考研高等数学全面复习资料(电子版)

2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品高等数学基础知识篇一1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

4、向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。

另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。

此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

7、无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。

此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。

高等数学（电子版）第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。

1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。

1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。

当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。

这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。

1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。

无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。

1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。

如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。

间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。

第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。

它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。

2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。

这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。

2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。

它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。

高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。

2.4 微分的概念微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。

微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。

2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

考研数学基础复习资料### 考研数学基础复习资料#### 一、高等数学基础1. 函数与极限- 函数的概念与性质- 极限的定义与性质- 无穷小的比较2. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 微分的概念与应用3. 中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 - 泰勒公式- 导数在几何、物理中的应用4. 不定积分- 基本积分公式- 换元积分法- 分部积分法5. 定积分与定积分的应用- 定积分的定义与性质- 定积分的计算方法- 定积分在几何、物理中的应用6. 级数- 级数的概念与性质- 正项级数的判别法- 幂级数与泰勒级数7. 多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题8. 重积分与曲线积分- 二重积分与三重积分- 对坐标的曲线积分- 格林公式与斯托克斯定理#### 二、线性代数基础1. 向量空间- 向量空间的定义与性质- 基、维数与坐标变换2. 线性变换- 线性变换的定义与矩阵表示 - 特征值与特征向量3. 矩阵理论- 矩阵的运算- 矩阵的秩与逆- 矩阵的分解4. 线性方程组- 高斯消元法- 克拉默法则- 线性方程组解的结构5. 二次型- 二次型的定义与标准形- 正定二次型6. 特征值问题与矩阵的对角化- 特征多项式与最小多项式- 矩阵的对角化条件与方法#### 三、概率论与数理统计基础1. 随机事件与概率- 事件的概率定义- 概率的加法公式与乘法公式2. 随机变量及其分布- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见分布：二项分布、泊松分布、正态分布3. 多维随机变量及其分布- 联合分布与边缘分布- 条件概率与独立性4. 随机变量的数字特征- 数学期望、方差、协方差与相关系数5. 大数定律与中心极限定理- 切比雪夫不等式- 几种大数定律- 中心极限定理6. 数理统计基础- 抽样分布- 参数估计：点估计与区间估计- 假设检验#### 四、复习策略与方法- 理解概念：深入理解数学概念和定理，掌握其内涵和外延。

高数知识点总结电子版一、极限与连续1. 函数的极限(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质(3) 无穷小量与无穷大量(4) 夹逼准则2. 连续与间断(1) 连续的定义(2) 连续函数的性质(3) 间断点的分类(4) 间断函数的构造二、导数与微分1. 导数的定义(1) 导数的几何意义(2) 导数的计算方法(3) 导数的性质(4) 高阶导数2. 微分的定义(1) 微分的几何意义(2) 微分的计算方法(3) 微分的性质(4) 隐函数求导三、微分中值定理与泰勒公式1. 罗尔中值定理(1) 罗尔中值定理的条件(2) 罗尔中值定理的应用2. 拉格朗日中值定理(1) 拉格朗日中值定理的条件(2) 拉格朗日中值定理的应用3. 柯西中值定理(1) 柯西中值定理的条件(2) 柯西中值定理的应用4. 泰勒公式(1) 泰勒公式的表述(2) 泰勒公式的应用四、不定积分与定积分1. 不定积分(1) 不定积分的概念(2) 不定积分的计算方法(3) 不定积分的性质(4) 不定积分的换元法2. 定积分(1) 定积分的概念(2) 定积分的计算方法(3) 定积分的性质(4) 定积分的应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念(1) 微分方程的定义(2) 微分方程的类型(3) 微分方程的解的存在唯一性定理2. 一阶常微分方程(1) 可分离变量的微分方程(2) 齐次微分方程(3) 一阶线性微分方程3. 高阶常微分方程(1) 高阶线性微分方程(2) 常系数齐次线性微分方程六、多元函数微分学1. 多元函数的极限(1) 多元函数极限的定义(2) 多元函数极限的性质(3) 重要极限的计算2. 偏导数(1) 偏导数的定义(2) 偏导数的计算方法(3) 高阶偏导数3. 方向导数(1) 方向导数的定义(2) 方向导数的计算方法(3) 梯度4. 多元函数的微分(1) 多元函数的全微分(2) 多元函数的微分近似七、多元函数积分学1. 二重积分(1) 二重积分的定义(2) 二重积分的计算方法(3) 二重积分的性质(4) 二重积分的应用2. 三重积分(1) 三重积分的定义(2) 三重积分的计算方法(3) 三重积分的性质(4) 三重积分的应用3. 曲线积分与曲面积分(1) 曲线积分的定义(2) 曲线积分的计算方法(3) 曲面积分的定义(4) 曲面积分的计算方法八、向量分析1. 向量及其运算(1) 向量的基本概念(2) 向量的线性运算(3) 向量的数量积与叉积2. 曲线与曲面的方程(1) 曲线的参数方程(2) 曲线的一般方程(3) 曲面的参数方程(4) 曲面的一般方程3. 向量场与散度(1) 向量场的定义与性质(2) 散度的概念与计算(3) 散度的物理意义4. 向量场与旋度(1) 旋度的概念与计算(2) 旋度的物理意义(3) 欧拉公式以上就是高等数学的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。

