第四章 不完全区组试验设计

文章编号:100021506(2002)0620102204区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计王　昕,常彦勋(北方交通大学理学院,北京100044)摘　要:如果从一个有向平衡不完全区组设计DB (k ,λ;v )(X ,B )到(X ,B -1)之间存在一个同构映射f ,则这个DB (k ,λ;v )被称为自反的,记为SCDB (k ,λ;v )(X ,B ,f ),其中B -1={B -1:B ∈B },当B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k )时B -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1).本文主要证明了SCDB (4,λ;v )存在的充分必要条件是λ≡1,2(mod 3)时,v ≡1(mod 3)且v ≥4,(v ,λ)≠(7,1);λ≡0(mod 3)时,v 为≥4的任意整数.关键词:有向平衡不完全区组设计;自反;可分组设计中图分类号:O157.5 文献标识码:AExistence of Self-Converse DirectedBIBDs with B lock Size FourW A N G Xi n ,CHA N G Yan-x un(School of Sciences ,Northern Jiaotong University ,Beijing 100044,China )Abstract :A directed balanced incomplete block design DB (k ,λ;v )(X ,B )is called self-converseif there is an isomorphic mapping f from (X ,B )to (X ,B -1),where B -1={B -1:B ∈B },andB -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1)for B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k ).In this paper ,we show that SCDB(4,λ;v )exists if and only if v ≡1(mod 3)and v ≥4,(v ,λ)≠(7,1)when λ≡1,2(mod 3);v ≥4when λ≡0(mod 3).K ey w ords :directed balanced incomplete block design (DB );self-converse ;group divisible design1　问题的提出设v ,k ,λ为任意正整数,集合{(a i ,a j ):1≤i <j ≤k}通常记为(a 1,a 2,…,a k ),称作可迁k 元组.一个有向平衡不完全区组设计DB (k ,λ;v ),定义为一个序偶(X ,B ),其中X 是v 元集,B 是一些可迁k 元组的集合(称为区组),满足X 中每两个不同元素组成的有序对恰出现在λ个区组中.如果不计区组中元素的顺序,那么一个DB (k ,λ;v )蕴含一个平衡不完全区组设计B (k ,2λ;v ).众所周知DB (k ,λ;v )存在的必要条件是2λ(v -1)≡0(mod k -1)λv (v -1)≡0mod k 2　,其中,定义B -1={B -1:B ∈B },这里当B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k )时B -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1).易知(X ,B -1)也是一个DB (k ,λ;v ).如果在(X ,B )和(X ,B -1)之间存在一个同构映射f ,使得B -1={f (B ):B ∈B },就称DB (k ,λ;v )为自反的,记为SCDB (k ,λ;v ).康等[1]证明了SCDB (3,1;v )存在的充分必要条收稿日期:2002207208基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071002);国家博士点基金资助项目(20010004001)作者简介:王昕(1978—),女,河北邯郸人,硕士生.em ail :myhop01@ 第26卷第6期2002年12月 北　方　交　通　大　学　学　报JOURNAL OF NORTHERN J IAO TON G UN IV ERSIT Y Vol.26No.6Dec.2002件是v ≡0,1(mod 3)且v ≠6.本文将证明SCDB (4,λ;v )存在的充分必要条件.2　辅助设计及其构造一个阶为v 的带洞的DB (k ,λ;v )设计,记作IDB (k ,λ;v ,w ),定义为一个有序三元组(X ,Y ,B ).其中X 为v 元点集,Y <X 且|Y |=w ,B 为区组集,使得任意一个有序对(x ,y )∈(X ×X )\(Y ×Y ),恰出现在B 的λ个区组中,Y 被称作这个IDB (k ,λ;v ,w )的洞.如果存在一个从(X ,Y ,B )到(X ,Y ,B -1)的同构映射f ,并且满足f (Y )=Y ,那么这个IDB (k ,λ;v ,w )称为带洞的SCDB ,记为ISCDB (k ,λ;v ,w )(或(X ,Y ,B,f )).