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2021年高考数学导数应用知识点总结知识点总结
导数是微积分中的重要基础概念，以下是导数应用知识点总结，请考生及时学习。
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
知识整合
1.导数概念的理解。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
导数应用知识点总结的全部内容就是这些，古代精彩内容请考生持续关注。
____年高考第一轮复习备考专题已经新鲜出炉了，专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习计划、复习试题，大家来一起看看吧_。
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第二章函数与导数学案20210807214第1课时函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)9～11页)① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.②本节内容曾以多种题型显现在高考试题中，要求相对较低，但专门重要，专门是函数的解析式仍会是2021年高考的重要题型．① 明白得函数的概念，了解构成函数的要素.②在实际情境中，会依照不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用．1. (必修1P26练习3改编)下列对应关系中________是函数．(填序号)① A＝R＋，B＝R，关于任意的x∈A，x→x的算术平方根；② A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，关于任意的x∈A，x→2x；③ x→－12x，x∈R；④ x→y，其中y＝|x|，x∈R，y∈R；⑤ x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z.答案：①③④⑤解析：①③④⑤均符合函数的定义，②关于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素与之对应．2. (必修1P26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是__________．(填序号)① y＝x＋1和y＝x2－1x－1；② y＝x0和y＝1；③ f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；④ f(x)＝（x）2x和g(x)＝x（x）2.答案：④解析：只有④表示同一函数，①与②中定义域不同，③是对应法则不同．3. (必修1P31习题1改编)设函数f(x)＝41－x.若f(a)＝2，则实数a＝__________．答案：－1解析：由题意可知，f(a)＝41－a＝2，解得a＝－1.4. (必修1P31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__________．x 1 2 3 4f(x) －3 －2 －4 －1答案：－4解析：由表中函数值得f(3)＝－4.5. (必修1P36习题3改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2解析：观看图象，知此函数是分段函数，同时在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x≤2时，f(x)＝－x2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2.1. 函数的概念(1) 函数的定义一样地，设A ，B 是两个非空的数集，假如按照某种对应法则f ，关于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯独的一个元素y 和它对应，如此的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．(2) 函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的定义域；若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则关于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(3) 函数的要素函数的构成要素：定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，因此，假如两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数为相同的函数或同一函数．这是判定两函数相等的依据．2. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、图象法． 3. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像如此的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．4. 映射的概念一样地，设A ，B 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系f ，使关于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯独确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．函数是映射，但映射不一定是函数．[备课札记], 1 函数的概念), 1) 下列集合A 到集合B 的对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的有________．(填序号)① A ＝R ，B ＝{y|y>0}，f ：x→y＝|x|；② A ＝{x|x≥2，x ∈N *}，B ＝{y|y≥0，y ∈N }，f ：x→y＝x 2－2x ＋2； ③ A ＝{x|x>0}，B ＝{y|y∈R }，f ：x→y＝±x ；④ A ＝{α|α是三角形的内角}，B ＝{y|y∈R }，对应法则：y ＝tan α；⑤ A ＝{m|m∈Z }，B ＝{y|y ＝0或y ＝1}，对应法则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ＝2n ，n ∈Z ，1，m ＝2n ＋1，n ∈Z ；答案：②⑤解析：① 集合A 中的零元素，在集合B 中没有相应的对应元素． ② 按照对应法则，满足题设条件． ③ 一对多，不满足映射的概念．④ ∵ π2∈A ，但π2的正切值不存在，∴ 此对应不是从集合A 到集合B 的映射．⑤ ∵ 集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯独的元素与之对应，∴ 此对应是从集合A 到集合B 的映射．点评：判定对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯独”；但要注意：① A 中不同元素可有相同的象，即承诺多对一，但不承诺一对多；② B 中元素可无原象，即B 中元素能够有剩余．备选变式（教师专享）已知映射f ：A→B，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝－x 2＋2x ，关于实数k∈B，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范畴是________．答案：(1，＋∞)解析：由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1时满足题意．, 2 函数的解析式), 2) 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)．解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2(t≥2)，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c ＝1.由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝ax 2＋bx ＋1＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋a ＋b ＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练依照下列条件分别求出f(x)的解析式． (1) f(x ＋1)＝x ＋2x ；(2) 二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2.解：(1) 令t ＝x ＋1，∴ t ≥1，x ＝(t －1)2.则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f(x)＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2) 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，∴ f(x ＋2)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋c ， 则f(x ＋2)－f(x)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f(0)＝3，∴ c ＝3，∴ f(x)＝x 2－x ＋3., 3 分段函数), 3) 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．(1) 求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数解析式； (2) 作出函数的图象，并依照图象求y 的最大值．解：(1) 那个函数的定义域为(0，12)，当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝12·4·x ＝2x ；当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝12·4·(12－x)＝24－2x.∴ 函数解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（0，4]，8，x ∈（4，8]，24－2x ，x ∈（8，12）.(2) 其图象如图所示，由图知f max (x)＝8.变式训练已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的取值范畴是____________．答案：(－1，2－1)解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0的图象如图所示：f(1－x 2)>f(2x)⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，1－x 2>0，解得－1<x<2－1. 备选变式（教师专享）关于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x ＋2)*(3－x)，x ∈R .若方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范畴是________．答案：(－∞，2)解析：令x ＋2－(3－x)≤1，求得x≤1，则f(x)＝(x ＋2)*(3－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤1，3－x ，x>1，画出函数f(x)的图象，如图，方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，即是函数f(x)的图象与直线y ＝c 有2个交点，数形结合可得c<2.专门提醒：本题要紧考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题．已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范畴的三种常用的方法：(1) 直截了当法：直截了当依照题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范畴；(2) 分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g(x)，y ＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数确实是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g(x)的图象的交点个数问题．1. (2020·溧阳中学周练)若x∈R ，则f(x)与g(x)表示同一函数的是________．(填序号)① f(x)＝x ，g(x)＝x 2；② f(x)＝1，g(x)＝(x －1)0；③ f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x（x ）2； ④ f(x)＝x 2－9x ＋3，g(x)＝x －3.答案：③解析：①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x≠1)；③中，f(x)＝（x ）2x＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9x ＋3＝x －3(x≠－3)．因此填③.2. 二次函数y ＝f(x)＝ax 2＋bx ＋c(x∈R )的部分对应值如下表：x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6则关于x 答案：[－3，2] 解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发觉不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．3. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，假如明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，同意方通过解密得到明文“3”，若同意方接到密文为“14”，则原发的明文是________．答案：44. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时刻进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时刻x 与容器中的水量y 之间的关系如图所示．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时刻内(即x≥20)，y 与x 之间的函数关系是____________________．答案：y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953 解析：设进水速度为a 1 L/min ，出水速度为a 2 L/min ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝20，5a 1＋15（a 1－a 2）＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95.当水放完，时刻为x ＝953 min ，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953. 5. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0.若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范畴是____________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a ＜0时，－a －3＞－2，则a ＜－1.因此实数a 的取值范畴是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．6. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x|，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范畴是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析：如图，作出函数图象，y 2＝kx －k 过定点(1，0)，临界点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12和(1，0)连线的斜率为－13，又f′(1)＝1，由图象知实数k 的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．, 3. 分段函数意义明白得不清致误)典例 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为__________．易错分析：(1) 误以为1－a<1，1＋a>1，没有对a 进行讨论直截了当代入求解；(2) 求解过程中不记得检验所求结果是否符合要求致误．解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－34专门提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，关于分段函数的求值问题，若自变量的取值范畴不确定，应分情形求解；(2) 检验所求自变量的值或范畴是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范畴并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．1. 已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{1，2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是______，从B 到A 的映射个数是______．答案：8 9解析：依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.因此填写答案依次为：8；9.2. 已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，如此的函数有________个． 答案：9解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．3. 若函数f(x)＝xax ＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯独解，则f(x)＝________．答案：2x x＋2解析：由f(2)＝1得2 2a＋b＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x⎝⎛⎭⎪⎫1ax＋b－1＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，∵方程有唯独解，∴1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，∴ f(x)＝2xx＋2.4. 如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f⎝⎛⎭⎪⎫52的值．解：当P在AB上运动时，y＝x(0≤x≤1)；当P在BC上运动时，y＝1＋（x－1）2 (1<x≤2)；当P在CD上运动时，y＝1＋（3－x）2(2<x≤3)；当P在DA上运动时，y＝4－x(3<x≤4). ∴ y＝⎩⎪⎨⎪⎧x（0≤x≤1），1＋（x－1）2（1<x≤2），1＋（3－x）2（2<x≤3），4－x（3<x≤4），∴ f⎝⎛⎭⎪⎫52＝52.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x＋1，x≤0，－（x－1）2，x＞0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．答案：[－4，2]解析：f(x)≥－1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，12x＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，－（x－1）2≥－1，解之得－4≤x≤0或0<x≤2，即原不等式的解集是[－4，2]．6. (2020·溧阳中学周测)设函数f(x)定义如下表，数列{x n}(n∈N*)满足x1＝1，且关于任意的正整数n，均有x n＋1＝f(x n)，求x2 018的值．x 1 2 3 4f(x) 2 3 4 1解：因为x1＝1，因此x2＝f(x1)＝f(1)＝2，x3＝f(x2)＝f(2)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝4，x5＝f(x4)＝f(4)＝1，x6＝f(x5)＝f(1)＝2，…，不难看出数列{x n}是以4为周期的周期数列，因此x2 018＝x4×504＋2＝x2＝2.点评：通过观看一些专门的情形，来获得深刻的认识，是探究数学问题的一种重要方法，应注意学习，同时函数的表示也能够利用列表法来给出．1. 函数是专门的映射，其专门性在于集合A与B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射；而映射不一定是函数．从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则那个映射不是函数．2. 函数是一种专门的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；②依照给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯独确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法、换元法、待定系数法及消去法．用换元法求解时要专门注意新元的范畴，即所求函数的定义域；而消去法表达的方程思想，即依照已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．第2课时函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)12～14页)①函数的定义域是研究一切函数的源头，求各种类型函数的定义域是高考中每年必考的试题.②函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，一样可不能对值域和最值问题单独命题，要紧是结合其他知识综合考查，专门是应用题；再确实是求变量的取值范畴，要紧是考查求值域和最值的差不多方法．① 会求简单函数的定义域.②把握求函数值域与最值的常用方法.③能运用求值域与最值的常用方法解决实际问题．1. (必修1P25例2改编)函数f(x)＝x－2＋1x－3的定义域是____________________．答案：[2，3)∪(3，＋∞)解析：要使函数有意义，x需满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2≥0，x－3≠0，解得x≥2且x≠3.2. (必修1P26练习6(2)(4)改编)函数y＝1x2－1＋x＋1的定义域为__________________．答案：(－1，1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x2－1≠0，x＋1≥0，∴ x>－1且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．3. 函数y＝1x2＋2的值域为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，12解析：∵ x2＋2≥2，∴ 0<1x2＋2≤12.∴ 0<y≤12.4. 若x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是________．答案：[－5，＋∞)解析：∵ x有意义，∴ x≥0.又y＝x2＋3x－5＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋322－94－5，函数y＝x2＋3x－5在[0，＋∞)上单调递增，∴当x＝0时，y min＝－5.∴ 函数y＝x2＋3x－5的值域是[－5，＋∞)．5. 函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是____________________．答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎥⎤12，2解析：∵ x∈(－∞，1)∪[2，5)，∴ x －1∈(－∞，0)∪[1，4)．当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1，4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.1. 函数的定义域(1) 函数的定义域确实是使函数表达式有意义的所有的输入值x 组成的集合．在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念．(2) 求定义域的步骤① 写出使函数有意义的不等式(组)． ② 解不等式(组)．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见差不多初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ．⑤ y ＝tan x 的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与定义域中输入值x 对应的y 的值叫做输出值，所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域．(2) 差不多初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a，＋∞)；当a<0时，值域为(－∞，4ac －b24a ]．③ y ＝kx (k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥ y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tan x 的值域是R ． 3. 函数的最值一样地，设y ＝f(x)的定义域为A. (1) 假如存在x 0∈A ，使得关于任意的x∈A，都有f (x)≤f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最大值，记为y max ＝f(x 0)．(2) 假如存在x 0∈A ，使得关于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x 0)．4. 值域与最值的关系若函数y ＝f(x)的最大值为b ，最小值为a ，那么y ＝f(x)的值域必定是数集[a ，b]的子集，若f(x)能够取到[a ，b]中的一切值，那么其值域确实是[a ，b]．5. 复合函数假如函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)，则y ＝f(g(x))叫做由函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)合成的复合函数，u 叫做中间变量．y ＝f(u)(u∈A)，叫做该复合函数的外层函数，而u ＝g(x)(x∈B)叫做该复合函数的内层函数．注意：由u ＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即内层函数的值域是外层函数的定义域．6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域．[备课札记], 1 求函数的定义域), 1) (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是__________． (2) 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为____________． 答案：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 (2) (－1，1) 解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是[0，2]，因此函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x －12≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x≤32，12≤x ≤52.因此12≤x ≤32，因此函数g(x)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x<1.变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 函数f(x)的定义域是[－1，1]，求f(log 2x)的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0，∴ 函数定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)． (2) ∵ 函数f(x)的定义域是[－1，1]，∴ －1≤log 2x ≤1，∴ 12≤x ≤2.故f(log 2x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 备选变式（教师专享） 求下列函数的定义域：(1) y ＝lg （2－x ）12＋x －x2＋(x －1)0； (2) y ＝lg sin x ＋64－x 2. 解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，12＋x －x 2>0x －1≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，－3<x<4x≠1，，∴ －3<x<2且x≠1，∴ 所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．(2) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，64－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<2k π＋π，k ∈Z ，－8≤x≤8. ∴ －2π<x<－π或0<x<π或2π<x ≤8.∴ 所求函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．, 2 求函数的值域), 2) 求下列函数的值域： (1) f(x)＝x －1－2x ；(2) y ＝1－x21＋x 2；(3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (解法1：换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，因此f(t)＝1－t22－t＝－12(t ＋1)2＋1.由于t≥0，因此f(t)≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(解法2：单调性法)容易判定f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，因此f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2) y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1.因为1＋x 2≥1，因此0<21＋x2≤2.因此－1<21＋x2－1≤1，即y∈(－1，1]．因此函数的值域为(－1，1]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，因此y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y2－y.因为x∈[3，5]，因此3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (差不多不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，因此y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t－2(t>0)．因为t ＋2t≥2t ·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域：(1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f(x)＝1－x ＋x ＋3的定义域是[－3，1]．令y ＝f(x)，则y≥0，∴ y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3），即y 2＝4＋2－（x ＋1）2＋4(－3≤x≤1)．令t(x)＝－(x ＋1)2＋4(－3≤x≤1)．∵ x ∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，知0≤t(x)≤4，从而y 2∈[4，8]，即y∈[2，22]， ∴ 函数f(x)的值域是[2，22]．(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12＝（x ＋3）（x －3）（x －3）（x －4）＝x ＋3x －4＝1＋7x －4(x≠3且x≠4)．∵ x ≠3且x≠4，∴ g (x)≠1且g(x)≠－6.∴ 函数g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)． (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，log x 3>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1； 当0<x<1时，log 3x<0，log x 3<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]－1≤－2－1＝－3.∴ 函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)., 3 函数值和最值的应用)●典型示例, 3) 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范畴．【思维导图】 函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a 的取值范畴【规范解答】 解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，∴ x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)．∵ y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.