第三章：中值定理与导数的应用§3.1 中值定理本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo 定理：Rollo 定理：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0.证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况： （1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。

（2）M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a)同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。

下面来证明：f '(ξ)=0首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知：f '(ξ)=ξξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim)()(lim…….(*)因为M 为最大值，⇒对x ∀有 f(x) ≤M ⇒f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0当x<ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。

又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即)()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有0)()(lim)()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x 和0)()(lim)()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x 0)(='⇒ξf 。

高等数学知识点总结pdf
高等数学知识点总结
一、函数与极限
1. 函数的定义、连续性与间断点
2. 导数与极值
3. 不定积分与定积分
4. 泰勒展开式与幂级数展开
5. 重要的极限定理：夹逼定理、洛必达法则等
二、微分方程
1. 一阶常微分方程与分离变量法
2. 一阶线性微分方程
3. 高阶线性常系数齐次微分方程
4. 高阶线性常系数非齐次微分方程
5. 欧拉方程与特征方程法
三、多元函数与偏导数
1. 多元函数的定义与性质
2. 偏导数与全微分
3. 隐函数与参数方程
4. 多元函数的极值与条件极值
四、重积分与曲线积分
1. 重积分的概念与性质
2. 极坐标系与二重积分
3. 三重积分与球坐标系
4. 曲线积分的概念与性质
5. 向量场的曲线积分和曲面积分
五、无穷级数与傅里叶级数
1. 数列极限与数列的收敛性
2. 数项级数的概念与性质
3. 正项级数的审敛法与一致收敛性
4. 幂级数与傅里叶级数的展开
六、空间解析几何
1. 点、直线与平面的方程
2. 曲线与曲面的方程
3. 空间中的向量运算
4. 空间曲线的切线与法平面
5. 空间曲面的切平面与法线
七、常微分方程
1. 一阶常微分方程的概念与解法
2. 高阶常微分方程的特征方程法
3. 常系数线性齐次微分方程的解法
4. 变系数线性齐次微分方程的解法
这些是高等数学中的一些重要知识点总结，掌握了这些知识，对于解题和理解高等数学的相关概念非常有帮助。

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 ········································································错误!未定义书签。

1、集合的概念····································································错误!未定义书签。

du u dx u dy u dz x y z
全微分的近似计算：z dz f x (x, y)x f y (x, y)y 多元复合函数的求导法：
z f [u(t),v(t)]
dz z u z v dt u t v t
z f [u(x, y),v(x, y)]
z z u z v x u x v x
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
sin
x
2u 1u
2
， cos
x
1 1
u u
2 2
， u
tg
x ， dx 2
2du 1 u2
1 / 13
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 : shx ex ex 2
当u u(x, y)，v v(x, y)时，
du u dx u dy x y
dv v dx v dy x y
隐函数的求导公式：
隐函数F (x,
y)
0， dy dx
Fx Fy
， d 2 y dx 2
x
(
Fx Fy
)＋
y
(
Fx Fy
)
dy dx
隐函数F (x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
x
x
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
sin cos tg ctg
-sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα

考研数学2复习资料### 考研数学2复习资料#### 第一部分：高等数学基础1.1 函数、极限与连续- 函数的概念与性质- 极限的计算与性质- 函数的连续性1.2 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 微分中值定理1.3 积分学- 不定积分与定积分- 积分计算技巧- 定积分的应用1.4 微分方程- 一阶微分方程- 高阶微分方程- 微分方程的数值解法1.5 无穷级数- 级数的收敛性- 幂级数与泰勒级数#### 第二部分：线性代数2.1 向量空间- 向量运算- 基与维度- 向量空间的子空间2.2 矩阵理论- 矩阵的运算- 行列式- 矩阵的逆2.3 线性变换- 线性变换的定义与性质- 特征值与特征向量- 线性变换的对角化2.4 内积空间- 内积的定义与性质- 正交性与正交基2.5 二次型- 二次型的标准型- 正定二次型#### 第三部分：概率论与数理统计3.1 随机事件与概率- 事件的概率- 条件概率- 独立性3.2 随机变量及其分布- 离散型随机变量- 连续型随机变量- 多维随机变量3.3 数理统计基础- 样本分布- 参数估计- 假设检验3.4 大数定律与中心极限定理- 大数定律- 中心极限定理的应用#### 第四部分：常微分方程4.1 常微分方程的基本概念- 微分方程的解- 微分方程的解法4.2 线性微分方程- 齐次线性微分方程- 非齐次线性微分方程4.3 非线性微分方程- 可分离变量的微分方程- 可降阶的微分方程4.4 微分方程的应用- 微分方程在物理、工程中的应用#### 第五部分：复变函数5.1 复数与复变函数- 复数的运算- 复变函数的极限与连续性5.2 解析函数- 解析函数的定义- 柯西-黎曼方程5.3 复变函数的积分- 复积分的定义- 柯西积分定理5.4 复级数与泰勒级数- 复级数的收敛性- 复变函数的泰勒级数展开5.5 留数定理及其应用- 留数定理- 留数计算与应用#### 第六部分：复习策略与技巧6.1 复习计划制定- 制定合理的复习计划- 定期检查复习进度6.2 解题技巧- 快速识别问题类型- 有效应用解题公式6.3 模拟考试- 定期进行模拟考试- 分析模拟考试中的错误6.4 心理调适- 保持良好的心态- 合理安排休息时间以上为考研数学2复习资料的概要，考生应根据个人基础和复习进度，适当调整复习内容和策略。

