值的和，从而求出数列的一般项的系数。

(2)函数拟合法
函数拟合法是一种采用曲线拟合的方法来求解数列通项公式，它通过
将数列中的数据拟合到其中一种函数形式上来求出数列的通项公式。

一般
来说，采用函数拟合法求解数列的通项公式，需要先建立一种准确的函数
模型，然后通过拟合得到数列的通项公式。

(3)递推法
递推法是一种利用给出的数列中的两项或几项来求出数列中剩余的项，从而求出数列的通项公式的方法。

这种方法的原理是：当给出数列中的两
项或几项时，如果能够找到他们之间的关系或规律，就可以利用这种规律
来求出其他的项，最终求出数列的通项公式。

(4)特殊数列通项公式
特殊数列通项公式是一种将给出数列中的几项拆分开来，再套用一些
特殊的数列通项公式，从而求出数列的通项公式的方法。

常见的特殊数列
通项公式有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和其他一些特殊数列的通项公式。

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。

数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。

数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。

在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。

本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。

方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。

它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。

例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。

因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。

通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。

方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。

对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。

例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。

因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。

通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。

方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。

这种方法常用于一些复杂的数列。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。

通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。

因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。

方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。

生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。

例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。

数列通项总结一、累加法（逐差相减法）1、d a a n n +=+1（d 为常数），等差数列2、)(1n f a a n n +=+，变形为)(1n f a a n n =-+，前提)1()1(-++n f f 可求⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--=--=----)1()2()1(12211f a a n f a a n f a a n n n n 这1-n 个等式累加得:)1()2()1(1-+++=-n f f f a a n 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

例2：已知数列1}{1=a a n 中，且k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+， 3,2,1=k （1）求53,a a （2）求}{n a 的通项公式. 二、累积法（逐商相乘法）1、n n qa a =+1（q 为常数），等比数列2、n n a n f a )(1=+，变形为)(1n f a a nn =+，前提)1()2()1(-⨯⨯⨯n f f f 可求 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=---)1()2()1(12211f a a n f a a n f a a n n n n这1-n 个等式累乘得: )1()2()1(1-⨯⨯⨯=n f f f a a n例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

三、公式法1(2)n n n a S S n -=-≥，)1(11≥-=++n S S a n n n例1：已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

解：由11a S ==111(1)(2)6a a ++解得1a =1或1a =2，由已知11a S =＞1，因此1a =2又由11n n n a S S ++=-=1111(1)(2)(1)(2)66n n n n a a a a ++++-++得11()(3)n n n n a a a a +-+--=0 ∵n a ＞0 ∴13n n a a --=从而{n a }是首项为2，公差为3的等差数列，故{n a }的通项为n a =2+3(n-1)=3n-1. 例2：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 四、待定系数法1、q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.4、 奇偶分析法(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式.练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式.(2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项.例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式.例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足111,2nn n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.5、 待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列.(2)()11111,n p n n nn n n naa a pa tpt p t pp +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22nn n a a a -=-=+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=- 。

常见数列通项公式的求法公式：1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，L()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++L1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++L（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子：()()()()23412311,2,3,,1.n n a a a af f f f n a a a a -====-L 利用公式()23411231,0,n n n n a a a aa a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈L 可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-L例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式. 4、 奇偶分析法(1)对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式. (2)对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项. 例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式. 例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足111,2n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有: (1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列. (2)()11111,n pn n nn n n n a a a pa tp t p t p p+++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列 例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ． 练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=- 。

