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第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。
一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。
例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。
另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。
例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。
对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。
样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。
例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。
例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。
如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。
相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。
我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。
二项分布和伯努利概型二项分布和伯努利概型是概率论中非常重要且常用的概念，它们在解决事件发生概率和随机试验中起到了重要的作用。
理解和掌握二项分布和伯努利概型有助于我们更好地进行概率分析和决策。
伯努利概型是最简单的概率模型之一，它描述了在只有两个可能结果的随机试验中的概率分布。
例如，抛硬币就是一个典型的伯努利试验，只有正面或反面两种结果。
当我们抛硬币时，每个结果的概率都是相等的，即0.5。
伯努利概型的特点是每次试验的结果相互独立，且每次结果的出现概率相同。
二项分布则是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布。
在一个二项分布中，每次试验只有两个可能结果，成功或失败，并且每次试验的结果是相互独立的。
假设我们进行了n次独立的伯努利试验，其中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
那么在这n次试验中，成功的次数k就服从一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用来计算在n次试验中成功k次的概率。
这个概率为：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示组合数，其计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)! )。
二项分布的期望为np，方差为np(1-p)。
理解二项分布对我们进行概率分析有很大的帮助。
比如，利用二项分布我们可以预测在多次独立的伯努利试验中成功的次数。
例如，我们可以利用二项分布估计掷骰子100次出现6点的次数，或者估计在1000次抛硬币中正面朝上的次数。
除了预测，二项分布还可以帮助我们分析决策。
例如，在制定市场营销策略时，我们可以使用二项分布来估计在推广活动中获得消费者响应的概率。
这有助于我们制定更加有效的营销策略，提高成功的概率。
总结来说，二项分布和伯努利概型是概率论中两个重要的概念。
通过理解和掌握它们，我们可以更好地进行概率分析和决策。
二项分布可以用来预测和分析在多次独立的伯努利试验中某一结果的发生次数，它的应用范围很广，涵盖了很多实际问题。
二项分布与其他分布的关系二项分布与其他分布的关系摘要：二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率模型，在概率教学中占有重要地位。
本文从二项分布的定义入手，重点分析和阐述了二项分布和“0-1”分布、超几何分布、泊松分布、正态分布的近似关系及基于这些关系所带来的计算上的便利。
以期在教学中能使学生更全面深入的理解和认识二项分布。
关键词：二项分布“0-1”分布超几何分布泊松分布正态分布近似1.二项分布的定义设随机变量X示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其概率函数为：p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n则称设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n，p)，也称广义贝努里试验。
2.二项分布与其它分布的关系2.1二项分布与“0-1”分布间的关系进行一次试验，其结果要么“成功”，要么“失败”，记X=1成功0失败，即随机变量X表示一次试验中成功的次数，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)则称随机变量X～“0-1”分布，p为试验结果“成功”发生的概率。
该试验也称为贝努里试验。
X～“0-1”分布，其期望、平方的期望、方差及特征函数容易得到：E(X)=0×(1-p)+1×p=pE(X2)=02×(1-p)+12×p=pD(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit将贝努里试验在相同条件下独立进行n次，并以随机变量Y表示n次试验中“成功”的次数，则Y～B(n，p)。