高数知识点总结电子版一、函数、极限与连续函数的基本概念：包括函数的定义、性质、表示方法以及常见函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。

极限的定义与性质：涉及函数极限的概念、性质，无穷小量与无穷大量的关系，以及夹逼准则等。

函数的连续性：包括连续的定义、连续函数的性质，以及间断点的分类等。

二、导数与微分导数的概念与性质：涉及导数的定义、几何意义、计算方法以及高阶导数等。

微分的定义与运算：包括微分的几何意义、计算方法以及性质等。

三、微分中值定理与泰勒公式微分中值定理：涉及罗尔定理、拉格朗日中值定理等。

泰勒公式：包括泰勒公式的定义、应用以及误差分析等。

四、不定积分与定积分不定积分的概念与性质：涉及原函数的概念、不定积分的计算方法以及性质等。

定积分的概念与计算：包括定积分的定义、性质、计算方法以及定积分的应用（如几何意义、物理应用等）。

五、空间解析几何与向量代数空间解析几何的基本概念：涉及空间直角坐标系、向量的概念与运算等。

曲面与曲线的方程：包括常见曲面（如球面、柱面、锥面等）和曲线的方程以及性质。

六、多元函数的微分学多元函数的基本概念：包括多元函数的定义、性质以及偏导数等。

多元函数的极值与最值：涉及多元函数的极值定理、条件极值以及最值的求法等。

七、无穷级数常数项级数的概念与性质：包括级数的定义、收敛与发散的概念以及常见级数（如等比级数、调和级数等）的性质。

函数项级数的概念与运算：涉及函数项级数的定义、收敛与一致收敛的概念以及运算等。

八、微分方程微分方程的基本概念：包括微分方程的定义、分类以及解的概念等。

一阶与二阶微分方程的解法：涉及常见的一阶与二阶微分方程的解法以及应用。

请注意，以上仅为高数知识点总结的一部分，完整的高数知识点还包括更多细节和深入的内容。

在实际学习过程中，建议结合教材和参考书进行系统学习和巩固。

同时，电子版的形式可以根据个人需求进行编辑和调整，以便更好地适应自己的学习风格和进度。

《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 (3)1、集合的概念 (3)2、常量与变量 (4)2、函数 (5)3、函数的简单性态 (5)4、反函数 (6)5、复合函数 (7)6、初等函数 (7)7、双曲函数及反双曲函数 (8)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (11)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

