泰勒公式及其应用

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泰勒公式及其应用

作者：闫艳

来源：《教育界·上旬》2015年第04期

【摘 要】泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，它能将一些复杂的函数近似地表示成简单的多项式函数。本文主要探讨了泰勒公式在极限运算、近似计算、不等式的证明、级数敛散性的判断等方面的应用。

【关键词】泰勒公式 极限 不等式 收敛性

一、泰勒公式

泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上占有重要地位，在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面都有着重要的应用。泰勒公式的一般形式为：

其中为拉格朗日余项或皮亚诺型余项。

若令，则泰勒公式变为麦克劳林公式，即：

二、泰勒公式的应用

1.利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。

例如求极限 ，此为型极限，若用罗比塔法则很麻烦。这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式，求得

==.

注：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。我们知道，当时，

等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。

2. 利用泰勒公式判断函数的极值

讨论函数极值通用的方法是：当且（或）时，是的极小（大）值。但如果此时，此方法不能判别 是否为极值点，可用泰勒公式。 龙源期刊网

3. 泰勒公式判断广义积分的收敛性

为一正值函数，要判定的收敛性，如果能找到恰当的，，使，由比较判别法的极限形式可判别出无穷积分的收敛性。这里的问题也是如何选取，才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究的阶，就可以解决这类问题。

