泰勒公式及其应用ko

（ｋ－１）！ （１＋ｘ）ｋ
（ｋ＝１，２，３，…）
故 ｆ（ｋ）（０）＝（－１）（ｋ－１）（ｋ－１）！
ｌｎ（１＋ｘ）≈ｆ（０）＋ｆ＇（０）ｘ＋ ｆ＂（0） ｘ２＋…＋ ｆ（ｎ）（０） ｘｎ＝ｘ－ １ ｘ２＋ １ ｘ３－ １ ｘ４＋…＋（－１）ｎ－１ ｘｎ
２！
ｎ！
２３４
ｎ
误差为 Ｒｎ（ｘ） ＝
ｆ（ｎ＋１）（θｘ） ｘｎ＋１ （ｎ＋１）！
＝
（－１）ｎ （ｎ＋１）！
ｎ！ （１＋θｘ）ｎ＋１
ｘｎ＋１
ｎ＋１
＜ｘ ｎ＋１
取 ｘ＝０．２ 由于 ０．２６ ≈０．００００１１ 故取 ｎ＝５ ６
则 ｌｎ１．２＝ｌｎ（１＋０．２）≈０．２－ １ （０．２）２＋ １ （０．２）３－ １ （０．２）４＋ １ （０．２）５＝０．１８２３
２
３
４
２
（二）利用泰勒公式判断敛散性及求极限
图 ２ 金工实习与其前延后伸课程 ２．ＣＤＩＯ 教学理论与 ４＋１ 指挥人才的培养 所谓 ＣＤＩＯ 是 Ｃｏｎｃｅｉｖｅ（构想），Ｄｅｓｉｇｎ（设计），Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ（实施）， Ｏｐｅｒａｔｅ（操作）的简写，指的是现代工业产品从构思研发到运行改良乃 至终结废弃的生命全过程。ＣＤＩＯ 教学模式是以构思－设计－实施－运 行全过程为载体培养学生的工程能力，此能力不仅包括学生的专业知 识，而且包括创新能力、终生学习能力、团队交流能力和大系统掌控能 力。ＣＤＩＯ 教学模式不仅强调学生的基础知识，更重视教学实践，注重培
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高校理科研究
泰勒公式及其应用
内蒙古财经学院统计数学学院 高春香
［摘 要］泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。本文介绍了泰勒公式及其余项定义，归纳总结了泰勒公式 在近似计算中的应用，利用泰勒公式判断敛散性及求极限，利用泰勒公式求函数的高阶导数，泰勒公式在无穷小中的应用，泰勒公式 在不等式证明中的应用。 ［关键词］泰勒公式 应用 余项 极限 不等式
ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－
ｘ２ ２
＋…＋（－１）ｎ－１
ｘｎ－２ ｎ－２
＋ｏ（ｘｎ－２）
ｆ（ｘ）的 ｎ 阶泰勒公式为：
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋
ｆ＇（０） ２！
ｘ２＋…＋
ｆ（ｎ）（０） ｎ！
ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）
比较两式可知
ｆ（ｎ）（０） ｎ！
＝
（－１）ｎ－１ ｎ－２
，则有
ｆ（ｎ）（０）＝
ｎ！（－１）ｎ－１ ｎ－２
。
（四）泰勒公式在无穷小中的应用
１．金工实习在具有工程素质之指挥官培养中的地位和作用 所谓工程素质的培养，笔者认为是相对于专业技术人才培养而言 的。工程素质的内涵包括工程知识、工程意识和实践能力。对部队指挥 人才的工程素质培养而言，自然就应该以机械、控制、通讯、兵器四大工 程素质为主。如图 １ 所示。