(解法2)f(x)＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a ， 当且仅当f(x)min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要点评】 解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x 的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想．●总结归纳(1) 求函数的值域此类问题要紧利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．不管用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．(2) 函数的综合性题目此类问题要紧考查函数值域、单调性、奇偶性等一些差不多知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力．(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力．●题组练透1. 函数y ＝x 2＋x ＋1的值域是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：∵ x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，∴ y ≥32，∴ 值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2. 函数y ＝x ＋1－2x 的值域是____________．答案：(－∞，1]解析：令1－2x ＝t(t≥0)，则x ＝1－t 22.∵ y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1≤1，∴ 值域为(－∞，1]．3. 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min ＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a≤1时，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a≤32时，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－(a －12)2＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 4. 已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R . (1) 求实数m 的取值范畴；(2) 当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．解：(1) 当m ＝0时，x ∈R ；当m≠0时，m ＞0且Δ≤0，解得0＜m≤1.故实数m 的取值范畴是0≤m≤1.(2) 当m ＝0时，f(0)＝22；当0＜m≤1时，因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，故f(m)＝8－8m(0＜m≤1)．因此f(m)＝8－8m (0≤m≤1)，其值域为[0，22]．1. 函数f(x)＝ln （2x －x 2）x －1的定义域为____________．答案：(0，1)∪(1，2)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2＞0，x －1≠0得0＜x ＜2且x≠1.2. 已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．答案：{1}解析： x 2－2x ＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a ＝0，则a ＝1.3. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为____________． 答案：(－∞，1]解析：可由函数的图象得到函数f(x)的值域为(－∞，1].4. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范畴是________．答案：(1，2]解析：当x≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x ＞2时，f(x)＝3＋log a x 的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a ＞1，因此3＋log a 2≥4，解得1＜a≤2，因此实数a 的取值范畴是(1，2]．5. 已知函数f(x)＝a x＋b(a>0且a≠1)的定义域和值域差不多上[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案：－32解析：当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，该方程组无解；当0<a<1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，则a ＋b ＝12－2＝－32. 6. (2020·南阳一中二模)设g(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 若g(x)的定义域为R ，求m 的取值范畴；(2) 若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m 的取值范畴．解：令f(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．① 当m ＝0时， f(x)＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≤0，∴ m ≥14.综上所述，m 的取值范畴是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f(x)＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ① 当m ＝0时，f(x)＝x ＋1能够取到一切大于或等于0的实数；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≥0，∴ 0<m ≤14.综上所述，m 的取值范畴是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 点睛：本题要紧考查函数的定义域与值域、分类讨论思想，属于中档题．分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，专门在解决含参数的问题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，如此才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，期望同学们能够熟练把握并能应用于解题当中．1. 函数f(x)＝|x －2|－1log 2（x －1）的定义域为__________．答案：[3，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1）≠0，x －1>0，|x －2|－1≥0，解得x≥3.2. (2020·溧阳中学周练)函数f(x)＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为____________．答案：[－4，0)∪(0，1)解析：函数的定义域必须满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，x 2－3x＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得x∈[－4，0)∪(0，1)．3. 当x ＝__________________时，函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取得最小值．答案：a 1＋a 2＋…＋a nn解析：f(x)＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )，当x ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，f(x)取得最小值．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2.若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范畴是____________________．答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：f(x)的值域为R ，则22＋a≤2＋a 2，实数a 的取值范畴是(－∞，－1]∪[2，＋∞).5. 已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b)共有______个．答案：5解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2，解得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．6. 求函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的值域．解：函数y ＝f(x)的几何意义：平面内一点P(x ，0)到两点A(－3，4)和B(5，2)的距离之和确实是y 的值．由平面几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B′(5，－2)．连结AB′，交x 轴于一点P ，点P 即为所求的最小值点，y min ＝AB′＝82＋62＝10.因此函数的值域为[10，＋∞)．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，同时它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、差不多不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等．理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法紧密配合．[备课札记]第1课时函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)15～17页)① 函数单调性的概念是函数性质中最重要的概念，仍将会是2021年高考的重点，专门要注意函数单调性的应用.②常见题型：a.求函数的单调区间；b.用定义判定函数在所给区间上的单调性；c.强化应用单调性解题的意识，如比较式子的大小，求函数最值，已知函数的单调性求参数的取值范畴等．① 明白得函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判定或证明函数在给定区间上的单调性.②明白得函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值.③能利用函数的单调性解决其他一些综合性问题．1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．(填序号)① y＝1x2；② y＝x3；③ y＝x0；④ y＝x2.答案：④解析：∵ 函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2. (必修1P44习题2改编)(1) 函数f(x)＝2x＋1的单调增区间是__________；函数g(x)＝－3x＋2在区间(－∞，＋∞)上为________函数．(2) 函数f(x)＝x2－2x－1的单调增区间为________，单调减区间为________．(3) 函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调________函数．(4) 函数y＝1x在区间[1，3]上是单调________函数．答案：(1) (－∞，＋∞)单调减(2) [1，＋∞)(－∞，1](3) 增(4) 减3. (必修1P54本章测试6改编)若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m＝__________．答案：10解析：函数y＝5x2＋mx＋4的图象为开口向上，对称轴是x＝－m10的抛物线，要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m10＝－1，∴ m＝10.4. 已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范畴是__________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：f(x)＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，由复合函数的增减性可知，g(x)＝1－2ax ＋2在(－2，＋∞)上为增函数，∴ 1－2a<0，∴ a>12.5. 设函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________．答案：f(－3)>f(－π)解析：由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．1. 增函数和减函数一样地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ：假如关于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调增函数．(如图①所示)假如关于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调减函数．(如图②所示)2. 单调性与单调区间假如一个函数在某个区间D 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说那个函数在那个区间D 上具有单调性(区间D 称为单调区间)．3. 判定函数单调性的方法 (1) 定义法利用定义严格判定． (2) 利用函数的运算性质假如f(x)，g(x)为增函数，则① f(x)＋g(x)为增函数；② 1f （x ）为减函数(f(x)>0)；③ f （x ）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判定单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．4. 函数的单调性的证明方法 已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一样只能严格用定义(或导数)来证明．要紧步骤：(1) 设元； (2) 作差(商)；(3) 变形(变形要完全，一样通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定专门明显)； (4) 判定符号； (5) 结论．[备课札记], 1 函数单调性的判定), 1) 判定函数f(x)＝axx 2－1(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性． 分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数通过简单的复合而成，因此要判定其在区间(－1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义．解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a （x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）. 由－1<x 1<x 2<1得（x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）>0，∴ 当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(－1，1)上单调递减；同理，当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增．备选变式（教师专享）证明函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上是减函数．证明：设任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）. ∵ x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， ∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．∴ f(x)＝x1＋x2在[1，＋∞)上为减函数．点评：亦可证明函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[－1，1]上是增函数．由于函数f(x)＝x1＋x2是定义在R 上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数f(x)＝x1＋x2的图象．同时也可得到函数f(x)＝x 1＋x 2在[－1，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. , 2 求函数的单调区间), 2) 求下列函数的单调区间：(1) y ＝x 2－3|x|＋14；(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ； (3) y ＝log 2(6＋x －2x 2)．解：(1) ∵ y＝x 2－3|x|＋14＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －322－2（x≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－2（x<0），∴ 由图象可知，y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．(2) 易得定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．(3) 由题意得6＋x －2x 2>0，化简得2x 2－x －6<0，即(2x ＋3)(x －2)<0，解得－32<x<2，即定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.设u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，易知其在⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2上为减函数，又y ＝log 2u 在定义域上为增函数，∴ y ＝log 2(6＋x －2x 2)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14，单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 点评：已知函数的解析式，讨论或求函数的单调区间，应第一确定函数的定义域，然后再依照复合函数单调性的判定规则在函数的定义域内求内层函数相应的单调区间．变式训练函数y ＝－(x －3)|x|的单调递增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －3）x ，x ≥0，（x －3）x ，x<0.画图象如图所示，可知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.备选变式（教师专享）作出函数f(x)＝|x 2－1|＋x 的图象，并依照函数图象写出函数的单调区间．解：当x≥1或x≤－1时， y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54；当－1<x<1时， y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.函数图象如图，由函数图象可知函数单调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)． ,。
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第七章推理与证明学案20210807217第1课时合情推理与演绎推理能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用；把握演绎推理的差不多方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用.②了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正数)，则a＋b＝________．答案：41解析：观看等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n个应该是n＋1＋n＋1（n＋1）2－1＝(n＋1)n＋1（n＋1）2－1，则第5个等式中a＝6，b＝a2－1＝35，a＋b＝41.2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间能够得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝________．答案：127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n.若存在正整数m，n(m<n)，使得S m＝S n，则S m＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n项积为T n.若存在正整数m，n(m<n)，使T m＝T n，则T m＋n＝________．答案：1解析：因为T m＝T n，因此b m＋1b m＋2…b n＝1，从而b m＋1b n＝1，T m＋n＝b1b2…b m b m＋1…b n b n＋1…b n＋m－1b n＋m＝(b1b n＋m)·(b2b n＋m－1)…(b m b n＋1)·(b m＋1b n)＝1.4. 观看下列等式：21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，依照这些等式，能够得出一个关于自然数n 的等式，那个等式能够表示为________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，因此得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比那个结论可知：四面体PABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体PABC 的体积为V ，则r ＝________．答案：3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一样性的结论，像如此的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观看―→概括、推广―→推测一样性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的专门现象，归纳所得的结论是尚属未知的一样现象，该结论超越了前提所包含的范畴．② 由归纳推理得到的结论具有推测的性质，结论是否真实，还需通过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有制造性的推理，通过归纳法得到的猜想，能够作为进一步研究的起点，关心人们发觉问题和提出问题．2. 类比推理(1) 依照两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，如此的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程大致如图观看、比较―→联想、类推―→推测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是依照已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 要紧形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S_—_M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一样性的原理；②是小前提，它指出了一个专门对象；③是结论，它是依照一样原理，对专门情形作出的判定．[备课札记], 1 归纳推理), 1) 观看下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析：等式左边的特点：第1个等式有2项，第2个等式有4项，第3个等式有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特点：第1个等式有1项，第2个等式有2项，第3个等式有3项，故第n 个等式有n 项，且由前几个的规律不难发觉第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.变式训练观看下列三角形数阵： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 ……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为______．答案：1243解析：前15行共有15×（15＋1）2＝120(个)数⇒所求为a 122＝12×122－1＝1243., 2 类比推理), 2) 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．答案：V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解析：三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球半径⇒二维图形中的12类比为三维图形中的13⇒得出结论．运用分割法思想，设四面体ABCD 的内切球的球心为O ，连结OD ，OA ，OB ，OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V ABCD ＝V OABC ＋V OABD ＋V OBCD ＋V OACD ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r.备选变式（教师专享）设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ，c 为斜边长，则给出四个命题：① a ＋b>c ＋h ；② a 2＋b 2<c 2＋h 2；③ a 3＋b 3>c 3＋h 3；④ a 4＋b 4<c 4＋h 4.其中真命题是________(填序号)，进一步类比得到的一样结论是____________________．答案：②④ a n ＋b n <c n ＋h n (n∈N *) 解析：在直角三角形ABC 中，a ＝csin A ，b ＝ccos A ，ab ＝ch ，因此h ＝csin Acos A ．因此a n ＋b n ＝c n (sin n A ＋cos n A)，c n ＋h n ＝c n (1＋sin n Acos nA)．a n ＋b n －c n －h n ＝c n (sin n A ＋cos n A －1－sin n Acos n A)＝c n (sin n A －1)(1－cos nA)＜0，因此a n ＋b n ＜c n ＋h n., 3 演绎推理) , 3) 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判定(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) {S n }为“特界”数列．理由如下： 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列． 变式训练数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n∈N *)．证明：(1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2) S n ＋1＝4a n .证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴ (n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(2) 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，因此S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，因此关于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .1. (2021·课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大伙儿说：我依旧不明白我的成绩，依照以上信息推断，下列结论正确的是________．(填序号)① 乙能够明白四人的成绩； ② 丁能够明白四人的成绩； ③ 乙、丁能够明白对方的成绩； ④ 乙、丁能够明白自己的成绩． 答案：④解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则明白自己的成绩，丁看到甲的成绩则明白自己的成绩，故选④.2. (2021·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________．答案：1和3 解析： 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.3. (2021·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数；③ 教师人数的两倍多于男学生人数．(1) 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； (2) 该小组人数的最小值为________． 答案：(1) 6 (2) 12解析：设男学生数，女学生数，教师数分别为a ，b ，c ，则2c>a>b>c ，a ，b ，c ∈N *. (1) 8>a>b>4⇒b max ＝6.(2) c min ＝3，6>a>b>3⇒a ＝5，b ＝4⇒a ＋b ＋c ＝12.4. 已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112. 5. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点动身的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段末端动身再生成两条长度为原先13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．答案：(3×2n －3)(n∈N *)解析：从分形图的每条线段的末端动身再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律，n 级分形图中的线段条数为(3×2n －3)(n∈N *)．1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为________．答案：1110解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们能够推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.2. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行推测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的推测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为____，____，____，____．答案：4 2 1 3解析：由于4个人推测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1，2，3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.3. 观看下列等式： 13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，依照上述规律，则第n 个等式为________．答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22解析：因为13＝12，13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，由此能够看出左边是连续的自然数的立方和，右边是左边的连续的自然数的和的平方，照此规律，第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22. 4. 传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，能够估量：(1) b 2 018是数列{a n }的第________项； (2) b 2k －1＝________．(用k 表示)答案：(1) 5 045 (2) 5k （5k －1）2解析：(1) a n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×（2×5）2＝a 9，b 4＝（2×5）×112＝a 10，b 5＝14×（3×5）2＝a 14，b 6＝（3×5）×162＝a 15，…b 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.(2) 由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k （5k －1）2.5. 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车能够上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车改日能够上路，由此可知下列估量一定正确的是__________．(填序号)① 今天是周六；② 今天是周四； ③ A 车周三限行；④ C 车周五限行． 答案：②解析：因为每天至少有四辆车能够上路行驶，E 车改日能够上路，E 车周四限行，因此今天不是周三；因为B 车昨天限行，因此今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，因此今天不是周五，周二和周六，因此今天是周四，因此①错误，②正确．因为B 车昨天限行，即B 车周三限行，因此③错误．因为从今天算起，A 、C 两车连续四天都能上路行驶，因此④错误．1. 合情推理要紧包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能关心推测和发觉结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题动身→观看、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一样的原理动身，推出某个专门情形的结论的推理方法，是由一样到专门的推理，常用的一样模式是三段论，数学问题的证明要紧通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，得到的结论不一定正确，而演绎推理得到的结论一定正确(在前提和推理形式都正确的前提下)．