第一章 函数·极限·连续一. 填空题1. 已知 f ( x)sin x, f [ ( x)] 1 x 2 , 则 (x)__________, 定义域为 ___________.1 xax2．设 limate tdt , 则 a = ________.xx3. lim12n222=________.nnn 1 nn 2nn n1 | x | 1 4. 已知函数 f (x)| x | 1 0, 则 f[f(x)] _______.5.lim ( n3 nnn ) =_______.n6. 设当 x0 时, f (x)ex1ax为 x 的 3 阶无穷小 , 则 a _____, b ______ .1 bx7.lim cot x1 1=______.sin x xx 08. 已知 limn 1990A (0), 则 A = ______, k = _______.n k(n 1) kn二. 选择题1. 设 f(x)和 (x)在 (－ , + )内有定义 , f(x)为连续函数 , 且 f(x) 0, (x)有间断点 , 则(a) [ f(x)]必有间断点(b) [(x)]2必有间断点(c) f [(x)] 必有间断点 (d)( x)必有间断点f ( x)2. 设函数 f ( x) x tan xe sin x , 则 f(x) 是(a) 偶函数(b) 无界函数 (c) 周期函数(d) 单调函数3. 函数 f ( x)| x | sin( x 2) 在下列哪个区间内有界x( x 1)( x 2)2(a) ( － 1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)1时, 函数x 21 4. 当 x1e x 1 的极限x 15. 极限lim352n12 的值是122222n2( n1)n23(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在( x1)95 ( ax1)56. 设lim2508 ,则a的值为x( x1)(a) 1(b) 2(c) 58(d) 均不对7.设lim ( x 1)( x 2)( x3)( x 4)( x 5)x(3x2), 则,的数值为(a)= 1,1(b)= 5,1(c)1(d) 均不对=== 5, =33358. 设f ( x) 2x3x 2 ,则当x0 时(a) f(x) 是 x 的等价无穷小(b) f(x) 是 x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x) 比 x 较低价无穷小(d) f(x) 比 x 较高价无穷小9.设lim (1 x)(12x)(13x)a 6 ,则a的值为x 0x(a)－1(b) 1(c) 2(d) 310. 设lim a tan x b(1 cos x)22，其中 a2c20 ,则必有x 0cln( 1 2x) d(1 e x)(a) b = 4d(b) b = － 4d(c) a = 4c(d) a =－4c三. 计算题1.求下列极限1(1)lim (x e x ) xx(2)lim (sin2cos1) x x x x1tan x1 lim x3(3)x 01sin x2.求下列极限(1)lim ln(1 3x1)(2) lim1 cot2 x x 0x 23. 求下列极限 (1) limn(n n 1)nln n1 e nx (2)lim nx n 1 eannn b(3) lim, 其中 a > 0, b > 0n22(1 cosx)x 0x 2 4.f (x) 1x1 x2 dt x 0x costf (x) 在x0 的 性与可 性 .5. 求下列函数的 断点并判 型1(1) f ( x)2 x 112 x 1x(2 x)x2 cos x(2) f (x)1sinx 021xx sin 1x 06. 函数 f ( x)xxe x在 x = 0 的 性 .7. f(x) 在 [a, b] 上 , 且 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, ⋯ , n) 任意正数 , 在 (a, b) 内至少存在一个, 使f ( )c 1 f (x 1 ) c 2 f ( x 2 )c ncn .c 1 c 28. f(x) 在 [a, b]上 , 且 f(a) < a, f(b) > b, 在 (a, b)内至少存在一个 , 使 f( ) = .9. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续 , 且 0 f(x) 1, 试证在 [0, 1] 内至少存在一个, 使 f( ) = .10. 设 f(x), g(x) 在[a, b] 上连续 , 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),试证在(a, b)内至少存在一个, 使f( ) = g( ).11.证明方程x5－3x－2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根 .12. 设 f(x) 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且lim sin 3x f ( x)0 ,求f (0), f ' (0), f ' '(0)及limf (x)3 x3x2x2.x 0x 0第二章导数与微分一. 填空题1 . 设lim f ( x0k x) f ( x0 )1f '( x0 ) ,则 k = ________.x0x32.设函数 y = y(x) 由方程e xy cos(xy)0确定 ,则 dy______.dx3.已知 f(－ x) =－f(x), 且f ' (x0 )k ,则 f ' ( x0 )______.4.设 f(x) 可导 ,f ( x0m x) f (x0n x)_______.则 limxx05. f ( x)1x ,则 f ( n ) ( x) = _______.1x6.已知df11, 则f '1_______. dx x2x27.设 f 为可导函数 ,y sin{ f [sindy_______.f ( x)]} ,则dx8.设 y = f(x) 由方程e2 x y cos( xy )e1所确定 , 则曲线 y = f(x) 在点 (0, 1)处的法线方程为 _______.二. 选择题1.已知函数 f(x) 具有任意阶导数 , 且f ' (x)[ f (x)] 2,则当 n 为大于 2 的正整数时 , f(x) 的 n 阶导数是(a) n![ f ( x)]n1(b)n[ f ( x)] n 1(c)[ f (x)] 2n(d)n![ f ( x)] 2n2.设函数对任意x 均满足 f(1 + x) = af(x),且 f ' (0)b,其中 a, b 为非零常数 , 则(a) f(x) 在 x = 1处不可导(b) f(x) 在 x = 1处可导 ,且 f ' (1) a(c) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1) b(d) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1)ab3.设 f ( x)3x3x 2| x |,则使 f ( n)(0) 存在的最高阶导数n 为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 34.