高数函数极限练习题

高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。

7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。

8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。

9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。

10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。

随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。

3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。

4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。

5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。

7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。

9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。

10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。

11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。

13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。

二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。

考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。

7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。

8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。

9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。

三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。

11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。

大一高数求极限的例题一、引言极限是大学高等数学中的重要概念，它是分析数学和微积分的基础。

在大一的高数课程中，学生常常会遇到求取极限的例题。

通过解答这些例题，不仅可以帮助学生理解极限的概念和性质，还可以提升他们的计算能力和思维逻辑能力。

本文将给出一些典型的大一高数求取极限的例题，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、例题一：求极限$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\frac{\\sin{2x}}{x}$解析：我们可以利用极限的基本性质来求解该例题。

首先，我们注意到当$x$接近于0时，$\\sin{2x}$也随之接近于0，而分母$x$始终不会取0。

因此，我们可以将该极限转换为另一个形式：$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x}$。

接下来，我们可以继续变形，使用三角恒等式$\\sin{2x} =2\\sin{x}\\cos{x}$，将分子中的$\\sin{2x}$化简为$2\\sin{x}\\cos{x}$。

然后，我们可以进一步将极限变为$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x} = 2\\lim_{x\\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}\\lim_{x \\rightarrow0}\\cos{x}$。

其中，$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\cos{x}$显然等于1。

而$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}$则是一个常数，它的数值为1。

因此，最终的结果为$2 \\times 1 \\times 1 = 2$。

即$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{2x}}{x} = 2$。

三、例题二：求极限$\\lim_{x \\rightarrow +\\infty} \\left(1 +\\frac{a}{x}\\right)^x$解析：为了求解该例题，我们可以利用极限的定义和性质。

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

关系
函数在某一点极限存在的 充分必要条件是，该点的 左、右极限都存在且相等。
夹逼定理及其应用举例
夹逼定理内容
如果三个函数在某点的极限存在，且 满足“夹逼”条件，则中间函数的极 限也存在，且等于两侧函数的极限。
应用举例
利用夹逼定理可以证明一些复杂函数 的极限存在性，如三角函数、指数函 数等。
单调有界数列必有极限
何值。
05
无穷级数中的极限问题
级数收敛与发散判断方法
比较判别法
通过比较级数的Βιβλιοθήκη 项与已知收敛或发散的级数通 项，来判断级数的收敛性。
比值判别法
求出级数相邻两项的比值，根据比值的极限值来 判断级数的收敛性。
根值判别法
求出级数各项的绝对值，然后取n次方根，根据根 值的极限值来判断级数的收敛性。
级数求和公式推导过程
等差数列求和公式
通过倒序相加法或错位相减法，将等差数列求和转化为等比数列 求和，从而得到求和公式。
等比数列求和公式
通过错位相减法，将等比数列求和转化为等差数列求和，从而得到 求和公式。
幂级数求和公式
通过逐项积分或逐项微分法，将幂级数求和转化为已知函数的求和， 从而得到求和公式。
级数收敛半径和收敛域求解
单调有界数列定义
单调有界数列是指一个数列既单调递增又有上界，或单调递减又有下界。
必有极限原因
根据实数完备性定理，单调有界数列必有极限。这是因为单调有界数列是一个 有界闭区间上的点列，根据闭区间套定理或聚点定理，这个点列必有收敛子列， 而单调性保证了收敛子列的极限就是原数列的极限。
04
连续性与间断点问题
函数连续性概念及性质
连续性的定义
函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数 值。

高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。

为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。

具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。

我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。

然后求出极限即可。

具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。

+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。

+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。

超级难的高数极限题高等数学是大学数学的重要组成部分，其中极限是数学分析的基础。

极限是指函数在某一点趋近于某一值的过程，是数学中非常重要的概念。

而高数极限题则是考验学生数学思维和解题能力的重要题型之一。

下面将介绍一些超级难的高数极限题。

1. $lim_{xto 0} frac{sin x}{x}$这道题是高数极限题中最经典的一道题，也是最基础的一道题。

它的解法是利用极限的定义，即当$x$趋近于$0$时，$frac{sinx}{x}$趋近于$1$。

这个结论可以用泰勒公式证明。

2. $lim_{xto +infty} left(1+frac{1}{x}right)^x$这道题需要用到自然对数$e$的定义，即$lim_{xto +infty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e$。

