配极理论在初等几何中的运用
作者：邵锐 指导老师：胡翔
摘要 配极理论是高等几何（射影几何）里的一个重要理论方法，它包括配极原则、配极变换等，
它在初等几何方面有着广泛的应用.初等几何是以静止的观点研究一些简单而又规则的图形,主要是在欧氏几何的基础上进行研究的.本文总结了配极理论的相关性质，利用配极原则和配极变换对初等几何中的某些命题进行了阐述与分析，讨论了它在初等几何方面的应用. 关键词 配极理论 射影几何 极点 极线 初等几何
1 引言
几何学是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量.几何学最初是从测量土地等社会关系实践活动中产生和发展起来的.随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识.
随后，希腊数学家欧几里得对人类祖先的社会生产实践中运用的几何知识进行了总结，使之成为公理化思想，而欧几里得的《几何原本》是当时最权威的著作.但是欧几里得的著作中存在公理不足的问题，然而随着对几何学的深入学习和研究，德国数学家希尔伯特在《几何基础》中提出并完善了欧氏几何中完善的公理系统理论知识，促进了几何学的进一步传播.我们平时所说的几何学和几何定理是从它们自身相对应的公理系统来考虑的，而对于不同的公理系统可以有不同的几何学的理解.
到了十九世纪，数学领域又出现了几何学的一个新的分支——射影几何，即我们平时所说的高等几何.概括的说，射影几何是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学.配极理论是高等几何里的一个重要理论方法，它包括配极原则，配极变换等， 我们常利用这些方法研究某些初等几何问题.初等几何是以静止的观点研究一些简单而又规则的图形,主要是从欧氏几何的基础上进行研究的，高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的.我们通过一些具体的实例来了解一下高等几何中的相关理论在初等几何中的运用.
2 极点与极线
为了下面更好地介绍配极理论在初等几何中的运用，我们先介绍极点与极线的定义及相关定理.先讨论二阶曲线与直线的相关位置.
设两个点,P Q 的坐标分别为()()123123,,,,,P p p p Q q q q ，则直线PQ 上任意点的坐标可以写为()123,,x x x ，其中
i i i x p q λ=+ ()1,2,3i =
以下先求直线PQ 与二阶曲线
3
,1
0ij i
j
i j a x x
==∑ ()
i j j i a a
=
的交点.将i i i x p q λ=+代入上式得
()()3
,1
0ij
i
i
j
j i j a p q p
q λλ=++=∑
为了书写方便，我们先引入以下记号：
3
,1ij i
j
i j S a x x
=≡∑
3
,1p ij
i j i j S a
p x =≡∑
3
,1
q ij i
j
i j S a q x
=≡
∑
3
,1pq ij
i j i j S a
p q =≡∑ 3
,1
qp ij
i j i j S a
p p =≡
∑
当()123,,P p p p 点在二阶曲线0S =上时，P 处的切线方程为：
0p S =.
定义2.1[2] 给定二阶曲线()c ，如果两点,P Q （P 不在()c 上）的连线与二阶曲线()c 交于两点12,M M ，且()12,,1M M PQ =-，则称,P Q 关于二阶曲线()c 调和共轭，或点Q 与P 关于二阶曲线()c 互为共轭点.
定理2.1[4] 一定点关于一个二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线. 证明 设点P 的坐标为()123,,p p p ，二阶曲线()c 的方程为
3
,1
0ij i
j
i j S a x x
==
=∑，
则P 的调和共轭点的轨迹方程为
0p S =.
推论[4] 不在二阶曲线()c 上的二点()(),P p Q q 关于()c 调和共轭的充要条件是
0pq S =.
定义2.2[4] 直线0p S =叫做()P p 关于二阶曲线()c 的极线；而点P 叫做直线0p S =的极点.
3 利用配极原则解决某些初等几何命题
某些初等几何命题，如果用初等方法求解，十分不便，而利用配极原则来求解却非常方便.为此，这里给出配极原则的相关定理、推论以及它的定义.
