D2.4函数微分

高等数学教材内容目录表1. 函数与极限1.1 函数的基本概念1.2 极限的定义与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 函数的连续性2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 高阶导数与导数的简单应用2.4 微分的概念与计算3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与极值3.3 中值定理的应用3.4 泰勒公式与泰勒展开式3.5 参数方程与极坐标系4. 不定积分4.1 不定积分的定义与基本性质 4.2 基本积分公式与通积分法 4.3 分部积分与换元积分法4.4 定积分与定积分的计算5. 定积分与微积分基本定理5.1 定积分的定义与性质5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 组合中的定积分5.4 广义积分与无穷级数6. 常微分方程6.1 一阶常微分方程6.2 高阶线性常微分方程6.3 非齐次线性微分方程6.4 变量可分离微分方程6.5 齐次线性微分方程6.6 常系数线性微分方程7. 多元函数微分学7.1 二元函数与二元函数的极限 7.2 二元函数偏导数与全微分7.3 隐函数与隐函数的偏导数7.4 多元函数的极值与条件极值8. 重积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 三重积分的概念与性质8.3 球坐标与柱坐标下的积分计算8.4 重积分的应用9. 曲线积分与曲面积分9.1 曲线积分的定义与计算9.2 曲线积分的应用9.3 曲面积分的定义与计算9.4 曲面积分的应用10. 傅里叶级数10.1 傅里叶系数与傅里叶级数10.2 傅里叶级数的收敛性与展开性质10.3 定义域上的奇偶延拓与周期延拓11. 选修内容（根据学校及课程安排进行确定）。

高等数学教材二目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念及基本性质1.3 极限的运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 一元函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分的概念及其应用2.5 泰勒公式与应用第三章：函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的最值与最值问题3.3 简单的应用问题3.4 分类讨论与探究第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质 4.2 基本积分公式与换元法4.3 牛顿-莱布尼茨公式与应用 4.4 微分方程的基本概念4.5 可降次的微分方程第五章：定积分与定义5.1 定积分的概念与性质5.2 积分中值定理与应用5.3 积分的换元法与分部积分 5.4 可积函数与不可积函数5.5 微元法与应用第六章：定积分的应用6.1 曲线下的面积与弧长6.2 旋转体的体积与侧面积6.3 质量、质心与转动惯量6.4 弹性势能与物体受力6.5 场景模拟与实际问题第七章：多元函数的偏导数与全微分 7.1 二元函数与偏导数7.2 偏导数的连续性与可导性7.3 二元函数的全微分与近似计算 7.4 复合函数的求导法则7.5 总微分与偏导数的几何意义第八章：多元函数的积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与坐标变换8.4 曲线与曲面的面积8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数9.1 数列及其极限9.2 级数的概念与性质9.3 正项级数的审敛法与上下界9.4 绝对收敛与条件收敛9.5 幂级数与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性微分方程10.3 高阶线性常微分方程10.4 非齐次线性微分方程10.5 高阶线性方程的振动与抽样总结：通过本教材的学习，读者将对高等数学的核心概念及其应用有深入的了解。

每个章节都涵盖了特定的数学内容，从函数与极限开始深入探讨到常微分方程的应用。

一、函数【定义 1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作.),(D x x f y ∈=x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性1．单调性（1）【定义1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义 1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数；)()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4．周期性【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义1.7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作 .),(1R y y f x ∈=-并称其为)(x f y =反函数. 习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x fy ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义 1.8】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数{}f D x x x x f y ∈∈=)(|)],([ϕϕ为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：f D x x f x F ∈=,0))(,(其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数. 如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即 ]1,0[,)1()(2∈-==x x x f ye n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义1.10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作.)(lim A x f n =∞→当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作.)(lim )(lim )(lim ).)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===⇔===+∞→+∞→∞→-∞→+∞→3．0x x →时的极限【定义 1.11】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作.)(lim 0A x f x x =→4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0.)(lim )(lim )(lim 000A x f A x f A x f x x x x x x ===⇔=-+→→→（三）函数极限的性质1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B .2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻 域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。