我们可以通过变形将这个式子转化为$lim_{xto 0} left(1+xright)^{frac{1}{x}}=e$，然后利用极限的定义求解。

3. $lim_{xto 0} frac{e^x-1}{sin x}$这道题需要用到泰勒公式的展开式，即$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...$和$sinx=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+...$。

将这两个展开式代入原式中，我们可以得到$lim_{xto 0}frac{1+frac{x}{2!}+...}{x-frac{x^3}{3!}+...}$，然后利用洛必达法则求解。

4. $lim_{nto infty}left(frac{n}{n^2+1^2}+frac{n}{n^2+2^2}+...+frac{n}{n^2+n^2} right)$这道题需要用到积分的思想，即$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx=frac{pi}{4}$。

我们可以将原式转化为$lim_{nto infty} frac{1}{n}sum_{k=1}^{n} frac{1}{1+(frac{k}{n})^2}$，然后利用积分的思想求解。

高数极限经典60题分步骤详解1. 求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+→∞本题求解极限的关键是运用三角函数和差化积公式，将算式进行转化，进而求出极限，过程如下：n n sin 1sin -+＝21sin 21cos2nn n n -+++ ＝)1121sin(21cos2n n nn n n n n ++++⋅-+++ ＝)121sin(21cos2nn n n ++++)(0∞→→n ∴ )sin 1(sin lim n n n -+→∞＝0这是因为，当∞→n 时，0)1(21sin→++n n ，而21cos n n ++是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0。

2. 令Sn =∑=+nk k k1)!1( ，求数列极限Sn n ∞→lim 解：)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ∴∑=+nk k k 1)!1(＝))!1(1!1()!1)!1(1()!41!31()!31!21()!21!11(+-+--++-+-+-n n n n ＝1)(1)!1(1∞→→+-n n 所以， Sn n ∞→lim =[lim →∞n 1)!1(1+-n ]＝13. 求数列极限)4321(lim 132-→∞+++++n n nq q q q ，其中1<q 且0≠q 。

解：令Sn ＝1324321-+++++n nq q q q ，将等式两边同时乘以q ，得到Sn q ⋅＝n n nq q n q q q q +-+++++-1432)1(4321 将以上两式相减，可得（1－q ）·Sn ＝n n nq q q q q -+++++-)1(132 上面的算式两边同时除以1－q ，得到Sn ＝q nq q q q q q nn ---+++++-111132当1<q 且时∞→n ，0→n nq （注：证明附后）， 1321-+++++n q q q q →q-11， ∴ Sn n →∞lim ＝2)1(1q --q nq n n -→∞1lim ＝2)1(1q -即 )4321(lim 132-→∞+++++n n nqq q q ＝2)1(1q -附注：关于0lim =∞→nn nq 的证明 若1<q 且0≠q ，当∞→n 时，0→nq 。

x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （ ）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （ ）

