泰勒公式及其应用

本科生实践教学活动周实践教学成果

成果形式

： 论文

成果名称：

泰勒公式及其应用

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学 号： **********

专 业：信息与计算科学

班 级： 计科1301

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完成时间：2014年7月20日

泰勒公式及其应用

摘 要

在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍

了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯

一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.

关键词：

泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 应用

目 录

序 言 ................................................ 1

一、泰勒公式 .......................................... 1

（一）定义 ......................................... 1

（二）余项 ......................................... 1

1.佩亚诺(Peano）余项 ............................. 1

2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项........... 2

3.拉格朗日（Lagrange）余项 ........................ 2

4.柯西（Cauchy）余项 ............................. 2

5.积分余项 ....................................... 2

（三）推导过程 ...................................... 2

1.展开式 ........................................ 2

2.余项 .......................................... 3

二、泰勒公式的应用 ..................................... 5

（一）实例 ......................................... 5

1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 ............ 5

2.利用泰勒公式进行近似值计算 ...................... 6

3.利用泰勒公式求极限 ............................. 6

4.利用泰勒公式证明不等式.......................... 7

5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 .................... 8

6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 .................. 9

7.利用泰勒公式判断函数的极值 ...................... 9

8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 ........... 10

9.利用泰勒公式进行近似计算 ....................... 10

10.利用泰勒公式解经济学问题 ...................... 11

三、实践总结 ......................................... 12

参考文献 ............................................. 13

1

序 言 在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。作为数学系的学生，我认为掌握泰

勒公式及其应用是非常有必要的。本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。希望通过这次实践，使我对泰勒公式有更深入的了解，更好的运用泰勒公式这个数学工具解决更多问题，以达

到实践目的。

一、泰勒公式

（一）定义

泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项

由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的n+1次导数)的导数求得。

对于正整数n，若函数在闭区间[a,b]上n阶连续可导，且在(a,b)上n+1阶可导。

任取x∈[a,b]是一定点，则对任意x属于[a,b]成立下式：

其中，表示的n阶导数，多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩

余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

特别的，当a取0时，即是泰勒公式的特殊形式，若在x=0处n阶连续可导，则

下式成立：

其中表示的n阶导数，这就是麦克劳林展开。

（二）余项

泰勒公式的余项可以写成以下几种不同的形式：

1.佩亚诺(Peano）余项

2

2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项

其中θ∈（0,1）。

3.拉格朗日（Lagrange）余项

其中θ∈（0,1）。

4.柯西（Cauchy）余项

其中θ∈（0,1）。

5.积分余项

以上诸多余项事实上很多是等价的。

（三）推导过程

1.展开式

我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

于是：

其中误差α是在limΔx→0 即limx→x

0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往

不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。设函

数P(x)满足 ：

3

于是可以依次求出A0、A1、A

2、……、A

n，显然有： ，所以；

，所以； ，所以；

，所以； 至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数的泰勒展开式。

2.余项

接下来就要求误差的具体表达式了。设，令得到：

进而：

根据柯西中值定理：

其中；

4

继续使用柯西中值定理得到：

其中；

连续使用n+1次后得到：

其中；

同时：

而：，是一个常数，因此：

进而：

综上可得：

一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x）

写为Rn。

5

二、泰勒公式的应用

实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰

勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒公式的应用比较广泛，有

以下几种实例。

（一）实例

1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

利用基本初等函数的幂级数展开式，通过泰勒展开式可以求得。

例 求函数()nx

fxe

的幂级数展开式

解 ：由于(),(0)1,(1,2,3)nxn

fxefn

,所以()fx

的拉格朗日余项为 1(),(01)

(1)!x

n

ne

rxx

n





，

显见 1

()

(1)!x

n

ne

rxx

n



,

它对任何实数x，都有 1

lim0

(1)x

n

xe

xn||

+

→∞||=

+!,

因而lim()0

n

xrx

→∞=，所以有





0!

nnx

nx

e

x∈（—∞,+∞）

同样地，展开三角函数

其中为余项

或：

其中

6 2.利用泰勒公式进行近似值计算

利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,用)(xf麦克劳林展

开得到函数的近似计算式为

''

'2(0)(0)

()(0)(0)

2!!n

nff

fxffxxx

n≈+ + + +

,

其误差是余项()

nrx

.

例 计算近似值

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围。特别是计算机编程上的计算。

解：对指数函数

运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

当x=1时：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

3.利用泰勒公式求极限

简化极限运算，就可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类

似多项式有理式的极限。

例 求极限) 0 ( ,2

lim

2

0

a

xaaxx

x

分析：此为0

0型极限,若用洛必达法则求解则很麻烦,这时可将cosx

和2

2x

e

分别用泰勒

展开式代替,则可简化此比式.

解：) (ln

2ln1222

ln

xax

axeaaxx