[备课札记]第2课时直截了当证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)104～105页)了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题．① 了解直截了当证明的两种差不多方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的摸索过程、特点.②了解间接证明的一种差不多方法——反证法；了解反证法的摸索过程、特点．1. 已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．答案：2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴m·n＝0，即x＝2.2. 用反证法证明命题“假如a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应为______________．答案：3a＝3b或3a<3b解析：依照反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a＝3b或3a<3b.3. 6－22与5－7的大小关系是______________．答案：6－22>5－7解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，因此6－22>5－7成立．4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A·B的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠kπ＋π4，k∈Z.①α＝kπ＋3π4(k∈Z)时，B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，－22，A·B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，22，－22；②α＝2kπ或α＝2kπ＋π2(k∈Z)时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}；③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－π2(k∈Z)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}；④α≠kπ2且α≠kπ＋3π4(k∈Z)时，B＝{sin α，cos α}，A·B＝{0，sin α，cos α，－sin α，－cos α}．综上可知，A·B中的所有元素之和为0.5. 设a，b为两个正数，且a＋b＝1，则使得1a＋1b≥μ恒成立的μ的取值范畴是________．答案：(－∞，4]解析：∵ a＋b＝1，且a，b为两个正数，∴1a＋1b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab ＝4.要使得1a＋1b≥μ恒成立，只要μ≤4.1. 直截了当证明(1) 定义：直截了当从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2) 一样形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．(3) 综合法①定义：从已知条件动身，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．②推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论(4) 分析法①定义：从问题的结论动身，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．这种证明方法称为分析法．②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等．(2) 反证法的差不多步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件动身，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，确信反设不真，从而确信原结论成立., 1直截了当证明(综合法和分析法)), 1) 关于定义域为[0，1]的函数f(x)，假如同时满足：①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；② f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1) 若函数f(x)为理想函数，求证：f(0)＝0；(2) 试判定函数f(x)＝2x(x∈[0，1])，f(x)＝x2(x∈[0，1])，f(x)＝x(x∈[0，1])是否为理想函数？(1) 证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴ f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴ f(0)≤0.又对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0，∴ f(0)≥0.因此f(0)＝0.(2) 解：关于f(x)＝2x，x∈[0，1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴ f(x)＝2x(x∈[0，1])不是理想函数．关于f(x)＝x2，x∈[0，1]，明显f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0，1]，x1＋x2≤1，f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)．∴ f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数．关于f(x)＝x (x∈[0，1])，明显满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f(x 1)＋f(x 2)]2.∴ f(x 1＋x 2)≤f(x 1)＋f(x 2)，不满足条件③. ∴ f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．综上，f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0，1])与f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．备选变式（教师专享）设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．证明：因为对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①， 从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n≥1)，综上得a n ＋1＝qa n (n≥1)，因此数列{a n }是等比数列．, 2) 已知m>0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m>0，因此1＋m>0，因此要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb)2≤(1＋m)(a 2＋mb 2)，即证m(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0明显成立， 故原不等式得证． 变式训练已知函数f(x)＝3x－2x ，试求证：关于任意的x 1，x 2∈R ，均有f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：要证明f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只要证明（3x 1－2x 1）＋（3x 2－2x 2）2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0，3x 2>0,由差不多不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2明显成立，故原结论成立．, 2 间接证明(反证法)), 3) 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1) 推导{a n }的前n 项和公式；(2) 设q≠1，求证：数列{a n ＋1}不是等比数列．(1) 解：设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 因为{a n }是公比为q 的等比数列，因此当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1.当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n， ②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n，因此S n ＝a 1（1－q n）1－q ，因此S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2) 证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，因为a 1≠0，因此2q k ＝q k －1＋q k ＋1.因为q≠0，因此q 2－2q ＋1＝0，因此q ＝1，这与已知矛盾．因此假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列{a n }中不存在三项按原先顺序成等差数列． (1) 解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，因此a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，因此{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.(2) 证明：反证法：假设存在三项按原先顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p<q<r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，因此2·2r －q ＝2r －p＋1 ①.因为p<q<r ，因此r －q ，r －p∈N *.因此①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 因此假设不成立，原命题得证．1. 用反证法证明命题“a，b ∈R ，ab 能够被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，假设的内容是____________．答案：a ，b 中没有一个能被5整除解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．2. 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＜c ，b ＜c ，1a ＋9b＝1.若以a ，b ，c 为三边构造三角形，则c 的取值范畴是________．答案：(10，16)解析：要以a ，b ，c 为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而a<c ，b<c ，因此a ＋b>c 恒成立．而a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16，∴ c<16.又1a >1c ，1b >1c ，∴ 10c <1a ＋9b＝1，∴ c>10，∴ 10<c<16.3. 已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a>0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式明显成立，故原不等式成立．4. 若f(x)的定义域为[a ，b]，值域为[a ，b](a<b)，则称函数f(x)是[a ，b]上的“四维光军”函数．(1) 设g(x)＝12x 2－x ＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b 的值．(2) 是否存在常数a ，b(a>－2)，使函数h(x)＝1x ＋2是区间[a ，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设得g(x)＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为直线x ＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，因此函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b>1，因此b ＝3. (2) 假设函数h(x)＝1x ＋2在区间[a ，b] (a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，因此有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在．1. 用反证法证明结论“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设______________．答案：三角形的三个内角都大于60°解析：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形的三个内角都大于60°”．2. 凸函数的性质定理：假如函数f(x)在区间D 上是凸函数，则关于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案：332解析：∵ f(x)＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴ f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴ sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.3. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．答案：12解析：若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，设x 1>x 2，则k≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2.而0<1x 1＋x 2<12，因此k 的最小值为12.4. 设函数f(x)＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．求证：(1) f(x)≥1－x ＋x 2；(2) 34＜f(x)≤32.证明：(1) 因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，因此f(x)≥1－x ＋x 2.(2) 由0≤x≤1得x 3≤x ，故f(x)＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，因此f(x)≤32.由(1)得f(x)≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34，因此f(x)＞34. 综上，34＜f(x)≤32.5. 已知数列{a n }满足a 1＝12，3（1＋a n ＋1）1－a n ＝2（1＋a n ）1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n≥1)，数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n≥1)．(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1) 解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.故1－a 2n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2) 证明：用反证法证明．假设数列{b n }中存在三项b r ，b s ，b t (r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，因此有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立．即2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1，两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s.由于r<s<t ，则上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．[备课札记]第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)106～107页)明白得数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1. (选修22P94习题7改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证________．答案：1＋12＋13<2解析：∵ n∈N*，n>1，∴ n取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2. (选修22P90练习3改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1关于n≥n0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n≤n2＋1；当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，因此n0应取为5.3. (选修22P103复习题13改编)在数列{a n}中，a1＝13，且S n＝n(2n－1)a n，通过求a2，a3，a4，猜想a n的表达式为________________．答案：a n＝1（2n－1）（2n＋1）解析：当n＝2时，13＋a2＝(2×3)a2，∴ a2＝13×5；当n＝3时，13＋115＋a3＝(3×5)a3，∴ a3＝15×7；当n＝4时，13＋115＋135＋a4＝(4×7)a4，∴ a4＝17×9；故猜想a n＝1（2n－1）（2n＋1）.4. (选修22P103复习题14改编)比较n n＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小时会得到一个一样性的结论，用数学归纳法证明这一结论时，第一步要验证________．答案：当n＝3时，n n＋1＝34＞(n＋1)n＝43解析：当n＝1时，n n＋1＝1＞(n＋1)n＝2不成立；当n＝2时，n n＋1＝8＞(n＋1)n＝9不成立；当n＝3时，n n＋1＝34＞(n＋1)n＝43，结论成立．5. (选修22P105本章测试13改编)已知a1＝12，a n＋1＝3a na n＋3，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________．由此猜想a n＝________．答案：37，38，39，3103n＋5解析：a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a3＝3a2a2＋3＝38＝33＋5，a4＝39＝34＋5，a5＝310＝35＋5，a 1＝31＋5＝12，符合以上规律． 故猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的专门现象得出一样性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采纳下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1) 归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论．[备课札记], 1 证明等式) , 1) 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18，左边＝右边，因此等式成立．② 假设n ＝k(k∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，关于一切n∈N *等式都成立． 变式训练用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N *均成立．, 2 证明不等式), 2) 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2>1(n∈N *且n>1)．证明：① 当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．② 设n ＝k 时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1成立．由于当k>1时，k 2－k －1>0，即k(2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k （2k ＋1）＋1k （2k ＋1）＋…＋1k （2k ＋1）－1k ＝1＋2k ＋1k （2k ＋1）－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n∈N *且n>1恒成立． 备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n∈N *，n ≥2)．证明：① 当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．② 假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k.当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立． 由①②知原不等式对n∈N *，n ≥2恒成立．, 3 数列问题), 3) 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n∈N *)． (1) 运算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2) 证明(1)中的猜想．(1) 解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴ a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴ a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴ a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴ a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)．(2) 证明：① 当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．② 假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，因此2a k ＋1＝2＋a k .因此a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k.因此当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)成立．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n∈N *，λ>0)． (1) 求a 2，a 3，a 4；(2) 猜想{a n }的通项公式，并加以证明．解：(1) a 2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2) 由(1)可猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n. 下面用数学归纳法证明：① 当n ＝1，2，3，4时，等式明显成立，② 假设当n ＝k(k≥4，k ∈N *)时等式成立，即a k ＝(k －1)·λk ＋2k，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k ＝λ(k－1)·λk ＋λ2k ＋λk ＋1＋2k ＋1－λ2k＝(k －1)λk ＋1＋λk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1， 因此当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n (n∈N *，λ>0)．, 4 综合运用), 4) 设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2) 猜想T nS n关于n 的表达式，并加以证明．解：(1) 当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2) 猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明：① 当n ＝3时，由(1)知猜想成立．② 假设当n ＝k(k≥3)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，因此T k ＝k ＋12C 3k .则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，因此T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k )＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1，即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 因此当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立． 备选变式（教师专享）已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线． (1) 分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数； (2) 猜想凸n 边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条，凸六边形的对角线条数为9条．(2) 猜想：f(n)＝n （n －3）2(n≥3，n ∈N *)．证明如下：当n ＝3时，f(3)＝0成立；设当n ＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，①k 边形A 1A 2…A k 中原先的对角线差不多上k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；②在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1，A k ＋1A k 外，差不多上k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2)＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2(条)，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n≥3，n ∈N *都成立．1. (2021·苏锡常镇二模)已知f n (x)＝C 0nx n －C 1n(x －1)n＋…＋(－1)k C k n (x －k)n＋…＋(－1)n C n n (x －n)n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1) 试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2) 试推测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解：(1) f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝x －x ＋1＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x 2－2x ＋1)＋(x 2－4x ＋4)＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2) 猜想：f n (x)＝n ！.证明：① 当n ＝1时，猜想明显成立；② 假设n ＝k 时猜想成立，即f k (x)＝C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k＝k ！，则n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝C 0k ＋1x k ＋1－C 1k ＋1(x －1)k ＋1＋C 2k ＋1(x －2)k ＋1＋…＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝xC 0k ＋1·x k －(x －1)C 1k ＋1(x －1)k ＋(x －2)C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k (x －k)C k k ＋1(x －k)k＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k ＋1x k －C 1k ＋1(x －1)k ＋C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k C k k ＋1·(x －k)k]＋[C 1k ＋1(x －1)k －2C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1·kC k k ＋1(x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －(C 0k ＋C 1k )(x －1)k ＋(C 1k ＋C 2k )(x －2)k ＋…＋(－1)k (C k －1k ＋C k k )(x －k)k]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1C k －1k (x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k ]－x[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k＋…＋(－1)k －1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k ]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k ·(x －2)k ＋…＋(－1)k＋1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k]＝xk ！－xk ！＋(k ＋1)k ！＝(k ＋1)！.∴ 当n ＝k ＋1时，猜想成立． 综上所述，猜想成立．2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…. (1) 求a 1，a 2；(2) 猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，因此(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2) 由题设知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0. ①由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明那个结论． (ⅰ) n＝1时已知结论成立.(ⅱ) 假设n ＝k(k∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．3. 已知x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1x 2…x n ＝1.求证：(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x n )≥(2＋1)n.证明：(数学归纳法)① 当n ＝1时，2＋x 1＝2＋1，不等式成立．② 假设n ＝k 时不等式成立，即(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )≥(2＋1)k成立． 则n ＝k ＋1时，若x k ＋1＝1，则命题成立；若x k ＋1>1，则x 1，x 2，…，x k 中必存在一个数小于1，不妨设那个数为x k ，从而(x k －1)(x k ＋1－1)<0，即x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.同理可得x k ＋1<1时，x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.因此(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )(2＋x k ＋1) ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(x k ＋x k ＋1)＋x k x k ＋1] ≥(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(1＋x k x k ＋1)＋x k x k ＋1]＝(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k x k ＋1)(2＋1)≥(2＋1)k ·(2＋1)＝(2＋1)k ＋1. 故n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②及数学归纳法原理知原不等式成立．4. 已知函数f 0(x)＝x(sin x ＋cos x)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，因此f 1(x)＝f 0′(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x)＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x.(2) 由(1)得f 3(x)＝f 2′(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2，f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，推测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)·cos(x ＋n π2) (*)．下面用数学归纳法证明上述等式．① 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ② 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝f k ′(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos(x ＋k π2)＋cos(x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝(x ＋k ＋1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N *时，f n (x)＝(x ＋n)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立．1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1) 求a 1，a 2，a 3的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．解：(1) 由题意知S 2＝4a 3－20，∴ S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，∴ a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴ a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2) 由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ① 当n ＝1时，结论明显成立；② 假设当n ＝k(k≥1)时，a k ＝2k ＋1，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k[3＋（2k ＋1）]2＝k(k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴ k(k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6， ∴ a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1. 2. 由下列式子： 1>12； 1＋12＋13>1；。
