高数函数极限练习题

高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。

7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。

8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。

9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。

10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。

随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。

2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。

3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。

4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。

5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。

6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。

7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。

9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。

10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。

11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。

13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。

二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。

考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。

7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。

8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。

9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。

三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。

11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。

大一高数求极限的例题一、引言极限是大学高等数学中的重要概念，它是分析数学和微积分的基础。

在大一的高数课程中，学生常常会遇到求取极限的例题。

通过解答这些例题，不仅可以帮助学生理解极限的概念和性质，还可以提升他们的计算能力和思维逻辑能力。

本文将给出一些典型的大一高数求取极限的例题，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、例题一：求极限$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\frac{\\sin{2x}}{x}$解析：我们可以利用极限的基本性质来求解该例题。

首先，我们注意到当$x$接近于0时，$\\sin{2x}$也随之接近于0，而分母$x$始终不会取0。

因此，我们可以将该极限转换为另一个形式：$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x}$。

接下来，我们可以继续变形，使用三角恒等式$\\sin{2x} =2\\sin{x}\\cos{x}$，将分子中的$\\sin{2x}$化简为$2\\sin{x}\\cos{x}$。

然后，我们可以进一步将极限变为$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x} = 2\\lim_{x\\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}\\lim_{x \\rightarrow0}\\cos{x}$。

其中，$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\cos{x}$显然等于1。

而$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}$则是一个常数，它的数值为1。

因此，最终的结果为$2 \\times 1 \\times 1 = 2$。

即$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{2x}}{x} = 2$。

三、例题二：求极限$\\lim_{x \\rightarrow +\\infty} \\left(1 +\\frac{a}{x}\\right)^x$解析：为了求解该例题，我们可以利用极限的定义和性质。

高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。

高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。

为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。

具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。

我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。

然后求出极限即可。

具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。

+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。

+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。

超级难的高数极限题高等数学是大学数学的重要组成部分，其中极限是数学分析的基础。

极限是指函数在某一点趋近于某一值的过程，是数学中非常重要的概念。

而高数极限题则是考验学生数学思维和解题能力的重要题型之一。

下面将介绍一些超级难的高数极限题。

1. $lim_{xto 0} frac{sin x}{x}$这道题是高数极限题中最经典的一道题，也是最基础的一道题。

它的解法是利用极限的定义，即当$x$趋近于$0$时，$frac{sinx}{x}$趋近于$1$。

这个结论可以用泰勒公式证明。

2. $lim_{xto +infty} left(1+frac{1}{x}right)^x$这道题需要用到自然对数$e$的定义，即$lim_{xto +infty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e$。

我们可以通过变形将这个式子转化为$lim_{xto 0} left(1+xright)^{frac{1}{x}}=e$，然后利用极限的定义求解。

3. $lim_{xto 0} frac{e^x-1}{sin x}$这道题需要用到泰勒公式的展开式，即$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...$和$sinx=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+...$。

将这两个展开式代入原式中，我们可以得到$lim_{xto 0}frac{1+frac{x}{2!}+...}{x-frac{x^3}{3!}+...}$，然后利用洛必达法则求解。

4. $lim_{nto infty}left(frac{n}{n^2+1^2}+frac{n}{n^2+2^2}+...+frac{n}{n^2+n^2} right)$这道题需要用到积分的思想，即$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx=frac{pi}{4}$。

我们可以将原式转化为$lim_{nto infty} frac{1}{n}sum_{k=1}^{n} frac{1}{1+(frac{k}{n})^2}$，然后利用积分的思想求解。

高数极限经典60题分步骤详解1. 求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+→∞本题求解极限的关键是运用三角函数和差化积公式，将算式进行转化，进而求出极限，过程如下：n n sin 1sin -+＝21sin 21cos2nn n n -+++ ＝)1121sin(21cos2n n nn n n n n ++++⋅-+++ ＝)121sin(21cos2nn n n ++++)(0∞→→n ∴ )sin 1(sin lim n n n -+→∞＝0这是因为，当∞→n 时，0)1(21sin→++n n ，而21cos n n ++是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0。

2. 令Sn =∑=+nk k k1)!1( ，求数列极限Sn n ∞→lim 解：)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ∴∑=+nk k k 1)!1(＝))!1(1!1()!1)!1(1()!41!31()!31!21()!21!11(+-+--++-+-+-n n n n ＝1)(1)!1(1∞→→+-n n 所以， Sn n ∞→lim =[lim →∞n 1)!1(1+-n ]＝13. 求数列极限)4321(lim 132-→∞+++++n n nq q q q ，其中1<q 且0≠q 。

解：令Sn ＝1324321-+++++n nq q q q ，将等式两边同时乘以q ，得到Sn q ⋅＝n n nq q n q q q q +-+++++-1432)1(4321 将以上两式相减，可得（1－q ）·Sn ＝n n nq q q q q -+++++-)1(132 上面的算式两边同时除以1－q ，得到Sn ＝q nq q q q q q nn ---+++++-111132当1<q 且时∞→n ，0→n nq （注：证明附后）， 1321-+++++n q q q q →q-11， ∴ Sn n →∞lim ＝2)1(1q --q nq n n -→∞1lim ＝2)1(1q -即 )4321(lim 132-→∞+++++n n nqq q q ＝2)1(1q -附注：关于0lim =∞→nn nq 的证明 若1<q 且0≠q ，当∞→n 时，0→nq 。