定理3.1[4] （配极原则）如果P 点的极线通过Q 点，则Q 点的极线也通过P 点.
证明 设二阶曲线的方程为0S =，P 点的坐标为()123,,p p p ，Q 点的坐标为
()123,,q q q ，于是，P 点关于0S =的极线为0p S =，Q 点关于0S =的极线为0q S =，因P
点的极线通过Q 点，所以有
0pq S =，
但pq qp S S =.所以有
0qp S =
这表示Q 点的极线0q S =通过P 点.
推论 3.1[2] 两点连线的极点是此二极点的交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线.
推论 3.2[2] 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.
推论 3.3[2] 设,PA PB 为二阶曲线的切线，若其中,A B 为切点，则AB 为P 点的极线. 我们规定点P 关于非退化二次曲线0S =的极线方程为0r S =，并且：当点P 在曲线
0S =上的时候，0p S =就是过P 的曲线0S =的切线方程；当点P 在曲线0S =外的时候，
0p S =就是过P 的曲线0S =的两条切线的切点连线的方程；当点P 在曲线0S =内的时候，
0p S =就是过P 的曲线0S =的弦的端点的两条切线的交点的轨迹方程.特别地，P 点是二次
曲线0S =的焦点时，0r S =就是该曲线0S =的准线的方程.
例1 一点P 关于
O 的极线p 垂直于直线OP .
证明 若点P 在O 外，过P 作O 的切线,PB PC ，,B C 为切点，那么OP BC ⊥.而BC 就是P 关于O 的极线p ，故p OP ⊥；若P 在O 上，过P 点的极线就是过切点P 的切线p ，因而OP BC ⊥；若P 在O 内但P 于O 不重合，过P 作OP 的垂线交O 于
,E F ，如果EB 交CF 于M ，EC 交BF 于N ，
那么p 即MN 就是P 关于O 的极线，设BC 交MN 于S ，由完全四边形的调和性质有：点S 是P 关于,B C 的调和共轭点，然而P 是BC 的中点，故S 是直线BC 上的无穷远点，而S 又在p 上，于是p BC ，而OP BC ⊥，即OP p ⊥.
例2 设在圆内接四边形的顶点作该圆的切线，形成一个外切四边形，则：（1）这两个四边形的对角线通过同一点，并组成调和线束.（2）两个相应的完全四边形的顶线在同一条直线上，并且互相调和分割.
P
V
C U
D T
A W B
F
R
S
图3-1
证明 设TUVW 为圆内接四边形，过它的顶点的切线形成外切四边形ABCD ，,R S 分别是四边形TUVW 两双对边的交点，P 是它的对角线的交点，,E F 是ABCD 两双对边的交点.由于,R S 的极线分别为PS 和PR ，故RS 的极点为P .
（1）由于直线,,,TW UV RS PS 通过S ，则其四极点,,,A C P R 共线，又直线
,,,TU VW RS PR 通过同一点R ，则其极点,,,B D P S 共线，因此，四边形ABCD 的对角线,AC BD 通过点P .由于PR 是点S 之极线，则直线TW 和PR 的交点K 与点S 调和分割TW ，所以，依次通过,,,T W K S 的直线,,,TV UW AC BD 形成调和线束.
（2）直线,,,TV UW AC BD 通过同一点P ,则极点,,,E F S R 共线,点,R S 调和分割线段EF ,因为直线EF ,,AC BD 是完全四边形ABCD 的对角线,而完全四边形的每一条对顶线
被其余两条对顶线调和分割,故（2）成立.
例3 设ABCD 为圆外切四边形,H G F E 、、、为DA CD BC AB 、、、边上的切点，则HF EG BD AC 、、、共点.