设K 为正整数集,一个阶为v ,区组大小属于K 的可分组设计,记做{K ,λ}2G DD ,定义为一个有序三元组(X ,G,A ),其中X 为v 元点集,G 为X 的某些子集(称为组)组成的集合,它构成X 的一个划分,A 为X 的某些子集(称为区组)组成的族,满足下列性质:(1)对任意的B ∈A ,有|B |∈K ;(2)对任意的B ∈A 和G ∈G ,有|B ∩G |≤1;(3)X 中任意一对属于不同组的点,恰好同时包含在A 的λ个区组中.集合T ={|G |:G ∈G }被称为该G DD 的组型,1i 2j …表示长为1的组出现了i 次,长为2的组出现了j 次,等等.当K ={k}时,{K ,λ}2G DD 简记为{k ,λ}2G DD .定理1[2]　设t 、u 为正整数,那么存在组型为t u 的{4,1}2G DD 当且仅当下列条件之一被满足:(1)t ≡1,5(mod 6),u ≡1,4(mod 12)且u ≥4;(2)t ≡2,4(mod 6),u ≡1(mod 3)且u ≥4,(t ,u )≠(2,4);(3)t ≡3(mod 6),u ≡0,1(mod 4)且u ≥4;(4)t ≡0(mod 6),u ≥4,且(t ,u )≠(6,4).定理2[3]　组型为2u 51的{4,1}2G DD 存在当且仅当u ≡0(mod 3)且u ≥9.定理3[4]　存在组型为6591的{4,1}2G DD .定理4[5]　假设w ≡7,10(mod 12),v ≡7,10(mod 12)且v ≥3w +1,那么就可存在一个组型为3(v -w )/3(w -1)1的{4,1}-G DD .对于一个给定的SCDB (4,λ;v )(X ,B,f ),它的同构映射f 作为集合X 上的一个置换,可以看作若干个不相交的圈的乘积.设I 为恒等映射,使得f k =I 的最小正整数k 称为f 的阶,记为p (f ).对任意x ∈X ,如果f (x )=x ,则称x 为f 的固定点.定理5　设V 是一个v 元集,W 是一个w 元集,并且V ∩W = ,π是集合W 上的任意一个置换.对于1≤j ≤t ,f j 是集合G j 上的置换,并且f j 的阶p (f j )≤2.假设有下面的设计存在:(1){k ,λ}-G DD (V ,G,B ),其中G ={G j :j =1,2,…,t};(2)ISCDB (k ,λ;|G j |+w ,w )(G j ∪W ,W ,B j ,πξf j ),其中1≤j ≤t -1.那么存在一个ISCDB (k ,λ;v +w ,|G t |+w ),它的同构映射f =πξf t ξ…ξf 2ξf 1.而且,如果存在一个SCDB (k ,λ;|G t |+w )(G t ∪W ,B t ,πξf t ),其中∪为并集的符号,ξ表示置换的复合.那么就有一个SCDB (k ,λ;v +w )存在,它的同构映射即为f .证明　对于(1)中给定的{k ,λ}-G DD (V ,G,B ),定义一个集合V 上的置换σ=f t ξ…ξf 2ξf 1,从而能够得到另一个{k ,λ}-G DD (V ,G,σ(B)).将B 中每一个区组的点按照它们所在组的顺序进行升序排列,σ(B )中每一个区组中的点按照它们所在组的顺序进行降序排序,得到的区组都作为可迁k 元组.这些可迁k 元组构成的集合称作B 0,它恰好包含了所有由不同组中的点所构成的有序对λ次.因为置换σ的阶p (σ)≤2,所以对于任意一个区组B ∈B 0,σ(B -1)∈B 0.这时,用(2)中的ISCDB (k ,λ;|G j |+w ,w )(G j ∪W ,W ,B j ,πξf j )(1≤j ≤t -1)替换G j ∪W (1≤j ≤t -1),设X =V ∪W ,Y =G t ∪W ,f =πξσ=πξf t ξ…ξf 2ξf 1,A =∪0≤j ≤t -1B j .所得到的(X ,Y ,A ,f )就是一个ISCDB (k ,λ;v +w ,|G t |+w ).如果用置换为πξf t 的SCDB (k ,λ;|G t |+w )代替G t ∪W ,就得到一个SCDB (k ,λ;v +w ),它的同构映射为f .301第4期 王　昕等:区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计401北　方　交　通　大　学　学　报 第26卷3　存在性结果311　SCDB(4,1;v)的存在性如果置换f有一个固定点,那么以f为同构映射的SCDB(k,λ;v)等价于ISCDB(k,λ;v,1).利用B(4,1;v)存在的充分必要条件[6],易得如下定理.引理1　对于v≡1,4(mod12),SCDB(4,1;v)存在,即ISCDB(4,1;v,1)存在.定理6　设G是一个u阶的阿贝尔群,u为奇数.如果存在(u-1)/2个有序对(a i,b i),i=1,…,(u -1)/2,a i、b i∈G,使得{a i,b i:a i,b i∈G,1≤i≤(u-1)/2}=G\{0},{a i±b i:a i,b i∈G,1≤i≤(u-1)/2}=G\{0},那么就存在SCDB(4,1;3u+1),它的同构映射f的阶p(f)=2.证明　设X=(G×Z3)∪{∞},f是X上的置换且对于任意x∈G,i∈Z3,定义f:(x,i)→(-x,i), f(∞)=∞.则B包含下列区组:(1)((a i+k,j),(b i+k,j+1),(-b i+k,j+1),(-a i+k,j)),(2)(∞,(k,0),(k,1),(k,2))和((k,2),(k,1),(k,0),∞),其中,k∈G,j∈Z3,i=1,2,…,(u-1)/2.容易验证:(X,B,f)是一个SCDB(4,1;v),并且f的阶p(f) =2.引理2　当v=10,19,22时,SCDB(4,1;v)存在.