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伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
伯努利定律简介：在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。
这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。
飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。
这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。
当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。
定律假设1.非粘滞——流体无需抵抗与容器壁之间的粘滞力2.不可压缩——气体因其可压缩性多不依循此定律；不可压缩性可维持密度不变3.稳定——高速流动会导致紊流的出现历史伯努利开辟并命名了流体动力学这一学科，区分了流体静力学与动力学的不同概念。
1738年，他发表了十年寒窗写成的《流体动力学》一书。
他用流体的压强、密度和流速等作为描写流体运动的基本概念，引入了“势函数”“势能”（“位势提高”）来代替单纯用“活力’讨论，从而表述了关于理想流体稳定流动的伯努利方程，这实质上是机械能守恒定律的另一形式。
他还用分子与器壁的碰撞来解释气体压强，并指出，只要温度不变，气体的压强总与密度成正，与体积成反比，用此解释了玻意耳定律。
伯努利方程设在右图的细管中有理想流体在做定常流动,且流动方向从左向右,我们在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体,即a1处和a2处之间的流体,作为研究对象.设a1处的横截面积为S1,流速为V1,高度为h1;a2处的横截面积为S2,流速为V2,高度为h2.思考下列问题:①a1处左边的流体对研究对象的压力F1的大小及方向如何②a2处右边的液体对研究对象的压力F2的大小及方向如何③设经过一段时间Δt后(Δt很小),这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离分别为ΔL1和ΔL2,则左端流入的流体体积和右端流出的液体体积各为多大它们之间有什么关系为什么④求左右两端的力对所选研究对象做的功⑤研究对象机械能是否发生变化为什么⑥液体在流动过程中,外力要对它做功,结合功能关系,外力所做的功与流体的机械能变化间有什么关系推导过程:如图所示,经过很短的时间Δt,这段流体的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,两端移动的距离为ΔL1和ΔL2,左端流入的流体体积为ΔV1=S1ΔL1,右端流出的体积为ΔV2=S2ΔL2.因为理想流体是不可压缩的,所以有ΔV1=ΔV2=ΔV作用于左端的力F1=p1S2对流体做的功为W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV作用于右端的力F2=p2S2,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左,而这段流体的位移向右),所做的功为W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV两侧外力对所选研究液体所做的总功为W=W1+W2=(p1-p2)ΔV又因为我们研究的是理想流体的定常流动,流体的密度ρ和各点的流速V没有改变,所以研究对象(初态是a1到a2之间的流体,末态是b1到b2之间的流体)的动能和重力势能都没有改变.这样,机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能,即E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV又理想流体没有粘滞性,流体在流动中机械能不会转化为内能∴W=E2-E1(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV整理后得:整理后得:又a1和a2是在流体中任取的,所以上式可表述为上述两式就是伯努利方程.当流体水平流动时,或者高度的影响不显著时,伯努利方程可表达为该式的含义是:在流体的流动中,压强跟流速有关,流速V大的地方压强p小,流速V小的地方压强p大。
伯努利⽅程伯努利⽅程伯努利⽅程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。
(动能定理)1、理想液体的运动微分⽅程在微⼩流束上，取截⾯积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重⼒场中沿流线运动时其⼒的平衡关系。
微元体的所受的重⼒为-ρgdAds，压⼒作⽤在两端⾯上的⼒为微元体在定常流动下的加速度为微元体的⼒平衡⽅程为上式简化后可得p，z，u只是s的函数，进⼀步简化得上式即为重⼒场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动⽅程，即欧拉运动⽅程。
2、理想液体的伯努利⽅程沿流线对欧拉运动⽅程积分得上式两边同除以g 得以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利⽅程。
伯努利⽅程推导简图物理意义：第⼀项为单位重量液体的压⼒能称为⽐压能（p/ρg ）；第⼆项为单位重量液体的动能称为⽐动能（u2/2g ）；第三项为单位重量液体的位能称为⽐位能（z）。
由于上述三种能量都具有长度单位，故⼜分别称为压⼒⽔头、速度⽔头和位置⽔头。
三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总⽔头）为⼀定值。
3．实际液体流束的伯努利⽅程实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻⼒，这必然要消耗能量，设因粘性⼆消耗的能量为hw'，则实际液体微⼩流束的伯努利⽅程为4．实际液体总流的伯努利⽅程将微⼩流束扩⼤到总流，由于在通流截⾯上速度u是⼀个变量，若⽤平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引⼊动能修正系数。
于是实际液体总流的伯努利⽅程为式中hw---由液体粘性引起的能量损失；α1，α2---动能修正系数，⼀般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。
5．伯努利⽅程应⽤举例例1 侧壁孔⼝流出速度条件: p1和p2 ，h为⾼，以⼩孔中⼼线为基准。
例2 ⽂丘利流量计例3 液压泵的最⼤吸油⾼度例4 试运⽤连续性⽅程和伯努利⽅程分析变截⾯⽔平管道各处的压⼒情况.条件:A1>A2>A3 ⽐较:流速和压⼒的⼤⼩四、动量⽅程液体作⽤在固体壁⾯上的⼒，⽤动量定理来求解⽐较⽅便。
伯努利方程的三种形式
p+(1/2)*ρv^2+ρgz=C，这个式子被称为伯努利方程。
它也可以被表述为p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2。
一般不管高度时可简化为：p1+1/2ρv1^2=p2+1/2ρv2^2。
应用举例1
飞机为什么能够飞上天？因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称，机翼上方的流线密，流速大，下方的流线疏，流速小。
由伯努利方程可知，机翼上方的压强小，下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
应用举例2
喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来。
从细管的上口流出后，空气流的冲击，被喷成雾状。
应用举例3
汽油发动机的化油器，与喷雾器的原理相同。
化油器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置，构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时，空气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0一，伯努利方程的推导1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。
伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。
同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。
作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。
在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。
既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。
所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。
2，流体体积不可压缩。
需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。
因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。
但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。
假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。
如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。
某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。
由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。
则有如下三个事实：1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx22：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知）3：细管中相应液体的机械能发生了变化。
什么是流体力学之伯努利方程
伯努利方程，是流体力学的一大构成部分。
首先，什么是阻力?