X
E
A H
D G
C
F
B
Y
O
图3-2
证明 如图3-2，设HE 交FG 于M ，EF 交HG 于N ，EG 交FH 于O ，因C A 、的极线FG EH 、均过M ，故AC 的连线为M 的极线.同理BD 为N 的极线,于是MN 为
,AC BD 交点的极线，但MN 为O 的极线，所以AC 交BD 于O ，从而FH EG BD AC 、、、共点O .
利用配极原则，一点）（00,y x P 关于二次曲线02
2
=+++++f ey dx cy bxy ax 的极线（特殊时即为切线）的方程就是在曲线方程中，用0x x 代2x ，
002y x x y +代xy .0y y 代2
y ，02
x x +代x ，
02
y y
+代y ，常数项不变所得的方程. 例4 经过点（8,13），作抛物线x y 62
=的切线，求其切线方程.
解 联立???==?????==????=+=??????==2496,2
326)8(3136022
y x y x x y x y x y S p ，即（2/3,2），（96,24）为切点，故所求切线的方程为09680223=+-=+-y x y x 或.其中0=p S 是点P （8,13）关于此抛物线的极线方程.
4 配极变换在初等几何中的若干应用 4.1 配极变换的性质在初等几何中的应用
配极变换（又称配极对应）是高等几何教学内容中一个重要的几何变换，配极变换在初
等几何中的应用比较广泛, 利用配极变换的基本性质去处理初等几何中的
1 证明线段, 角的平分问题;
2 关于某些共点, 共线问题的证明;
3 利用配极变换可以推导初等几何, 解析几何中的一些命题;
4 过圆锥曲线外一点引圆锥曲线切线的作图等, 一般来说, 比其用初等几何方法有其优越性.
为了应用方便，先给出配极变换的定义和几个性质.
定义4.1.1[2] 平面内一点与关于一个非退化二阶曲线的极线相对应，这种一一对应叫配极变换.
性质 1[2] 常态二阶曲线上一点的极线，是二阶曲线在该点的切线.
性质 2[2] 点不在二阶曲线上，若存在两条切线，则两切点的连线就是该点的极线.若不存在切线，则过该点的直线与曲线的交点处的两条切线的交点在这点的极线上.
性质 3[2] 若点y 的极线通过点z ，则点z 的极线通过点y . 性质 4[2] 共线点的极线共点，共点线的极点共线.
性质 5[2] 一调和点列各点关于同一常态二阶曲线的极线成调和线束.
例5 过点P 作圆的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），且过P 作一直线平行于圆上
点Q 的切线，分别交QA 、QB 于点E 、F ，证明EP FP =.
图1
Z
图4.1-1 证明 点P 的极线为AB ，设它交于点Q 的切线于Z ，因为点Z 在点P 的极线上，所以由性质3知点P 在Z 的极线上，因此，点Z 的极线是PQ .由极线定义知(),1AB YZ =-，又因为EF QZ ，直线EF 截上述调和线束得(),1EF PZ ∞=-，所以点P 是线段EF 的中点，故EP FP =.
例6 从圆外二定点P 、Q 分别作切线PA 、PB 、QC 、QD .（其中,,,A B C D 是切点）设,AC BD G AD CB R ?=?=.试证: ,,,P Q R G 四点共线.
B
G
P
A
E
D
C
Q
R
图4.1-2
证明 如图4.1-2，设AB CD E ?=，且直线,AB CD 分别是点P 和点Q 的极线. 点E 在,AB CD 上，
∴由配极原则知点E 的极线是PQ . ABCD 为圆的内接四边形.
∴GER ?为自配极三点形，E 的极线是RG .
一点关于同圆的极线是唯一的.
∴直线PQ 与RG 重合，故,,,P Q R G 四点共线.
4.2 利用配极变换导出一些新的几何命题
利用几何学中已有的许多命题，通过配极变换都可以导出新的、更为有趣的几何命题.
命题1 三角形ABC 的三条高线交于一点—三角形的垂心.