练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

函数、极限与连续 第一节 函数一、单项选择题3.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（ ） A.1B.12C.12-D.1-4.函数ln 1x y +=） A.()1,-+∞B.()1,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞5.函数21x y e -的定义域是（ ）A.()3,+∞B.(],2-∞-C.[]3,4-D.(][),23,-∞-⋃+∞6.函数()121arccos13x y x --=+-的定义域是（ ） A.[)(]1,11,2-⋃ B.()()1,11,2-⋃ C.[]1,2-D.()1,2-7.函数()23,401,03x x f x x x --≤≤⎧=⎨+<≤⎩的定义域是（ ）A.43x -≤≤B.40x -≤≤C.03x <≤D.43x -<< 二、填空题3.函数2log x y -=_______.4.函数()3sin1xf x x=+的定义域是__________. 5.设()f x 的定义域为(]0,1，则函数()sin f x 的定义域为_________. 6.设函数()2y f x =的定义域为[]0,2，则()f x 的定义域是_______.第二节 极限一、单项选择题4.设1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()lim x f x →∞=（ ） A.-1B.0C.1D.不存在5.03sin lim2x xx→=（ ）A.23B.1C.32D.36.下列各式中正确的是（ ） A.()23sin lim1x x x →=B.()21limcos 10x x →-=C.1lim sin1x x x→∞= D.01sinlim1x x x→=7.下列各式中正确的是（ ）A.31lim 13xx e x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()1lim 1x x x e →∞+= C.()10lim 12xx x e →+=D.()130lim 1xx x e +→+=8.函数()223,1,0,1,1,1,x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则()1lim x f x →=（ ） A.0 B.2 C.5 D.不存在9.()21sin 1lim1x x x →-=-（ ）A.1B.0C.2D.1210.)lim x x →+∞=（ ）A.0B.1C.2D.∞11.22lim sin 1x xx x →∞=+（ ） A.12B.0C.∞D.212.下列极限不能用洛必达法则的是（ ）A.201lim tan xx e x→-B.2121lim 1x x x x→---C.11lim 1x x x →-- D.()lim 0xm x e m x→+∞> 13.极限limx xx e e x-→+∞-=（ ） A.0B.1C.2D.+∞14.若0a >，则极限()ln ln lim ex x x x →+∞=（ ）A.+∞B.2C.1D.022.设函数()1sin ,0,1,0,x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则当0x →时，()f x 是（ ） A.无穷小B.无穷大C.既不是无穷大，也不是无穷小D.极限存在但不是023.当0x →时，下列四个无穷小中，比其他三个更高阶的无穷小是（ ） A.2xB.1cos x -1D.tan x x -24.当0x +→）A.1-B.1D.1-二、填空题1.设()lim 2x f x →∞=，()()lim5x f x g x →∞=，则()lim x g x →∞=________2.2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭_________.3.20lim2x x x→=+__________.4.极限12lim 1x x x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.5.()10lim 1sin 2xx x →-=__________. 6.21lim arctan x x x+→=__________. 7.011lim sinsin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 8.()222sin 4lim6x x x x →-=+-__________.9.cos x x →=___________.10.()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++ __________. 11.22limtan2x x nππ→∞= __________. 12.221limxx x e →+∞-= __________.一元函数微分学 第一节 导数的概念一、单项选择题1.设()f x 在点x a =处可导，则()()2limh f a h f a h→--=（ ）A.()f a 'B.()2f a 'C.()2f a '-D.()f a '-2.设()f x 在点0x =处可导，则()()3lim2h f h f h h→--=（ ）A.()302f ' B.()203f 'C.()20f 'D.()0f '3.设()11f '=，则()()211lim1x f x f x →-=-（ ）A.-1B.0C.12D.14.设函数()()()()12f x x x x x n =---，其中n 为正整数，则()1f '=（ ）A.()()111!n n --- B.()()11!nn --C.()11!n n --D.()1!nn -5.若()f x 在x a =处可导，则下列选项不一定正确的是（ ） A.()()lim x af x f a →=B.()()lim x af x f a →''=C.()()limh f a h f a h h→--+D.()()limx af a f x x a→--6.设函数()f x 在0x =处可导，且()00f =，()00f '≠，则下列极限存在且为零的是（ ）A.()01limln 1h f h h →-⎡⎤⎣⎦ B.)201lim1h f h → C.()201lim tan h f h h→D.()()01lim 2h f f h f h h→-⎡⎤⎣⎦ 7.设函数()()21f x x x ϕ=-，其中()x ϕ在点1x =处连续，则()10ϕ=是()f x 在点1x =处可导的（ ）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件8.设()f x 在0x 处有定义，但()0lim x x f x →不存在，则（ ） A.()0f x '必存在B.()0f x '必不存在C.()f x 必连续D.()()00lim x x f x f x →=9.设()y f x =在点1x =处可导，且()1lim 2x f x →=，则()1f =（ ）A.2B.1C.12D.010.下列函数中，在点0x =处可导的是（ ） A.y x =B.y =C.3y x =D.ln y x =11.设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的（ ）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在12.