求数列通项公式的方法1. 叠加法a n 1 a n f (n) ，且 f (1) f (2)f (n) 比较好求 .【例题】数列a n 的首项为 3 ，b n 为等差数列且 b n a n 1 a n (nN *) ．若则 b 32 ，b1012 ，则 a 8.★练习 已知数列a n 知足 a 11 a n1a n 的通项公式 ., a n 1n 2 ，求数列2n2. 叠乘法a n 1 f (n)a n ，且 f (1) f (2) f (n) 比较好求 .【例题】在数列｛ a n ｝中， a 1 =1, (n+1) ·a n 1 =n ·a n ，则 a n 的通项公式为.★练习 在数列｛ a n ｝中， a 1 =1,a n 1 = 2n ·a n ，则 a n 的通项公式为.3. 待定系数法(1) a n =qa n-1 +p(q 、 p 为常数 ,q ≠1且 p ≠0），可化为 a n +λ=q(a n-1+λ).结构出一个以 q 为公比的等比数列 { a n +λ}，而后化简用待定系数法求 λ，进而求出 a n .(2) 关于 a n 1qa n f (n)(此中 q 为常数 ) 这类形式 ,一般我们议论两种状况：①当 f(n)为多项式时，可化为 an 1g n1 q a n +g n的形式来求通项，此中g(n)是f(n)的齐次式 .【例题】设数列 a n 中， a 1 1,a n 1 3a n 2n 1 ，求 a n 的通项公式 . ★练习 设数列a 中， a 1 1,a n 1 2a n n 2 n ，求 a的通项公式 .nn②当 f( n)为指数幂即递推公式为 a n 1qa n r p n (q 、 r 、 p 为常数 ) ，可两边同时除以 p n 1 化为a n 1q a nra n的通项公式，进而求出 a n .p n 1p p n的形式，能够求出数列p np【例题】设数列 a n 中， a 1 1,a n 1 4a n 2n ，求 a n 的通项公式 .★练习 设数列a n 中， a 11,a n 1 3a n 2 3n ，求 a n 的通项公式 .4. 倒数法a n1，能够两边取倒数； a n a n 1a n 1 a n，能够两边同时除以 a n a n 1.a nka n 1ba n 1【例题】已知数列a n知足： a11,a n3a n 1，求a n的通项公式. 1★练习在数列 { a n } 中，a11a nan 1a n 1 a n，求数列{ a n}的通项公式.，35. 对数法a n 1qa n p (q、 p为常数 ) ，两边分别取对数，进行降次.【例题】已知数列a n知足：a13, a n1a n2，求 a n的通项公式 .★练习已知数列a n知足：a12, a n1a n22a n，求a n的通项公式 .6. 特点方程法(1) a n+2=A a n+1 +B a n (A 、 B 是常数），特点方程为 x2-A x-B=0,①当方程有两个相异的实根p、q 时，有：a n c1 p n c2 q n，此中c1与 c2由 a1和 a2确立；②当方程有两个同样的实根p 时，有a n(c1n c2 ) p n，此中c1与 c2由 a1和 a2确立.【例题】已知数列 { a n } 知足 a12, a23,a n23a n 12a n (n N * ) ，求 { a n } 的通项公式.★练习已知数列 { a n } 知足a1=2，a2=3， a n22a n1a n，求 { a n} 的通项公式.(2) a n 1 a a n b（ a、 b、 c、 d 为常数），特点方程为x ax b ，c a nd cx d①当方程有两个相异的实根a n p a1p a cpp、q 时，数列是以a1为首项，为公比的a n q q a cq等比数列；②当方程有两个同样的实根p 时，数列1p 是以a11为首项，2c为公差的等差a n p a d数列 .【例题】已知数列{ a n} 知足 a12, a n an 12( n2) ，求数列 { a n} 的通项 a n．2a n11。

数列通项公式的求法集锦一、 累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例1.在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

解：∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+=且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+=(n N *∈).例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =121232343112222 (2)n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪⎪-=⎭时,以上n-1个等式累加得21122 (2)n n a a --=+++=12(12)12n ---=22n -，故12221n nn a a =-+=- 且11a =也满足该式∴21nn a =- (n N *∈)。

二、 累乘法形如1()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得1n na n a += ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即3241231........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，1(1)!n a n a =-故(1)!n a n =-且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *∈). 例4．已知数列{n a }满足1a =23，11n n n a a n +=+，求n a 。

常见数列通项公式的求法公式：1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式.（1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法.方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11nn a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和.例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-,求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求 练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-,求{}n a 的通项公式. 练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式. 3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子： 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： 例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求. 练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==,求{}n a 的通项公式. 练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.4、 奇偶分析法 (1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论. ②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习1:数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式.(2) 对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项. 例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式. 例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1:数列{}n a 满足112,3n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 练习2：数列{}n a 满足111,2n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.5、 待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有: (1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列.(2)()11111,n pn n nn n n n a a a pa tp t p t p p+++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒()()11n n a n p a n λμλμ++++=++(5)21+n n na pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+,求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ________． 练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅,求{}n a 的通项公式. 例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足nn n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+,求{}n a 的通项公式. 练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+,求{}n a 的通项公式. 练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+,求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式. 练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=-。

