初等几何研究试题答案(6)

初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。

《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。

3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。

4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。

11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。

已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。

证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。

∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。

知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。

∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE21∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。

D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作DF ⊥ AC 延长线于F 。

求证：DE －DF 为常量。

证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。

《初等几何研究》综合测试题（十六）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.已知ABCD 为平行四边形，下列判断正确的是__________。

A.若∠A=90°，则ABCD 为正方形；B.若AB=BC ，则ABCD 为菱形；C.对角线互相平分垂直；D.以上都不对。

2. 下列判断正确的是_________。

A.任意两个等腰三角形都相似；B.任意两个直角三角形都相似； C ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形都相似； D.任意两个等腰直角三角形都相似。

3.如图，Rt AB C 中，CD 是斜边AB 上的高，DE ⊥AC 于E,AC:CB=4:5,则AE:EC 等于_______。

A.4:5；C.16:25；D.以上都不对。

4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于__________。

A.顶角的一半；B.底角的一半； C.90°减去顶角的一半；D. 90°减去底角的一半。

5.如图，圆锥的底面半径OA=3cm ，高SO=4cm ，则它的侧面积 为__________2cm .A.12π；B.15π；C.16π；D.20π.6. 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。

A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

7.下列图形中，不一定为轴对称图形的是_________。

A.直角；B.线段；C.直角三角形；D.等腰直角三角形。

8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。

A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。

六、关于共线点与共点线1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图)∵E.H 分别是AB.AD 的中点， F,G 分别是BC.CD 的中点∴EH =12BD FG=12BD ∵EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴ OH=OF∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点 ∴HJ=12CD IF=12CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ≅△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线2. 已知：E ，F 分别在正方形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的角平分线，自E,F 作AC 的垂线，垂足分别是P,Q 求证：△BPQ 的外心与B ，C 共线A DCFBEP Q证明： ∵FQ ⊥AC∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45° ∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得AQ AB AFAE同理可得，△AEP ∽△AFD 即AD AP=AFAE∴AQ AB =ABAP利用切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外心在BC 上，等价于AB,APQ 是切，割线 ∴△BPQ 的外心在BC 上3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上 的高，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任一割线交☉A 于D 、E ，交CH 于F(D 在B 、F 之间),又作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。

求证：（1）A 、H 、D 共圆。

（2）E 、H 、G 共线。

（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成比例证明：如图所示：连结AE 、AD（1）∵BC 2=BH ·BA(摄影定理） BC 2=BD ·BE(割线定理） ∴BD ·BE=BH ·BA∴A 、H 、D 、E 四点共圆 (2）∵∠ABD=∠ABG∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A 、H 、D 、E 四点共圆∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角） ∠AHE=∠EDA （同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶角） ∴E 、H 、G 三点共线 (3)∵∠ABD=∠ABG∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线 ∴HC 平分∠DHE∴HC 、HB 是∠DHE 的内外角平分线 ∴FE DF =HE HD =BEBD4.设P是正方形ABCD内的一点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝着BC 旋转90BP 至Q.求证：A 、P 、 Q 共线.证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3设AP=1 则 BP=2 CP=3 ∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①∠BPQ=∠BQP=45°∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2 又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC ②∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90°∴∠ABP=∠CBQ ③∴△ABP≌△CBQ(由①②③可得到)∴PA=QC=1又∵PQ2+QC2=(2√2)2+12=32=PC2∴∠PQC=90°,∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°又∵∠APB=180°-45°=135°∴∠BQC=∠APB=135°即A、P、Q共线（∠APB、∠BQP是邻补角）5. 在∆ABC中，D,E,F分别在AB.BC.CA上，使得DE=BE,EF=CE.求证：∆ADF的外心O 在∠DEF的角平分线上。

第 1 页 （共 2 页）5一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分）1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做 ；2、在ABC ∆中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是 ；3、已知ABC ∆的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ∆的面积S= ；4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60º，如果PO=6，那么圆的半径等于 ；5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ；6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为 ；7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2AC AB CB =⋅，则点C 称为线段AB 的 ； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为 ； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为 ，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC交于点P,求:BE EP 的值。