设函数 y = f(x) 在点 x 0处可导 , 当自变量 x 由 x 0增加到 x0 +y dyx 时 , 记 y 为 f(x) 的增量 , dy 为 f(x) 的微分 , lim等于x 0xx2 sin 1x05. 设f ( x)x x0ax b在 x = 0 处可导 , 则(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b 为任意常数(c) a = 0, b = 0(d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.y ln[cos( 103x 2 )]，求 y'2. 已知 f(u) 可导 ,y f [ln( x a x2 )]，求 y'3.已知y e t 2dt x2costdt sin y2,求 y' .004.设 y 为 x 的函数是由方程ln x 2y2arctan y确定的 , 求y' . x四. 已知当 x0 时, f( x) 有定义且二阶可导 ,问 a, b, c 为何值时F ( x)f ( x)x0二阶可导 . ax2bx c x0五. 已知f ( x)x 2，求 f(n ) ( 0) .1x2六. 设y xln x ,求f( n) (1) .第三章一元函数积分学 (不定积分 )一. 求下列不定积分 : 1.1 2 ln 1 xdx 1 x 1 x1 1 x 1 x 1 x 1 1 22.x 1 x 2arctandx arctand arctanx 2arctanc1 x1 x1 1 x3.cos x sin x1 1 sin x dx(1 cos x)21 cos x4.dx x( x 8 1)1 111 sin x(1 sin x cosx)(sin x cosx)5．dx 222dx1 sin x cosx1 sin x cosx二. 求下列不定积分 :dx1.( x 1)2 x 2 2 x 2dx 2.x 4 1 x 23.dx1) 1 x 2(2x 2x 2dx 4.(a > 0)a 2 x 25.(1 x 2 ) 3 dx6.x 21dxx 4x 17.dxx2x21三. 求下列不定积分:e3x e xdx 1.e2xe4 x1dx2.2x (1 4 x)四. 求下列不定积分:x51.( x2)100dxdx2.x 1 x4五. 求下列不定积分:1.x cos2 xdx2.sec3 xdx3.(ln x)3dxx 24.cos(ln x)dxx cos4x1x cos4x1x1x sin 2x1sin 2xdx5.2dxx2dx xd sin 2sin 3 x8sin3 3 x828282cos221x sin 2 x1sin 2 x d x1x sin2x1cotxc824228242六. 求下列不定积分 :x ln( x1x 2 )2.x arctan x dx1x23.arctan e x dxe2 x七.x ln(1x 2 ) 3x0设 f ( x)22x 3)e x x, 求 f (x)dx .( x0八.设 f ' (e x ) a sin x b cos x, (a, b为不同时为零的常数), 求 f(x).九. 求下列不定积分:1.3x23x (2x3)dx32.(3x 22x5) 2(3x1) dx3.ln( x 1 x2 )dx1x2xdx4.(1 x2x21) ln(1x 21)十. 求下列不定积分:x arctan x1.(1x2)dx2.arcsinxdx 1 xarcsinx1x2 3.2dxx1x 2arctan x4.2(1x 2dxx)十一 . 求下列不定积分: 1.x34x 2 dxx2a22.x3.e x (1e x ) dx1e2 x4.xxdx (a > 0) 2a x十二 . 求下列不定积分:dx1.sin x 1cos x2.2sin x2dxcos x3.sin x cos x dxsin x cos x十三 . 求下列不定积分:x1.dx1 x x2.e x 1dxe x 13.x 1arctan x 1 dxx第三章一元函数积分学 (定积分 )b0 ,则f(x) 0.一．若 f(x) 在[a， b]上连续 , 证明 : 对于任意选定的连续函数(x), 均有f (x) ( x)dxa二. 设为任意实数 , 证明 :I21dx=21.0 1(tan x)0 1dx (cot x)4三．已知 f(x) 在 [0， 1]上连续 , 对任意 x, y 都有 |f(x) － f(y)| < M|x－y|, 证明f ( x)dx1n f k M1n k n2n01四.设 In4 tan n xdx , n为大于1的正整数,证明:1I n1.02(n1)2(n1)五. 设 f(x) 在[0, 1] 连续 , 且单调减少 , f(x) > 0,证明:对于满足0 << < 1 的任何, , 有f ( x)dx f ( x)dx六. 设 f(x) 在[a, b] 上二阶可导 , 且 f ' ' ( x) < 0,证明 :b f (x)dx (b a) fa ba2七. 设 f(x) 在[0, 1] 上连续 , 且单调不增 , 证明 : 任给 (0, 1), 有1 f ( x)dxf ( x)dx八. 设 f(x) 在[a, b] 上连续 ,f ' ( x) 在 [a, b]内存在而且可积 , f(a) = f(b) = 0, 试证 :| f ( x) |1b2 | f ' (x) | dx , (a < x < b)a九. 设 f(x) 在[0, 1] 上具有二阶连续导数f ' ' ( x) , 且 f (0) f (1) 0， f ( x) 0 , 试证 :1f ' ' ( x)dx 4f ( x)十. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数 , 且 f(1) －f(0) = 1,试证 :1 2dx 1[ f ' (x)] 022十一 . 设函数 f(x) 在 [0, 2] 上连续 , 且f (x)dx = 0,xf ( x)dx = a > 0. 证明 :[0, 2], 使 |f( )| a.0 0第三章一元函数积分学(广义积分 )一. 计算下列广义积分:x2edx(1)10 (e x1)31(2)0( x21)( x24)dx(3)dx3 (1 x2 ) 21(4)sin(ln x)dx11dx (5)2 x x21 (6)arctan x3dx(1 x2 ) 2第四章 微分中值定理一. 设函数 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上可微 , 对于 [0, 1] 上每一个 x, 函数 f(x) 的值都在开区间(0, 1)内 , 且 f ' ( x) 1, 证明 : 在 (0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.1f ( x) dxf (0) . 证明 : 在(0, 1)内存在一个, 使 f ' ( ) 0 .二. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且 3 2 3三．设函数 f(x) 在[1, 2] 上有二阶导数 , 且 f(1) = f(2) = 0,又 F(x) =(x － 1)2f(x), 证明 : 在(1, 2)内至少存在一个 , 使 F ' ' ( ) 0 .四. 设 f(x)在 [0, x](x > 0) 上连续 , 在 (0, x)内可导 , 且 f(0) = 0, 试证 : 在(0, x) 内存在一个, 使f ( x) (1 ) ln(1 x) f ' ( ) .五. 