函数()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处（ ） A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续二、填空题1.设函数()()2log 0f x x x =>，则()()0limx f x x f x x∆→-∆-=∆________. 2.设()()()00001lim03x f x k x f x f x x ∆→+∆-'=≠∆，则k =_________.3.当0h →时，()()0032f x h f x h --+是h 的高阶无穷小量，则()0f x '=_______.4.设()2,1cos ,12ax b x f x x x x π⎧+≥⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩且()f x 在1x =处可导，则a =________，b =________. 5.设函数()1,010,02,01x x xx e f x x x x e ⎧<⎪⎪+⎪==⎨⎪⎪>+⎪⎩，则()0f '=________.6.设曲线()y f x =和2y x x =-在点()1,0处有相同的切线，则()f x 在该点的切线斜率为________.7.曲线32116132y x x x =+++在点()0,1处的切线与x 轴的交点坐标为________. 8.设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点()0,1处的法线方程为________.9.曲线2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩在2t =的对应点处的切线方程为________. 10.曲线sin 2t,cos t tx e y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在点()0,1处的法线方程为________.第二节 一元导数的求导法则一、单项选择题1.设()2f x e =()f x '=（ ）A.xe2.设函数()2x f x e -=，则()f x '=（ ） A.22x e--B.22x e-C.22x xe--D.22x xe-3.若函数()sin f x x x =，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A.12B.1C.2πD.2π4.若()211f x x -=-，则()f x '=（ ） A.22x +B.()1x x +C.()1x x -D.21x -5.设函数()f x 满足()22sin cos f x x '=，且()00f =，则()f x =（ ）A.21cos cos 2x x +B.21sin sin 2x x - C.2112x x -+ D.212x x -6.设()211xf e x =+，则()f x '=（ ） A.()222ln 1ln x x x -+ B.()222ln 1ln xx -+ C.()2221xx -+D.()2211x -+7.设()2420y x x x =-+>，则其反函数()x y ϕ=在点2y =处的导数是（ ）A.14B.14-C.12D.12-8.设函数()g x 可微，()()1g x h x e +=，()11h '=，()12g '=，则()1g =（ ） A.ln31- B.ln31--C.ln21--D.ln21-二、填空题 1.设()ln 11x y x+=+，则0x y ='=__________.2.设()24sin y x =，则dydx=___________.3.设3210.1sin 3y x x π=-+，则y '=__________.4.设()2cos 31arctan x xy x x e=-+，则y '=__________. 5.设cos2xy e =，则y '=__________.6.设ln y x =，则y '=__________.7.设()arctan y f x =，其中()f x 为可导函数，则y '=__________. 8.已知()arcsin 12y x =-，则y '=__________. 9.已知2cos 2y ex π-=，则y '=__________.10.已知(ln y x =，则y '=__________. 11.设()12xf x x e=，而()h t 满足条件()03h =，()2sin 4h t t π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则()0t d f h t dt==⎡⎤⎣⎦__________. 12.已知211d f dx x x⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________. 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、单项选择题1.已知方程2290y xy -+=确定了函数()y y x =，则dydx=（ ） A.y x y- B.x x y- C.x y x -D.y y x-2.已知()y f x =由方程()cos ln 1xy y x -+=确定，则()2lim 0n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.2B.1C.-1D.-23.已知1xy x =，则dydx=（ ） A.21ln x x -B.()121ln xxx --C.()111ln xxx --D.()12ln 1xxx --4.已知函数()y y x =由参数方程sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩确定，则2t dydx π==（ ）A.-B.C.5.设()ln 111x t y t =+⎧⎪⎨=⎪+⎩，则22d y dx =（ ） A.1B.11t+ C.11t-+ D.11t-+ 二、填空题1.设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+所确定，则0x dy dx==________.2.设函数()y y x =由方程2cos xye y x +=所确定，则dydx=________. 3.设函数()y y x =由方程1yy xe =+所确定，则y ''=________.4.设()y y x =由()()21ty f t x f e =⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，其中f 可导，且()00f '≠，则0t dy dx ==________. 5.若函数()y y x =由参数方程cos sin x at t y at t =⎧⎨=⎩所确定，则2t dydx π==________. 6.若由参数方程ln cos sec x t y a t=⎧⎨=⎩所确定的函数()y y x =满足x dyy e dx -=+，则常数a =________.7.设函数()y y x =由参数方程()32ln 1x t t y t t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩所确定，则22d y dx =________.三、计算题1.设函数()y y x =由方程()222sin 0x x y e xy ++-=所确定，求dy dx2.