泰勒公式及其应用

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泰勒公式及其应用

目 录

中文摘要、关键词…………………………………………………………………1引言 ……………………………………………………………………………2

1 泰勒公式的引入 ………………………………………………………………3

1.1 一元泰勒公式的引入 ……………………………………………………3

1.2 二元及多元泰勒公式的引入……………………………………………4

1.3 泰勒公式的几种形式……………………………………………………7

1.3.1带Peano余项的泰勒公式……………………………………………7

1.3.2 带Lagrange余项的泰勒公式………………………………………7

1.3.3 带积分余项的泰勒公式………………………………………………9

1.3.4 带柯西余项的泰勒公式………………………………………………9

1.3.5 几种常见的带有佩亚诺余项的Maclaurin公式 …………………11

2 泰勒公式应用……………………………………………………………………11

2.1 在近似计算中的应用 ……………………………………………………11

2.2 在求极限中的应用…………………………………………………………13

2.3 利用泰勒公式的系数求函数在指定点处高阶导数的值…………………14

2.4 泰勒公式在证明中的应用…………………………………………………15

2.5 泰勒公式与一元函数极值的问题…………………………………………16

2.6 利用泰勒公式来研究函数图像的局部性质………………………………20

2.7 利用泰勒公式研究线性插值………………………………………………21

2.8 应用泰勒公式判断数项级数敛散性………………………………………22

2.9 利用泰勒公式进行函数幂级数展开………………………………………23

2.10 二元及多元函数泰勒公式的应用………………………………………26

3 复变函数中的泰勒公式…………………………………………………………27

4 总结与归纳………………………………………………………………………28

参考文献……………………………………………………………………………29

英文摘要、关键字…………………………………………………………………30

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泰勒公式及其应用

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

摘要:泰勒公式作为数学分析中的一个基本概念，是在拉格朗日中值定理基础上进行的进一步推广。它利用函数中最简单的形式多项式函数的形式，来进行各种理论的分析和探究，在进行近似计算以及估值等方面有广泛的应用。

本文从大家熟悉的多项式函数以及导数入手进而引入泰勒公式，并根据余项不同分成了带佩亚诺余项、带拉格朗日余项、带柯西余项以及积分余项等形式的泰勒公式，接下来根据带不同余项的泰勒公式的不同的性质对其应用进行分类讨论。对于带佩亚诺余项的泰勒公式可以用来计算不定式的极限；利用带拉格朗日余项以及柯西余项的泰勒公式可以进行近似计算以及一些理论的证明；将数域扩充到复数域上还可以研究关于解析函数的泰勒公式。

总之，泰勒公式贯穿于整个数学分析的理论之中，是一个最基本又重要的概念。

关键词:泰勒公式近似计算余项

2

引 言

泰勒公式是数学分析中最基础最重要的概念之一，是拉格朗日定理的进一步推广。它将一些复杂的函数用简单的多项式函数近似地表达出来，这种化简的能力使得泰勒公式成为分析和研究其他一些数学问题的重要工具，也是我们学习数学分析的重要知识点，需要重点掌握。泰勒公式在函数的估值以及近似计算、求函数极限、研究函数极值问题还有定积分等式或不等式的证明等方面有广泛的应用，它是解决其他数学问题乃至一些实际生活问题的有力工具。

泰勒公式在理论分析中的重要地位以及其广泛的应用吸引着国内外的学者对其进行深入的研究。对于泰勒公式应用的研究还在进行之中,目前已有许多研究者在该领域获得了多项研究成果，文献的作者充分研究和总结了泰勒公式在各个领域上的应用，将泰勒公式的相关理论充分应用到实践之中，采用的方法新颖而独特，值得我们借鉴和学习。

本篇论文共分三个部分，第一部分是关于泰勒公式的引入并给出其证明，还给出了带不同余项的泰勒公式；第二部分是关于泰勒公式的应用，详细介绍了泰勒公式在近似计算、求函数极限、求函数最值以及研究函数图像局部性质等方面的应用；第三部分是将数域扩充到复数域上，在复数域上来研究解析函数的泰勒公式并讨论其应用。

3

1.泰勒公式的引入

1.1 一元函数泰勒公式的引入

在学习导数和微分的相关概念时我们知道如果函数f在点0x可导，则有

0000fxfxfxxxxx.

即在点0x附近，用一次多项式000fxfxxx逼近函数fx时，其误差为0xx的高阶无穷小量。然而在许多情况下，取一次多项式的逼近是远远不够的，常常需要二次或高于二次的多项式去逼近，并要求其误差为0nxx，其中n为多项式的次数.

我们考察任一多项式20010200nnnpxxxxxxx

逐次求它在点0x处的各阶导数，得到

0001020,,2!,!nnnnnnpxpxpxpxn，

即0000012,,,,.1!2!!nnnnnnpxpxpxpxn

由此可见，多项式npx的各项系数由其在点0x的各阶导数值所唯一确定.

对于一般的函数f，设它在点0x存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式

()20000000.2nnnfxfxTxfxfxxxxxxxn！！

称为函数f在点0x处的泰勒多项式。下面要证

0.nnnRxfxTxxx

定理1假设函数f在点0x存在直至n阶导数，有0nnfxTxxx，即 4

200000()0002.nnnfxfxfxfxxxxxfxxxxxn！！

证：设

nnRxfxTx，0nnQxxx，

现在只要证

0lim=0.nxxnRxQx

易知： 00,0,1,2,,kknfxTxkn

0000nnnnRxRxRx

并易知

100000,!nnnnnnQxQxQxQxn

因为0nfx存在，所以在点0x的某邻域0Ux内f内存在1n阶导函数fx。于是，当0xUx且0xx时，允许接连使用洛必达法则1n次，得到

00011lim=lim=limnnnnnxxxxxxnnnRxRxRxQxQxQx

0110000lim12nnnxxfxfxfxxxnnxx

0110001limnnnxxfxfxfxnxx！

0.

证毕.

1.2 二元及多元泰勒公式的引入：

二元函数的泰勒公式，与一元函数的泰勒公式类似，对于n元函数(2)n也有相同的公式，只是在形式上更复杂一些.

定理2（泰勒定理）若函数f在点000,Pxy的某邻域0UP内有直到1n阶5

的连续偏导数，则对0UP内任一点00,xhyk，存在相应的0,1，使得

00000020000100,,,1,2!1,!1,.1!nnfxhykfxyhkfxyxyhkfxyxyhkfxynxyhkfxhyknxy

上式称为二元函数f在点0P的n阶泰勒公式。

定理3设nU为一个凸区域，函数f为1U具有1m阶连续偏导数，000012(,,,)nxxxxU，12(,,,)nxxxxU，0xx（0x与x的连线）

11221212112211121121000001,,,11000,,,11()()()()()()!1()()()()(1)!kkkkmmmmkmniiiiiikiiiiiimniiiiiiiiiiiiffxfxxxxxxxxkxxxfxxxxxxmxxx

或是

1000011111()()()()()()!(1)!kmmnniiiikiiiifxfxxxfxxxfkxmx

证明：令0()((1))tftxtx，[0,1]t，明显的11([0,1],)mC，并且

0(0)()fx，(1)()fx，

111100()((1))()niiiifttxtxxxx，



111212()000,,1()((1))()()kkkkknkiiiiiiiiiifttxtxxxxxxxx，

其中 1,2,,1km