《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算 注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（ ） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（ ）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（ ） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（ ）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（ ）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数． （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++； （2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ； （4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -， 所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=， 故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-， 所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+， 由题意可得()12243n+=，解得5n =， 所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+， 令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+， 所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误 故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+， 因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==； （2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+， 即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。
模块九圆锥曲线（教师版）知识点全面扫描2020-2021目录第一节曲线与方程 (1)【知识1】曲线和方程(※) (1)【探究1】概念的理解 (1)【探究2】曲线与方程的应用 (2)【探索3】求曲线的方程（求轨迹方程） (3)第二节椭圆 (4)【知识2】椭圆的定义 (4)【知识3】椭圆的标准方程 (6)【探索1】待定系数法 (6)【探索2】定义法 (8)【探索3】相关点法 (9)【思考与提升1】 (10)【知识4】椭圆的简单性质 (12)【探索1】讨论椭圆的简单性质 (13)【探索2】利用简单性质求椭圆的标准方程 (14)【探索3】求椭圆的离心率 (15)【思考与提升2】 (17)【知识5】点与椭圆的位置关系 (19)【知识6】直线与椭圆的位置关系 (20)【知识7】弦长公式 (21)【知识8】中点弦问题 (22)【知识9】直线与椭圆的综合问题※ (24)【探索1】椭圆中的最值(或范围)问题◎ (24)【探索2】椭圆中的定点、定值问题◎ (29)【提升与思考3】 (35)第三节双曲线 (38)【知识10】双曲线的定义 (38)【知识11】双曲线的标准方程 (39)【知识12】双曲线的性质 (42)【探索1】求简单性质 (43)【探索2】由双曲线的性质求标准方程 (44)【探索3】求双曲线的离心率 (46)【思考与提升4】 (47)【知识13】直线与双曲线的位置关系 (51)【知识14】双曲线中的弦长及中点弦问题 (54)【知识15】直线与双曲线位置关系的综合问题 (56)第四节抛物线 (58)【知识16】抛物线的定义 (58)【知识17】抛物线的标准方程 (60)【知识18】抛物线的简单应用 (61)【知识19】抛物线的性质 (63)【知识20】直线与抛物线的位置关系 (64)【知识21】抛物线的中点弦问题 (65)【知识22】焦点弦的性质 (66)【思考与提高5】 (68)第五节直线与圆锥曲线的综合 (69)【探索1】圆锥曲线的共同特征——统一定义 (69)【探索2】直线与圆锥曲线的位置关系 (70)【探索3】两曲线的交点 (71)第六节圆锥曲线模块自我检测 (72)第一节曲线与方程【知识1】曲线和方程(※)1.曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2.坐标法思想及求曲线方程的步骤(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤【探究1】概念的理解【例1】(1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是假命题，则下列命题为真命题的是()A.坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0C.坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】(1)命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”为假命题，则命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是真命题．故选D.(2)由曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，得以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点，但反过来不成立，故选B.【反思】(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程． 【练习1】分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系； (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．【解析】(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0. 【探究2】曲线与方程的应用 【例1-2】已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值． 【解析】(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. [反思] 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．【练习1-2】若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 【解析】∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0， ∴k －2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12，∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 【探索3】求曲线的方程（求轨迹方程）【例1-3】（直接法）一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．【解析】设P (x ，y )，则|8－x |＝2|P A |，则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 【反思】直接法求动点轨迹的关键及方法。
高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。
1。
7.1 定积分在几何中的应用［学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．[知识链接］1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积?答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f（x)〈0时，f（x）与x轴所围图形的面积怎样表示?答如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x),所以S＝错误!（0－f（x））d x＝－错误!f（x)d x。
［预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x∈[a，b］时，若f(x)>0,由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x）所围成的曲边梯形的面积S＝错误!f(x）d x.（2）当x∈［a,b］时，若f(x)〈0,由直线x＝a,x＝b(a≠b）,y＝0和曲线y＝f（x)围成的曲边梯形的面积S＝－错误!f(x)d x.(3)(如图)当x∈［a，b]时,若f(x）〉g（x)>0时，由直线x＝a，x＝b（a≠b)和曲线y＝f(x),y ＝g（x)围成的平面图形的面积S＝错误!［f(x）－g（x）]d x.要点一不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解由错误!得错误!或错误!所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝错误!－3[(－x＋2）－（x2－4)］d x＝错误!－3（－x2－x＋6）d x＝错误!错误!＝错误!－错误!＝错误!。
专题07 二次函数综合问题一．考情分析二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。
所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。
复合函数也越来越重要。
所以二次函数的学习，都显示的特别重要。
二．经验分享1.二次函数解析式的三种形式：①一般式方程：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式方程：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). ③零点式方程：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.2.二次函数的图象和性质 解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称最值当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；函数取最小值y ＝244ac b a-．当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a；函数取最大值y ＝244ac b a-．3.恒成立问题①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或00a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
三、题型分析（一）二次函数之恒成立与存在性问题例1 已知函数().222m mx x x f -+-=（1）若不等式()mx x f -≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围;（2）记(){},10,≤≤==x x f y y A 且[)，，∞+⊆0A 求实数m 的最大值。
模块七：导数及其应用1、函数的平均变化率一般地,若函数y=f(x)的定义域为D ,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2−x1为自变量的改变量; 称Δy=y2−y1 (或Δf=f(x2)−f(x1) ) 为相应的因变量的改变量; 称Δy Δx =y2−y1x2−x1(或ΔfΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1)为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1<x2时指的是[x1,x2] ,而x1>x2时指的是 2平均变化率的实际意义是,在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加 1 个单位,因变量平均将增加ΔyΔx个单位. 因此,如果自变量增加ℎ个单位, 那么因变量将增加个单位. 个单位.说明: 在x1<x2时Δx>0 ; 在x1>x2时Δx<0 ;平均变化率作用: 刻画函数值在以x1,x2为端点的闭区间上变化的快慢依照定义可知, 函数在一个区间内的平均图 6-1-1变化率, 等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率. 例如,图 6-1-1 中函数y=f(x)在[x1,x2]上的平均变化率,等于直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).因此, 平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线 (即函数图象) 在某一区间上的变化趋势, 是曲线倾斜程度的“数量化”, 曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.2、瞬时变化率与导数(1) 函数在某点处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx 无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(derivative) (也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x=x,即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.(2) 导数的几何意义1)2) 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) (也称在x=x0处) 的切线方程是: 3、导函数 (简称导数)一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导. 此时,对定义域内的每一个值x ,都对应一个确定的导数f′(x) . 于是,在f(x)的定义域内, f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作f′(x) (或y′,y x′ ),即f′(x)=y′=y x′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx.4、导数公式表(1) C′= (2) (xα)′= (3) (1x )′= (4) (√x)′= (5) (1x n)′=(6) (a x)′= (8) (log a x)′= (9) (lnx)′= (10) (sinx)′=−3 ; (11) (cosx)′=5、导数的四则运算(1) [f(x)±g(x)]′=(3) [f(x)g(x)]′= ; (4) [c⋅f(x)]′=4、复合函数的求导法则一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=ℎ(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数ℎ′(x)与f′(u),g′(x)之间的关系为ℎ′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x).这一结论也可以表示为y x′=y u′u x′.5、导数与函数的单调性(1) 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)=0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增; 如果f′(x)=0 , 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减;特别说明: 在某个区间(a,b)内恒有f′(x)=0 ,函数y=f(x)在区间(a,b)内是一个常函数.结合函数f(x)=x3研究: 如果函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么在区间(a,b)内必有f′(x)>0吗?(2) 函数y=f(x)的导函数是f′(x) . 若函数单调递增,则 : 若函数单调递减,则(3) |f′(x)|的大小表示函数值的变化快慢,图象的陡缓:6、导数与函数的极值(1) 函数的极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D ,设x0∈D ,如果对于x0附近的任意不同于x0的x (1),都有(1) f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值;(2) f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.说明: 极大值点与极小值点都称为极值点, 极大值与极小值都称为极值.(2) 导数与极值如果x0是函数y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有: f′(x0)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f′(x0)=0 .(1) 如果对于x0左侧附近的任意x ,都有f′(x)>0 ,对于x0右侧附近的任意x ,都有f′(x)<0 ,那么此时x0是f(x)的极大值点.(2) 如果对于x0左侧附近的任意x ,都有f′(x)<0 ,对于x0右侧附近的任意x ,都有f′(x)>0 ,那么此时x0是f(x)的极小值点.(3) 如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号 (或均为负号), 则x0一定不是y=f(x)的极值点.说明: (1)若f′(x0)存在,则“ f′(x0)=0” 是“ x0是函数y=f(x)的极值点” 的条件.(2)区间端点不是极值点, 一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值, 极大值不一定大于极小值;(3)在区间上单调函数没有极值;7、导数与函数的最大值和最小值(1) 最值定理一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2) 极值与最值的关系一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点; 如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b ,要么是极值点.(3) 求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1) 求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.8、重要母函数的图象和性质解析式f (x)=xe xf(x)=xe xf(x)=e xx图像定义域(−∞,+∞)(−∞,+∞)(−∞,0)∪(0+∞)解析式f(x)=xlnx f(x)=xlnx f(x)=lnxx图像∫f(x)=lnxx定义域(0,+∞)(0,1)∪(1,+∞)(0,+∞)9、常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围:设函数f(x)的值域为(a,b)或[a,b]或(a,b]或[a,b)中之一种,则(1)若λ≥f(x)恒成立 (即λ<f(x)无解),则λ≥[f(x)]max ;(2) 若λ≤f(x)恒成立 (即λ>f(x)无解),则λ≤[f(x)]min ;(3) 若λ≥f(x)有解 (即存在x使得λ≥f(x)成立),则λ≥[f(x)]min ;(4)若λ≤f(x)有解 (即存在x使得λ≤f(x)成立),则λ≤[f(x)]max ;(5)若λ=f(x)有解 (即λ≠f(x)无解),则λ∈{y∣y=f(x)} ;(6)若λ=f(x)无解 (即λ≠f(x)有解),则λ∈U{y∣y=f(x)} .【导数中的重要方法总结】⋆1、切线问题:(1) 已知切点(x0,f(x0)) ,求切线方程的解题步骤:(1) 求导数值f′(x) ; (2) 切线方程为: y−f(x0)=f′(x)(x−x0) .(2) 过点(a,b)的切线方程求解步骤:(1) 设切点(x0,f(x0)) ; (2)切线斜率为: f(x0)−bx0−a=f′(x0)⇒x0 (3) 方程为: y−f(x0)=f′(x)(x−x0) ;(3) 求y=f(x)与y=g(x)的公切线的步骤:(1)设切点(x1,f(x1)),(x2,g(x2)) ; (2)求导列关系式k=f(x1)−g(x2)x1−x2=f′(x1)=g′(x2)(3)根据上面的关系式解出x1或x2 ; (4) 回代入(2)中求出k ,如k=f′(x1) ;(5)利用点斜式求出切线,如y−f(x1)=f′(x1)(x−x1) .○ 2、参数取值范围:(1) 函数定义域: 解决函数问题, 定义域优先.(2) 分离参量: 利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边. a≤ℎ(x)(3) 恒成立和成立问题:(1)恒成立: f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a; f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a ;(2)成立: f(x)<a成立⇔f(x)min<a f(x)>a成立⇔f(x)max>a(4) 导函数零点可求: 导函数零点可求时, 运用常规方法可求得函数最值, 进而可得参数取值范围. 步骤: f(x)定义域→f′(x)→求f′(x)零点→列表→判断增减性→得最值.※ 3、导函数零点不可求的处理方法: 需要单独设分子为新函数, 求导推出原函数单调性. (1)分类讨论法 (证明不等式成立): 通过对原函数或者导函数进行因式分解, 对局部函数进行研究, 找出参数分界值, 在分段区间上证明题意成立, 从而印证该区间参数可以取到单调性讨论: 分离出参量后, 构造新函数, 求新函数最值, 若新函数的导函数零点不可求往往需要对分式分子进行求导 (整式直接进行二阶求导), 若得到的式子不能比较直观的判断正负则继续求导, 直到得到的式子能比较直观判断正负, 进而推出前面几阶导数的增减和正负, 直到可以确定原函数增减性. (2)分离参量法:(1) 隐零点: 通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.“虚设代换 "法: 导函数f′(x)的零点无法求出显性的表达时,可以利用设而不求的思想.(1) 在证明零点存在后,假设零点为x a ,则可得到一个关于x o的方程f′(x o)=0(2) 根据f′(x)的单调性,得出x o两侧的正负,进面得出原函数的单调性和极值f(x o) ;(3) 将(1)式中关于x o的方程整体或局部代入f(x o) ,从而求得f(x o) ,然后解决相关问题. 注意: 使用f′(x o)=0进行 "指幂代换 "(或 "对幂代换 "),尽最转化为幂函数进行讨论. (2) 洛必达法则: 在驻点不可求时, 往往需要讨论函数的增减性, 这时, 函数的最值往往在间断点处取得, 所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值. 求极限时, 函数的极限如果满足未定式00、∞∞. 则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.即:lim f(x)g(x)=limf′(x)g′(x)○ 4、证明单变量不等式(1) 核心考点: 主要思路是把问题转化为函数最值问题,譬如证明f(x)>g(x) :策略一: 移项,构造函数,证明(f(x)−g(x))min>0 ;策略二: 放缩,证明f(x)≥l(x)>g(x) ,一般l(x)为切线;策略三: 变形,证明f(x)min>g(x)max ,该法并非通法,但有时对证明有意想不到的效果.(2) 函数放缩化曲为直: 在处理函数不等式或者求解函数近似解中, 由于原函数比较复杂, 常用化曲为直的方法进行放缩, 以曲线上某点处的切线进行放缩, 前提条件是放缩对象具有凹凸性 (二阶导恒大于或小于 0 ).常见的化曲为直有:基础指数切线放缩: e x≥x+1对数切线放缩: lnx≤x−1引深(1) e x−1≥x、e x≥ex (切横x=1 )(2) e x+a≥x+a+1 (用x+a替换x ,切点横坐标是x=−a ), (3) xe x≥x+lnx+1 . (用x+lnx替换x ,切点横坐标满足x+lnx=0). (4) e x≥e24x2>x2(x>0) (用x2替换x ,切点横(1) lnx≤xe. (用xe替换x ,切点横坐标是x=e) (2) lnx≥1−1x. (用1x替换x ,切点横坐标x=1) ,或者记为xlnx≥x−1 . (3) lnx≤x2−x. (lnxx≤x−1) . (4) ln(x+1)≤x ,由lnx≤x−1向左平移一个单位,或基础 指数切线放缩: e x ≥x +1对数切线放缩: lnx ≤x −1 坐标是 x =2 ); 有 e x n ≥e ⋅x n (x >0) 的构造模型. 者将 e x ≥x +1 两边取对数 而来.○ 5、证明双变量不等式(1) 利用变量之间的关系转化 (消元或捆绑换元) 为单变量的不等式证明;(1)当 x 1<x 2 时,令 t =x 2−x 1,t ∈(0,+∞) ; (2)当 0<x 1<x 2 ,令 t =t1t 2∈(0,1) . (2) 分拆变量, 证明极值点偏移(1) 极值点偏移: 对 f (x ) 有 f (x 1)=f (x 2)(x 1<x 2),x 0 是函数 f (x ) 的极值点,且 x 0∈(x 1,x 2)若 x 1+x 22<x 0 ,称为极值点右偏; 若 x 1+x 22>x 0 称为极值点左偏.(2)分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路 (以 x 1+x 2<2x 0 为例): i 、将所证不等式中的变量分到不等式的两边 (x 1<2x 0−x 2) ;ii 、构造对称函数 g (x )=f (x )−f (2x 0−x 2) ;iii 、利用导数研究函数 g (x ) 的单调性 (单调递增);iv 、由函数 g (x ) 的单调性判断 g (x ) 与 g (x 0) 的大小 (g (x 2)>g (x 0)=0) ; v 、利用 f (x ) 单调性反推变量大小,从而 (f (x 1)=f (x 2)>f (2x 0−x 2)⇒x 1+x 2<2x 0) (3)对数平均不等式: 两个正数 a 和 b 的对数平均定义: L (a,b )={a−b lna−lnb (a ≠b )a (a =b ).,对数平 均与算术平均、几何平均的大小关系: √ab ≤L (a,b )≤a+b 2 此式记为对数平均不等 式. 取等条件: 当且仅当 a =b 时,等号成立.(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件:(1) ∀x 1∈A,∀x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )min ≥g (x )max ;(2) ∀x 1∈A,∃x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )min ≥g (x )min ;(3) ∃x 1∈A,∀x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )max ≥g (x )max ;(4) ∃x 1∈A,∃x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )max ≥g (x )min ;(5) ∀x 1,x 2∈A ,使得: |f (x 1)−f (x 2)|≤a ,则: f (x )max −f (x )min ≤a ;(6) ∃x 1,x 2∈A ,使得: |f (x 1)−f (x 2)|≥a ,则: f (x )max −f (x )min ≥a ;○ 6 、抽象函数的导函数构造(1)xf ′(x )+f (x )>0⇔[xf (x )]′>0;xf ′(x )−f (x )>0⇔[f (x )x]′>0 当 x >0 时, xf ′(x )+nf (x )>0⇔[x n f (x)]′>0;xf ′(x )−nf (x )>0⇔[f (x )x n ]′>0(2) f ′(x )+f (x )>0⇔[e x f (x )]′>0;f ′(x )−f (x )>0⇔[f (x )e x ]′>0f ′(x )+f (x )>a ⇔[e x (f (x )−a )]′>0 ;f ′(x )−f (x )>a ⇔[(f (x )+a )e x]′>0 sinxf ′(x )+cosxf (x )>0x ∈(−π2,π2)tanxf ′(x )+f (x )>0}⇔[sinxf (x )]′>0 sinxf ′(x )−cosxf (x )>0x ∈(−π2,π2), tanxf ′(x )−f (x )>0}⇔[f (x )sinx ]′>0 cosxf ′(x )−sinxf (x )>0f ′(x )−tanxf (x )>0}⇔[cosxf (x )]′>cosxf ′(x )+sinxf (x )>0x ∈(−π2,π2), f ′(x )+tanxf (x )>0}⇔[f (x )cosx ]′>0 【课本优质习题汇总】新人教 A 版选择性必修二 P70(第 2 题)2. 函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( ).(A) f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 (B) f′(1)<f′(2)<f′(3)<0(C) 0<f′(1)<f′(2)<f′(3) (D) f′(1)>f′(2)>0>f′(3)新人教 A 版选择性必修二 P816. 已知函数f(x)满足f(x)=f′(π4)sinx−cosx ,求f(x)在x=π4处的导数.7. 设函数f(x)=1−e x的图象与x轴相交于点P ,求该曲线在点P处的切线方程.8. 已知函数f(x)=x22+2x−3lnx ,求f(x)的导数,并求出f′(x)>0的解集.新人教 A 版选择性必修二 P8211. 设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直,求a的值.新人教 A 版选择性必修二 P942. 证明不等式: x−1≥lnx,x∈(0,+∞) . 新人教 A 版选择性必修二 P987. 将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形. 要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?8. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.(1) 试把方盒的容积V表示为x的函数;(2) x多大时,方盒的容积V最大?新人教 A 版选择性必修二 P989. 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得n个数据a1,a2,a3,⋯,a n.证明: 用n个数据的平均值x=1n∑a ini=1表示这个物体的长度,能使这n个数据的方差f(x)=1n∑(x−a i)2ni=1最小.新人教 A 版选择性必修二 P9911. 已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当售价是b(b≥43a)元/件时,可卖出c件. 市场调查表明,当售价下降10%时,销量可增加40% . 现决定一次性降价,售价为多少时,可获得最大利润?12. 利用函数的单调性, 证明下列不等式, 并通过函数图象直观验证:(1) e x>1+x,x≠0 ; (2) lnx<x<e x,x>0 . 新人教 A 版选择性必修二 P103 3. 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( ).(第 3 题)(A)(D)(B) (C)6. 一杯80∘C的热红茶置于20∘C的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位: ’C’)与时间t (单位: min)之间的关系由函数T=f(t)给出.(1) 判断f′(t)的正负,并说明理由.(2) f′(3)=−4的实际意义是什么? 如果f(3)=65∘C ,你能画出函数f(t)在t=3时图象的大致形状吗?新人教 A 版选择性必修二 P10411. 