2、已知Rt ABC ∆所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24，到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。

三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分）1、 圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的切线FG ，G 为切点，证明EF=FG.2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。

CE第 2 页 （共 2 页）3、AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，从垂足D 引DM BE ⊥于M ，引DN CF ⊥于N ，求证MNFE4、证明三角形的中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差。

1.（证明线段相等）例1：在ABC ∆的两边AB 、AC 上向外做正方形ABEF 和ACGH ，则BC 边上的高线AD 平分FH 。

证明：过点F 作PQ FQ ⊥,过点H 作DP HP ⊥在ΔADB 和ΔFQA 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠AB AF DBA QAF ADB FQA90AD FQ ΔADB ΔFQA =⇒≅∴在中ΔCAD 和ΔAFP⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠AC AH DAC PHA 90CDA APHAD PH ΔCAD ΔAHP =⇒≅∴HP FQ =∴在中和HPM FQM ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠HP FQ HMP FMQ PHM QFM ΔH P M ΔF Q M ≅∴ HM FM =∴即M 为FH 的中点。

2：C 是弦AB 的中点，通过C 引弦PQ ，并在此弦两端作圆的切线PX 和QY 。

它们交直线AB 于X 、Y 。

证PX=QY 、AX=BY 。

3：AB 是圆的直径，从圆上一点C 作AB CD ⊥于D 。

且在A 、C 两点的切线相交于E ，证明：BE 平分CD 。

证明:过点B 作AB BF ⊥交EC 于FEA//CD//BF ∴ECDM AE DM AB BD EF CF EF BF EC CM ===== DM CM =∴即BE 平分CD 。

4：设AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，则DEF ∆称为ABC ∆垂足三角形。

证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角。

证明： FCDM 共圆FDM FCM ∠=∠∴DBEM 共圆EDM EBM ∠=∠∴90BAC EBM BAC FCM =∠+∠=∠+∠EBM FCM ∠=∠∴EDM FDM ∠=∠∴即AD 平分FDE ∠同理可得BF 平分DFE ∠,CE 平分FED ∠即这三条高线平分DEF ∆的内角或外角。

5：二圆外切于P ，一圆在其上一点C 的切线交另一圆于A 、B 。

求证：PC 是APB ∠的外角平分线。

6：等边三角形外接圆周上任意一点到顶点连线中最长的等于其余两线之和。

初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。

五、关于平行与垂直五、关于平行与垂直 1、I 是△是△ABC ABC 的内心的内心,AI ,AI ,AI、、BI 和CI 的延长线分别交△的延长线分别交△ABC ABC 的外接圆于的外接圆于D 、E 和F.F.求证求证求证:EF :EF :EF⊥⊥AD.AD. 证明证明::已知I 是△是△ABC ABC 的内心的内心, ,∴AD AD、、BE 和CF 是∠是∠BAC BAC BAC、∠、∠、∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB 的角平分线的角平分线 ∴⌒∴⌒BD=BD=BD=⌒⌒CD CD，⌒，⌒，⌒BF=BF=BF=⌒⌒AF AF，⌒，⌒，⌒AE=AE=AE=⌒⌒CE CE ∴⌒∴⌒∴⌒BD+BD+BD+⌒⌒BF+BF+⌒⌒AE=AE=⌒⌒CD+⌒AF+AF+⌒⌒CE CE ∴⌒∴⌒∴⌒DF+DF+DF+⌒⌒AE=AE=⌒⌒DE+DE+⌒⌒AF∴∠∴∠AIF=AIF=AIF=∠∠AIE=AIE=∠∠DIF=DIF=∠∠DIE DIE ∴∴EF EF⊥⊥AD2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS. 证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点的中点 ∴⌒∴⌒AP=AP=AP=⌒⌒PB ,⌒BQ=BQ=⌒⌒QC ,⌒CR=CR=⌒⌒RD ,⌒DS=DS=⌒⌒SA SA ∴⌒∴⌒AP+AP+AP+⌒⌒QC+⌒CR+CR+⌒⌒SA=SA=⌒⌒PB+PB+⌒⌒BQ+BQ+⌒⌒RD+RD+⌒⌒DS DS又∵⌒又∵⌒PQ+PQ+PQ+⌒⌒RS=RS=⌒⌒PB+PB+⌒⌒BQ+BQ+⌒⌒RD+RD+⌒⌒DS , DS , ⌒⌒SP+SP+⌒⌒RQ=RQ=⌒⌒AP+AP+⌒⌒QC+QC+⌒⌒CR+CR+⌒⌒SA SA ∴⌒∴⌒PQ+PQ+PQ+⌒⌒RS=RS=⌒⌒SP+SP+⌒⌒RQ RQ ∴SQ SQ⊥⊥PR PR3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证求证:ABCD :ABCD 是平行四边形。