设函数()y f x =由方程()f y yxee =所确定，其中f 具有二阶连续导数，且1f '≠，求22d ydx3.已知方程224x xy y ++=所确定的隐函数为()y y x =，求dy dx 与22d ydx4.求幂指函数()ln xy x =的导数5.设()0,01x a x a y x x a a x a a =+++>>≠且，求dy dx6.设()1cos 1x y x =+，求y '7.已知(()214xx y x e+=+y ' 8.设()y y x =由21cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩所确定，求dydx 9.设()y y x =由方程22e 13t x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求1x dydx =10.设()y y x =由()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定，()f t ''存在且()0f t ''≠，求22d y dx第五节 函数的微分一、单项选择题1.若函数()y f x =有()012f x '=，则当0x ∆→时，该函数在点0x x =处的微分dy 是（ ）A.与x ∆等价的无穷小B.与x ∆同阶非等价的无穷小C.比x ∆低阶的无穷小D.比x ∆高阶的无穷小2.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，则0lim x y dyx∆→∆-=∆（ ）A.-1B.0C.1D.∞3.函数()f x 在点0x x =处可微是它在点0x x =处连续的_________条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.无关4.已知y =4x dy ==（ ）A.24eB.24e dxC.22eD.22e dx 5.下列等式中不正确的是（ ） A.()6d x dx =B.()1cos 2sin 22xdx d x = C.()222x x xe dx d e=D.()arccos d x =6.已知()y y x =是由方程0ye xy e --=确定的函数，则dy=（ ） A.yydx e x-+B.yydx e x+ C.yydx e x-- D.yydx e x- 二、填空题1.?e dx =_________()?d e （n 为正整数）2.已知函数()f x 满足()()arcsin 2f x d x =⎡⎤⎣⎦，则()f x =_________.3.设函数()43y x =-，则dy =_________.4.已知arcsin2xy x =+dy =_________. 5.设1xe y x=+，则dy =_________.6.已知()y y x =是由方程tan y x y =+确定的函数，则dy =_________.7.设2arccos 2xy =，则dy =_________.第六节 微分中值定理三、证明题1.设()f x 在[]1,e 上可导，且()10f =，()1f e =，证明：()1f x x'=在()1,e 内至少有一个实根2.设()f x 在[],a b 上二阶可导，且恒有()0f x ''<，证明：若方程()0f x =在(),a b 内有根，则最多有两个根3.设函数()f x 在区间[]0,2上连续，在区间()0,2内可导，且()()020f f ==，()12f =，证明：至少存在一点()0,2ξ∈，使得()f ξξ'=4.设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在区间()0,1内可导，且()1lim01x f x x →=-，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'⋅+⋅=5.若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且()()010f f ==，设()()3F x x f x =，证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使()0F ξ''=6.设()f x 在[],a b 上可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(),a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=7.设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，k 为正整数，证明：存在一点()0,1ξ∈，使得()()()f kff ξξξξ''+=8.设()f x 在[]0,2上连续，在()0,2内可导，且()()014f f +=，()22f =，证明：必存在一点()0,2ξ∈，使()0f ξ'=10.已知()f x 在[]1,3上连续，在()1,3内可导，且()()120f f <，()()230f f <，证明：至少存在一点()1,3ξ∈，使得()()0f fξξ'-=11.设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，()11f =，证明：对任意给定的正数a 和b ，在（0，1）内必存在不相等的1x ，2x ，使()()12a ba b f x f x +=+'' 12.设01a b <<<，证明不等式arctan arctan 2b a b a ab--<13.设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，证明：若()f x 不恒为常数，则至少存在一点(),a b ξ∈，有()0f ξ'>第七节 导数的应用三、计算题8.求函数()ln f x x x =-在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最值9.设函数2ln 5y a x bx x =++在1x =处取极值且12x =为其拐点横坐标，求常数a ，b 的值 10.设1x =±是()32f x x ax bx =++的两个极值点，求函数()f x 的拐点11.试确定曲线()3216f x ax bx cx =+++中的a 、b 、c ，使得()f x 在点2x =-处有水平切线，()1,10-为()f x 的拐点五、证明题1.设()f x 在[)0,+∞上连续，()00f =，()f x ''在()0,+∞内恒大于零，证明：()()f x g x x=在()0,+∞内单调递增2.证明：当0x >时，有不等式()()1ln 1arctan x x x ++>3.证明：当0x >时，11ln 11x x⎛⎫+> ⎪+⎝⎭4.证明：当0x >时，(1ln x x +>5.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>6.证明：方程31arctan 0x x --=在区间()0,1内有唯一实根7.证明：方程3310x x -+=有且仅有三个实根8.证明方程1ln 02x x e -+=在()0,+∞内有且仅有两个实根 9.设函数()()21ln 12f x x x x =+-+，证明：（1）当0x →时，()f x 是比x 高阶的无穷小量； （2）当0x >时，()0f x > 10.设函数()ln ln a x x af x x-=，(),x e ∈+∞（1）证明：()f x 在区间(),e +∞内单调递减； （2）设a b e >>，比较ba 与ab 的大小，并说明理由 11.