数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:微分中值定理;内容提要:微分中值定理; 拟微分中值定理.问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为σ(t)=x1(t),···,x n(t),t∈(a,b).设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且f◦σ(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)其中σ (t0)=x1(t0),···,x n(t0).问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为σ(t)=x1(t),···,x n(t),t∈(a,b).设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且f◦σ(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)其中σ (t0)=x1(t0),···,x n(t0).证明.这是链式法则的直接推论.(微分中值定理)设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在θ∈(0,1),使得f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)(微分中值定理)设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在θ∈(0,1),使得f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)证明.令σ(t)=tx+(1−t)y,由D为凸域可知当t∈[0,1]时σ(t)∈D.对一元函数ϕ(t)=f◦σ(t)用微分中值定理可知存在θ∈(0,1),使得ϕ(1)−ϕ(0)=ϕ (θ).由(1)式可得ϕ(1)−ϕ(0)=∇f(ξ)·σ (θ)=∇f(ξ)·(x−y),其中ξ=σ(θ)=θx+(1−θ)y.由f(x)=ϕ(1),f(y)=ϕ(0)可知欲证结论成立.向量值函数的微分中值定理问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?设D⊂R n为凸域,f:D→R m为向量值的多元函数.设x,y∈D.对f的每一个分量f i应用微分中值定理可得ξi∈D,使得f i(x)−f i(y)=∇f i(ξi)·(x−y).问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立.问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立. 不过,我们有(拟微分中值定理)设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .(拟微分中值定理)设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .证明.基本的想法是对f的分量的线性组合应用微分中值定理.为此,不妨设f(x)=f(y).任意取定R m中的单位向量u=(u1,···,u m),记g=u·f=mi=1u i f i,则g为D中可微函数.根据微分中值定理,存在ξ∈D,使得g(x)−g(y)=∇g(ξ)·(x−y).证明(续).注意到∇g(ξ)=mi=1u i∇f i(ξ).利用Cauchy-Schwarz不等式可得 ∇g(ξ) ≤mi=1|u i|· ∇f i(ξ)≤ u ·mi=1∇f i(ξ) 21/2= Jf(ξ) .由g(x)−g(y)=u·[f(x)−f(y)]可得u·[f(x)−f(y)]≤ ∇g(ξ) · x−y ≤ Jf(ξ) · x−y .在上式中取u=[f(x)−f(y)]/ f(x)−f(y) 就完成了定理的证明.。

高等数学d类教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数集1.2 函数的概念1.3 函数的性质与运算1.4 映射与反函数1.5 极限的概念1.6 极限的运算法则1.7 无穷小与无穷大1.8 无穷大的比较与等价1.9 极限存在准则第二章：导数与微分2.1 切线与割线2.2 导数的定义与性质2.3 基本导数公式2.4 高阶导数与函数的近似2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与计算2.7 导数在几何与物理中的应用2.8 铺垫篇：练习与思考第三章：微分中值定理3.1 极值与最值3.2 高阶导数与函数的凹凸性3.3 Rolle定理3.4 中值定理与拉格朗日中值定理3.5 洛必达法则与高阶导数的应用3.6 弧长与曲率3.7 泰勒公式与展开式3.8 微分中值定理的证明与扩展3.9 铺垫篇：练习与思考第四章：不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质4.3 简单的不定积分法4.4 第一类换元法4.5 第二类换元法4.6 分部积分法4.7 有理函数的积分4.8 特殊函数的积分4.9 定积分与无穷积分第五章：定积分与其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 可积性与测度零函数5.3 函数的求积与积分区间5.4 牛顿-莱布尼兹公式5.5 定积分中值定理与平均值定理5.6 积分的应用：几何与物理5.7 主体思想解决问题5.8 微积分的历史渊源与思考第六章：多元函数微分学6.1 二元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 多元函数的链式法则6.4 隐函数与方程组的求导6.5 方向导数与梯度6.6 多元函数的极值与条件极值6.7 多元函数的二阶导数与Taylor公式第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 二重积分的性质7.3 二重积分的应用7.4 三重积分的概念与计算7.5 三重积分的性质7.6 三重积分的应用7.7 曲线积分的概念与计算7.8 曲线积分的应用7.9 广义积分的问题与思考第八章：曲面积分与散度定理8.1 曲面积分的概念与计算8.2 曲面积分的性质8.3 曲面积分的应用8.4 散度的概念与计算8.5 散度定理的推导与应用8.6 高斯定理的特殊情况8.7 广义积分的问题与思考第九章：曲线积分与环量定理9.1 曲线积分的概念与计算9.2 曲线积分的性质9.3 Green公式的推导与应用9.4 环量的概念与计算9.5 环量定理与Green公式的关系9.6 有向曲线积分的计算与应用9.7 广义积分的问题与思考第十章：无穷级数与幂级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 正项级数的审敛法10.3 一般级数的审敛法10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数的概念与性质10.6 幂级数的收敛半径10.7 幂级数的求和与展开10.8 项项可求和级数的特点10.9 广义积分的问题与思考结束语：本教材力求将高等数学的知识条理清晰地呈现给读者。