阻力，是阻碍物体前进的动力，不管是气体还是液体，都有两个常量，一个是粘滞性，一个是压力。
粘滞性是在物体前方的限制运动的阻力，压力是在物体前后左右的限制运动的压力。
通常，只有一个常量在起作用
什么是流体
流体是可以流动的液体和液体。
理想流体就是没有粘滞性的和不可压缩的液体和气体。
什么是稳定流动
那么，稳定流动是什么。
稳定流动的意思每一个地方的流速都不跟随时间而变化。
简而言之，意思就是液体和气体的供给量不变，虽然各个地方的流速因为横截面积的变化可能变得不同。
什么是连续性原理
那么，要讲到伯努利方程，我们先要学习的是什么是连续性原理。
因为在一个流管不同的地方流动量是一样的，所以横截面积乘速度，也就是流量，是一个常量
如何推出伯努利方程
那伯努利方程又是怎么推出的呢？我们先来看看外力做功和机械能增加的关联。
机械能的意思是势能和动能的总和，也就是所有在力学范围讨论的因素。
动能是一半质量乘动能的平方，重力势能是重力乘高度，而高度的定义通常是从地面的高度，正为上，负为下。
当我们把外功和机械能的差联立，我们就会发现伯努利方程了。
在理想流体做稳定流动时 1/2pv^2+pgh+P=常量
p=压强 v=速度 h=相对高度，类似重力势能，势能零点 P 压强
空吸作用增大流速而产生的对流体的吸力
虹吸现象利用高度差产生对流体的吸力
动升力在气体中移动的物体产生升力。
伯努利方程是一种常用于描述随机事件成功概率的方程。
在数学上，它可以表示为:
P(success) = p
P(failure) = 1-p
其中p是成功概率，它是一个实数，0 <= p <= 1。
推导过程是基于概率论的基本定义，具体来说，对于给定的随机事件，假设事件可能的结果集合是{S}，其中Si是集合中的一个元素。
那么概率P(S)就是事件发生的概率，且满足
0 <= P(S) <= 1
P(S) = Σ P(S(i))
其中Σ是所有可能的结果的概率之和。
在伯努利方程中，成功和失败是互斥的，所以P(success) +
P(failure) = 1.
伯努利方程用于简单的二项分布，在很多场合下非常有用，如试验中的伯努利试验等。
科学的魅⼒，伯努利⽅程改变了我们这些实际⽣活⼀、为什么叫伯努利⽅程流体⼒学中有许多理论，其中不能不提的⼀个就是伯努利原理。
这个原理描述了流体中速度和压⼒的关系，即动能与压强势能互相转换。
伯努利⽅程是“伯努利原理”的数学描述，是⼀个很帅⽓的瑞⼠⼈名叫丹尼尔·伯努利在1726年提出的。
两百多年来，这个理论已经成为了经典。
⼆、伯努利⽅程长什么样⼦在当年，流体⼒学的连续介质理论⽅程还没建⽴起来，伯努利原理成了⽔⼒学所采⽤的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。
伯努利⽅程如下：式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重⼒加速度，z为该点所在⾼度。
取流体的A、B两点，伯努利⽅程亦可描述如下：⽤能量来描述就是：动能重⼒势能压⼒势能=常数。
其最为著名的推论为：等⾼流动时，流速⼤，压⼒就⼩；流速⼩，压⼒就⼤。
这种现象通常称为伯努利效应。
三、伯努利⽅程适⽤范围任何原理都有⼀定的适⽤范围，⽆规矩不能成⽅圆，伯努利⽅程也有⾃⼰的应⽤范围。
伯努利⽅程使⽤限制条件如下：1. ⽆粘性流体2. 不可压流体3. 定常流4. 沿线流这⾥需要补充下就是如果加⼊能量损失就可以适⽤粘性流体了。
我们都知道我们平常⽣活中遇到的流体都是有粘性的，除了特殊条件下的超流体。
有兴趣的⾃⼰可以查下超流体资料。
四、伯努利⽅程⽣活中应⽤这个经典理论和⽅程，在⽣活中是存在很多常见的场景的。
当你看到的场景可以⽤这个“流体（⽓体和液体）流速⾮常快时，压强就会变得很⼩；相反的，流速慢时，压强就⼤了。
”来解释时，你就看到了伯努利理论或⽅程的应⽤了。
下⾯是⼏个常见的例⼦，以后遇到这些情景就要反应过来，可以和旁边的⼈说这是伯努利效应，⾼⼤上的卖弄哦，哈哈。
4.1、等地铁或⾼铁要站在黄线以外当地铁或⾼铁⾼速⾏驶过来，⼈与地铁之间的⽓流被车带动起来速度很快，那么，⼈与车之间压⼒就减⼩，⽽⼈背后的压⼒是正常的，这样前后两种压⼒就形成了⼀股强⼤的压⼒差，会感受到背后⼀股推⼒推向地铁或⾼铁，造成伤害。
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展和原理应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z1++=z2+++h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。
