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独立性及贝努里概型

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伯努利概型和贝利努概型

伯努利概型和贝利努概型

伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型都是三种简单概型中的一个，相对伯努利概型是考研中概率题型中常考考点之一，并且考研中对伯努利概型的考察经常和实际问题相结合，所以考生对伯努利概型的掌握，不仅仅限于对符号和分布律的记忆了，也要理解伯努利概型，知道什么时候应该使用伯努利概型。

首先，我们先看看伯努利概型是怎样定义的：2021考研管综初数管综初数备考伯努利概型，关于伯努利概型中，最主要抓住的关键点三个：1.独立，2.重复，3.两种结果。

而其中两种结果可以通过人为的方式来规定，所以一般伯努利概型的问题，常常会解读出独立重复试验。

伯努利概型对考生的要求是要从题干中抽象出来伯努利概型的问题。

所以各位考生复习伯努利概型从这三个角度进行复习。

以上是为管综考研考生整理的“20XX考研管综初数强化备考：浅析伯努利概型”相关内容，希望整理的能有所帮助。

事件的独立性

事件的独立性

结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)

1-5事件的独立性与伯努利概型

1-5事件的独立性与伯努利概型

例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道 工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是 互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一 个元件失效,该系统就失效.因此串联系 统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设 三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中 飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的 概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落 的概率. 解 设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情 况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统 如图1所示, 元件的可靠性分 别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,

贝努里概型

贝努里概型
(1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )

第四节 独立性

第四节 独立性

(2) P(CD) P(C) P(D) 1 C9 0.04 0.968 0.04 0.0104.
1 1 0.9610 C10 0.04 0.969 0.0582;
k 2
三、例题讲解
失效率为0.05，各元件是否失效是相互独立的。若有一 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.5，若有两 个元件失效，设备不能正常工作的概率为0.8，若有三 个或三个以上元件失效，设备一定不能使用。 (1)求设备在保修期间不能使用的概率； (2)已知设备不能使用，求是一个元件失效的概率。 解：B表示“在保修期间设备不能使用”，
推广 设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
例2. 某企业欲通过开发新产品来摆脱目前困境，组织了 三个攻关小组独立研制三种新产品，成功的把握 分别为60%、50%、60%。求： (1)能研制出新产品的概率； (2)至少有两种新产品能研制成功的概率。 解：Ai表示第i个攻关小组成功研制出新产品，则
(1) P(A1 A2 A3 ) 1-P(A1 )P(A2 )P(A3 )
P(A)P(B) P(C) P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)
0.8125；
P(AB) P(C) P(D)-P(ABC) -P(ABD)-P(CD) P(ABCD)
P(ABE) (2) P(AB|E) , P(E)

概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型

概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有

1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件

则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}

概率伯努利概型

能的值
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1

贝努里概型

k P(B) = ∑ P( Bi ) = mP( B1 ) = Cn P k (1 − P)n −k i =1 m
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。

伯努利概型


e
Cnk
pk (1
p)nk

e
n
nk n!

n! k!(n
k )!
pk
(1

p)nk

(p)k
k!
e


[
nk
(1 p)]nk (n k)!

(p)k
k!
e


m0
[
(1
p)]m m!
(p)k e e(1 p)
k!
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P ( Bm
)

C4m
(1)m 4
( 3 )4 m 4
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )

C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40

0.316
P(B3 )

C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43

0.048
几何分布 在贝努利试验中，通常需要计算事件 A
P(B) (p)k ep , (k 0,1,2, )
k!
(2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率. 由贝叶斯公式，得
P( An
B)

P( An )P(B P(B)
An )

(p)n
n!
e
C p k n
pk
(1

(p)k ep
p)nk
[(1 p)]nk
(n k)!
P(

5)