T
V
U
P O
H
C
B
A C 2
h
B 2
A 2
图4.2-1
如上图 4.2-1，今以ABC ?的外接圆为基圆O 作ABC ?的配极三角形TUV .由于A 的极线为UV ，因此AP 的极点在UV 上，又UV AP ⊥，故AP 的极点BC A 与2的极点T 对于点
O 所张的有向角为直角，即?=∠902OT A ，于是2A 是过O 所作的OT 的垂线与UV 的交点，同理作出22C B 、来，由配极原则知，2A 、22C B 、应在同一直线上，从而我们有
推论4.2.1 设三角形TUV 的内切圆圆心为O ，过O 作直线2OA 使2OA OT ⊥交UV 于2A ，过O 作2OB OU ⊥交TV 于2B ，过O 作2OC OV ⊥交TU 于2C ，则三点共线.
命题2[9]
三角形的外心、重心、垂心三点共线.
推论4.2.2 设三角形TUV 是圆O 的外切三角形，那么
（1）ABC ?的外角平分线与其对边的交点在同一直线p 上.
（2）过O 作直线2OA 使2OA OT ⊥交UV 于2A ，过O 作2OB OU ⊥交TV 于2B ，过O 作2OC OV ⊥交TU 于2C ，则三点共线h . （3）h p //
命题3[9]
三角形两边中点平行于第三边.
U
S
C
N
A
O
M
V
B T
图4.2-2
如上图 4.2-2，设N M ，分别是ABC ?的边AC BC ,的中点，过C B A ,,作ABC ?的外接圆O 的外切TUV ?，则A B C
?与TUV ?互为配极三角形，C B ,的极线为TU TV ,，
由于M 在0=T S 之上，故M 的极线过OM T 且与垂直.因而M 的极线是TUV ?的T ∠外角平分线，同理，N 的极线是U ∠的外角平分线.另一方面，平行直线MN AB 与的极线在与它们垂直的直线上，即在V ∠的平分线上，因此，MN 的极点为TUV ?的两外角平分线及一内角平分线的交点S ，于是有
推论4.2.3 三角形的两外角平分线及一内角平分线交于一点.
命题4[9]
如果圆O 的内接四边形ABCD 的对角线互相垂直，那么从对角线的交点E 向CD 作出四边形ABCD 关于圆O 的配极四边形TUVW （如下图4.2-3）:
V
W
C
M E O
B
U
A
T
N
D
R
Q e
P
图4.2-3
延长VW TU ,交于Q ，由于的A 极线为TU ，C 的极线为VW ，于是AC 的极点为Q .同理BD 的极点为P ，由于BD AC ⊥，于是?=∠90POQ ，同时E 的极线为e ，因而MN 的极点在e 上，由BC MN ⊥知O L BC K MN 对点的极点与的极点张的有向角为直角，又
AB M 为的中点，所以M 的极线TR 为T ∠的外角平分线，从而有
推论4.2.4 设TUVW 是圆O 的外切四边形，延长P UV TW 交于与，延长VW TU 与交于Q ，而OQ OP ⊥，如果PQ 上的点R 使?=∠90ROV ，那么TR 是T ∠的外角平分线.
将上述命题中的圆改成各种二次曲线，我们可以得到各种不同的、有趣的几何命题，可用初等几何的方法再结合仿射变换给出证明，由于它超出了初等几何的范围，在这里不作讨论.
5 关于圆的配极在初等几何中的若干应用 5.1 圆的配极及其性质
我们在扩大欧氏平面上取定特殊的二阶曲线——圆,来建立点线之间的配极变换,并把这个圆称为基圆.除了具有一般常态二阶曲线配极的基本性质外,关于圆的配极还有以下性质：
(1)基圆圆心的极线为无穷远直线,基圆直径所在直线的极点为无穷远点.
(2)基圆直径所在直线上的点(除圆心外)的极线必垂直于该直径;反之,一条直线的极点在垂直该直线的基圆直径所在直线上.