若以Xi表示第i次试验中成功的次数，则X1，X2…Xn，独立同“0-1”分布(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。
则二项分布的期望、方差及特征函数可由二项分布和“0-1”分布间的函数关系得到：E(Y)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=npD(Y)=D(∑ni=1Xi)=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n易见，在教学中利用二项分布和“0-1”分布的关系，使二项分布的上述特征数更容易计算和理解。
伯努利分布与二项分布伯努利分布和二项分布是概率统计学中的两个重要概率分布。
它们在实际应用中经常被使用，可以帮助我们理解和分析各种随机事件的概率性质。
本文将对伯努利分布和二项分布进行详细的介绍和比较。
一、伯努利分布伯努利分布是离散型概率分布的一种，常用于描述一次试验结果只有两个可能性的情况。
比如抛硬币的结果只有正面和反面两个可能，这就是一个典型的伯努利试验。
伯努利分布的概率函数如下：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中，k=0或1，p为试验成功的概率。
伯努利分布的期望值为E(X) = p，方差为Var(X) = p * (1-p)。
伯努利分布具有性质简单、计算方便的特点。
我们可以用伯努利分布来模拟各种二元结果的随机事件，比如掷硬币、赌博结果等。
二、二项分布二项分布是离散型概率分布的另一种常见形式，也常用于描述重复进行伯努利试验的结果。
二项分布的概率函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，C(n,k)为组合数，表示从n个试验中挑选k个成功的组合数。
二项分布的期望值为E(X) = np，方差为Var(X) = np * (1-p)。
二项分布可以看作是n个独立重复的伯努利试验的结果之和。
比如投掷n次硬币，统计出正面朝上的次数，这个结果就可以用二项分布来描述。
三、伯努利分布与二项分布的联系与区别伯努利分布和二项分布都是描述离散型随机变量的分布。
它们之间的联系可以从以下两个方面来分析。
1. 伯努利分布是二项分布的特殊情况：当二项分布中的试验次数n 为1时，即只进行一次试验时，二项分布就退化为伯努利分布。
2. 二项分布可由多次独立重复的伯努利试验得来：二项分布可以看作是多次独立重复的伯努利试验的结果之和。
每次试验的结果只有两个可能性（成功或失败），而多次试验的结果就是成功次数或失败次数。
伯努利分布和二项分布也有一些区别：1. 伯努利分布只有一个参数p，表示试验成功的概率；而二项分布有两个参数，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
贝努利概型和二项分布
贝努利概型是概率论中的基本概型之一，用于描述一个随机试验
只有两种可能结果的情况。
它以瑞士数学家雅各布·贝努利的名字命名。
在贝努利概型中，试验的结果只有两种情况，可以简称为成功（S）和失败（F）。
我们用P(S)表示成功的概率，用P(F)表示失败的
概率。
由于这两种结果是互斥的，且两者的概率之和等于1，因此有
P(S) + P(F) = 1。
贝努利概型可以应用于多种实际情况，比如抛硬币的结果只有正
面和反面、一次考试的及格与不及格等。
而二项分布是一种重要的离散概率分布，用于描述在一系列独立
的贝努利试验中成功次数的分布情况。
它也以素数学家雅各布·贝努
利的名字命名。
在二项分布中，假设进行n次独立的贝努利试验，每次试验成功
的概率为p。
我们关注的是这n次试验中成功的次数X的分布情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n是试验次数，k是成功的次数，C(n, k)是组合数。
二项分布可以用于多种实际问题的建模，比如掷硬币n次中正面
朝上的次数、多次投掷骰子中某个点数出现的次数等。
通过使用贝努利概型和二项分布，我们可以对这些试验的结果和
成功次数的分布进行概率统计和推断分析，从而帮助我们理解和解决实际问题。
1 贝努里分布它的概率分布为：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p它也称两点分布或（0-1）分布。
它描述一次贝努里实验中，成功或失败的概率。
2 二项分布P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n它描述n次贝努里实验中事件A出现k次概率。
3 几何分布P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, …它描述在k次贝努里实验中首次出现成功的概率。
几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次实验未出现成功的条件下，再经过m次实验（即在n+m次实验中）首次出现成功的概率，等于恰好需要进行m次实验出现首次成功的无条件概率。
用式子表达：P{X=n+m | X>n}=P{X=m} (试证明之）这种与过去历史无关的性质称为马尔可夫特性。
几何分布在我们下面讲的排队论中是非常重要。
它可以描述某一任务（或顾客）的服务持续时间。
4 泊松分布（Poisson）P{X = k} = λk e-λ/ k!k=0,1,2,…泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象的一种形式，在计算机性能评价中扮演了重要的角色。
5 指数分布它是一种连续型的概率分布，它的概率密度：f（x）=λe-λx x≥0f（x）=0 x<0它的分布函数：F（x）=1-e-λx x≥0指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差：μx = σx = 1/λ在连续型随机变量中，只有指数分布具有无后效性。