初等几何试题及答案一、选择题1. 下列哪个图形是正多边形？A. 三角形B. 圆形C. 正方形D. 五边形答案：C2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 25厘米答案：A二、填空题1. 如果一个矩形的长是15厘米，宽是10厘米，那么它的面积是______平方厘米。

答案：1502. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，那么它的斜边长度是______厘米（使用勾股定理计算）。

答案：5三、简答题1. 什么是等腰三角形？答案：等腰三角形是两条腰相等的三角形。

2. 什么是相似三角形？答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。

四、计算题1. 已知一个圆的周长是31.4厘米，请计算这个圆的半径。

答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中C是周长，r是半径。

将31.4厘米代入公式得：31.4 = 2πr，解得r = 31.4 / (2π) ≈ 5厘米。

2. 一个正六边形的边长是2厘米，求它的周长和面积。

答案：正六边形的周长是边长的6倍，所以周长为2厘米× 6 = 12厘米。

正六边形可以划分为6个等边三角形，每个三角形的面积为(2厘米× √3) / 2，所以正六边形的面积为6 × (2厘米× √3) / 2 = 6√3平方厘米。

五、证明题1. 证明：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

答案：设直角三角形的两条直角边分别为a厘米和b厘米，斜边为c厘米。

根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。

这就是直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的证明。

2. 证明：等腰三角形的底角相等。

答案：设等腰三角形的两条腰分别为AB和AC，底边为BC。

由于AB=AC，根据等边对等角的原理，我们知道∠ABC = ∠ACB。

因此，等腰三角形的底角相等。

初等⼏何研究第⼀章习题的答案（1）初等⼏何研究试题答案⼀、线段与⾓的相等 P4911. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的⼀点,AE ⊥BD 的延长线于E,⼜AE=12BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点FAED BCA 90 ADE BDC CBD CAFACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11AE BD AE AF22ABEE BE BE ABF BD ABC∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴∴==∴=⊥∴∠∠⼜⼜⼜平分即平分3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三⾓形且底⾓是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α∴A 、B 、D 、E 共圆同理A 、C 、D 、E 共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4.设H 为锐⾓△ABC 的垂⼼,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD 是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥AC ∴BD ∥AH, AD ∥BH ∴四边形ADBH 是□∴AH=BD ⼜∵AH 等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,⽽CD=2R ∴在Rt △BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o ⼜∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5. 在△ABC 中,∠C=90o ,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的⾼,过BE 、CD 之交点0且平⾏于AB 的直线分别交AC 、BC 于F 、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG ∥AB, ∴AF ／CF=BG ／CG=GO ／CG, ⼜∵△FCO ∽△COG,∴CO ／CF=GO ／CG=AF ／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.6. 在△ABC 中,先作⾓A 、B 的平分线,再从点C 作上⼆⾓的平分线值平⾏线,并连结它们的交点D 、E,若DE ∥BA,求证:△ABC 等腰.证明:如图所⽰设AC 、ED 的交点为F ∵AD 是∠A 的平分线∴∠1=∠2 ∵DE ∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE ∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD 和△FCE 是等腰三⾓形∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE 同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC 是等腰三⾓形7. 三条中线把△ABC 分成6个三⾓形,若这六个三⾓形的内切圆中有4个相等. 求证:△ABC 是正三⾓形．证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD ⾯积都相等∴S △OFB =S △OEC 即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21 (CE+OE+OC)×r ∴r rOF E AHIG LK JBF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE ⼜F 、E 分别为AB 、AC 之中点∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC 是正三⾓形.8. 平⾏四边形被对⾓线分成四个三⾓形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.