注1　SCDB(4,1;10)和SCDB(4,1;19)是通过计算机搜索而得到的,其中SCDB(4,1;10)的同构映射f的阶p(f)=2,并含有一个固定点,因此等价于ISCDB(4,1;10,1).注2　应用定理6,取G=Z7,{(a i,b i):a i、b i∈Z7,1≤i≤3}={(1,3),(2,6),(4,5)}可知SCDB(4, 1;22)存在.引理3　SCDB(4,1;7)不存在.如果SCDB(4,1;7)存在,那么它的置换的最大圈长可以是1,2,…,7,通过分别分析这7种情况,总能够找到矛盾.定理7　SCDB(4,1;v)存在的充分必要条件是v≡1(mod3),v≥4且v≠7.证明　由DB(4,1;v)的存在性可知必要条件显然成立.当v≡1(mod3)且v≥4时,若v|{7,10, 19,22},SCDB(4,1;v)的存在性由引理1以及引理2得到ISCDB(4,1;10,1)和定理4得到的组型为3(v-10)/391的{4,1}-G DD,再应用定理5可得.若v∈{10,19,22},由引理2可知SCDB(4,1;v)的存在性,再由引理3可知本定理成立.312　λ≥2时SCDB(4,λ;v)的存在性定理8　当v≡1(mod3)且v≠7时,SCDB(4,λ;v)存在,其中λ为任意整数.由定理8和DB(4,λ;v)存在的必要条件可以知道,只需要考虑λ≡0(mod3)且v≡0,2(mod3)时SCDB(4,λ;v)的存在性以及λ≥2时SCDB(4,λ;7)的存在性.对于λ≡0(mod3),不妨先考虑SCDB(4, 3;v),然后将每个区组重复λ/3次,从而得到SCDB(4,λ;v).为了应用定理5,需要给出一些带洞的设计ISCDB(4,3;v,w).引理4　当(v,w)∈{(11,2),(11,3),(14,2),(15,3),(35,11)}时,置换的阶p(f)=2的ISCDB(4, 3;v,w)存在.证明　以(v,w)=(11,3)为例,余者皆由计算机搜索而得.设X=Z8∪Y,其中Y={∞1,∞2,∞3}.定义集合X上的置换f=(0)(1)…(7)(∞1∞2)(∞3),所求的ISCDB(4,3;11,3)为(X,Y,A∪f(A-1), f),A包含的区组有:(0,2,4,6)(+1,mod8),(∞1,0,1,3)(+1,mod8),(∞2,0,1,3)(+1,mod8),(∞3,0,1,5)(+1,mod8).引理5　当v ≡0,1(mod 4)时,SCDB (4,3;v )存在.证明　对于v ≡0,1(mod 4),B (4,3;v )(X ,A )存在[6].取同构映射f 为X 上的恒等置换,将A 中所有区组的原序及逆序形式组成一个区组集B,则(X ,B,f )即为所求的SCDB (4,3;v ).引理6　当v ∈{6,11,14,15,18,23,26,27}时,同构映射f 的阶p (f )=2的SCDB (4,3;v )存在.证明　以v =11为例,余者皆由计算机搜索而得.设X =Z 10∪{∞},映射f 为:x →x +5,其中x ∈Z 10.区组集B 可以由三部分构成,即B =B 1∪B 2∪f (B -11),其中B 0和B 1分别为: B 0:　(0,1,6,5)(+2,mod 10);B 1:　(0,1,2,3)(+2,mod 10),(0,4,8,∞)(+2,mod 10),(0,2,4,7)(+2,mod 10),(1,5,∞,2)(+2,mod 10),(1,3,0,6)(+2,mod 10).容易验证上面列出的(X ,B,f )即为所求的SCDB (4,3;11).引理7　当v ∈{35,38,39,47,59,71,83}时,同构映射f 的阶p (f )=2的SCDB (4,3;v )存在.对引理7所列参数的存在性,是综合运用定理1和定理3得到的一些{4,3}-G DD 和引理4、引理6得到的小参数的ISCDB 和SCDB 设计,最后应用定理5而得.有了这些小参数的存在性结果,仍然应用定理5可得下面这个定理.定理9　当v ≡2,3,6,11(mod 12)且v ≥6时,SCDB (4,3;v )存在.证明　本定理主要是从引理4、引理6和引理7得到的小参数的ISCDB 和SCDB 设计以及定理1和定理2得到的一些{4,3}-G DD 出发,应用定理5而得.通过计算机搜索,可以找到SCDB (4,2;7)和SCDB (4,3;7),从而得到:定理10　当λ≥2时,SCDB (4,λ;7)存在.4　结论由定理7至定理10得到本文的主要结论.定理11　SCDB (4,λ;v )存在当且仅当λ≡0(mod 3)时v 为大于等于4的任意整数;λ≡1,2(mod 3)时v ≡1(mod 3)且v ≥4,(v ,λ)≠(7,1).参考文献:[1]K ang Q ,Chang Y ,Y ang G.The S pectrum of Self-converse DTS[J ]binatoral Design ,1994,(2):415-425.[2]Mullin R C ,Gronau H -D O F.The CRC Handbook of Combinatiorial Desi gns[M ].Boca Raton :CRC Press ,1996.185-192.[3]Brouwer A E ,Schrijver A ,Hanani H.Group Divisible Designs with Block Size 4[J ].Discrete 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第4章试验设计基本知识4.1 基本概念一、试验指标在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的特征值，称为试验指标。