科技信息

一、泰勒公式的定义定理：若函数ｆ（ｘ）在点ｘ０存在直到ｎ＋１阶连续导数，则有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ＇（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ＂（ｘ０）２！（ｘ－ｘ０）２＋…＋ｆ（ｎ）（ｘ０）ｎ！（ｘ－ｘ０）ｎ＋Ｒｎ（ｘ）其中Ｒｎ（ｘ）＝ｆ（ｎ＋１）（ξ）（ｎ＋１）！（ｘ－ｘ０）ｎ＋１（ξ介于ｘ０与ｘ之间）。这就是函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０点附近的关于ｘ的幂函数的展开式，也叫泰勒公式。余项还可有如下式：Ｒｎ（ｘ）＝ｏ（ｘ－ｘ０）ｎ，称为皮亚诺余项。二、泰勒公式的应用泰勒公式是函数展开的一种重要形式，在解决复杂的数学方程求解问题、推理重要结论中有着十分重要的作用。下面我们看一下泰勒公式在解决实际数学计算问题中的具体应用。（一）泰勒公式在近似计算中的应用此类题目需要先将所求数化为函数形式，利用泰勒公式及拉格朗日余项公式在ｘ＝０点处展开后，再将ｘ取值进行近似计算。例１求ｌｎ１．２的近似值（精确到０．０００１）解：由于ｌｎ１．２＝ｌｎ（１＋０．２）设ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）因为ｆ（ｋ）（ｘ）＝（－１）ｋ－１（ｋ－１）！（１＋ｘ）ｋ（ｋ＝１，２，３，…）故ｆ（ｋ）（０）＝（－１）（ｋ－１）（ｋ－１）！ｌｎ（１＋ｘ）≈ｆ（０）＋ｆ＇（０）ｘ＋ｆ＂（0）２！ｘ２＋…＋ｆ（ｎ）（０）ｎ！ｘｎ＝ｘ－１２ｘ２＋１３ｘ３－１４ｘ４＋…＋（－１）ｎ－１ｘｎｎ误差为Ｒｎ（ｘ）＝ｆ（ｎ＋１）（θｘ）（ｎ＋１）！ｘｎ＋１＝（－１）ｎ（ｎ＋１）！ｎ！（１＋θｘ）ｎ＋１ｘｎ＋１＜ｘｎ＋１ｎ＋１取ｘ＝０．２由于０．２６６≈０．００００１１故取ｎ＝５则ｌｎ１．２＝ｌｎ（１＋０．２）≈０．２－１２（０．２）２＋１３（０．２）３－１４（０．２）４＋１２（０．２）５＝０．１８２３（二）利用泰勒公式判断敛散性及求极限例２求ｌｉｍx→０ｃｏｓｘ－ｅ－ｘ２２ｓｉｎ４ｘ分析：本题可以用无穷小量代换将ｓｉｎ４ｘ换为ｘ４和洛必达法则进行求解，但过程比较复杂，对于分母需要求多次导数才可得出计算结果。此时我们考虑用泰勒公式将分子在ｘ＝０点处展开到ｘ的四次幂约去分母进行计算。解：由等价无穷小可知道，分母为ｘ４，只要把ｃｏｓｘ，ｅ－ｘ２２展开到ｘ４即可，ｃｏｓｘ＝１－１２！ｘ２＋１４！ｘ４＋ｏ（ｘ４）ｅ－ｘ２２＝１－ｘ２２＋１２！（－ｘ２２）２＋ｏ（ｘ４）故ｌｉｍx→０ｃｏｓｘ－ｅ－ｘ２２ｓｉｎ４ｘ＝ｌｉｍx→０（１４！－１８）ｘ４＋ｏ（ｘ４）ｘ４＝－１１２当要求判断极限的敛散性且条件出现有二阶和二阶以上导数时，考虑用泰勒公式展开判断极限敛散性。例３设ｆ（ｘ）在点ｘ＝０的某一邻域内具有二阶连续导数，且ｌｉｍx→０ｆ（ｘ）ｘ＝０。证明：级数∞n＝１Σｆ（１ｎ）绝对收敛。分析：可以先用泰勒公式求出ｆ（ｘ）在点ｘ＝０处的二阶导数，利用二阶导数判断ｘ→０时ｆ（ｘ）的趋势。证明：由ｌｉｍx→０ｆ（ｘ）ｘ＝０，又ｆ（ｘ）在ｘ＝０的邻域内具有二阶连续导数，可以推出ｆ（０）＝０，ｆ＇（０）＝０。将ｆ（ｘ）在ｘ＝０的邻域内展开成一阶泰勒公式：ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆ＇（０）＋１２！ｆ＂（ζ）ｘ２＝１２ｆ＂（ζ）ｘ２，其中ζ在０与ｘ之间。由于题设，ｆ＂（x）在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，埚Ｍ＞０使得ｆ＂（x）≤Ｍ，于是：ｆ（x）＝１２ｆ＂（ζ）ｘ２≤Ｍ２ｘ２。令ｘ＝１ｎ，则ｆ（x）＝≤Ｍ２·１ｎ２。因为∞n＝１Σ１ｎ２收敛，所以∞n＝１Σｆ（１ｎ）绝对收敛。（三）利用泰勒公式求函数的高阶导例４已知ｆ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１＋ｘ）求ｆ（ｎ）（０）。解：先写出ｌｎ（１＋ｘ）的ｎ－２阶泰勒公式，当ｘ→０时，有ｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－ｘ２２＋…＋（－１）ｎ－１ｘｎ－２ｎ－２＋ｏ（ｘｎ－２）ｆ（ｘ）的ｎ阶泰勒公式为：ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆ＇（０）２！ｘ２＋…＋ｆ（ｎ）（０）ｎ！ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）比较两式可知ｆ（ｎ）（０）ｎ！＝（－１）ｎ－１ｎ－２，则有ｆ（ｎ）（０）＝ｎ！（－１）ｎ－１ｎ－２。（四）泰勒公式在无穷小中的应用泰勒公式展开后，通过比较ｘ各阶的系数，列方程组求解。可以确定无穷小的阶数与表达式中的系数。例５已知，当ｘ→０时，ｅｘ－１＋ａｘ１＋ｂｘ相对于ｘ为三阶无穷小，求ａ，ｂ的值。分析：将函数ｅｘ与１＋ａｘ１＋ｂｘ分项展开后与ｏ（（ｘ３））比较系数联立建方程组求解。解：首先将函数展开，ｅｘ＝１＋ｘ１！＋ｘ２２！＋１３！ｘ３＋ｏ（ｘ３），１１＋ｂｘ＝１－ｂｘ＋ｂ２ｘ２－ｂ３ｘ３＋ｏ（ｘ３）所以，ｅｘ－１＋ａｘ１＋ｂｘ＝ｅｘ－１１＋ｂｘ－ａｘ１＋ｂｘ＝１＋ｘ１！＋ｘ２２！＋１３！ｘ３－（１－ｂｘ＋ｂ２ｘ２－ｂ３ｘ３）－（ａｘ－ａｂｘ２＋ａｂ２ｘ３）＋ｏ（ｘ３）＝（１－ａ＋ｂ）ｘ＋（１２－ｂ２＋ａｂ）ｘ２＋（１６＋ｂ３－ａｂ２）ｘ３＋ｏ（（ｘ３））由题意可知：１－ａ＋ｂ＝０１２－ｂ２＋ａｂ＝→０，解得ａ＝１２ｂ＝－１２→→→→→→→→→例６已知当ｘ→０时，２ｘ－３ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ与ｘｎ为同阶无穷小，求ｎ的值。解：因为２ｘ－３ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝２ｘ－３ｓｉｎｘ－１２ｓｉｎ２ｘ＝２ｘ－３（ｘ－１３！ｘ３＋（ｘ３））＋１２（２ｘ－１３！（２ｘ）３＋ｏ（ｘ３））＝－１６ｘ３＋ｏ（ｘ３）所以ｎ＝３。（五）泰勒公式在不等式证明中的应用在条件或结论中含有高阶导数时，一般使用泰勒公式证明。先写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰当选择等式两边ｘ与ｘ０（不要认为展开点一定以ｘ０为最合适，有时以ｘ为佳），最后根据所给的最高阶导数的大小或界对展开式进行缩放。例７设ｌｉｍx→０ｆ（ｘ）ｘ＝１，且ｆ＂（ｘ）＞０，求证ｆ（ｘ）＞ｘ。证明：因为ｌｉｍx→０ｆ（ｘ）ｘ＝１，可知ｆ（０）＝０。又ｆ＇（０）＝ｌｉｍx→０ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｘ－０＝１。由于ｆ（ｘ）二阶可导，故ｆ（ｘ）在ｘ＝０点可以展开泰勒公式及其应用内蒙古财经学院统计数学学院高春香［摘要］泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。本文介绍了泰勒公式及其余项定义，归纳总结了泰勒公式在近似计算中的应用，利用泰勒公式判断敛散性及求极限，利用泰勒公式求函数的高阶导数，泰勒公式在无穷小中的应用，泰勒公式在不等式证明中的应用。［关键词］泰勒公式应用余项极限不等式