证明:⼜∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三⾓形的⾯积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++?=++?CD OC OD BC OB OC∴++=++OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG++--=++--2222DF CF BH CH ?+=+22DC BCDC BC== ∴四边形为菱形9. 凸四边形被对⾓线分成4个三⾓形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 . 证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂⾜分别为P 、M∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线∴BO ⊥O 1 O 2⼜∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC ∵两个相等的内切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三⾓形△AOB 与△COD 中∴周长C △AOB =C △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD ⼜∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)= (CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC∴四边形ABCD 是平⾏四边形⼜∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形10. 在锐⾓△ABC 中,BD,CE 是两⾼,并⾃B 作BF ⊥DE 于F,⾃C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG ,ABDCEFIHGO ABDCP NO 1O 2O O 3O 4 M Q MGFEDA⼜因为∠BEC=∠BDC=90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上, 因为OM⊥DE, 所以OM平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.11. △ABC中,M是BC的中点,I是内⼼,BC与内切圆相切与K.求证:直线IM平分线段AK.证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:IL⊥BC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化MI平分AK, ∴M平分DK ∴BD=KC 后者利⽤圆I与圆O两条外公切线相等∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到IM平分线段AK.12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内⼼,A H⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE 与内切圆半径相等.证明:如图所⽰作△ABC的内切圆,∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC∴KL是直径, ⼜∵M为BC的中点,I为内⼼,则A L∥ＭＩ⼜∵A H⊥BC ∴A H∥LK ⼜∵点E点I分别都在AH、LK上∴A E∥LI ∴四边形AEIL为平⾏四边形∴A E＝LI 命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P 点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP 证明:利⽤矩形的中⼼设O是矩形ABCD的中⼼,则O也是MN的中点, 延长QN交OC的延长线于R,如图,则O ⼜是PR的中点,故NC平分∠PNR.,⽽NM⊥NG. ∴NM平分∠PNQ14. 给定以O为顶点的⾓,以及与此⾓两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平⾏线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.证明:如图所⽰,过C作圆的切线交OB延长线于D.∵OD,OA,CD都是圆的切线,且A C∥CD∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAKIOMLKHGFEDCBAELKM HGFIB CA∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直⾓?ABC 的两直⾓边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB. 证明:延长AC ⾄E'使CE'=CE,再连BE'交AE 的延长线于H. ∵?ABC 是等腰直⾓三⾓形∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90° ⼜∵CE=CE' ∴?BCE'≌?ACE ∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴?BHE ∽?ACE ∴∠BHE=∠ACB=90° ∵DL ∥CK ∥E'B 及DC=CE' ∴KL=LB.16. 点M 在四边形ABCD 内,使得ABMD 为平⾏四边形,试证:若∠CBM= ∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证明:作AN ∥BC 且AN=BC,连接DN 、NC∵ABMD 为平⾏四边形,AN ∥BC 且AN=BC∴ABCN 、DMCN 为平⾏四边形,AD=BM ∴DN=CM 、AN=BC ∴△ADN ≌△BMC ∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A 、C 、N 、D 共圆（视⾓相等）∴∠5=∠7（同弧AD ）∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM17. 已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-21∠BDC,求证:△ABC 是等腰的证明:延长CD 使得BD ＝DE,并连结AE ∵∠ADB ＝90°－21∠BDC ∴2∠ADB ＋∠BDC ＝180° ⼜∠BDC ＋∠ADB ＋∠ADE ＝180° ∴∠ADB ＝∠ADE ⼜∵BD ＝DE,AD ＝AD ∴△ADB ≌△ADE ∴∠ABD ＝∠AED ＝60°,AB ＝AE ⼜∵∠ACD ＝60°∴△ACE 为正三⾓形∴AC ＝AE ∴AB ＝AC ∴△ABC 为等腰三⾓形18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平⾏四边形`过的⼆顶A、B,⊙O2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另⼀交点,求证△AMD 的外接圆半径也是r.