高等数学第七版教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章：积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章：曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章：无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章：常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章：数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录，我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。

大一高数知识点总结完整版导言：大学高级数学（简称高数）是一门对很多理工科学生来说非常重要的课程。

在大一期间，我们学习了高数的基础知识，这些知识对我们后续学习进一步的数学课程以及其他学科都有很大帮助。

下面将对大一高数的几个重要知识点进行总结，以便于我们复习巩固。

1. 一元函数的极限和连续性1.1 函数的极限：介绍了函数极限的概念、定义和性质。

包括左极限和右极限，无穷大极限等。

1.2 连续性：介绍了函数连续性的概念，以及一些函数连续性的判定方法，如闭区间上的连续函数必定有界。

1.3 中值定理：包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，讲述了函数导数和函数性质之间的关系。

2.1 导数的定义：介绍了导数的定义和性质，导数的图形意义以及几何意义。

2.2 导数的四则运算法则：讲述了求和、差、积和商的函数的导数的法则。

2.3 高阶导数：介绍了导数的概念，如一阶导数、二阶导数等。

2.4 微分：讲述了微分的定义、性质和微分形式。

3. 微分中值定理和泰勒级数3.1 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理：介绍了导数中值定理的概念和应用。

3.2 泰勒级数：讲述了泰勒级数的概念、性质以及泰勒展开公式的推导。

4.1 不定积分的定义和常用公式：介绍了不定积分的定义和性质，以及一些基本的不定积分公式。

4.2 定积分和变量替换法：讲述了定积分的概念和性质，以及变量替换法在定积分中的应用。

5. 定积分的应用5.1 平均值、面积和弧长：介绍了定积分在求函数平均值、曲线下面积和弧长等方面的应用。

5.2 微分方程的应用：讲述了定积分在求解微分方程的问题中的应用。

6. 多元函数的极限与连续性6.1 多元函数的极限：讲述了多元函数的极限的定义和判定方法。

6.2 多元函数的偏导数：介绍了多元函数的偏导数的定义和计算方法。

6.3 多元函数的连续性：讲述了多元函数的连续性的概念和性质。

7. 重积分7.1 二重积分：介绍了二重积分的定义和性质，以及二重积分的计算方法。

第二节 微分§2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。

例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。

如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。

因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy?假设f ′(x)存在，则0x lim→∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆x y∆∆＝f ′(x ０)，有 xy∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx∆∆∂＝０(1)即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。

从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。

二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。

则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。

三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。

因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。

求函数的全微分1. 定义函数的全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化情况。

全微分可以看作是函数的线性近似，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。

在数学中，对于多变量函数f(x1,x2,...,x n)，其全微分可以表示为：df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂x ndx n其中，∂f∂x i表示函数f对变量x i的偏导数，dx i表示变量x i的微小变化量。

2. 用途函数的全微分在实际问题中具有广泛的应用。

它可以用于描述函数在某一点的变化率，从而帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

以下是一些常见的应用场景：2.1 极值分析对于一个多变量函数，我们希望找到使其取得极值（最大值或最小值）的点。

通过求函数的全微分，我们可以得到函数在极值点附近的线性近似表达式，进而分析函数在该点的变化情况。

通过分析函数的全微分，我们可以确定极值点的位置以及极值点的类型（极大值或极小值）。

2.2 优化问题在实际问题中，我们常常需要求解一些优化问题，例如最小化成本、最大化收益等。

函数的全微分可以帮助我们建立数学模型，并通过分析全微分来确定使目标函数取得极值的条件。

通过这些条件，我们可以求解出最优解。

2.3 线性近似函数的全微分可以看作是函数在某一点的线性近似。

通过全微分，我们可以得到函数在该点附近的近似表达式，从而用简单的线性函数来近似描述复杂的非线性函数。

这在实际问题中具有重要的应用，例如在数值计算中，可以用线性近似来简化计算过程。

2.4 误差分析在测量和实验中，我们常常会遇到误差和不确定性。

函数的全微分可以帮助我们分析函数输出的误差与输入的误差之间的关系。

通过分析全微分，我们可以估计误差的传播和累积，从而帮助我们进行误差分析和不确定性评估。

3. 工作方式函数的全微分可以通过偏导数来计算。

具体来说，我们可以按照以下步骤来计算函数的全微分：3.1 计算偏导数首先，我们需要计算函数对每个自变量的偏导数。

一注基础高等数学知识总结.doc一级注册建筑师基础高等数学知识总结引言一级注册建筑师考试中的高等数学部分，旨在测试考生对高等数学基础概念、原理和计算方法的掌握程度。