设 f(x)在 [a, b]上可导 , 且 ab > 0, 试证 : 存在一个 (a, b), 使1b n a n [nf ( ) f '()] n 1f (b)b a f (a)六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在 [a, b] 上连续 , 在(a, b)内可导 , 证明 :存在一个(a, b), 使f (a) g(a) h(a)f (b)g( b) h(b) 0f ' ( )g' ( )h' ( )七. 设 f(x)在 [x1, x2] 上二阶可导 , 且 0< x1 < x2 , 证明 : 在( x1 , x2)内至少存在一个, 使1e x1e x2 e x1e x2 f ( x1 )f ( ) f ' ( )f ( x2 )八. 若 x1x2 > 0, 证明 : 存在一个(x1, x2)或( x2, x1 ), 使x1e x2x2 e x1(1)e (x1x2 )九 .设f(x), g( x) 在 [a, b] 上连续 ,在(a,b) 内可导 ,且f( a) = f(b) = 0, g(x)0,试证:至少存在一个(a, b),使f ' ( ) g( ) g' ( ) f ( )十. 设 f(x) 在 [a, b] 上连续(0 a b) ,在(a, b)内可导,证明在(a, b)存在,2f ' ()使 f ' ( )ab.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设 f(x) 在 (－, + )内可导 , 且对任意x1, x2 , x1 > x2时, 都有 f(x 1) > f(x 2), 则(a) 对任意 x, f '( x) 0(b) 对任意 x, f '( x)0(c) 函数 f( － x)单调增加(d) 函数－ f(－ x)单调增加1x 2x 1的渐近线有2. 曲线y e x2arctan( x 1)( x2)(a) 1 条(b) 2 条(c) 3 条(d) 4 条3. 设 f(x) 在 [－ , + ] 上连续 , 当 a 为何值时 , F (a)[ f (x) a cosnx ]2 dx 的值为极小值.(a) f ( x) cos nxdx(b)(c)2(d)f ( x) cosnxdx4. 函数 y = f(x)具有下列特征 :1f ( x) cosnxdx 1f ( x) cosnxdx 2f(0) = 1; f ' (0)0 ,当x0 时, f '( x)0x00 ; f '' ( x)x, 则其图形00(a)(b)(c)(d)11115. 设三次函数y f ( x) ax3bx 2cx d ,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于 y 轴对称(b) 关于原点对称(c) 关于直线 y = x 轴对称(d) 以上均错6.曲线 y x( x 1)(2 x) 与x轴所围图形面积可表示为21)( 2x)dx11)( 2x) dx21)( 2x)dx(a)x( x(b)x( x x( x00111)( 2x)dx21)(2x)dx21)(2x)dx(c)x(x x(x(d)x( x010二. 填空题x11. 函数F ( x)2dt (x > 0)的单调减少区间______.1t2. 曲线y x3x 与其在x13. 二椭圆x2y 21,x2y 21( a > b > 0)之间的图形的面积______. a2b2b2 a 24. x2+ y2= a2绕 x =－b(b > a > 0) 旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线= 4(1+cos ) 和直线= 0, =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.2三. 证明题xtf (t )dt0 时函数( x)01. 设 f(x) 为连续正值函数 , 证明当 x单调增加 .xf (t )dt2. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内f ' ' ( x)f ( x) f (a)0 ,证明 ( x)在 (a, b)内单增 .x a3. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内可导且f ' ( x)0 ,求证:F ( x)1xf (t )dt 在(a, b)内也 F ' ( x) 0 . x a a4. 设 f(x)在[ a, b] 上连续 , 且 f(x) > 0,又 F ( x)x x 1f ( t)dt dt .证明:a b f ( t)i. F ' ( x) 2, ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.5. 明方程tan x 1 x 在(0, 1)内有唯一根.6.a1, a2, ⋯ , a n n 个数 , 并足a1a2(1) n 1a n0 .明:方程32n1a1 cos x a2 cos3x a n cos(2n1) x0在 (0,2) 内至少有一根 .四. 算1. 在直 x－y + 1=0 与抛物y x24x 5 的交点上引抛物的法, 求由两法及接两交点的弦所成的三角形的面.22f (x)] 2 dx 最小的直方程.2. 求通点 (1, 1)的直 y = f(x)中 , 使得[ x3. 求函数f ( x)x2(2 t)e t dt 的最大与最小. 04. 已知 (x－ b)2 + y2 = a2, 其中 b > a > 0, 求此 y 旋所构成的旋体体和表面.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面 4 条性质( I ) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续;( II ) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续; ( I II) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微;( IV ) f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在;若用 P Q 表示可由性质P推出性质Q,则有( A ) ( C )(II )(III )( I )(III )(IV )( I )( B )( D )( III )(II )( I )(III )(I )( IV )xy2,( x, y)(0,0)二. 二元函数f ( x, y)x2y0) 处在点 (0, 0,(x, y)(0,0)( A ) 连续 , 偏导数存在 ;( B ) 连续 , 偏导数不存在 ; ( C ) 不连续 , 偏导数存在 ;( D ) 不连续 , 偏导数不存在 .三. 设 f, g 为连续可微函数 , u f ( x, xy)， v g( x xy) ,求uv . x x四. 设x2z2y z, 其中为可微函数 , 求z .y y五. 设u f ( x, y, z)，又 y(x, t )， t( x, z)，求u. x六. 求下列方程所确定函数的全微分:1. f ( x y, y z, z x)0，求 dz ;2.z f ( xz， z y)，求 dz .七. 设z f ( e x sin y, x2y 2 ) ,其中f具有二阶连续偏导数, 求 2z.x y八.已知 z f (2 x, x )，求 zxx ' '， z yy ' ' . y九. 已知z f (xln,)' ' ,zxy' ' ,zyy' '.y x y ，求 z xx十. 