如图,直线l和圆P ,当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动 (转动角度不超过90∘ ) 时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数. 这个函数的图象大致是 ( ).(第 11 题)(A)(B)(C)(D)新人教 A 版选择性必修二 P104的大致图象.17. 作函数y=e x(2x−1)x−118. 已知函数f(x)=e x−ln(x+m) . 当m≤2时,求证f(x)>0 .19. 已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x .(1) 讨论f(x)的单调性; (2) 若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 新人教 B 版选择性必修三 P67(第 5 题)6 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.(1) 甲、乙两人的平均速度各是多少?(2) 在接近终点时, 甲乙两人谁的速度更快?新人教 B 版选择性必修三 P90(3) 已知曲线y=x24−3lnx+1的一条切线的斜率为12,求切点的横坐标.(4) 求f(x)=(x2−3x+1)e x的导数,并求出曲线y=f(x)的平行于x轴的切线的切点坐标.新人教 B 版选择性必修三 P91(5) 设l是曲线y=1x的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.(6) 求满足下列条件的直线l的方程.(1) 过原点且与曲线y=lnx相切;(2) 斜率为e且与曲线y=e x相切.(7) 设曲线y=2x3在(a,2a3)处的切线与直线x=a,y=0所围成的三角形面积为13,求a的值.(3) 已知函数f(x)=4x2 ,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为l , 直线m 平行于直线l且过点(0,−6) .(1) 求出直线l与m的方程;(2) 指出曲线y=f(x)上哪个点到直线m的距离最短,并求出最短距离.(9) 已知f(x)=√x ,求f(9.05)的近似值.新人教 B 版选择性必修三 P91(3) 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=−x2+a ,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,则a取什么值时, C1和C2有且仅有一条公切线? 写出此公切线的方程.新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 已知函数f(x)=x3−x2−x−1的图象与直线y=c有 3 个不同的交点,求实数c的取值范围.(5) 已知e x≥kx+1恒成立,求k的取值范围.(3) 已知函数y=k(x−1)与y=lnx的图象有且只有一个公共点,求k的取值范围. 新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 利用导数求一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间与最值.(2) 若函数f(x)=−x3+ax2+bx+1在x=1时有极值,试求函数f(x)的极值, 并求函数f(x)在区间[−3,32]上的最值.新人教 B 版选择性必修三 P108(1) 已知正方形ABCD的边长为 1,而E,F,G,H分别是AB,BC,CD , DA 上的点,且四边形EFGH也是正方形,求四边形EFGH面积的最小值.(2) 在等腰梯形ABCD中,已知上底CD=40 ,腰AD=40 ,则AB为多少时等腰梯形的面积最大?(3) 已知等腰三角形的周长为2p ,将该三角形围绕底边旋转一周形成几何体,则三角形的各边长分别是多少时所得几何体的体积最大?(4) 要做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器,高与底面直径分别为何值时,所用材料最省?(5) 若x1,x2,⋯,x n是一组已知数据,令s(x)=(x−x1)2+(x−x2)2+⋯+(x−x n)2,用导数求x取何值时s(x)取得最小值.新人教 B 版选择性必修三 P1135. 已知a>0且f(x)=ax+a−2x+2−2a ,若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.6. 若函数f(x)=x2−12lnx+1在其定义域内的一个子集(a−1,a+1)内存在极值,求实数a的取值范围.7. 已知f(x)=e x−ax ,(1) 求f(x)与y轴的交点A的坐标;(2) 若f(x)的图象在点A处的切线斜率为 -1,求f(x)的极值.8. 已知x轴为函数f(x)=x3+ax+14的图象的一条切线,求实数a的值.新人教 B版选择性必修三 P1139. 求曲线y=ln1+x1−x在x=0处的切线方程.10. 函数f(x)=xsinx,x∈[−π,π]的图象大致是( ) .(A)(B)(C)(D)11. 设函数f(x)={x 3−3x,x≤a,−2x,x>a.(1) 若a=0 ,求f(x)的最大值;(2) 若f(x)无最大值,求实数a的取值范围.12. 要在半径为0.5m的圆桌中心正上方安装一个吊灯,已知桌面上灯光的强度可以用y=k sinφr2表示,其中r是灯与桌面上被照点的距离, φ是光线与桌面的夹角. 为使桌边最亮, 吊灯应离桌面多高?13. 设函数f(x)=√x2+1−ax ,其中a>0 ,若函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,试求实数a的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P11414. 证明: 当x>0时, ln(1+x)<x .15. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有 3 个实数根,它们分别是α,β,2 .(1) 求实数c的值;(2) 求证: f(1)≥2 ;(3) 求|α−β|的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P1141. 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c ,(1) 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2) 设a=b=4 ,若函数f(x)有 3 个不同零点,求实数c的取值范围;(3) 求证: a2−3b>0是f(x)有 3 个不同零点的必要不充分条件.2. 若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)−xf′(x)>0 ,判断3f(1)与f(3)的大小.新人教 B 版选择性必修三 P1143. 设函数f(x)=xe a−x+bx ,曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y= (e-1) x+4 .(1) 求实数a,b的值;(2) 求f(x)的单调区间.4. 已知函数f(x)=ax3−3x2+1 ,若f(x)存在唯一的零点x0 ,且x0>0 ,求a的取值范围.5. 已知函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a ,其中a<1 ,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0 ,求实数a的取值范围.6. 令f(x)=x2+x−1 ,对抛物线y=f(x) ,持续实施下面牛顿切线法的步骤:在点(1,1)处作抛物线的切线交x轴于(x1,0) ;在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线,交x轴于(x2,0) ;在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线,交x轴于(x3,0) ;......由此能得到一个数列{x n} ,回答下列问题.(1) 求x1的值;(2) 设x n+1=g(x n) ,求g(x n)的解析式;(3) 用二分法求方程的近似解, 给出前 4 步结果. 比较牛顿切线法和二分法的求解速度.7. 求证: x≥0时,有xe−x≤ln(1+x) .。
高中数学辅导课程模块四不等式基础知识扫描[高中通用版(教师版)]目录第一节不等式 (1)【知识一】不等关系 (1)【知识二】作差法 (2)【知识三】不等式的基本性质 (3)第二节一元二次不等式及其解法 (6)【知识四】一元二次不等式及其解法 (6)【知识五】分式不等式的解法 (12)【知识六】一元二次不等式恒成立问题 (13)【知识七】含参数的一元二次不等式的解法 (15)第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (17)【知识八】二元一次不等式(组)的概念及其表示的平面区域 (18)【知识九】二元一次不等式组所表示的平面区域 (21)【知识十】约束条件 (25)【知识十一】简单的线性规划 (27)【知识十二】生活中的线性规划问题 (30)【知识十三】非线性规划问题 (36)第四节基本不等式ab≤a＋b2 (40)【知识十四】基本不等式 (40)【探索1】常见推论的证明 (40)【探索2】用基本不等式证明不等式 (41)【探索三】用基本不等式比较大小 (43)【知识十五】用基本不等式求最值 (45)【探索1】用基本不等式求最值概念的理解 (45)【探索2】基本不等式与最值 (46)【探究3】基本不等式在实际问题中的应用 (49)第一节 不等式【知识一】 不等关系类型一 用不等式(组)表示不等关系【例1-1】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【解析】提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.【反思】数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.【练习1-1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种.按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 【解析】设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，有不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .【练习1-2】某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >95，y >380，z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∈x ≥95，y >380，z >45.故选D【知识二】 作差法【例2-1】已知a ，b 均为正实数.试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小. 【解析】∈a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a ) ＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b ).当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.【反思】 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.【练习2-1】已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小.【解析】∈(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34， 又∈⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，x －1<0，∈(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∈x 3－1<2x 2－2x . 【练习2-2】比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小.【解析】 ∈(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∈(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4).【例2-2】若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系.【解析】|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∈0<x <1，∈||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x， ∈1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∈1＋x <11－x，∈log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1， ∈|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.【反思】作商法的依据：若b ＞0，则a b ＞1∈a ＞b ，a b <1∈a <b ，ab =1∈a =b ，【练习2-3】若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小.【解析】 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，∈a ＞b ＞0，∈a b ＞1，a －b ＞0，∈⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b b a b b a ＞1，又∈a ＞b ＞0，∈a a b b ＞a b b a .【练习2-4】若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M <N B.M ≤N C.M >N D.M ≥N 【解析】当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∈log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∈log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∈当a >0且a ≠1时，总有M >N .故选C【练习2-5】设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小. 【解析】 ∈5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∈5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.【知识三】 不等式的基本性质【例3-1】已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb.【证明】因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0. 于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb .【练习3-1】如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 【证明】⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫a >b >0c >0∈ac >bc >0⎭⎬⎫c >d >0b >0∈bc >bd >0∈ac >bd .【练习3-2】已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A.a >b ⇒ac 2>bc 2B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1b D.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b【解析】当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ∈a ab <b ab ，即1a >1b ，C 成立.同理可证D 不成立.故选C【练习3-3】若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________. 【解析】 ∈－1≤b ≤2，∈－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∈－1≤a －b ≤6.【练习3-4】b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时，____________.【解析】法一：变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，a ＋m b ＋m >ab法二:做差法，略【思考3-1】已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞eb －d .【证明】法一： ∈c <d <0，∈－c ＞－d ＞0，又∈a ＞b ＞0，∈a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∈0<1a －c <1b －d ，又∈e <0，∈e a －c ＞eb －d.法二：e a －c －eb －d =))(()]()[())(()())(()()(d b c a d c a b e d b c a c a d b e d b c a c a e d b e ---+-=--+--=-----∈a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，∈a －c ＞b －d ＞0，b －a <0,c －d <0,∈0))(()]()[(>---+-d b c a d c a b e ,即e a －c ＞eb －d【思考3-2】若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y1＋y，则M ，N 的大小关系是( )A.M ＝N B .M <N C.M ≤N D.M >N【解析】∈x >0，y >0，∈x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∈x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y 1＋y， 故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y ＝N ，即M <N .故选B【思考3-3】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A.ax ＋by ＋czB.az ＋by ＋cxC.ay ＋bz ＋cxD.ay ＋bx ＋cz【解析】(ax ＋by ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(a －c )(x －z )>0，故选项A 中的不是最低费用；(ay ＋bz ＋cx )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (z －y )＝(a －b )(y －z ) >0，故选项C 中的不是最低费用；(ay ＋bx ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －x )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －y ＋y －x )＝(a －c )(y －z )＋(b －c )(x －y )>0，故选项D 中的不是最低费用. 综上所述，选项B 中的为最低费用.第二节一元二次不等式及其解法【知识四】一元二次不等式及其解法有两相等实根【例4-1】求下列不等式的解集.（1）260x x +-> （2）0172>-+x x （3）0322>++x x （4）0322<++x x （5）022≤+x x （6）022≤+x （7）022>-x （8）018522≥++-x x 【解析】（1）原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->，于是32x x <->或，所以原不等式的解集是{x |32x x <->或}．（2）0172>-+x x 053449>=+=∆，且253721±-=x x ， 所以25372537--<+->x x 或，解集为{x|25372537--<+->x x 或} （3）因为0912442<-=-=-=∆ac b ，所以0322>++x x 恒成立，故不等式的解集为R（4）因为0912442<-=-=-=∆ac b ，0322>++x x 恒成立，所以不等式0322<++x x 无解（5）原不等式可化为0)2(≤+x x ⇒02≤≤-x ，所以原不等式的解集为{x|02≤≤-x } （6）原不等式无解，解集为∅ （7）原不等式可化为0)2)(2(>+-x x ，解得22-<>x x 或所以原不等式的解集为{x|22-<>x x 或}（8）018520185222≤--⇔≥++-x x x x 0)2)(92(≤+-⇔x x所以原不等式的解集为{x|292≤≤-x } 【练习4-1】（1）4x 2－4x ＋1>0 （2）2x 2－3x －2≥0 （3）x 2＋x －2<0 （4）2x 2－x －1>0 （5）6x 2＋x －2≤0 (6)－x 2＋2x －3>0. （7）－3x 2＋6x >2【解析】（1）因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. （2）∈2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2>0，∈不等式2x 2－3x －2≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2. （3）由x 2＋x －2<0，得－2<x <1，故其解集为{x |－2<x <1}.（4）∈2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∈由2x 2－x －1>0，得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∈不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x ＞1. (5)因为6x 2＋x －2≤0∈(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12. (6) 不等式可化为x 2－2x ＋3<0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∈. (7)不等式可化为3x 2－6x ＋2<0，∈Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∈x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∈不等式－3x 2＋6x >2的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－33<x <1＋33.【练习4-2】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A.{x |x <－1或x >2}B.{x |x ≤－1或x ≥2}C.{x |－1<x <2}D.{x |－1≤x ≤2}【解析】 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∈b ＝－a ，c ＝－2a ，又∈a <0，∈x 2－x －2≤0，∈－1≤x ≤2.【练习4-3】若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 【解析】 ∈0<t <1，∈1t >1，∈1t >t .∈(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0∈(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0∈t <x <1t . 【练习4-4】不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A.{x |x ≠－2}B.RC.∅D.{x |x <－2或x >2}【解析】 ∈x 2＋x ＋1>0恒成立，∈原不等式∈x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2∈x 2＋4x ＋4>0∈(x ＋2)2>0， ∈x ≠－2.∈不等式的解集为{x |x ≠－2}.【练习4-5】不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是__________________.【解析】 ∈⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∈－3≤x <－2或0<x ≤1.答案为{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}【练习4-6】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A.(－3,1)∪(3，＋∞)B.(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1,3) 【解析】 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∈(3，＋∞).【例4-2】已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集.【解析】由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，∈不等式bx 2＋ax ＋1>0，即2x 2－3x ＋1>0.由2x 2－3x ＋1>0，解得x <12或x >1.∈bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x ＞1. 【练习4-7】已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，求a ，b 的值. 【解析】方法一 由题设条件知a >0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根.由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二 把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.【练习4-8】若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集. 【解析】由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∈⎩⎨⎧－13＋2＝－ba ，－13×2＝ca ，∈b ＝－53a ，c ＝－23a ，∈不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又∈a <0，∈2x 2－5x －3<0，解得－12<x <3，∈所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3.【例4-3】某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围. 【解析】设花卉带的宽度为x m(0<x <300)， 则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0， 即(x －600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100].【练习4-9】在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任.【解析】由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.012x 甲 >12，S 乙＝0.05x 乙＋0.0052x 乙>10. 分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40. 由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.【练习4-10】某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为________.【解析】 日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }.【思考4-1】已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) A.{x |x <－1或x >－lg 2} B.{x |－1<x <－lg 2} C.{x |x >－lg 2} D.{x |x <－lg 2} 【解析】由题,一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，12，即－1<10x <12，得x <－lg 2.选D 【思考4-2】已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A.a <α<β<bB.a <α<b <βC.α<a <b <βD.α<a <β<b 【解析】 设g (x )＝(x －a )(x －b )，则g (x )向上平移2个单位长度得到f (x )的图象，由图易知a <α<β<b .故选A【思考4-3】已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________. 【解析】 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解， 把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.【思考4-4】已知集合A ＝{x |x 2－x －12<0}，集合B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，集合C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a ≠0}，若C ⊇(A ∩B )，则实数a 的取值范围是______________. 【解析】A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |x <－4或x >2}， ∈A ∩B ＝{x |2<x <4}， 要使C ∈(A ∩B )，需⎩⎪⎨⎪⎧ 22－4a ·2＋3a 2≤0，42－4a ·4＋3a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－8a ＋4≤0，3a 2－16a ＋16≤0.解得43≤a ≤2，即a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. 【思考4-5】不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集为__________. 【解析】原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}. 【思考4-6】解不等式|x －2|－|x －5|≥x 2－8x ＋14. 【解析】设f (x )＝|x －2|－|x －5|.当x ≤2时，f (x )＝－3，而x 2－8x ＋14＝(x －4)2－2≥－2， ∈f (x )≥x 2－8x ＋14无解； ∈当2<x <5时，f (x )＝2x －7，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －7≥x 2－8x ＋14，2<x <5，解得3≤x <5；∈当x ≥5时，f (x )＝3，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－8x ＋14≤3，x ≥5，解得5≤x ≤4＋ 5.综上，原不等式的解集为[3,4＋5]. 【知识五】分式不等式的解法【例5-1】解下列不等式： (1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 【解析】 (1)2x －5x ＋4<0∈(2x －5)(x ＋4)<0∈－4<x <52，∈原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∈x ＋12x －3≤1，∈x ＋12x －3－1≤0，∈－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∈原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 【反思】分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母即可. 【练习5-1】解下列不等式. (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1.【解析】(1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∈x <－13或x ≥12，∈原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∈－3<x <－12， ∈原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∈(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∈原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.【知识六】一元二次不等式恒成立问题【例6-1】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 【解析】(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∈－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∈g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∈0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∈g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∈m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立. ∈x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∈m <6x 2－x ＋1.