图 １ 金工实习与工程素质培养关系图 以上四大类工程素质具备的共性都有：原理、设计、制造、使用、维 修等课程。在具体的教学内容上，原理、设计、使用和维修等因学科的不 同而差异较大，但制造环节却是以上四种工程素质培养的共性。除通讯 工程中电路板制作略有不同外，其余几个都涉及到机械零件的加工、装 配等。而学好制造环节的知识，又是对装甲装备检测、使用、维修的基 础，金工实习课程则为上述环节的理论学习提供了一个综合全面的认 知实习的机会。学好金工实习，可以为许多前延课程理论的掌握提供感 性认知，也可以后伸课程打下坚实基础。如图 ２ 所示。
与
ｘ
之间）。这就是函数
ｆ（ｘ）在
ｘ＝ｘ０ 点附近的关于 ｘ 的幂函数的展开式，也叫泰勒公式。余项还可有如 下式：Ｒｎ（ｘ）＝ｏ（ｘ－ｘ０）ｎ，称为皮亚诺余项。
二、泰勒公式的应用
泰勒公式是函数展开的一种重要形式，在解决复杂的数学方程求
解问题、推理重要结论中有着十分重要的作用。下面我们看一下泰勒公
式在解决实际数学计算问题中的具体应用。
２ｘ－３ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝２ｘ－３ｓｉｎｘ－
１ ２
ｓｉｎ２ｘ
＝２ｘ－３（ｘ－
１ ３！
ｘ３＋（ｘ３））＋
１ ２
（２ｘ－
１ ３！
（２ｘ）３＋ｏ（ｘ３））
＝－
１ ６
ｘ３＋ｏ（ｘ３）
所以 ｎ＝３。
（五）泰勒公式在不等式证明中的应用
在条件或结论中含有高阶导数时，一般使用泰勒公式证明。先写出
比最高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰当选择等式两边 ｘ 与 ｘ（０ 不
要认为展开点一定以 ｘ０ 为最合适，有时以 ｘ 为佳），最后根据所给的最
高阶导数的大小或界对展开式进行缩放。
例７
设ｌｉｍ x→０
ｆ（ｘ） ｘ
＝１，且
ｆ＂（ｘ）＞０，求证
ｆ（ｘ）＞ｘ。
证明：因为ｌｉｍ ｆ（ｘ） ＝１，可知 ｆ（０）＝０。又 ｆ＇（０）＝ｌｉｍ ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝１。
x→０ ｘ
x→０ ｘ－０
例２
求ｌｉｍ x→０
－
ｃｏｓｘ－ｅ
ｘ２ ２
ｓｉｎ４ｘ
分析：本题可以用无穷小量代换将 ｓｉｎ４ｘ 换为 ｘ４ 和洛必达法则进行
求解，但过程比较复杂，对于分母需要求多次导数才可得出计算结果。
此时我们考虑用泰勒公式将分子在 ｘ＝０ 点处展开到 ｘ 的四次幂约去分
母进行计算。
解：由等价无穷小可知道，分母为
ｘ４，只要把
以推出 ｆ（０）＝０，ｆ＇（０）＝０。将 ｆ（ｘ）在 ｘ＝０ 的邻域内展开成一阶泰勒公式：
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆ＇（０）＋ １ ｆ＂（ζ）ｘ２＝ １ ｆ＂（ζ）ｘ２，其中 ζ 在 ０ 与 ｘ 之间。
２！
２
由于题设，ｆ＂（x）在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，
— ５３６ —
埚Ｍ＞０ 使得 ｆ＂（x） ≤Ｍ，于是：ｆ（x） ＝
３．金工实习 ＣＤＩＯ 教学模式改革思路 ３．１ 金工实习 ＣＤＩＯ 教学改革目标 ＣＤＩＯ 教学模式下的金工实习主要以培养学员四种基本能力为主， 即：典型零件加工实践能力；机械创新制作能力（配合学员科技创新活 动）；零件快速加工组织能力；任务快速判断决策能力；维修资源统筹规 划能力。除此以外，通过教学组织，还可以培养学员的团队合作精神和 集体荣誉感。 ３．２ 金工实习 ＣＤＩＯ 教学内容与方法 按照目前的金工实习课程标准，课时分为 ２ 周（８０ 课时）和 １ 周（４０ 课时）两种。据此应制定两种教学内容学时分配方案。教学内容主要包 括操作规程、钳工实习、焊工实习、车工实习、数控实习、新技术实习和 考核。 ３．３ 金工实习 ＣＤＩＯ 教学组织流程 在金工实习 ＣＤＩＯ 教学组织中，强调以任务式和案例式教学，学员 按部队修理分队组织，轮流担任指挥员，体验装备从故障检测、判断、下 达任务、制定方案、组织实施等全过程。