5 k 0
P(
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.也就是说由A、B、C两两 相互独立不能推出A、, B、C相互独立.同样地由
.不能推出A、B、C两两相互 独立.事件的独立性可以推广到多个随机事件的情形.
定义1.5.3 对 个事件
可能的组合1
=
；
=
若对于所有 有 ;
……
=
则称
相互独立.
个事件相互独立，则必须满足
个等式.
显然 个事件相互独立，则它们中的任意
相互独立，则将其中任意 ）换成其对立事件，则所得
个事件也相互独立.特别地，若
相互独立，则
也相互独立.
3.事件独立性的应用
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
设
相互独立，则
=1 =1 =1
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
例1.5.2 分别掷两枚均匀的硬币，令A=｛硬币甲出现 正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件 A,B是相互独立的.
Ω验=证｛：（正、正）（正、反）（反、正）（反、反） ｝
A=｛（正、正）（正、反）｝, B=｛（反、正）（正、正）｝, AB=｛（正、正）｝,
P(A)=P(B)= , P(AB)= = P(A)P(B).
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、 男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女 、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女 、男、女），（女、女、女）｝
.
由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是 这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，
解: 设 ={第 个人血清中含有肝炎病毒}
可以认为
相互独立，所求的概率为
=1 =1 = 0.33.
虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后 ，则有很大的概率.在实际工作中，这类效应值得充 分重视.
例1.5.7 张、王、赵三同学各自独立地去解一道 数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求 （1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率 .
.
P(B|A)= P(B),
, P(B|A)=
由此可得 P(AB)= P(A) P(B).
定义1.5.1 设 A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称 事件A、B是相互独立的，简称为独立的.
根据定义，两个事件的独立性实质上就是一个事件 的发生不影响另一个事件的发生. 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立的，因为 必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何 事件的影响，也不影响其它事件是否发生.
孩｝.对下述两种情形，讨论A和B的独立性.
1）家庭中有两个小孩 ；2）家庭中有三个小孩.
解: 1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为： Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝ A=｛(男、女),(女、男)｝ B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝
于是
AB=｛（男、女），（女、男）｝ P(A)= , P(B)= , P(AB)=
（2
）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ }，{A， }、
{ 、 }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立. 证明 不失一般性.设事件 与 独立，仅证 与
相互独立，其余情况类似证明 因为
又 与 独立，所以 从而
所以， 与 相互独立.
:
用数学归纳法可以证明
定理1.5.2 设 个（1
AB包含了3个基本事件.
P(AB)= , P(A)= , P(B)=
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立.
2)多个事件的独立性
定义1.5.2 设三个事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立. 由三个事件的独立性可知，若A、B、C相互独立
例1.5.8 如果构成系统的每个元件的可靠性均为
0< <1,且各元件能否正常工作是相互独立的, 试求下面两种系统的可靠性.
图1
1
2
1
2
图2
1
2
1
2
解:1)每条道路要能正常工作当且仅当该通路上各
元件正常工作故其可靠性为
,也即通路发生
故障的概率为

.由于系统是由两通路并联而
成的，两通路同时发生故障的概率为 ，因此
，则它们两两相互独立，反之不一定成立.
例1.5.4 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同时染上 红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出 现红、白、黑颜色的事件，
则P(A)=P(B)=P(C)=
P(AB)=P(BC)=P(AC)= ,P(ABC)= 故A、B、C两两相互独立.但不能推出
独立性及贝努里概型
2020年4月23日星期四
1.独立性的概念
1)两个事件的独立性
先看一个具体的例子 例 取1.一5.个1 ，中有设放袋回中地有取五两个次球，（记三A新=｛两第旧一）次每取次得从新 球｝,B=｛第二次取得新球｝， 求P(A), P(B), P(B|A).
解: 显然P(A)=
, P. (B)=
上述系统的可靠性为
解: 设 （i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学 解出难题这三个事件，
由题设知
相互独立.
1. 令A={三人中恰有一人解出难题}
则A=
P(A)= P( =
+P( +
)+P(
)
+
=
(2)令B={难题解出}
=1
= 2）在可靠性理论中的应用 对于一个电子元件，它能正常工作的概率 ,称为 它的可靠性，元件组成系统，系统正常工作的概 率称为该系统的可靠性.随着近代电子技术组成迅 猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成 为一门新的学科------可靠性理论.概率论是研究 可靠性理论的重要工具.
所以A、B是相互独立的.
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的 ”相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出 现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响 ，因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠.
例1.5.3 一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男 孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男 孩，又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女