∈函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∈只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 【练习6-1】当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________. 【解析】 由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 【练习6-2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 【解析】 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2). 由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5. 【思考6-1】设函数f (x )＝mx 2－mx －1，对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 【解析】f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，m (x 2－x ＋1)－6<0. 设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0. ∈g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∈x 2－x －1<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.[反思]有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.【知识七】含参数的一元二次不等式的解法【例7-1】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 【解析】当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∈a <0，∈1a <1，∈不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}. 当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∈.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∈；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1.[反思]解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.【练习7-1】 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.【解析】当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解.综上，当a <0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，解集为∈.【练习7-2】解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0. 【解析】方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 因为函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以 ∈当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}； ∈当a ＝－1时，原不等式的解集为∈； ∈当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }.【练习7-3】解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 【解析】 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0， 解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}.(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2.∈当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ∈当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；∈当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .【方法小结】1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立∈a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立∈a <f (x )min .3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【知识八】二元一次不等式(组)的概念及其表示的平面区域【例8-1】画出不等式x＋4y<4表示的平面区域.【解析】先作出边界x＋4y＝4，因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，所以画成虚线.取原点(0,0)，代入x＋4y－4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方.所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示.[反思]画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点.【练习8-1】画出下列二元一次不等式表示的平面区域.(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.【解析】(1)画出直线x－2y＋4＝0，∈0－2×0＋4＝4>0，∈x－2y＋4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧(包含边界)，因此所求的平面区域为如图所示的区域，包括边界.(2)画出直线y－2x＝0，∈0－2×1＝－2<0，∈y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求的平面区域为如图所示的区域，不包括边界.【练习8-2】不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的()A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方【解析】在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.【例8-2】如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________.【解析】过点(2,0)和(0,1)的直线方程为x2＋y ＝1，即x ＋2y －2＝0.代入(0,0)有0＋2×0－2＝－2<0. ∈阴影部分表示的区域满足x ＋2y －2<0. [反思]用不等式表示平面区域的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程. (2)将平面区域内的特殊点代入直线方程，判断不等号的方向. (3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.【练习8-3】将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.【解析】(1)－2<x <2. (2)2x ＋y >0. (3)x －y －2<0.【练习8-4】如图所示的区域用不等式可表示为_______________________.【解析】过(－2,0)，(0,5)的直线方程为x －2＋y5＝1，即5x －2y ＋10＝0.代入(0,0)得5×0－2×0＋10>0， ∈(0,0)所在区域为5x －2y ＋10>0.【例8-3】 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________. 【解析】点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x －2y ＋a ＞0的解，另一个点是3x －2y ＋a <0的解.∈⎩⎪⎨⎪⎧ 3×3－2×1＋a ＞0，3×(－4)－2×6＋a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3×3－2×1＋a <0，3×(－4)－2×6＋a ＞0，即(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]<0， (a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.【反思】 对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若Ax 1＋By 1＋C ＞0，则Ax 2＋By 2＋C <0，即同侧同号，异侧异号.【练习8-5】已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A.(－1,6) B.(－6,1) C.(－∞，－1)∪(6，＋∞) D.(－∞，－6)∪(1，＋∞) 【解析】由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0，即(a ＋1)(a －6)<0，∈－1<a <6.【练习8-6】经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【解析】法一：由题意知直线l 的斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题意知A ，B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有(k ＋1)(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1.【方法小结】1.对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，(1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；(2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域.2.画平面区域时，注意边界线的虚实问题.【知识九】二元一次不等式组所表示的平面区域【例9-1】用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y<－3x＋12，x<2y的解集.【解析】不等式y<－3x＋12，即3x＋y－12<0，表示的平面区域在直线3x＋y－12＝0的左下方；不等式x<2y，即x－2y<0，表示的是直线x－2y＝0左上方的区域.取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.[反思]在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：∈画线；∈定侧；∈求“交”；∈表示.但要注意是否包含边界.【练习9-1】画出下列不等式组所表示的平面区域.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≤3，x＋y≤3，x≥0，y≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x－y<2，2x＋y≥1，x＋y<2.【解析】(1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方的区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域.1.因为同侧同号,异侧异号,所以可以用特殊点检验,判断Ax＋By＋C>0的解集到底对应哪个区域.当C≠0时，一般取原点(0,0)，当C＝0时，常取点(0,1)或(1,0).2.二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集.注：(x＋y)(x－y＋1)≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥0，x－y＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤0，x－y＋1≤0.综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示. (2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域.综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示.【例9-2】画出不等式x 24－y 2≤0表示的平面区域.【解析】x 24－y 2＝⎝⎛⎭⎫x 2－y ⎝⎛⎭⎫x 2＋y ≤0等价于⎩⎨⎧x2－y ≤0，x2＋y ≥0或⎩⎨⎧x2－y ≥0，x2＋y ≤0，其表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示.【反思】(1)可以通过等价转化把较新颖的问题化归为老问题.(2)不论(A 1x ＋B 1y ＋C 1)(A 2x ＋B 2y ＋C 2)大于0还是小于0，其表示的区域必为“对顶角”区域，故用特殊点确定区域时只需取一点即可.【练习9-2】画出(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域. 【解析】由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.其表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示.【练习9-3】画出|x |＋|y |≤1表示的平面区域.【解析】不等式|x |＋|y |≤1等价为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，－x －y ≤1，x ≤0，y ≤0，－x ＋y ≤1，x ≤0，y ≥0，∈|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示.【例9-3】如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0【解析】观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2的上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分内，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C.【练习9-4】图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 【解析】取原点O (0,0)检验，满足x ＋y －1≤0，故异侧点满足x ＋y －1≥0，排除B ，D.O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C.故选A【思考9-1】已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A.1B.－1C.0D.0或1【解析】 条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1， 要么垂直于直线x ＋y －4＝0，∈k ＝0或k ＝1. 当k ＝0时，直线kx －y ＝0，即y ＝0，交直线x ＝1， x ＋y －4＝0于点B (1,0)，C (4,0). 此时约束条件表示∈ABC 及其内部， 其面积S ∈ABC ＝12·|BC |·|AB |＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k ＝1时符合题意.故选A 【反思】平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积：∈首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；∈对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解. 【练习9-5】已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________.【解析】由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3).则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为∈ABC 及其内部.直线y ＝kx ＋1过点A .要把∈ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.【练习9-6】在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A.32＋2B.－32＋2C.－5D.1【解析】 平面区域如图阴影部分(含边界)所示，易求得A (－2，2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a ).S ∈ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1(a ＝－5不满足题意，舍去).故选D【知识十】约束条件【例10-1】某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.【解析】设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.另外，开设的班数应为自然数，则x∈N，y∈N.把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ∈N ，y ∈N .用图形表示这个限制条件，得到如图阴影部分(含边界)的平面区域.【反思】求解不等式组在生活中的应用问题，首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组.注意隐含的条件，如钢板块数为自然数.【练习10-1】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式. 【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.【练习10-2】完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *。
1.7.2 定积分在物理中的应用[目标] 1.能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.2.学会利用定积分求变力做功问题.3.感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识．[重点] 用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程． [难点] 用定积分求变力做功问题．知识点一 变速直线运动的路程[填一填]作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .[答一答]1．一辆汽车在1 min 内的速度—时间曲线如图所示，那么汽车的速度v 与时间t 的函数关系式是什么？提示：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，30，10<t <40，－32t ＋90，40≤t ≤60.2．上述问题中汽车在[0,10]，[10,40]，[40,60](单位：s)三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？提示：⎠⎛ 0103t d t ；⎠⎛ 104030d t ；⎠⎛ 4060(－32t ＋90)d t .3．如果v (t )的方向有正有负，怎样表示t ∈[a ，b ]时物体经过的路程和位移？ 提示：路程可表示为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ，位移可表示为s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .知识点二 变力做功[填一填]1．恒力F 的做功公式一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs .2．变力F (x )的做功公式如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[答一答]4．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，回答下列问题．(1)物理上进行功的计算时，力、位移的单位是什么？相应功的单位是什么？ (2)计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？提示：(1)在一般情形下，力、位移的单位依次为N ，m ，功的相应单位为J.在解题时单位一定要统一．(2)力与位移的方向必须一致．1．路程计算公式路程是位移的绝对值和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程： (1)若v (t )≥0，s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；(2)若v (t )≤0，s ＝－⎠⎛ab v (t )d t ；(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t .2．求变力做功的方法(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键． (2)由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力F (x )的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )．因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab f (x )d x 即可求出变力F (x )所做的功．类型一 变速直线运动的路程【例1】 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离．【解】 (1)设A 到C 的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)， 则AC ＝⎠⎛ 0201.2t d t ＝0.6t|2200＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)， 则DB ＝⎠⎛ 020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点 1分清运动过程中的变化情况；2如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；3明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消.汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2匀减速刹车，问开始刹车到停车，汽车行驶了多少千米？解：由题意，知v 0＝36 km/h ＝10 m/s.所以v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，令v (t )＝0，则t ＝5，则t ＝5 s 时，汽车将停止，所以汽车由刹车到停车行驶的路程s ＝⎠⎛ 05v (t )d t ＝⎠⎛ 05 (10－2t )d t ＝(10t －t 2)|50＝25(m)＝0.025(km)． 类型二 变力做功【例2】 设有一根长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．【思路分析】 先求出拉力F (x )，然后再求功．【解】 设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05 k ＝100， ∴k ＝2 000，∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛ 00.152 000x d x ＝1 000x 20.150＝22.5(J)．(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步． (2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题．一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)外力F (x )做的功．解：由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤23x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛ 0210d x ＋⎠⎛ 24 (3x ＋4)d x ＝10x|20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)．正确区分变速直线运动的位移与路程【例3】 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝3时，求离开原点的路程； (2)当t ＝5时，P 点的位置；(3)从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程；(4)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【思路分析】 首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解． 【解】 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝3时，点P 离开原点的路程s 1＝∫30(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|30＝18.(2)s 2＝∫50(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|50＝503.∴点P 在x 轴正方向上距原点503处．(3)s 3＝∫40(8t －2t 2)d t －∫54(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|54＝26.(4)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．【解后反思】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程．解：(1)在时刻t ＝4 s 时该点的位置为：⎠⎛ 04 (t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距离出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]和[3,4]上v (t )≥0，在区间[1,3]上v (t )≤0， 所以在t ＝4 s 时运动的路程为：1．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( B )A ．1＋eB ．e C.1eD ．e －1解析：所做的功W ＝⎠⎛ 01F (x )d x ＝⎠⎛ 01 (1＋e x)d x ＝(x ＋e x)|10＝e.2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( B ) A ．0 B ．1 C.12 D.32解析：当t ∈[1,2]时，v (t )≥0，t ∈[2,3]时，v (t )≤0，故路程为.3．如果1 N 力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为0.18_J. 解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，∴k ＝10.01＝100，即F (x )＝100x ，于是拉长6 cm 所耗费的功为W ＝⎠⎛ 00.06F (x )d x ＝⎠⎛ 00.06100x d x ＝50x 20.060＝0.18(J)．4．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为13m.解析：由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝＝13(m)．5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，求此物体达到最高时的高度．解：由v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2(s)．所以物体达到最高时的高度为h ＝⎠⎛ 02 (40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20＝1603(m)．。
第22讲不等式选讲1.[2021·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)假设f(x)≤1,求a的取值范围.[试做]2.[2021·全国卷Ⅰ]f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)假设x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.[试做]3.[2021·全国卷Ⅱ]a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做](1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法:①分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个局部,在每局部内去掉绝对值并分别列出对应的不等式求解,然后取各局部解集的并集;②图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解.(2)不等式的恒成立问题一般有两种解法:①利用函数思想转化为函数的最值问题求解;②构造两个函数,作出函数图像,通过数形结合寻找临界状态得到参数的取值范围.(3)利用根本不等式证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从不等式和问题的条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后得到需证的结论.解答1含绝对值不等式的解法1 函数f(x)=|x-a|-|3x+2|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>x-1;(2)假设关于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范围.[听课笔记]【考场点拨】(1)对于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a的不等式,通常利用“零点〞分区间法去掉绝对值.【自我检测】设函数f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式f(x)≤x的解集;(2)假设存在x使不等式f(x)-2|x-1|≤a成立,求实数a的取值范围.解答2不等式的证明2 a>0,b>0,且a2+b2=2.(1)假设1a2+4a2≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;(2)证明:(1a +1a)(a5+b5)≥4.[听课笔记]【考场点拨】(1)证明不等式的根本方法有综合法、分析法,也常用到根本不等式进展证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否认性命题或唯一性命题,或以“至少〞“至多〞等方式给出,可以考虑反证法.【自我检测】关于x的不等式|12a+a|≤|x+2|的解集为R.(1)求实数m的值;(2)假设a,b,c>0,且a+b+c=m,求证:√a+√a+√a≤√3.解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 函数f(x)=|x-2|+2|x-1|.(1)求不等式f(x)>4的解集;(2)假设不等式f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.[听课笔记]【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:①假设f(x)>g(a)恒成立,那么f(x)min>g(a);②假设f(x)<g(a)恒成立,那么f(x)max<g(a).【自我检测】函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m,m∈R.(1)假设m=5,求不等式f(x)>0的解集;(2)假设对于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范围.第22讲 不等式选讲典型真题研析1.解:(1)当a=1时, f (x )={2a +4,a ≤-1,2,-1<a ≤2,-2a +6,a >2.可得f (x )≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f (x )≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a ≤-6或a ≥2, 所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).2.解:(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,a ≤-1,2a ,-1<a <1,2,a ≥1.故不等式f (x )>1的解集为x x>12.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 假设a ≤0,那么当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;假设a>0,|ax-1|<1的解集为x 0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].3.证明:(1)(a+b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4. (2)因为(a+b )3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab (a+b )≤2+3(a +a )24(a+b )=2+3(a +a )34,所以(a+b )3≤8,因此a+b ≤2. 考点考法探究解答1例1 解:(1)当a=1时,不等式f (x )>x-1即为|x-1|-|3x+2|>x-1.