(3) 异于基圆心的两点关于圆心所张的有向角,等于这两点的极线所夹的同向角(如下图5.1-1 ).
A b
O
B
a
图5.1-1
(4)设基圆O 的半径为OA 与点A 的极线交于A ,则2
r OA OA =?.
(5) 基圆心O 至A 、B 两点的距离与A 至B 的极线b 及B 至A 的极线a 的距离成比例现对性质(5)证明如下(其余各点容易由配极的基本性质得到)
P
B
b a
A'Q A
M B
O N a
A'A
B'
B O
c ()
b ()
b
B
图5.1-2
设OA 与点A 的极线a 交于A ',OB 与点B 的极线b 交于B ',则
2OA OA OB OB r ''?=?=.
(1)若OA OB （上图a ）
OA OB OB OA AB OB OA OA OB BA ''-==='''-, ∴OA AB OB BA ''
='. (2)若OA OB ⊥（上图b ） OA OB OB OA
'
=', ∴结论显然成立.
(3)若OA OB 与既不平行，也不垂直（上图c ）.
作AP b ⊥于P ，BQ a ⊥于Q ，AM OB ⊥于M ，BN OA ⊥于N
,
,,,A B M B 四点共圆，∴OA ON OB OM ?=?.
,OA OB OM OB OM MB AP OB OA ON OA ON MA BQ '''-∴====='''-证完. 5.2 证明与圆有关的共线点和共点线问题
通过圆的配极及其性质，我们了解到配极理论在圆的配极方面的一些应用，下面给出自极三角形的定义并通过例题我们来研究如何证明与圆有关的共线点和共点线问题.
定义5.2.1[2] 如果一个三角形的三个顶点恰是对边的极点，则此三角形叫做自极三角形.
例8 试证马克洛林定理圆上四点两两相连组成一个完全四角形，又过每点作圆的切线交成一个完全四边形,这两形必有共同的对角三角形.
S
C
M
N'
B
T
D
N
A
M'
P
R P'
图5.2-1
证明（如图图5.2-1） 设切于,,,A B C D 四点的基圆外切完全四边形的四边为
,,,MN MN N M M N '''',记,MN M N P MN M N P '''''?=?=,
∴三线,,MM NN PP '''交成的三角形是这个基圆外切完全四边形的对角三角形.
=,,AB CD R AD BC S AC BD T ??=?=记,则基圆内接完全四边形ABCD 的对角三角形是
RST ?，
∴RST ?是关于圆的一个自极三角形，∴点R 的极线AB 和点M 的极线CD 都过R ，∴点R 的极线ST 必过M 和M '，即四点,,,S T M M 共线，同理，四点,,,R T N N '和四点,,,S R P P '分别共线，故基圆外切完全四边形的对角三角形也是RST ?.
5.3 应用配极变换使证题化难为易
以上我们通过圆的配极对配极理论有了相应的初步了解，如何应用配极变换使证题化难为易呢？下面我们通过例题来了解一下.
例9 设ABC ?内切圆S (圆心为O )的切线l 分别交直线,,AB BC CA 于点,,D E F ，过点O 分别作,,OD OE OF 的垂线，依次交,,AB BC CA 于点,,D E F ，则三点,,D E F 在圆S 的另一切线1l 上，且1l l ⊥.
分析 我们对原命题作配极变换得到新命题，此二命题为一对配极命题，而配极命题互为对偶，其真假性是等效的，即真则同真，假则同假，如果原命题的配极命题容易证明，则原命题即证.
我们采用列表对照的方法作出配极变换.
b ()
a ()
配极图形
原图形
d 1
e 1d
f 1
f
e
D
C
B
L A
F
l
D
B
E
S
C
F 1
E 1
l 1D 1
l .
线为,,d e f ，分别过三点,,C A B '''的三直线111d e f 、、与直线,,d e f 垂直，则三直线,,d e f 交于圆S 上另一点1L ,且1L 为L 的对径点，此配极命题显然成立，故原命题得证.