证明:设O为MB的终点连接CO并延长⊙O1于E 则由对称知O为CE的中点∵O平分MB O平分CE∴MEBC是平⾏四边形∴ME∥BC∥AD∴MEAD亦是平⾏四边形∴△MAE≌△AMD∴△AMD的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,求证:∠BAC=∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F四点共圆.∴∠DAE=∠DFE. ⼜∠ABC=∠ADE=∠AFE.∴A,B,C,F四点共圆∴∠BAC=∠BFC.⼜∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.20.在锐⾓△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的⾼（D为垂⾜）,求证:BD平分∠MDN.证明:如上图,m、n分别表⽰过M、N的切线长,再⾃M作MM’⊥AC于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N＝∠B＝∠NCN’∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n⼜∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n由等⽐性质知m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC∴△ADM∽△CDN ∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n∴BD平分∠MDN21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条⾼.求证:DA、EB、FC是△DEF的三条⾓平分线.证明:连结DF、FE、DE ∵C F⊥AB AD⊥BC ∴B、D、H、F共圆∴∠1＝∠3 ∵AD⊥BC BE⊥AC ∴B、D、E、A共圆∴∠2=∠3 ∴∠2=∠1 ∴AD平分∠EDF 同理,CF平分∠2 1OEMDB O OCADCB EAFEFD BE 平分∠FED即证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条⾓平分线22.已知AD 是△ABC 的⾼,P 是AD 上任意⼀点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF. 证明:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG ∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EI FG EH = ⼜∵GDHDPJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴PJEPFJ EI =∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠AD 即DA 平分∠EDF23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求证:ABC 是正三⾓形.解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP 1=CQ 1, 则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=ncmb=na mc=n 三式相加得m=n 所以a=b=c 即△ABC 是正三⾓形24.H 为?ABC 的垂⼼,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、 AB 的中点,⼀个以H 为⼼的圆交DE 于P 、Q, 交EF 于R 、S,交FD 于T 、V . 求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU 证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC`AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在?KR 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ）=r 2+AH ·(AK-HK) 在?ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC∴AK=KA` ∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA` 同BC HDEFR S T QK C`A `B `理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`25、在锐⾓三⾓形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的⾼,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等.求证:AP 平分∠FPQ证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 内接于圆∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=21∠DFE 由外⾓定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ∴∠ARQ=∠AQR ⼜AQPR 内接于圆∴∠APQ=∠ARQ∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠??BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三⾓形，RF D E A B C P Q27．已知:凹四边形ABCD 中,?=∠=∠=∠45D B A .求证:AC=BD. 证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F.∵?=∠=∠45D A ,DE AE =∴且?=∠90AED ⼜?=∠45B ?=∠∴45ECBDBAC DEB S AEC S EBEC =∴∴=∴。