即：若随机变量ζ服从指数分布，对任意的 s>0 ,t>0 ，有P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t}在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。
这两种分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论和随机Petri网中，指数分布是很重要的。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是泊松分布的。
实践也证明：这种假设是有效。
6 k-爱尔朗分布f(x)=(λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0f(x)=0 x<0k-爱尔朗分布的数学特征为：E[X]=1/λ;Var[X]=1/kλ2如果k个随机变量Xi，i=1，2，…,k,分别服从指数分布，那么随机变量X=X1+X2+ …+Xk服从爱尔朗分布。
§1、6 贝努利概型一、试验的相互独立性二、贝努利概型一、试验的相互独立性定义6.1若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。
例6.1在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为n次重复且相互独立试验。
例6.2从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n 次重复且相互独立试验。
注意到例6.1 与例6.2的试验，前者每次试验只有两个结果{H，T}，而后者有无穷多结果{t | t≥0},本节重在讨论前一种试验类型，即贝努利概型。
二、贝努利概型。
记为概率，，这个概率常称为二项概率是实际中常遇到的次的恰恰出现重贝努利概型中时间广泛的运用。
在常要的数学模型，有着非贝努利概型是一种很重概型。
或称贝努利重贝努利试验为这一串重复的独立试验则称次独立地重复进行将且或的结果只有两个，即设试验)(,,),10(1)(,)(,k k A n n n E p q p A P p A P A A E P n <<=−==定义6.2)3.6()1(1)1()()2.6()1(1)1()()1.6(1010∑∑∑∑+=−=−−=−=−−−=−=−−=−=n i k k n k kn i k k n k k n n i k k n k k n n i k k n k k n n p p C p p C i A P p p C p p C i A P 次至多发生次至少发生可得由()(1);0,1,,,(01)(6.1)(6.1)kk n k n n n A k P k C p p k n p −=−=<<"次贝努利试验中恰出现次的概率式称为二项概率公式。
例某织布车间有30台自动织布机，由于检修、上纱等各种工艺上的原因，每台布机时常停车。
学 术 论 坛196科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N贝努里家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样的显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家,其中有八位数学家,里面三位是杰出的,他们是雅可布、约翰、丹尼尔。
而贝努里概型就是雅可布.贝努里提出来的。
贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型,这种概型是概率论中最早研究的模型之一,也是得到最多研究的模型之一。
在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。
它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用,并在其中发挥着重要的作用,为其解决问题提供了理论支持。
而且,揭示这种简单概型的规律,对于以后研究更复杂的概型有着一定的指导意义和理论支撑。
下面我们就贝努里概型及其应用展开了解。
1 预备知识在许多概率问题中,试验中某事件A是否发生受到的关注较多。
例如,在产品调查中注意的是抽到次品还是抽到正品;在掷硬币时注意的是出现正面还是反面等,在这类问题中试验产生的结果只有两个,即 A 和 A 。
像这样只有两个可能结果的试验成为贝努里试验,投币试验就是最简单的贝努里概型。
在相同的条件下,将同一个试验独立重复进行 n 次,这种随机试验称为重贝努里试验。
现在我们来看看 n 重贝努里试验的定义。
1.1贝努里概型的定义关于 n 重贝努里概型的定义,尽管在各种教材的叙述不尽相同,但都是指满足下列条件的一系列实验:(1) n 次试验时独立的,即每次试验的结果都与其它各次试验的结果无关;(2)每次试验只有两个结果 A 和 A ,且它们出现的概率 ()P A p (01)p ()(1)P A q p q ,在每次试验中是不变的。
则称这种试验为 n 重贝努里( Bernoulli )试验,简称贝努里试验或贝努里概型。
在 n 重贝努里试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为:(0,1,2,...,)k k n k n C p q k n 例1 (巴拿赫 Banach 火柴盒问题)某人随身带有两盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴,经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完。