5.4 由已知定理配极导出相应定理
通过对配极相关定理的认识，这里我们根据已知定理来进一步推导出相应的配极定理.
例10 试求定理“若四边形外切于圆，则其两对对顶点的连线及两对对边上切点的连线必四线共点”的配极定理.
A
R
Q
D
S
C
B
P
的交点必四点共线（如图5.4-1）.
5.5 有关作图问题
应用配极来解决相关作图问题.
例11 已知四直线,,,a b c d 都不与O 相切，求作O 的外切四边形ABCD ，使四点,,,A B C D 分别落在,,,a b c d 上.
分析 （如图5.5-1）（1）设O 的外切四边形ABCD 已作出,四边,,,AB BC CD DA 的切点分别为,,,P Q R S .因为,,,SP PQ QR RS 的极点ABCD 分别落在直线,,,a b c d 的充要条件是,,,SP PQ QR RS 分别过,,,a b c d 的极点,,,A B C D ''''.而四点,,,A B C D ''''可作出，于是只要求得O 的内接四边形SPQR ,使它的四边分别通过,,,A B C D '''',作图即可完成.
（2）设A B '和C D '交于点G ，设以A '为反演中心，,P S 为一双对应点的反演变换（其
反演幂是点'
A 对于O 的幂）中，
B '的反演点是E ，又设以点D '为反演中心，,S R 为一双对应点的反演变换（其反演幂是点D '对于O 的幂）中，
C '的反演点是F ，四点,,,P B S E '及四点,,,R C S F '分别共圆，于是SFC SRC SPB SEB SEG ππ''''∠=∠=-∠=-∠=∠,故四点,,,G E F S 共圆。所以点S 是OGEF 和O 的交点，S 点可求得，从而O 的内接四边形SPQR 可作出.
d
D
R
c'
c
C
Q b
B
P
S
A
a
图5.5-1
结束语
综上所述，我们对几何学有了一定的了解，并通过几何学的一个分支——射影几何，对其在初等几何中的相关应用做了阐述和分析.通过引出极线和几点的定义了解了配极理论中配极原则和配极变换在初等几何方面的实际运用，总结了配极原则和配极变换的几个定理以及它们的性质.方便以后我们更好地解决初等几何中的问题.
参考文献
[1] 梁绍鸿,初等数学复习及研究[M ],高等教育出版社,1958,56-123. [2] 梅向明等,高等几何[M ],福建人民出版社,1983,110-115.
[3] 赵宏量,高等几何学指南[M ],西南师范大学出版社,1987,92-103. [4] 梅向明等,高等几何习题集[M ],北京：高等教育出版社,1998,82-85. [5] 朱德祥,初等几何研究[M ],北京：高等教育出版社,1985,82-112.
[6] 姜树民等,几何学的发展与初等几何方法研究[J ],吉林：四平师范学院,2000,1. [7] 冯天祥,配极原则及其应用[J ],重庆：重庆三峡学院,2001,108-111.
[8] 王金河,配极变换在几何上的应用[J ],内蒙古：丰镇市第五中学,2000,327-238. [9] 吴传易,关于配极理论的应用[J ],湖北：湖北师范学院学报,1993,101-105.
[10] H.S.M.Coxeter and S.L.Greitzer GEOMETRY REVISITED. by Yale University , 1967, 154-158.
Polar theory in the application of elementary geometry
Author: Shao Rui Teacher: Hu Xiang
Abstracts Polar theory of Higher Geometry (projective geometry) is an important method.It includes the principle of polar, polar transformation etc.. It is widely used in elementary geometry.In view of elementary geometry is still simple and regular pattern.It is mainly studied based on Euclidean geometry. This paper summarizes the related properties of polar theory, it describes and analyses some propositions in elementary geometry by using of the principle polar and polar transformation.and this paper discusses its application in the elementary geometry.
Key words Polar theory projective geometry Pole and polar line elementary geometry Application