第六章 习题六1 解：按个位数分类，个位数是0，则十位数可从1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数中的一个数来填，共有填法19p 种，个位数是1，则十位数可从2,3,4,5,6,7,8,9这八个数中选一位来填，共有填法18p 种，······同理可得，当个位数是8时，则十位数只能填9，共有11p 填法，因此符合条件的两位数则有，111111111123456789p p p p p p p p p ++++++++=12945+++= （种） 2 解：按边长分类，要确定一个正方形必要选两条邻边，边长为 1 的正方形，共有112n n c c n ⨯=个；边长为2 的正方形，共有()211111n n c c n --⨯=-个；边长为3 的正方形，共有()211222n n c c n --⨯=-个；·······同理可得，当边长为n 时，共有112111c c ⨯=个；故共有正方形个数为：()()()222211+2+ ····+11216n n n n n -+=++个。

3 解：放球需要两步完成：第一步，从六个小球中任选3个放入必须放的盒子，放法有36p 种， 第二步，从剩下的5个盒子中选3个盒子放入余下的3个小球，放法有35p 种由乘法原理，符合题意的放法有：33657200p p p =⨯=种4 解：法一：（排除法）从总的21本书中任取2本书的取法有221c 种，其中不符合条件的取法是从相同国家的书中取2本，共有222975c c c ++种，故满足条件的取法有：()22222197521067143c c c c-++=-=（种） 法二：（分类法）第一类 从中文书，英文书中各取1本，取法有119763c c ⨯=种 第二类 从中文书，日文书中各取1本，取法有119545c c ⨯=种第三类 从英文书，日文书中各取1本，取法有117535c c ⨯=种 故总的取法有：111111979575143c c c c c c ⨯+⨯+⨯= （种） 5 解：（1）3211236m m m p p p +=+ ()()()21231m +6m m m m m ∴--=+ 0m ≠()()()212316m m m ∴--=++ ()()22950,2150m m m m ∴--=+-=15,()52m m m ∴==∴=舍， （2）3210m p = ()()12210n n n ∴--= 32322100n n n ∴-+-= 7n ∴=6 证明：（1）1n n n np p p +=-1212323431123n n np p p p p p p p p np p p +∴=-=-=-=-2311231n n p p np p +∴+++=-（2）()()()()()2!123123n n n n n n n =++++()()135212462n n =-⎡⎤⎣⎦()()135212123nn n =-⎡⎤⎣⎦ ()135212!n n n =-⎡⎤⎣⎦()()2!135212!n n n n ∴=-7 解：2996x x p p - ()()9!9!69!92!x x ∴--+()()()()1169!9!9192x x x x ∴---+-+()()619192x x ∴-+-+ ()()10116x x ∴-- 2211040x x ∴-+ 8,13()x x ∴ 舍 又,28x N x ∈ 且2,3,4,5,6,7x ∴=8 解：能被25整除的特征是末两位数能被25整除，故满足条件的数可分为两类，一类是25 ，另一类是末两位数是50. 其中末两位数是50的数有24p 种，末两位数是25的数中，千位数排列是从1,3,4这三个数中任选1个来排，百位数的排法有13p 种，故共有个1133p p ⨯ 共有符合条件的四位数有21143321p p p +⨯=个。

初等几何研究期末试题及答案第一题：已知四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，∠ABC = 90°，角ADC的度数为60°。

求四边形ABCD的面积。

解析：由题意可知，四边形ABCD为一个平行四边形，且∠ABC = 90°，∠ADC = 60°。

首先，我们可以使用正弦定理求得∠BAC的度数。

根据正弦定理可以得到：sin∠BAC/AB = sin∠ABC/ACsin∠BAC/6 = sin90°/ACsin∠BAC/6 = 1/ACAC = 6/sin∠BAC接下来，我们可以使用余弦定理求得AC的长度。

根据余弦定理可以得到：AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABCAC² = 6² + 8² - 2·6·8·cos90°AC² = 100AC = √100AC = 10再次，我们可以使用正弦定理求得AD的长度。

根据正弦定理可以得到：sin∠ADC/AC = sin∠CAD/ADsin60°/10 = sin∠CAD/AD√3/10 = sin∠CAD/ADAD = 10sin∠CAD/√3最后，我们可以计算四边形ABCD的面积。

四边形ABCD可以分成两个三角形，即△ABC和△ACD。

面积公式为：四边形ABCD的面积 = △ABC的面积 + △ACD的面积= (1/2)·AB·AC + (1/2)·AC·AD= (1/2)·6·10 + (1/2)·10·10sin∠CAD/√3= 30 + 50sin∠CAD/√3综上所述，四边形ABCD的面积为30 + 50sin∠CAD/√3。

第二题：已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，AC = 12cm。

初等几何研究习题答案初等几何研究习题答案几何学是数学的一个重要分支，它研究的是形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。