设y y( x)， zx y z z20确定 , 求dy dz z(x)，由y2z z30， .x dx dx十一 . 设z xf (y)(y)，求 x2 2 z2xy 2 z y 2 2 zx x x 2x y y22十二 . 设z f [ x2y, ( xy)] ,其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,(u) 二阶可导,求z. x y十三 . 设F ( x, y(x), z(x))P( x, y(x)) Q ( x, y( x)) z( x) ,其中出现的函数都是连续可微的F d F , 试计算.第七章二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设I1D 结论正确的是x y x y 3xy{( x, y) | (x 1)2( y1)22},则下列dxdy, I2dxdy, I 3dxdy 其中D4D4D4( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C )I 1I 3I 2( D )I 3I 2I 12.设 I ie ( x2y2) dxdy, i1, 2，3, 其中 :D1{( x, y) | x 2y2r 2 } , D2{( x, y) | x2y 22r 2 } ,D iD 3{( x, y) | | x |r , | y |r } 则下列结论正确的是( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 13.设I1cos x 2y2,I 2cos(x 2y2 ), I 3cos(x 2y 2 ) 2其中 D{( x, y) | x2y 21} ,则下列D D D结论正确的是( A ) I1I 2I 3( B ) I2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 1二. 将二重积分I f ( x, y)d 化为累次积分(两种形式),其中D给定如下:D1. D: 由y28x 与 x28 y 所围之区域.2. D: 由 x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0 及 x －2y + 7 = 0 所围之区域 .3. D: 由x2y 2 1 , y x 及 x > 0 所围之区域 .4. D: 由 |x| + |y| 1 所围之区域 .三.改变下列积分次序 :a a2x21.dx a2x 2 f ( x, y)dy2a1x 233xf (x, y) dy2.dx0f (x, y)dy dx201002x 2f ( x, y)dy12x23.dxx dxxf ( x, y) dy10四. 将二重积分I f ( x, y)d 化为极坐标形式的累次积分, 其中 :D1.D: a2x2 +y 2b2 , y0, (b > a > 0)2.D: x 2+y2y, x03.D: 0x +y1, 0 x1五. 求解下列二重积分:2x 1.dx1x sinx42dy dx2y2xxsin dy1y 2 x2. dx e 2 dy003.y dxdy , D:由y = x4－x3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形Dx 64.xydxdy , D: y x及1 x2+ y22 x2y2D六. 计算下列二重积分 :x222y 21.yx 1 .1dxdy , D:22 Da b a b2.ln( x2y 2 )dxdy , D:2x 2y 21 , 并求上述二重积分当0 时的极限 .Dax f ' ( y)3.dxdy(a x)( x y)1 x 2y 24.2 2 dxdy , D: x 2 + y 2 1, x 0, y 0. D1 x y2七. 求证 :f ( xy)dxdy ln 2 f ( u) du , 其中 D 是由 xy = 1, xy = 2, y = x 及 y = 4x(x > 0, y > 0) 所围成之区域 .1Df ( x y)dxdy2 2f (u)du八 . 求证 :2 u x 2y 2121x2y 21t 2e2 dxdy a九 . 设 f(t)是半径为 t 的圆周长 , 试证 : f (t) e 2 dt2x 2 y2 a220m y n dxdy 0十 . 设 m, n 均为正整数 , 其中至少有一个是奇数, 证明xx 2y2 a2十一.设平面区域 D {( x, y) | x 3y 1, 1 x 1}, f (x) 是定义在 [ a, a] (a1) 上的任意连续函数试求: I 2 y[( x 1) f ( x) (x1) f ( x)] dxdyDLy x 3第八章无穷级数一. 填空题x 1n a n1(1) 设有级数a n, 若lim2a n 1, 则该级数的收敛半径为 ______.n 1n3(2) 幂级数n n3)n x2n 1的收敛半径为 ______.n 1 2((3) 幂级数x n的收敛区间为 ______. n 1n 1(4) 幂级数x n 1的收敛区间为 ______. n 1 n2n(5)幂级数(n1)x n的和函数为______.n1二. 单项选择题(1)设 a n0(n1,2,)，且a n收敛,常数(0,) ,则级数( 1)n (n tan ) a2 nn 12n 1n(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D) 收敛性与有关(2)设 u n( 1)n ln(11) ,则n(A)u n与u n2都收敛. (B)u n与u n2都发散. (C)u n收敛,而u n2发散. (D)u n发散,u n2收敛.n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1(3)下列各选项正确的是(A) 若u n2与v n2都收敛 , 则(u n v n ) 2收敛n 1n 1n 1(B) 若| u n v n | 收敛,则u n2与v n2都收敛n 1n 1n 1u n 1(C) 若正项级数发散 ,则u nn 1n(D) 若级数u n收敛,且 u n v n ( n 1,2, ) ,则级数v n收敛.sin n1(4) 设为常数 , 则级数nn 1 n2(A)绝对收敛 . (B) 发散 . (C) 条件收敛 . (D) 敛散性与取值有关 .三. 判断下列级数的敛散性:11(1)sinn 1 ln( n 2)n(2)1( a 0) n 1 ( a n 1)( a n)( a n 1)3n n!(3)n 1 n nn2(4)n 1 ( n 1 / n) n( n! )2(5)n1 ( 2n)!(6)(1ln n)nn 1n四. 判断下列级数的敛散性n(1)( 1)n 2n1n 13n1(2)( 1)n n1n 1(n 1) n 1 1(3)sin( n)n 1n(4)( 1)n 1 tan1n 1n n五. 求下列级数的收敛域:( x2x1)n (1)n 1n( n1) (2)( 1)n x2 n 1n 12n 1 (3)2n 1 x2 n 1n 12n( x1)2 n(4)n 1n 9n六. 求下列级数的和:(1)( 1)n 1 x2 n 12n 1n 1(2)n(n 1)xn 1( x1)n (3)n 1n2nn七. 把下列级数展成x 的幂级数 :(1) f ( x)1ln1x1arctan x 21x2x ln(1x)(2) f ( x)x dx第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题1. 