数列求通项公式方法总结数列是数学中的重要概念，它在数学领域的各个分支都有广泛的应用。

对于一个数列而言，求解其通项公式是一个非常重要的问题。

通项公式能够帮助我们快速计算数列中任意一项的值，有效地简化计算过程。

本文将总结几种常见的数列求通项公式的方法。

一、等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，其特点是数列中每一项与前一项之间的差值都是相等的。

求解等差数列的通项公式可以利用等差数列的性质——任意一项与首项的差值等于项数与公差的乘积。

具体方法如下：1. 已知首项与公差，求通项公式：对于等差数列{an}，首项为a1，公差为d。

我们可以根据等差数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d。

2. 已知前两项，求通项公式：对于等差数列{an}，已知a1和a2。

我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * (a2 - a1)。

二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值都是相等的数列。

求解等比数列的通项公式可以利用等比数列的性质——任意一项与首项的比值等于项数与公比的幂次方。

具体方法如下：1. 已知首项与公比，求通项公式：对于等比数列{an}，首项为a1，公比为r。

我们可以根据等比数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 * r^(n - 1)。

2. 已知前两项，求通项公式：对于等比数列{an}，已知a1和a2。

我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 * (a2 / a1)^(n - 1)。

三、其他常见数列的通项公式除了等差数列和等比数列，还有一些其他常见的数列，它们的通项公式可以利用数列的性质进行推导。

1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。

其通项公式可以通过迭代的方法得到：当n大于等于3时，an = a(n-1) + a(n-2)，其中，a1 = 1，a2 = 1。

常见数列通项公式的求法「等差数列的走义等差数列的通项公式总”=叫--1)^ 等差数列的求和公式» =二［再+ 口 J =叫亠等差数列的性质％ + 口屮=口匸+為(稅+丹"召+ g)等比数列的定义—2)f -】等比数列的通项公式生-q 1 一今丹円也=1)等比数列的性质舜dr =玫+料=P+4)1、定义法若数列是等差数列或等比数列 ,求通公式项时,只需求出a i 与d 或a i 与q ,再代入公式 a 1 - n -1 d 或a n 二a i q n A 中即可•15,并且这三个数分别加上 2，5，13后成为等比数列 心 的b 3,b 4,b 5,求数列 Cb n ? 的的通项公式练习：数列^a^是等差数列，数列：b n ?是等比数列，数列心中对于任何n • N *都有, c 12 7C n =a n -b n ,。