本总结旨在帮助考生系统地复习高等数学的重点知识，为考试做好充分准备。

第一部分：函数、极限与连续1.1 函数的概念函数的定义函数的表示方法特殊函数（常函数、线性函数、多项式函数）1.2 极限的概念极限的定义极限的性质无穷小与无穷大的概念1.3 函数的连续性连续函数的定义连续函数的性质间断点的分类第二部分：导数与微分2.1 导数的概念导数的定义导数的几何意义基本导数公式2.2 导数的运算法则乘积法则商法则链式法则2.3 高阶导数高阶导数的定义高阶导数的计算方法2.4 微分的概念微分的定义微分与导数的关系第三部分：积分3.1 不定积分不定积分的定义不定积分的计算方法分部积分法和换元积分法3.2 定积分定积分的定义定积分的性质定积分的计算方法3.3 广义积分广义积分的概念广义积分的计算第四部分：级数4.1 数项级数正项级数交错级数绝对收敛与条件收敛4.2 幂级数幂级数的定义幂级数的收敛半径4.3 函数的泰勒展开泰勒公式泰勒级数的应用第五部分：多元函数微分学5.1 偏导数偏导数的定义偏导数的计算方法5.2 全微分全微分的概念全微分与偏导数的关系5.3 多元函数的极值极值的定义极值的求解方法第六部分：常微分方程6.1 一阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程6.2 高阶微分方程高阶微分方程的解法欧拉方程6.3 微分方程的应用微分方程在几何问题中的应用微分方程在物理问题中的应用结语总结一级注册建筑师考试中高等数学部分的重要性，以及考生在复习过程中应注意的重点和策略。

大专高等数学大一教材目录一、函数与极限1.1 实数与函数的概念1.2 函数的运算与初等函数1.3 函数的极限与连续性1.4 极限的运算法则1.5 无穷小量与无穷大量1.6 极限不存在的情况1.7 函数的连续性与间断点二、导数与微分2.1 函数的导数与导数的基本运算法则2.2 高阶导数与莱布尼茨公式2.3 隐函数与参数方程的导数2.4 微分的概念与微分公式2.5 高阶导数的应用2.6 泰勒公式与函数的局部性质2.7 函数的最值与最值问题三、积分与定积分3.1 不定积分的概念与基本积分法 3.2 换元积分法与分部积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 定积分的应用3.6 反常积分与广义积分四、级数与幂级数4.1 数列的概念与性质4.2 数列极限与函数极限的联系4.3 级数的概念与性质4.4 收敛级数的判定4.5 正项级数的审敛法与比较判别法 4.6 幂级数的概念与收敛半径4.7 幂级数的运算与函数展开五、常微分方程5.1 基本概念与初值问题5.2 一阶线性常微分方程5.3 可分离变量与齐次方程5.4 变量可分离与变换成线性方程5.5 高阶线性常微分方程与齐次方程5.6 非齐次线性常微分方程5.7 常系数线性常微分方程与特殊非线性方程六、多元函数微分学6.1 函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程的偏导数6.4 多元复合函数的导数6.5 方向导数与梯度6.6 高阶偏导数与多元泰勒公式6.7 多元函数的极值与最值问题七、多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 二重积分在坐标变换中的应用7.4 三重积分的概念与性质7.5 三重积分的计算方法7.6 曲线、曲面与曲面积分7.7 格林公式与高斯公式八、向量场与曲线积分8.1 向量场的概念与性质8.2 向量场的积分与保守场8.3 曲线积分的概念与性质8.4 第一类曲线积分的计算方法8.5 第二类曲线积分的计算方法8.6 平面与空间曲线的长度8.7 曲线积分与路径无关性九、曲面与曲面积分9.1 曲面的概念与性质9.2 曲面的参数方程与第一类曲面积分 9.3 曲面积分的计算方法9.4 多重积分的坐标变换9.5 斯托克斯公式与高斯公式9.6 曲线、曲面与向量场的关系9.7 曲面积分与路径无关性以上为大专高等数学大一教材目录，目录内容涵盖了大一学习数学所需要掌握的核心知识点。