当x>1时,不等式可化为-2x-3>x-1,解得x<-23,与x>1矛盾,此时不等式无解; 当-23≤x ≤1时,不等式可化为-4x-1>x-1,解得x<0,所以-23≤x<0;当x<-23时,不等式可化为2x+3>x-1, 解得x>-4,所以-4<x<-23.综上所述,不等式的解集为{x|-4<x<0}.(2)f (x )={2a +a +2,a <-23,-4a -2+a ,-23≤a ≤a ,-2a -a -2,a >a .因为函数f (x )在(-∞,-23)上单调递增,在(-23,+∞)上单调递减,所以当x=-23时,f (x )max =23+a.不等式f (x )>4有解等价于f (x )max =23+a>4,解得a>103,故a 的取值范围为(103,+∞).【自我检测】解:(1)由f (x )≤x ,得|2x-7|+1≤x ,即|2x-7|≤x-1. 当x ≤1时,显然不成立.当x>1时,两边平方得3x 2-26x+48≤0,即(x-6)(3x-8)≤0,解得83≤x ≤6,综上得,不等式的解集为x 83≤x ≤6.(2)因为存在x 使不等式|2x-7|-2|x-1|+1≤a 成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.又因为|2x-7|-2|x-1|+1={6,a ≤1,-4x +10,1<x <72,-4,x ≥72,所以a ≥-4.解答2例2 解:(1)设f (x )=|2x-1|-|x-1|,那么f (x )={x,x ≥1,3x -2,12≤x <1,-x,x <12.由a 2+b 2=2,得12(a 2+b 2)=1,所以1a 2+4b 2=12(1a 2+4b2)(a 2+b 2)=12(1+4+b 2a 2+4a 2b2)≥12(1+4+2√a 2a2·4a 2b2)=92,当且仅当a 2=23,b 2=43时等号成立,所以92≥|2x-1|-|x-1|.当x ≥1时,得x ≤92,所以1≤x ≤92;当12≤x<1时,得3x-2≤92,解得x ≤136,所以12≤x<1; 当x<12时,得-x ≤92,解得x ≥-92,所以-92≤x<12. 综上可得-92≤x ≤92. (2)证明:(1a +1b)(a 5+b 5)=a 4+b 4+a 5a+a 5b =(a 2+b 2)2+a 5a +a 5b -2a 2b 2≥(a 2+b 2)2+2√a 5a·a 5b -2a 2b 2=(a 2+b 2)2=4,当且仅当a 5a =a 5a,即a=b=1时等号成立.【自我检测】解:(1)∵|12x +m |≤|x+2|,∴(12x +m )2≤(x+2)2,整理得3x 2+(16-4m )x+16-4m 2≥0.由题意得Δ=(16-4m )2-4×3×(16-4m 2)≤0, 整理得(m-1)2≤0,∴m=1.(2)证明:∵a+b+c=1,a+b ≥2√ab ,b+c ≥2√aa ,c+a ≥2√aa ,当且仅当a=b=c=13时等号都成立,∴√a b +√bc +√ac≤a+b+c=1.又∵(√a +√b +√c )2=a+b+c+2√ab +2√bc +2√a c ,∴(√a +√b +√c )2≤3,∴√a +√b +√c≤√3.解答3例3 解:(1)依题意得f (x )=|x-2|+2|x-1|={4−3x,x <1,x,1≤x ≤2,3x -4,x >2.不等式f (x )>4等价于{x <1,4−3a >4或{1≤a ≤2,a >4或{a >2,3a -4>4,解得x<0或x ∈a或x>83,故所求解集为(-∞,0)∪(83,+∞).(2)由(1)可得,当x=1时,f (x )取得最小值1.∵f (x )>2m 2-7m+4对任意x ∈R 恒成立, ∴f (x )min >2m 2-7m+4,即2m 2-7m+4<1, ∴2m 2-7m+3<0,解得12<m<3,∴实数m 的取值范围是{a |12<a <3}.【自我检测】解:(1)|x+1|+|x-2|={-2a +1,a ≤−1,3,−1<a ≤2,2a -1,a >2.当m=5时,f (x )>0等价于{a ≤−1,-2a +1>5或{-1<a ≤2,3>5或{a >2,2a -1>5,解得x<-2或x ∈a或x>3,∴不等式f (x )>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)由题意知m ≤|x+1|+|x-2|-2在R 上恒成立, 又|x+1|+|x-2|-2≥|(x+1)-(x-2)|-2=1,∴m ≤1,即m 的取值范围是(-∞,1].[备选理由] 例1考察含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进展分类讨论,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原那么;例2考察不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例3考察绝对值不等式恒成立问题,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,别离参数法,利用根本不等式及导数求最值等知识与思想方法, 综合性较大.例1 [配例1使用] 函数f (x )=|2x+1|+|x-a|,a ∈R . (1)当a=2时,解不等式f (x )≤4;(2)假设不等式f (x )<1的解集为非空集合,求a 的取值范围. 解:(1)当a=2时,原不等式即为|2x+1|+|x-2|≤4.①当x ≤-12时,原不等式为-2x-1-x+2≤4,可得-1≤x ≤-12; ②当-12<x ≤2时,原不等式为2x+1-x+2≤4,可得-12<x ≤1; ③当x>2时,原不等式为2x+1+x-2≤4,可得x ∈a .综上可知,原不等式的解集是[-1,1]. (2)f (x )=|2x+1|+|x-a|,a ∈R .①当a=-12时,f (x )=32|2x+1|≥0,显然不等式f (x )<1的解集为非空集合.②当a>-12时,易知当x=-12时,f (x )取得最小值a+12,即f (x )=|2x+1|+|x-a|≥a+12.欲使不等式f (x )<1的解集为非空集合,那么需a+12<1, ∴-12<a<12.③当a<-12时,易知当x=-12时,f (x )取得最小值-a-12,即f (x )=|2x+1|+|x-a|≥-a-12.欲使不等式f (x )<1的解集为非空集合,那么需-a-12<1,∴-32<a<-12.综上可知,当-32<a<12时,不等式f (x )<1的解集为非空集合. 例2 [配例2使用] 函数f (x )=|x+1|+|x-1|. (1)求函数f (x )的最小值a ;(2)根据(1)中的结论,假设m 3+n 3=a ,且m>0,n>0,求证:m+n ≤2.解:(1)f (x )=|x+1|+|x-1|≥|x+1-(x-1)|=2,当且仅当-1≤x ≤1时取等号, 所以f (x )min =2,即a=2.(2)证明:假设m+n>2,那么m>2-n ,那么m 3>(2-n )3, 所以m 3+n 3>(2-n )3+n 3=2+6(1-n )2≥2.①由(1)知a=2,所以m 3+n 3=2.② ①②矛盾,所以假设不成立,即m+n ≤2.例3 [配例3使用] 函数f (x )=|2x|+|2x+3|+m ,m ∈R .(1)当m=-2时,求不等式f (x )≤3的解集;(2)假设对任意x ∈(-∞,0),都有f (x )≥x+2a 恒成立,求m 的取值范围. 解:(1)当m=-2时,f (x )=|2x|+|2x+3|-2={ 4a +1(a ≥0),1(-32<a <0),-4a -5(a ≤−32). 当x ≥0时,得4x+1≤3,可得0≤x ≤12;当-32<x<0时,得1≤3,恒成立;当x ≤-32时,得-4x-5≤3,可得-2≤x ≤-32.综上可得,不等式f (x )≤3的解集为[-2,12]. (2)当x ∈(-∞,0)时,f (x )=|2x|+|2x+3|+m={3+a (-32<a <0),-4a -3+a (a ≤−32). 当-32<x<0时,不等式化为3+m ≥x+2a. ∵x+2a =-[(-a )+(-2a )]≤-2√(-a )·(-2a )=-2√2,当且仅当-x=-2a ,即x=-√2时等号成立, ∴m+3≥-2√2,∴m ≥-3-2√2.当x ≤-32时,不等式化为-4x-3+m ≥x+2a, ∴m ≥5x+2a +3.令y=5x+2a +3,x ∈(-∞,-32],那么y'=5-2a 2>0, ∴y=5x+2a +3在(-∞,-32]上是增函数.∴当x=-32时,y=5x+2a +3取到最大值,最大值为-356,∴m≥-35.6综上可得m≥-3-2√2.。
__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人得分 一、选择题1．如图所示，已知平面CBD ⊥平面ABD ，且DA ⊥平面ABC ，则ABC △的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）6π B. 6π C. 9π D. 24π3．若函数()4cos(3)()2f x x πϕϕ=+<的图象关于直线1112x π=对称，且当127,(,)1212x x ππ∈--，12x x ≠时，12()()f x f x =，则12()f x x +=（ ） A. 22 B. 22- C. 4 D. 24．在空间中有如下命题，其中正确的是（ ）A. 若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则直线a 和c 共面；B. 若平面α内的任意直线m∥平面β，则平面α∥平面β；C. 若直线a 与平面α不垂直，则直线a 与平面α内的所有直线都不垂直；D. 若点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的内心．评卷人得分 二、填空题5．若复数(1)()i a i --在复平面内对应的点在第三象限，则整数a 的取值为_____．6．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()3f x x f x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则(1)f '=______. 7．从8:05到8:50，分针转了________（rad ）．评卷人 得分 三、解答题8．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．9．为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如表所示：(Ⅰ)由频率分布直方图，估计这100人年龄的中位数和平均数；(Ⅱ)根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？(Ⅲ)按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少。
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高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1。
导数的概念（1)函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0）＝0lim x ∆→错误!. （2）函数f （x ）的导函数f ′（x ）＝0lim x ∆→错误!为f （x ）的导函数. 2。
导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x ）在点P (x 0，f (x 0））处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)（x －x 0).3。
基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x ），g ′（x )存在,则有：考点一 导数的计算【例1】 求下列函数的导数：(1）y ＝e x ln x ；(2）y ＝x 错误!；解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x （ln x ）′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x 。
（2)因为y ＝x 3＋1＋错误!， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋错误!′＝3x 2－错误!。
【训练1】 (1） 已知函数f （x )的导函数为f ′(x ），且满足f (x )＝2x ·f ′(1）＋ln x ,则f ′(1）等于( )A 。
－eB 。
－1C 。
1D 。
e解析 由f (x ）＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋错误!，∴f ′(1）＝2f ′（1）＋1,则f ′（1)＝－1。
高中数学辅导课程模块六函数基础知识全扫描[高中通用版(教师版)]目录第一节函数及其概念 (1)【知识一】映射的概念 (1)【知识二】函数的概念 (3)【知识三】区间表示 (5)【知识四】定义域 (6)【知识五】值域 (7)【知识六】函数相等 (8)【知识七】函数的表示方法 (11)【知识八】分段函数 (20)第二节函数的单调性及奇偶性 (26)【知识九】函数的单调性 (26)【知识十】函数的最大(小)值 (34)【知识十一】函数的奇偶性 (42)第三节指数函数 (51)【知识十二】n次方根、n次根式 (51)【知识十三】分数指数幂 (54)【知识十四】指数函数的概念 (60)【知识十五】指数函数的图象和性质 (61)【知识十六（补充整理）】复合函数问题 (73)第四节对数 (75)【知识十七】对数的概念 (75)【知识十八】对数的运算 (79)【知识十九】对数函数的概念 (81)【知识二十】对数函数的图像与性质 (82)【知识二十一】反函数的概念 (91)第五节幂函数 (93)【知识二十二】幂函数的概念 (93)【知识二十三】五个幂函数的图象与性质 (93)第六节函数的应用 (99)【知识二十四】方程的根与函数的零点 (99)【知识二十五】二分法求解方程的近似解 (104)【知识二十六】实际问题的函数建模 (108)第一节函数及其概念【知识一】映射的概念【例1-1】（映射的概念）下列对应是否构成映射？若是映射，是否为一一映射？(1)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：y＝13x，x∈A，y∈B；(2)A＝N，B＝N＋，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；(3)A＝{x|0＜x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：y＝1x，x∈A，y∈B；(4)A＝R，B＝{y|y∈R，y≥0}，f：y＝|x|，x∈B，y∈B.【解析】(1)是映射，是一一映射．(2)不是映射．(3)是映射，是一一映射．(4)是映射，不是一一映射．【练习1】下图中(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则是不是映射？是不是一一映射？是不是函数关系？【解析】(1)是映射，是一一映射，是函数．(2)是映射，是一一映射，不是函数．(3)不是映射．(4)【映射的定义】设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作f：A→B.【提醒】映射f：A→B中，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序．(1)[象、原象的概念]给定一个集合A到集合B的映射f，若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应，则称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．(2)[一一映射的定义]如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．是映射，不是一一映射，不是函数．【练习1-2】已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )【解析】C 选项中，b 无象．答案 C【反思】判定一个对应法则f ：A →B 是映射的方法 (1)明确集合A ，B 中的元素的特征．(2)判断A 中的每个元素是否在集合B 中有唯一的元素与之对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B 中的每一个元素在A 中都有原象，且原象唯一．【例1-2】（象与原象）已知映射f ：A →B 中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，若f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素是(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)． (1)求A 中的元素(3,2)在B 中对应的象； (2)求B 中的元素(3,2)在A 中对应的原象．【解析】(1)∵f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)，且(3,2)是A 中的元素， ∴3x －2y ＋1＝3×3－2×2＋1＝6,4x ＋3y －1＝4×3＋3×2－1＝17， ∴(3,2)在B 中对应的象为(6,17)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝3，4x ＋3y －1＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1217，y ＝117，∴(3,2)在A 中的原象为⎝⎛⎭⎫1217，117.【练习1-3】 已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )． (1)求(－2,3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象．【解析】(1)把(－2,3)代入对应法则，即x ＋y ＝－2＋3＝1，xy ＝－2×3＝－6， 所以(－2,3)在f 作用下的象为(1，－6)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，xy ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.所以在f 作用下的象(2，－3)的原象为(－1,3)或(3，－1)．【练习1-4】已知(x ，y )在映射f 下的象是(2x －y ，x －2y )，则原象(1,2)在f 下的象为( ) A ．(0，－3) B ．(1，－3 C ．(0,3) D ．(2,3) 【解析】 2x －y ＝2×1－2＝0，x －2y ＝1－2×2＝－3，故选A.【反思】 求象与原象的方法(1)若已知A 中的元素a (即原象a )，求B 中与之对应的元素b (即象b )，这时只要将元素a 代入对应法则f 求解即可．(2)若已知B中的元素b(即象b)，求A中与之对应的元素a(即原象a)，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．【例1-3】(映射的综合应用)(1)集合A＝{a，b，c，d}，集合B＝{e，f}，从集合A到集合B 的映射的个数为________；(2)已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是________．【解析】(1)可以用列举法：∴共有2×2×2×2＝16(种)．(2)由于k∈B且在A中不存在原象，则x2－2x＋2＝k无解，即x2－2x＋2－k＝0无解．∴Δ＝4－4×(2－k)＜0，∴k＜1.[答案](1)16(2)(－∞，1)【练习1-5】集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数为()A．2 B．3 C．5 D．8【解析】f：a→－1b→1；f：a→1b→－1；f：a→0b→0.共有3个.[答案]B【练习1-6】已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有________个．【解析】a→c，b→c；a→d，b→d；a→c，b→d；a→d，b→c，共4个．[答案]4【反思】求映射个数的两类问题及解法(1)给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数，这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有n m个不同的映射．(2)含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．【知识二】函数的概念【例2】（函数关系的判断）(1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①②③能表示函数关系，④不能表示函数关系，因为当x＝1时，有两个y值与之对应．【答案】D(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？①f:把x对应到3x＋1；②g:把x对应到|x|＋1；③h：:把x对应到1x；④r:把x对应到x.【解析】①②是实数集R上的一个函数，因为给定一个x值都有唯一确定的值与之对应．③④不是，对于③，当x＝0时，没有值与之对应，对于④，当x＜0时，没有值与之对应．【反思】检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法(1)定义域和对应法则是否给出.(2)据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.【练习2-1】(1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．【解析】①③④表示函数的图象．[答案]①③④(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1.【解析】①是函数关系，定义域为{x |x ≥－1}．②是函数关系，定义域为R . ③是函数关系，定义域为R .【练习2-2】设集合，，从到有四种对应如图所示：其中能表示为到的函数关系的有_________．【解析】注意到M,N 的范围，故①的M 集合中(1,2]没有像。
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导数的背景(5月4日）教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1。
瞬时速度问题1:一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析:大家知道,自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度）。
当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大。
因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量:222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆从而,t tsv ∆+=∆∆=--9.44.29。
从上式可以看出，t ∆越小，t s ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于29.4米/秒。
此时我们说，当t ∆趋向于0时,ts∆∆的极限是29。
4。
当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s ＝s(t ），则物体在t 到(t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(。
如果t ∆无限趋近于0时，ts∆∆无限趋近于某个常数a,就说当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限为a,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度。
高中数学辅导课程模块七导数基础知识全扫描[高中通用版(学生版)]目录第一节变化率与导数 (4)【知识1】函数的平均变化率 (4)【知识2】瞬时速度 (6)【知识3】导数的概念 (8)【思考提升1】 (10)【知识4】导数的几何意义 (11)【探索1】在某个点处的切线方程 (11)【探索2】过某个点的切线方程 (12)【探索3】求切点坐标 (12)【探索4】数形结合 (13)【思考提升2】 (14)【知识5】导数公式 (15)【探索1】利用导数公式求函数的导数 (15)【探究2】利用导数公式研究切线问题 (16)【思考提升3】 (17)【知识6】导数的运算法则 (18)【探索1】利用法则进行导数的运算 (19)【探索2】导数公式及运算法则的综合应用 (20)【思考提升4】 (22)【知识7】复合函数的概念及求导法则 (23)【探索1】求复合函数的导数 (24)【探索2】复合函数导数的应用 (26)第二节导数在研究函数中的应用 (27)【知识8】利用导数判断函数的单调性 (27)【探索1】判断或证明函数的单调性问题 (27)【探索2】利用导数求函数的单调区间 (28)【探索3】求含参函数的单调区间 (28)【探索4】函数图象与导数图象的应用 (30)【探索5】利用导数讨论不等式问题 (31)【知识9】函数的单调性与导数的关系 (31)【探索1】已知函数单调性求参数的取值范围 (32)【探索2】证明不等式、等式问题 (34)【思考提升5】构造函数初接触 (35)【知识10】函数的极值与导数 (39)【探索1】讨论不含参函数的极值问题 (39)【探索2】函数极值在函数图像的应用 (41)【探索3】讨论含参函数的极值问题 (41)【探索4】由函数的极值求参数 (43)【探索5】由函数极值解决函数零点问题 (45)【知识11】函数的最大(小)值与导数 (46)【探索1】在闭区间内求函数的最值问题 (46)【探索2】在开区间内求函数的最值问题 (47)【探索3】利用导数讨论含参的最值问题 (49)【探索4】由函数的最值、极值求参数 (50)【探索5】与最值有关的恒成立问题 (52)第三节导数模块内容复习 (61)【回顾1】导数几何意义的应用 (62)【回顾2】函数的单调性、极值、最值问题 (62)【回顾3】导数在实际生活中的应用 (64)第一节 变化率与导数【知识1】函数的平均变化率【例1-1】设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为 . 【解析】Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.【练习1-1】若函数y ＝f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 【解析】函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以，当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.【例1-2】求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？【解析】在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 【反思】求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.【练习1-2】(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________. (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．【解析】(1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx ＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.【练习1-3】若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 【解析】 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ， ∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．【例1-3】过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．【解析】割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.【反思】平均变化率的几何意义：函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.【练习1-4】汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．【解析】v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC .即v 1<v 2<v 3【练习1-5】已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图象上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是( )A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6 B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33【解析】函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，故选B.【练习1-6】甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定【解析】设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙．答案为B【知识2】瞬时速度【例2】某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．【解析】∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt ＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.【练习2-1】某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，试求 （1）物体的初速度．（2）在哪一时刻物体的瞬时速度为9 m/s.【解析】（1）求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt ＝1＋Δt ，∴lim Δt →0 (1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s. （2）设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s. 【反思】(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误． (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝ΔsΔt；③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 【练习2-2】一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．【解析】质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ，∴lim Δt →0 ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2.【知识3】导数的概念【例3】(1)若函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1－Δx )－f (1)2Δx= .【解析】 lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx ＝－12lim Δx →0 f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx＝－12f ′(1)．(2)求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．【解析】因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx， 所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2， 所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2.【反思】(1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③求极限lim Δx →0 ΔyΔx . (2)瞬时变化率的变形形式 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝lim Δx →0 f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0) 【练习3-1】已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.【解析】∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 3(x 0＋Δx )2－3x 20Δx ＝lim Δx →0 (6x 0＋3Δx )＝6x 0， 又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1.【练习3-2】对于函数y ＝f (x )＝1x 2，其导数值等于函数值的点是________．【解析】f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 1(x 0＋Δx )2－1x 20Δx ＝－2x 30. 由题意知，f ′(x 0)＝f (x 0)，即－2x 30＝1x 20，解得x 0＝－2，从而y 0＝14.【练习3-3】若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)等于 . 【解析】∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1， 【方法小结】理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．利用导数定义求导数：(1)取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.(2)函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛． 【思考提升1】【思考1-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t >0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是________．【解析】x ＝t 时，y ＝3t ，B (t ，3t )，则AB ＝3t ， ∴S (t )＝12·OA ·AB ＝12t ·3t ＝32t 2，∴S ′(2)＝lim Δt →0 S (2＋Δt )－S (2)Δt ＝lim Δt →0 32(2＋Δt )2－23Δt ＝2 3. 