=0,02,分别求出此三个数列的通项公式 •69 54公式:等比数列-等差数列丿 等比数列的求和坐式矢例1、成等差数列的三个正数的和等于2、累加法形如a n q _a n二f n 已矢口a1型的的递推公式均可用累加法求通项公式.(1)当f n =d为常数时，faj为等差数列，则a n=印• n-1 d ；(2)当f n为n的函数时，用累加法•方法如下：由a n彳_a n二f n得当n_2 时，a n-a n」=f n-1a n」-a nN=f门-2a3 - a2 = f 2a2 - a〔二f i.1 i以上n -1个等式累加得a n -a^ f n-1 +f n -2 川f 2 f 1a n 二a「f n -1 +f n-2 ||「f 2 f 1(3)已知a1，a n1-a n二f n，其中f n可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项•①若f n可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f n可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③若f n可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若f n可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和•例2、数列召」中已知a1=1,a n1-a n=2n-3,求〈a n?的通项公式•练习1：已知数列\a n ｝满足a n^a n- 3n - 2且印=2,求a n.练习2：已知数列:a n:,中，6 = 1,a n.1-a n= 3n- 2n ,求佝｛的通项公式1 1练习3：已知数列 玄』满足a 1,a n1.=a n•二 ,求求 玄餐的通项公式 2 n +n3、累乘法 形如^= f n已知a ,型的的递推公式均可用累乘法求通项公式业二 f 1 ,鱼二 f 2 ,鱼二 f 3，川，玉二 f n-1 .a1a2a3an 4利用公式a* =3 鱼乞旦4乩，a* = 0, n ，N 可得:ai a 2 a 3a^an y f 1 f 2 f 3 III f n -1 •例3、已知数列｛a n｝满足a ! = 2, a n申=—^ a n求a n.给递推公式 an 1=f n , N .中的n 依次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1个式子:3n +1 '练习1：数列：a n/中已知a^i =1,邑二一,求〈a n?的通项公式a n n练习2：设［是首项为1的正项数列，且(n 1)a2.1 -na2务& =0 ,求冷,的通项公式4、奇偶分析法(1)对于形如a n1，a n=f n型的递推公式求通项公式①当am a^ d d为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当f n为n的函数时，由a n 1 • a n二f n ，a n' a n 4 = f n -1两式相减，得到a n+1 -a n4 = f n - f n -1，分奇偶项来求通项.例4、数列gj满足a =1, a n d a^4，求：a n f的通项公式.练习：数列「a n［满足a^6,a n d a^-6，求；、aj的通项公式例5、数列gj满足a i =0,a n i a* =2n，求：a* *的通项公式练习1：数列，a n!满足a^ - - 1,a n 1 ■ a n= n -1，求：a n?的通项公式练习2：数列a /■满足q =2,a n彳• a n=3n -1，求：a n?的通项公式（2）对于形如a n 1a n= f n型的递推公式求通项公式①当a n 1a n =d d为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当f n为n的函数时，由a n & a n = f n，a n a nA= f n「1两式相除，得到三竺，分奇偶项乩f（n-1）来求通项.例6、已知数列［满足a^2,a n“ a n=4，求Ca n?的通项公式.练习：已知数列｛满足a i = —, a* 1 a* - -2，求、a n的通项公式.3例7、已知数列玄*满足a i 求的通项公式练习1：数列:a n片满足a, =2,an1e n =3n，求；、aj 的通项公式练习2：数列g n ｛满足Q =1,a n1a n=2n，求 7 a n / 的通项公式5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求 a n较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有：（1） a n pa n q p,q 为常数 -a n, p a nt ,构造：a nV 为等比数列.+tq n + （t, p,q 为常数）_两边同时除以？二 肆；=p勺+t,再参考类型 ⑴an 1 = pan 1 np pan 1 二 paa n 1 - pa n• qn • r p,q, r是常数a n • 1」=p a.「n」a n 2 二pa n 1+qa n = a n 2 -ta n p a n 1 -t a n ,构造等比数列3n 1 - ta n』例8、已知数列a 冲，a =1 , a n1. =2a n，3，求a n.1练习：已数列a ［中， & = 1 且a n 半二一a n +1,则 a n = _____ .2例9、已知数列＜a n/中，a^3,a nd =3a n■ 3n 1,求；云的通项公式练习1：已知数列{a j 中，a^-3,a^2a na +2n，则a^ ______________________ .练习2：已知数列、a n中，a1 = 2, a n 1 = 3a n 4 3n,求！a n的通项公式3例10、已知数列玄'满足a n^6a n2n 1,a^1,求a n.练习1:设数列｛ a n｝满足a j =1,a n卑=3a n+2n，则a n= ______________________练习2:已知数列a ni=1a n1 3 n 2n ：；1，求 a n.练习 3：已知数列:a J n • N”的满足：a , =1-3k,a n=4n」-3a n」(1)判断数列 a n -£是否成等比数列;I 7 J(2) 求数列订爲的通项公式.例11、数列：aj中已知印=1, a n^2a n3n,求［aj的通项公式练习1：数列{a j中已知a =2月佔=3a n — n+2,求l a j的通项公式练习2：数列：a n ?中已知a^2,a n^3a n2n2 - n • 2,求CaJ的通项公式例12、已知数列込？中，q =5,a2=2,a n=2a n」+3a n p n_3，求求Ca n?的通项公式2I练习1：已知数列^a n/中，a1=1,a2=2,a n+2a n+1+ a n,求求：a n/的通项公式3 33 3 2练习2：在数列｛a n｝中，= 1, a2 ■, a n 2 'a n 1 ' ~ a n，令b n = a n 1 - a n。

数列通项公式的求法集锦一，累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

解：∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =121232343112222.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪⎪-=⎭时, 以上n-1个等式累加得21122...2n n a a --=+++=12(12)12n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。

一、累乘法 形如1()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得1n na n a += ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即3241231........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，1(1)!n a n a =-故(1)!n a n =- 且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *∈).例4．已知数列{n a }满足1a =23，11n n n a a n +=+，求n a 。

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nn a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。