金工实习是工科院校教学计划的一个重要组成部分，是大学生提高 工程实践意识、工程实践能力及创新能力的重要途径，对提高工科大学 生的全面素质，培养高质量与高层次的工程技术人员起着不可替代的作 用。随着军队院校培养任务和培养目标的改变，如何在工程课目中培养 具有工程素质的初级指挥人才，如何培养学员的创新能力、实践能力以 及分析问题和解决问题的能力，成为金工实习等诸多工程技术类课程 在定位于指挥人才培养中改革的关键。
（一）泰勒公式在近似计算中的应用
此类题目需要先将所求数化为函数形式，利用泰勒公式及拉格朗
日余项公式在 ｘ＝０ 点处展开后，再将 ｘ 取值进行近似计算。
例 １ 求 ｌｎ１．２ 的近似值（精确到 ０．０００１）
解：由于 ｌｎ１．２＝ｌｎ（１＋０．２） 设 ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）
因为
ｆ（ｋ）（ｘ）＝（－１）ｋ－１
养学生的工程应用能力、工程协作交流能力以及工程技术自我提升能 力［１］。
ＣＤＩＯ 对学生的创新能力、终生学习能力、团队交流能力和大系统 掌控能力培养与具有工程素质的初级指挥官的培养有许多的相似之 处。信息化条件下初级指挥人才需要突出培养果断的决策能力、广博的 武器装备知识、强烈的创新意识、崇高的集体观念等。通过 ＣＤＩＯ 教学模 式在金工实习课程中的应用，可以探索出一条以工程课程培养具有工 程素质的初级指挥官的模式。
＝（１－ａ＋ｂ）ｘ＋（ １ －ｂ２＋ａｂ）ｘ２＋（ １ ＋ｂ３－ａｂ２）ｘ３＋ｏ（（ｘ３））
２
６
→１－ａ＋ｂ＝０
由题意可知： １ ２
－ｂ２＋ａｂ＝０
，解得
→
→→→ａ＝
１ ２
→
→
→→ｂ＝－
→
１ ２
例 ６ 已知当 ｘ→０ 时，２ｘ－３ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ 与 ｘｎ 为同阶无穷小，求 ｎ 的
值。
解：因为
ｅｘ＝１＋
ｘ １！
＋
ｘ２ ２！
＋
１ ３！
ｘ３＋ｏ（ｘ３），
１ ＝１－ｂｘ＋ｂ２ｘ２－ｂ３ｘ３＋ｏ（ｘ３） １＋ｂｘ
所以，
ｅｘ－ １＋ａｘ ＝ｅｘ－ １ － ａｘ １＋ｂｘ １＋ｂｘ １＋ｂｘ
＝１＋ ｘ ＋ ｘ２ ＋ １ ｘ３－（１－ｂｘ＋ｂ２ｘ２－ｂ３ｘ３）－（ａｘ－ａｂｘ２＋ａｂ２ｘ３）＋ｏ（ｘ３） １！ ２！ ３！
泰勒公式展开后，通过比较 ｘ 各阶的系数，列方程组求解。可以确
定无穷小的阶数与表达式中的系数。
例５
已知，当
ｘ→０
Байду номын сангаас
时，ｅｘ－
１＋ａｘ １＋ｂｘ
相对于 ｘ 为三阶无穷小，求 ａ，ｂ 的
值。
分析：将函数 ｅｘ 与 １＋ａｘ 分项展开后与 ｏ（（ｘ３））比较系数联立建方程 １＋ｂｘ
组求解。
解：首先将函数展开，
ｆ（ｘ）＞ｘ。
三、总结
泰勒公式是高等数学中的重要内容。从上述实例可以看出泰勒公
式具有广泛的应用，利用其展开式以及各种余项类型可以简单的解决
一些复杂的问题，在数学计算中具有重要意义。