已知11arctan F x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0x >， （1）求()F x ；（2）证明当0x >时()0F x =恒成立一元函数积分学第一节 不定积分一、单项选择题2.函数sin 2x 在(),-∞+∞内的导函数与一个原函数分别是（ ）A.cos 2,sin 2x xB.12cos 2,cos 22x x C.12cos 2,cos 22x x - D .12cos 2,cos 22x x - 3.已知函数tan 2y a x =的一个原函数为()2ln cos 23x ，则a =（ ）A.23-B.43-C.32D.344.设()f x 的一个原函数为2x ，则()f x '=（ ）A.313xB.2xC.2xD.25.若()f x 的导函数是sin x ，则函数()f x 有一个原函数是（ ） A.1sin x +B.1sin x -C.1cos x +D.1cos x -16.不定积分()2x xe dx --+=⎰（ ）A.1xx e C ---++ B.1xx e C ----+C.212xx e C ----+D.313xx e C ---+ 17.不定积分32x x e dx =⎰（ ）A.3213x x e C +B.323xx e C +C.313x e C + D.33xe C +18.若()()ln 1f x dx x x C =++⎰，则()0limx f x x→=（ ） A.2B.-2C.-1D.119.不定积分=（ ）A.C -B.CC.CD.C -20.不定积分()2f x dx '=⎰（ ）A.()122f x C +B.()2f x C +C.()22f x C +D.()12f x C + 21.设()()21ln 12f x dx x C =++⎰，则()1f x dx x=⎰（ ）A.arctan x C +B.cot arc x C +C.()21ln 12x C x ++D.1C x-+ 二、填空题 4.不定积分()221x dx -=⎰____________.5.()2d df x =⎰____________.6.不定积分223x x dx =⎰____________.7.不定积分21y -=____________.8.若()()f x dx F x C =+⎰，则()ln f x dx x=⎰____________. 9.d____________dx =10.2cos 1sin xdx d x=+ ____________. 11.不定积分()5201ln x dx x+=⎰____________.12.不定积分11sin dx x =+⎰____________.13.不定积分2sec 1tan x dx x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰____________.14.不定积分3x=⎰____________.15.不定积分()2xf ax b dx '+=⎰____________.()0a ≠ 三、计算题1.求不定积分327d 3x x x --⎰2.计算不定积分d x ⎰ 3.计算不定积分2x4.计算不定积分sin cos sin cos x x dx x x -+⎰ 5.计算不定积分4sin cos d 1sin x xx x+⎰ 6.计算不定积分3sin d x x ⎰7.计算不定积分6sec d x x ⎰8.计算不定积分2sec 2sec 1tdt t -⎰9.计算不定积分x ⎰10.求不定积分x e xedx +⎰11.求不定积分2100d (1)x x x -⎰ 12.设()22sin cos 2tan f x x x '=+，求()f x ，其中01x << 第二节 定积分的概念与计算 二、填空题 5.设0()xf x t dt =⎰，则()f x '=____________.6.设()223x t t x F x xe dt +=⎰，则()F x '=____________.7.极限24sin limx x tdt x →=⎰____________.8.已知当0x →时，sin 20xt dt ⎰与a x 是同阶无穷小，则常数a =____________.9.已知()230341xf t dt x =+⎰，则()12f =____________.10.函数()2x t f x e dt -=⎰的极值为____________.11.如果()f x 有一阶连续导数，()5f b =，()3f a =，则()baf x dx '=⎰____________.12.已知函数()1xf x x=+，则定积分211f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰____________. 13.定积分21x dx -=⎰____________.14.设()xf x e -=，则()21ln f x dx x'=⎰____________. 15.设()1,20,1,01,2,12x f x x x x x -≤<⎧⎪=+≤≤⎨⎪<≤⎩，则()22f x dx -=⎰____________.16.定积分21x xe dx =⎰____________.三、计算题1.计算31⎰2.计算)21x dx -⎰3.求(211x dx -⎰4.计算11ln ex dx x +⎰5.计算220sin cos x xdx π⎰6.计算1⎰7.求114⎰8.求21⎰9.求11-⎰10.求111.求112.已知()1,011,01xx xf x x e ⎧>⎪⎪+=⎨⎪≤⎪+⎩，求()11f x dx -⎰第四节 定积分的应用三、应用题1.求曲线xy e -=与直线0y =之间位于第一象限的平面图形的面积2.计算由抛物线21y x =-与27y x =-所围成的平面图形的面积3.求由曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面图形的面积4.曲线()20y ax xa =->与x 轴围成的平面图形被曲线()20y bxb =>分成面积相等的两部分，求a ，b 的值5.求曲线ln y x =在区间（2,6）内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线所围成的平面图形的面积最小6.已知曲线)0y a =>与曲线y =在点()00,x y 处有公共切线，求：（1）常数a 及切点()00,x y（2）两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S7.求由曲线()31y x =-，x 轴和直线2x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积 8.计算由抛物线2y x =和直线2y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积9.求曲线24y x x =-和直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积 10.已知曲线()30y xx =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，求平面图形D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积11.求曲线()243y x =--与x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的立体体积x V 、y V 。