【思考1-2】若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解析】(1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量Δt ＝5－3＝2， 位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s.(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt ＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18， 所以物体在t ＝0处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度v 0＝－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为Δs Δt＝f(1＋Δt)－f(1)Δt＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt－12，所以物体在t＝1处位移的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.【知识4】导数的几何意义【探索1】在某个点处的切线方程【例4-1】已知曲线C：y＝13x3＋43.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．【解析】将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．=2|xy'＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013(2＋Δx)3＋43－13×23－43Δx＝limΔx→0[4＋2Δx＋13(Δx)2]＝4，∴k＝=2|xy'＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.【反思】求曲线在某点处的切线方程的步骤【练习4-1】曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．【解析】∵=2|xy'＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2＋Δx)2＋1－22－1Δx＝limΔx→0(4＋Δx)＝4，∴k＝=2|xy'＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.(1)切线的定义：设PP n是曲线y＝f(x)的割线，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．[如图]P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．【练习4-2】已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直,则ab=【解析】由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×ab ＝－1，∴a b ＝－13.【探索2】过某个点的切线方程【例4-2】求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．【解析】设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为 k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1. 又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.【反思】过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．【练习4-3】求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图象上过原点的切线方程．【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)． ∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 【探索3】求切点坐标【例4-3】已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 【解析】设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4， 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)．【练习4-4】已知曲线f (x )＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0 【解析】对于曲线f (x )＝x 2－1，k 1＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0.对于曲线g (x )＝1－x 3，k 2＝lim Δx →0g (x 0＋Δx )－g (x 0)Δx ＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23. 【反思】求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．【练习4-5】直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：f (x )＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为________，切点坐标为________． 【解析】设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ， 则f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＝1解得x 0＝1或x 0＝－13， 当x 0＝1时，f (x 0)＝x 30－x 20＋1＝1， 又点(x 0，f (x 0))在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1. 代入得a ＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x 0＝－13时，f (x 0)＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327. 将⎝⎛⎭⎫－13，2327代入直线y ＝x ＋a 中，得a ＝3227.【探索4】数形结合【例4-4】已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 【解析】k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．答案为C【反思】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． 【4-6】若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )【解析】依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足．【练习4-7】如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于 .【解析】由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1 【思考提升2】【思考2-1】已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公切线，求a ，b 的值．【解析】 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . ∵g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx ＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵两曲线在交点(1，c )处有公切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.【思考2-2】已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0. ∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．【知识5】导数公式【探索1】利用导数公式求函数的导数 【例5-1】求下列函数的导数．(1)y ＝sin π6；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝lg x ；(4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.【解析】 (1)y ′＝0.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝1x ln 10.(4)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .【反思】(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 【练习5-1】下列各式中正确的个数是( ) ①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】∵②(x －1)′＝－x －2；⑥(cos 2)′＝0.∴②⑥不正确，故选B. 【练习5-2】(1)已知函数f (x )＝1x 3，则f ′(－3)等于 .(2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝ .【解析】(1)因为f (x )＝x －3，所以f ′(x )＝－3x －4＝－3x 4，所以f ′(－3)＝－3(－3)4＝－127.(2)因为f (x )＝ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.【练习5-3】质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523C.25523D.110523【解析】∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523 .【探究2】利用导数公式研究切线问题【例5-2】已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x ，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形面积．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，得两曲线的交点坐标为(1,1)．两条曲线切线的斜率分别为f ′(1)＝12，g ′(1)＝－1.易得两切线方程分别为y －1＝12(x －1)，y －1＝－(x －1)，即y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋2.其与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，所以两切线与x 轴所围成的三角形面积为12×1×|2－(－1)|＝32.【反思】解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．【练习5-4】已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得0=|x x y'＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.【练习5-5】正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.⎝⎛⎭⎫π3，32B.⎝⎛⎭⎫－π3，－32或⎝⎛⎭⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32或⎝⎛⎭⎫2k π－π3，－32(k ∈Z )【解析】设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵0=|x x y'＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32.故选D【思考提升3】【思考3-1】求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．【解析】设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.【思考3-2】设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A.1n B.1n ＋1 C.n n ＋1D ．1 【解析】对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)·x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)． 令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.【思考3-3】设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝ . 【解析】由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .【思考3-4】设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ．【解析】∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ， ∴－1≤k l ≤1，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 【思考3-5】点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【解析】如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 【思考3-6】函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．【解析】∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.【知识6】导数的运算法则【探索1】利用法则进行导数的运算 【例6-1】求下列函数的导数．(1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝lg x －1x 2； (3)y ＝(x 2＋3)(e x ＋ln x )；(4)y ＝x 2＋tan x ；(5)y ＝e xx ＋1.【解析】 (1)y ′＝6x ＋cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x . (2)y ′＝(lg x )′－(x －2)′＝1x ln 10＋2x3. (3)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x ＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x .(4)因为y ＝x 2＋sin xcos x ，所以y ′＝(x 2)′＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x (－sin x )cos 2x ＝2x ＋1cos 2x. (5)y ′＝(e x )′(x ＋1)－(x ＋1)′e x (x ＋1)2＝e x (x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2.【练习6-1】求下列函数的导数．(1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x ；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)．【解析】(1)∵y ＝232x －312x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝312x ＋3232x -－x －2－3252x -.(2)法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2.法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. (3)法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23.法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15， ∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.【练习6-2】已知f (x )＝e xx ，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________.【解析】因为f ′(x )＝(e x )′x －e x ·x ′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)．所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得0e x (x 0－1)x 20＋e x x 0＝0.解得x 0＝12. 【练习6-3】函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 【解析】f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )， ∴f ′(x )是偶函数．故选B【探索2】导数公式及运算法则的综合应用 【例6-2】(1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系； (2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 【解析】(1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx 2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln x x －2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.[反思] (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．【练习6-4】函数f (x )＝x2x －1＋2f ′(1)x ，则f ′(0)＝________.【解析】对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＋2f ′(1)＝－1(2x －1)2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1，∴f ′(0)＝1.【练习6-5】已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 【解析】∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.【探索3】切线问题【例6-3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 【解析】(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)， 所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.【练习6-6】(1)设曲线y ＝2－cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝____. (2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．【解析】(1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a ，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2. 又∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，即f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4， ∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.【练习6-7】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．【解析】y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.【方法小结】 1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；(3)当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．【思考提升4】【思考4-1】已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则t ＝1 s 时物体的瞬时速度为________ m/s.【解析】因为s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2，所以s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，所以s ′(1)＝－1＋2＋4＝5， 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为5 m/s.【思考4-2】在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53【解析】∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上， 故其图象必为③.由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0， ∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B.【思考4-3】设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________.【解析】由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1， ∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2，∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516.【思考4-4】在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于( ) A ．26 B ．29 C ．215 D ．212【解析】∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′ ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)， ∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.【知识7】复合函数的概念及求导法则【探索1】求复合函数的导数 【例7-1】求下列函数的导数． (1)y ＝11－2x 2； (2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝e cos x ＋1； (4)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 【解析】 (1)y ＝122(12)x --，设y ＝12u-，u ＝1－2x 2，则y ′＝(12u -)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1232u -·(－4x )＝－12322(12)x --·(－4x )＝2x 322(12)x --.(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(3)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－sin x )＝－e cos x ＋1sin x . (4)y ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π32，对于t ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3，设u ＝4x ＋2π3， 则t ＝cos u ，t u ′u x ′＝－4sin u ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3.∴y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 【反思】(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．(3)求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【练习7-1】求下列函数的导数．(1)y ＝(x 2－4)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝103x －2； (4)y ＝2x －1； (5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 【解析】 (1)y ′＝2(x 2－4)(x 2－4)′＝2(x 2－4)·2＝4x 3－16x . (2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝(103x －2ln 10)·(3x －2)′＝3×103x －2ln 10.(4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x . 【例7-2】求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 【解析】(1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x－(ln 3x )(e x)′(e x )2＝1x －ln 3xe x ＝1－x ln 3xx e x . (2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x . [反思](1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．【练习7-2】求下列函数的导数． (1)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (2)y ＝x ln(1＋2x ); (3)y ＝12(e x ＋e －x ).(4)f (x )＝(1－2x 3)10，求f ′(1).【解析】(1)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(2)y ′＝x ′ln(1＋2x )＋x [ln(1＋2x )]′＝ln(1＋2x )＋2x1＋2x .(3)y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． (4)f ′(x )＝10(1－2x 3)9(－6x 2)，所以f ′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.【探索2】复合函数导数的应用【例7-3】设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值．【解析】由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.【反思】复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．【练习7-3】已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 【解析】y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x ＋1＝－4e x＋1ex ＋2. ∵e x ＋1e x ≥2⎝⎛⎭⎫当且仅当e x ＝1e x ＝1时等号成立，∴e x ＋1e x ＋2≥4， ∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.【练习7-4】求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．【解析】作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1.设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1，所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离， 最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.第二节 导数在研究函数中的应用【知识8】利用导数判断函数的单调性【探索1】判断或证明函数的单调性问题[例8-1] 证明函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是增加的．【解析】由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，由于0<x <2，所以ln x <ln 2<1，故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，即函数在区间(0,2)上是增加的． 【练习8-1】下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )【1】导数与函数单调性：一般地,设函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内可导,则在区间(a ,b )内， (1)如果f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)如果f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减． 例如：图中函数f (x )．导数值 切线的斜率 倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f ′(x )>0 k >0 锐角 上升 递增 f ′(x )<0k <0钝角下降递减【2]利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为减区间．A ．y ＝sin xB ．y ＝x ·e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x【解析】(sin x )′＝cos x ，(x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝(1＋x )·e x ，(x 3－x )′＝3x 2－1，(ln x －x )′＝1x －1，当x ①(0，＋∞)时，只有(x ·e x )′＝(1＋x )·e x >0.选B 【练习8-2】证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1]上是单调递减的．【证明】①f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x 2，又①x ①(0,1]，①x 2－1≤0(只有x ＝1时等号成立)，①f ′(x )≤0，①f (x )＝x ＋1x 在(0,1]上为减少的．【探索2】利用导数求函数的单调区间 【例8-2】求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ； (2)y ＝x ＋bx(b >0)．【解析】(1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )>0，则1x 2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x 2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－b ，0)，(0，b )． [反思]求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．【练习8-3】函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________． 【解析】由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x <0，即x 2＋4x ＋2<0，解得－2－2<x <－2＋ 2. 所以f (x )＝(x 2＋2x )e x 的单调递减区间为(－2－2，－2＋2)．【练习8-4】若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________．【解析】由f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ， 令f ′(x ＋1)<0，解得0<x <2，所以f (x ＋1)的单调递减区间是(0,2)．【探索3】求含参函数的单调区间【例8-3】讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．【解析】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x ，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a >0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋a ＋1a (x －1)x ，∵a >0，∴a ＋1a >0.由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． [反思](1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 【练习8-5】设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． 【解析】f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增. 【练习8-6】已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数；(2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：。