初等几何是几何学的基础，是我们学习数学的第一步。

在初等几何的学习过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高解决问题的能力。

在这篇文章中，我将为大家提供一些初等几何习题的答案，并探讨一些解题思路。

1. 题目：已知直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm。

求AB的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

设AB=x cm，则根据勾股定理得到方程：5^2 + x^2 = 12^2。

解这个方程可以得到x的值，进而求得AB的长度。

2. 题目：已知平行四边形ABCD，其中AB=5cm，BC=8cm，∠A=60°。

求对角线AC的长度。

解答：平行四边形的对角线相等，所以AC=BD。

根据余弦定理，可以得到方程：AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos∠A。

将已知的数值代入方程，解得AC的长度。

3. 题目：已知等腰梯形ABCD，其中AB∥CD，AB=7cm，CD=12cm，AD=BC=5cm。

求高的长度。

解答：等腰梯形的高是两个底边之间的垂直距离。

根据勾股定理，可以得到方程：AD^2 = AB^2 - h^2。

将已知的数值代入方程，解得高的长度。

4. 题目：已知正方形ABCD，其中AB=8cm。

点E是BC边上的一个点，且BE=3cm。

连接AE，求∠AEB的度数。

解答：正方形的对角线相等，所以AC=BD。

根据正方形的性质，可以得知∠AEB = ∠AED + ∠DEB。

由于AE=AD，所以∠AED=∠ADE。

根据三角形的内角和定理，可以得到∠AED+∠ADE+∠DEB=180°。

将已知的数值代入方程，解得∠AEB的度数。

通过以上几道习题的解答，我们可以看到初等几何的解题思路大致有两种：一种是利用几何定理和公式进行计算，另一种是利用图形的性质和特点进行推理。

《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。

4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。

7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

七、关于共圆点与共点圆1、两圆相切，自其公切线上任一点作两直线，一线割圆于A、B，另一线割圆于C、D，求证：A、B、C、D共圆。

证明：设共切点为T由切割线定理得：PT2=PA·PBPT2=PC·PD∴PA·PB=PC·PD∴A、B、C、D共圆。

2. 四圆依次外切，求证四切点共圆。

证明：设O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD.则∠ABC=12(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=12(∠CO1D+∠DO1A)再注意到四边形O1O2O3O4顺次ABCD，即知四边形ABCD对角互补∵O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD∴则∠ABC=12(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=12(∠CO1D+∠DO1A)∵四边形O1O2O3O4顺次ABCD ∴四边形ABCD对角互补3.设P、M分别在正方形ABCD的边DC、BC上，PM与⊙A（半径为AB）相切，线段PA、MA 分别交对角线BD于Q、N. 求证：五边形PQNMC内接于圆。

证明：连结MQ、AT∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′∴∠1′＋∠2′＝45°∴α=45°＋∠2 β＝∠MAP＋∠2＝45°＋∠2∴α＝β∴A、B、M、Q共圆∴∠ABM＋∠MQA＝180°且∠ABM＝90°∴∠MQA＝90°∴M、C、P、Q共圆同理P、N、M、C共圆∴M、C、P、Q、N五点共圆。

4. 设O为△ABC内一点，AA’,BB’,CC’均以O为中点。

求证：△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点证：连接B’M,CM, A’M,设△BCA’外接圆与△A’B’C’外接圆的另一交点M（≠A’），如图，则由BCMA’,A’MB’C’内接于圆可知∠B’MC=∠1+∠2=∠3+∠4由对称性知BC∥B’C’,过A‘作BC的平行线，则有∠3+∠4=∠5+∠6=∠BA’C’再由对称性知∠BA’C’=∠B’AC∴∠B’MC=∠B’AC∴M在△CAB’的外接圆上同理，M在△ABC’的外接圆上故△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点。

《初等几何研究》综合测试题（一）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在 ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。

A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图， ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。

A.83； B.23； C.43； D.53。

3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。

A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。

4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。

A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。

5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。

A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。

6.下列语句正确的是________。

A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。

B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。

C.圆的一部分叫做弧。

D.能够互相重合的弧叫做等弧。

7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。

8.下列关于平移的说法中正确的是___________。

A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。

二、 判断题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.如图1，直线a ，b ，c 在同一平面内，a//b ，a 与c 相交于P ，则b 与c 也一定相交。