微分方程y' y tan x cos x 的通解为_________.2.微分方程 ydx( x24x)dy0的通解为 ________.3.微分方程 y' 'y 2 x 的通解为________.4.微分方程 y' ' 2 y' 2 y e x的通解为________.5.已知曲线 y f ( x) 过点(0,1),且其上任一点 (x, y) 处的切线斜率为x ln(1x2 ) ,则 f ( x) =_______.2二. 单项选择题2 x 1. 若函数 f (x) 满足关系式 f ( x)tf ( )dt ln 2 ,则 f (x) 等于(A)e x ln 2(B)e2 x ln 2(C)e x ln 2(D)e2 x ln 22.微分方程 y' 'y e x1的一个特解应具有形式(式中 a、 b 为常数 )(A)ae x b(B)axe x b (C) ae x bx(D) axe x bx三. 解下列微分方程:dy3( x 1) 2 (1 y 2 )1. dxy| x 012. (1y2 )dx x(1 x) ydy0dy13.1dx x y四. 解下列微分方程:yy1. y' e xx2.xdy ydx x2y 2 dxy y3. ( x y cos )dx x cos dy0x x五. 解下列微分方程:1.y' y cos x e sin x1x2.x2 y' y x2 e x3.xy' ln x y ax(ln x1)4.y' sin x cos x y sin3 x0六. 解下列微分方程:1.y' y tan x sec x， y(0)02.y' y cos x sin x cos x， y(0)13.y' x sin 2 y xe x2 cos2 y， y( 0)4七. 解下列方程 :1.y' ' 2 2 y' 2 y02.y' ' 2 y' 3y03.y' ' 2 y' 3y0八. 解下列方程 :x 23 )e2x 1. y' ' 4 y' 4y (1 x2.y' ' 3 y' 2y cos 2x3.y' ' 2 y' y5xe x4. 2 y' ' 2 y' 3 y x22x 15.y' ' y' x21第十章函数方程与不等式证明11aa n 1a n一. 证明不等式ln a( n 1) 21 1n 1 a n. (a > 1, n 1)n 2二. 若 a0, b 0, 0 < p < 1, 证明( ab) p a p b p三. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上有连续导数 , 满足 0f ' ( x) 1且 f (0)0. 求证1 213( x)dxf ( x)dxf四. 求证| a |p | b |p 21 p (| a | | b |) p , (0 < p < 1).五. 求证 : 若 x + y + z = 6,则 x2y 2 z 2 12 , (x 0, y 0, z0).六.证明 : 1 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上2 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上f ' ' ( x) 0，则 (b a) f ( a) f ( x) dx (b a)f (a)f (b)ba2f ' ' ( x) 0 ，则 ( b a) f (b) f ( x)dx ( b a) f (a) f (b)ba2x1x2x n x12x22x n2七. 证明 : 1n nx1x2x n nx1 x2x n2n八. 设f ' ' ( x)c[ a, b] , 且f (a)f (b) 0, 求证f (x) dx(b a) 3ba12a x b九. 若 f ' ( x) 在 [0, 2 ] 上连续 , 且 f ' (x)2 2[ f (2 ) f (0)]0, n(正整数 )有f ( x) sin nxdxn十. 设在 [a, b] 上 f ' ' ( x) 0 , a < x 1 < x 2 < b, 0 << 1, 试证 :f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ) f [ x 1 (1) x 2 ]第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为 x 时的边际成本函数为 C ' 40 20 x3x 2, 边际收益为R'32 10x ,试求: ( 1 )总利润函数 ; ( 2 ) 使总利润最大的产量 .二. 设某商品的需求量Q 是单价 P(单位 : 元 )的函数 : Q = 12000 －80P; 商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数 : C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税 2 元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系P = 7－ 0.2x(万元 / 吨), x 为销售量 ( 单位 :吨 ), 商品的成本函数C3x 1(万元). (1)若每销售一吨商品政府要征税 t ( 万元 ), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时 , 政府税收总额最大 .四 . 设某企业每月需要使用某种零件2400 件 , 每件成本为150 元, 每年库存费为成本的 6 , 每次订货费为100 元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。

高等数学考研复习资料目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。

变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。

通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。

注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。

这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。

如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。

例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限21、集合的概念22、常量与变量32、函数43、函数的简单性态44、反函数55、复合函数66、初等函数67、双曲函数及反双曲函数78、数列的极限89、函数的极限910、函数极限的运算规则11一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

（完整word版）高等数学复习资料大全《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 22=?>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-?x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.??=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。