下载文档原格式
第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。
另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。
对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。
例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。
我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
二项分布和伯努利概型二项分布和伯努利概型是概率论中非常重要且常用的概念，它们在解决事件发生概率和随机试验中起到了重要的作用。
理解和掌握二项分布和伯努利概型有助于我们更好地进行概率分析和决策。
伯努利概型是最简单的概率模型之一，它描述了在只有两个可能结果的随机试验中的概率分布。
例如，抛硬币就是一个典型的伯努利试验，只有正面或反面两种结果。
当我们抛硬币时，每个结果的概率都是相等的，即0.5。
伯努利概型的特点是每次试验的结果相互独立，且每次结果的出现概率相同。
二项分布则是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布。
在一个二项分布中，每次试验只有两个可能结果，成功或失败，并且每次试验的结果是相互独立的。
假设我们进行了n次独立的伯努利试验，其中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
那么在这n次试验中，成功的次数k就服从一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用来计算在n次试验中成功k次的概率。
这个概率为：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示组合数，其计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)! )。
二项分布的期望为np，方差为np(1-p)。
理解二项分布对我们进行概率分析有很大的帮助。
比如，利用二项分布我们可以预测在多次独立的伯努利试验中成功的次数。
例如，我们可以利用二项分布估计掷骰子100次出现6点的次数，或者估计在1000次抛硬币中正面朝上的次数。
除了预测，二项分布还可以帮助我们分析决策。
例如，在制定市场营销策略时，我们可以使用二项分布来估计在推广活动中获得消费者响应的概率。
这有助于我们制定更加有效的营销策略，提高成功的概率。
总结来说，二项分布和伯努利概型是概率论中两个重要的概念。
通过理解和掌握它们，我们可以更好地进行概率分析和决策。
二项分布可以用来预测和分析在多次独立的伯努利试验中某一结果的发生次数，它的应用范围很广，涵盖了很多实际问题。
二项分布与其他分布的关系二项分布与其他分布的关系摘要：二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率模型，在概率教学中占有重要地位。
本文从二项分布的定义入手，重点分析和阐述了二项分布和“0-1”分布、超几何分布、泊松分布、正态分布的近似关系及基于这些关系所带来的计算上的便利。
以期在教学中能使学生更全面深入的理解和认识二项分布。
关键词：二项分布“0-1”分布超几何分布泊松分布正态分布近似1.二项分布的定义设随机变量X示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其概率函数为：p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n则称设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n，p)，也称广义贝努里试验。
2.二项分布与其它分布的关系2.1二项分布与“0-1”分布间的关系进行一次试验，其结果要么“成功”，要么“失败”，记X=1成功0失败，即随机变量X表示一次试验中成功的次数，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)则称随机变量X～“0-1”分布，p为试验结果“成功”发生的概率。
该试验也称为贝努里试验。
X～“0-1”分布，其期望、平方的期望、方差及特征函数容易得到：E(X)=0×(1-p)+1×p=pE(X2)=02×(1-p)+12×p=pD(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit将贝努里试验在相同条件下独立进行n次，并以随机变量Y表示n次试验中“成功”的次数，则Y～B(n，p)。
若以Xi表示第i次试验中成功的次数，则X1，X2…Xn，独立同“0-1”分布(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。
则二项分布的期望、方差及特征函数可由二项分布和“0-1”分布间的函数关系得到：E(Y)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=npD(Y)=D(∑ni=1Xi)=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n易见，在教学中利用二项分布和“0-1”分布的关系，使二项分布的上述特征数更容易计算和理解。
伯努利分布与二项分布伯努利分布和二项分布是概率统计学中的两个重要概率分布。
它们在实际应用中经常被使用，可以帮助我们理解和分析各种随机事件的概率性质。
本文将对伯努利分布和二项分布进行详细的介绍和比较。
一、伯努利分布伯努利分布是离散型概率分布的一种，常用于描述一次试验结果只有两个可能性的情况。
比如抛硬币的结果只有正面和反面两个可能，这就是一个典型的伯努利试验。
伯努利分布的概率函数如下：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中，k=0或1，p为试验成功的概率。
伯努利分布的期望值为E(X) = p，方差为Var(X) = p * (1-p)。
伯努利分布具有性质简单、计算方便的特点。
我们可以用伯努利分布来模拟各种二元结果的随机事件，比如掷硬币、赌博结果等。
二、二项分布二项分布是离散型概率分布的另一种常见形式，也常用于描述重复进行伯努利试验的结果。
二项分布的概率函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，C(n,k)为组合数，表示从n个试验中挑选k个成功的组合数。
二项分布的期望值为E(X) = np，方差为Var(X) = np * (1-p)。
二项分布可以看作是n个独立重复的伯努利试验的结果之和。
比如投掷n次硬币，统计出正面朝上的次数，这个结果就可以用二项分布来描述。
三、伯努利分布与二项分布的联系与区别伯努利分布和二项分布都是描述离散型随机变量的分布。
它们之间的联系可以从以下两个方面来分析。
1. 伯努利分布是二项分布的特殊情况：当二项分布中的试验次数n 为1时，即只进行一次试验时，二项分布就退化为伯努利分布。
2. 二项分布可由多次独立重复的伯努利试验得来：二项分布可以看作是多次独立重复的伯努利试验的结果之和。
每次试验的结果只有两个可能性（成功或失败），而多次试验的结果就是成功次数或失败次数。
伯努利分布和二项分布也有一些区别：1. 伯努利分布只有一个参数p，表示试验成功的概率；而二项分布有两个参数，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