《泰勒公式及其应用》的开题报告

《泰勒公式的验证及其应用》的开题报告

关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国论文开题报告

1．本课题的目的及研究意义

目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。

研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。

2．本课题的研究现状

数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容

对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。

本课题将从以下几个方面展开研究：

一、介绍泰勒公式及其证明方法

二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。

三、结论。

4．本课题的实行方案、进度及预期效果

泰勒公式及其应用

摘要

文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。

关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式

1.1 一元泰勒公式

若函数)(xf在含有x的开区间),(ba内有直到1n阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0xx的多项式和一个余项的和：

10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf其中)(xRn10)1()()!1()(nnxxnf 在x和0x之间的一个数，该余项)(xRn为拉格朗日余项。

1.1.1 泰勒公式的推导过程

我们知道))(()()(000xxxfxfxf，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：

nnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010

来近似表达函数)(xf；

设多项式)(xp满足)()()()(),()(0)(0)(0000xfxpxfxpxfxpnn

因此可以得出naaa10,.显然，00)(axp，所以)(00xfa；10)(axp，所以)(01xfa；20!2)(axp，所以!2)(02xfannanxp!)(0)(，所以有!)(0)(nxfann

所以，nnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(!2)())(()()(00)(200000

1.1.2 泰勒公式余项的证明

我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：

设)()()(xpxfxRn