高等数学人民邮电出版教材答案本文是高等数学人民邮电出版教材的答案，旨在帮助学习该教材的学生更好地理解和掌握相关知识。

以下是各章节的题目及对应的答案。

第一章：函数与极限1.1 函数概念与性质答案：函数是一种特殊的关系，每个自变量只能对应一个因变量。

函数具有定义域、值域和可求极限的特点。

1.2 一元函数的极限答案：一元函数极限的概念是指当自变量逼近某一值时，函数值的变化趋势。

通过极限的计算，可以确定函数的收敛性与发散性。

1.3 数列的极限答案：数列的极限是指当数列的项逐渐接近某一常数时，数列呈现出的趋势。

1.4 无穷小与无穷大答案：无穷小是指当自变量趋近于某一值时，函数值逐渐趋近于零；无穷大是指函数值在某一区间内越来越大，无界。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质答案：导数是函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的斜率。

导数具有线性性、可导性和连续性等性质。

2.2 常用函数的导数答案：常用函数的导数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数等，可以通过求导规则得到。

2.3 高阶导数与隐函数求导答案：高阶导数是指对函数连续求导多次得到的导函数，可以用来描述函数的凸凹性；隐函数求导是指通过已知关系式求解未知函数的导数。

2.4 微分与求导公式答案：微分是导数的一个近似，用来刻画函数在某一点的局部变化；求导公式包括常数因子法、和差积商法等。

第三章：微分中值定理与应用3.1 极值与最值答案：极值是指函数在某一区间内的最大值或最小值，可以通过函数的导数、边界点和驻点进行求解。

3.2 微分中值定理答案：微分中值定理是用来描述函数在某一区间内存在某点的函数值与导数值之间的关系，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

3.3 曲线的凹凸性与拐点答案：曲线的凹凸性是指函数图像在某一区间内上凸还是下凹；拐点是曲线由上凸变为下凹或由下凹变为上凸的临界点。

3.4 泰勒公式与近似计算答案：泰勒公式是用多项式逼近函数的方法，可以用来进行函数值的近似计算。

微分中值定理在中学数学中的应用【摘要】微分中值定理是微积分中的重要定理，在中学数学中也有广泛的应用。

本文首先介绍了微分中值定理的基本概念和数学表达式，然后详细说明了如何利用微分中值定理求解函数的增减性问题和证明函数的单调性。

接着，讨论了微分中值定理在解决实际问题中的应用，例如求曲线的切线方程等。

最后结合实际案例总结了微分中值定理在中学数学中的重要性，强调其在函数分析和求解实际问题中的价值。

微分中值定理在数学教育中的应用范围广泛，对学生的数学思维和问题解决能力有很好的培养作用，是中学数学中不可或缺的重要内容。

【关键词】微分中值定理、中学数学、基本概念、数学表达式、增减性问题、单调性、实际问题、应用范围、重要性。

1. 引言1.1 微分中值定理在中学数学中的应用微分中值定理在中学数学中的应用主要体现在对函数的增减性问题、单调性、以及实际问题的解决上。

通过微分中值定理，我们能够推导出函数在某个区间内的增减性以及单调性，进而更好地理解函数的性质和变化规律。

微分中值定理也可以用来证明函数的单调性。

通过对函数的导数进行分析，并应用微分中值定理，我们可以得出函数在某个区间内的单调性，进而推断出整个函数的单调性。

这为我们在研究函数的性质和特点时提供了重要的工具和技巧。

微分中值定理也被应用于解决实际问题中。

通过将实际问题建模为数学函数，并使用微分中值定理来分析函数的特点和趋势，我们可以更好地理解问题的本质，提出解决方案，并进行有效的预测和决策。

微分中值定理在中学数学中的应用不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律，还可以指导我们解决实际问题，提高数学建模和分析的能力。

其在中学数学教育中的重要性不可忽视，为学生提供了更丰富和深入的数学学习体验。

2. 正文2.1 微分中值定理的基本概念微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在中学数学中的应用十分广泛。

为了更好地理解微分中值定理在中学数学中的应用，首先需要了解微分中值定理的基本概念。