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a nn =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x8、 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00l i m 1l i m00-=--→x x x ，=+→xx x 00lim 1lim 00=+→x xx ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）； （３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x xx ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()2211212112lim lim lim 1x x x b ab ab x b ab a →+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）．11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→xxx sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1s i nlim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x x x x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ()[]1)1(11)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x kkx x kx x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、lim sin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），l i ms i n (a r c c o t )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界 5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x 6、设函数()x f xx sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

高数期末练习题推荐一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1 cosx)/x^2(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x2. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) f(x) = |x| 1，在x = 1处(2) f(x) = (x^2 1)/(x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(1 x^2)，在x = 0处3. 讨论函数f(x) = (x^2 1)/(x 1)的连续性。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = ln(x^2 + 1)(3) y = e^x sinx2. 求下列函数的微分：(1) y = sqrt(1 + x^2)(2) y = arctan(x)(3) y = x^2 e^x3. 求曲线y = x^3 3x在点(2, 2)处的切线方程。

三、积分与不定积分1. 计算下列不定积分：(2) ∫(e^x sinx)dx(3) ∫(1/x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫(从0到π) sinx dx(2) ∫(从1到e) (1/x) dx(3) ∫(从0到1) x e^x dx3. 求曲线y = x^2在x轴上方的面积。

四、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) Σ(从n=1到∞) 1/n(2) Σ(从n=1到∞) (1)^n / n(3) Σ(从n=1到∞) n / (n^2 + 1)2. 求幂级数Σ(从n=0到∞) x^n的收敛区间。

五、多元函数微分法1. 求函数z = x^2 + y^2在点(1, 2)处的偏导数。

2. 求函数z = e^(x^2 + y^2)在点(0, 0)处的全微分。

3. 求函数z = ln(x + y)在点(1, 1)处的梯度。

六、向量与空间解析几何1. 计算向量a = (2, 1, 1)与向量b = (1, 1, 2)的模和夹角。

高数极限题目一 选择题1．已知9)(lim =-+∞→x x ax a x ，则=a ( )。

A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。

2．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e3．极限：∞→x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2．4．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 21； D.2．5. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ） 6.0； B.∞； C.2； D.21．7．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C.161； D.16． 二 填空题8．极限12sin lim 2+∞→x x x x = . 9. lim 0→x x arctanx =_______________.10. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________； 11. =→xx x x 5sin lim0___________； 12. =-∞→n n n )21(lim _________________； 13. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 14. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x xx 其定义域是 ,值域是()()x x x x f 25lg 12-+-+=15. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合16. 无穷小量是 17. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是三. 计算题18.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 19.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0);20.求lim 2　x →(3－x)25--x x ;21.求lim ∞→　x (11-+x x )x ; 22.求lim 0　x →)3(2tan sin 22x x x x + 23.已知9)(lim =-+∞→x x ax a x ，求a 的值； 24.计算极限n n n n 1)321(lim ++∞→ 25.求它的定义域。

‰高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______习题一 函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。