试验指标可以是数量指标、质量指标、成本指标、效率指标等。

试验指标可分为两大类，一类是定量指标，也称为数量指标，它是在试验中能够直接得到具体数值的指标，如强度、硬度、重量、光洁度、精度、寿命、成本、合格率、pH值等；另一类是定性指标，或称非数量指标，它是在试验中不能得到具体数值的指标，如颜色、味道、光泽、手感等。

在试验设计中，为便于分析试验结果，一般把定性指标定量化，例如，可把色泽按不同深度分成不同等级。

试验指标可以是一个，也可以同时是几个。

前者称单指标试验设计，后者称多指标试验设计。

二、试验因素对试验指标特征值可能有影响的原因或要素称为因素（factor），也称为因子，它是进行试验时重点考察的内容，因素一般用大写英文字母A、B、C……来标记，如因素A、因素B、因素C……等。

在确定试验因素时，必然以专业技术和生产实践经验为基础，应尽可能列出与研究对象目标有关的各种因素，然后判断哪些是需要探索的因素。

因素有各种分类方法，最简单的是分为可控因素和不可控因素。

可控因素是指人们可以控制和调节的因素，如温度、流量、pH值等；不可控因素指人们暂时不能控制和调节的因素，如设备的轻微振动、刀具的轻微磨损等。

进行试验设计时，一般只考虑可控因素。

只考察一个因素的试验叫单因素试验，考察两个因素的试验叫双因素试验，考察三个或三个以上因素试验中多因素试验。

三、因素水平（level of factor）在试验设计中，为考察试验因素对试验指标的影响情况，要使试验因素处于不同的状态。

我们把试验因素所处的各种状态称为因素水平或试验水平，简称水平或位级。

试验设计中，一个因素选了几个水平，就称该因素为几水平因素。

如某试验中温度A选了300C和500C二个水平，时间B选了20min、40min、60min三个水平，就称A为二水平因素，B为三水平因素。

bbd试验设计（仅供参考）Tuesday, November 18, 2014bbd试验简介概述一、 BBD概念：bbd试验全称Box-Behnken设计，是RSM二级模型的其中一种设计类型，这种设计是一种拟合响应曲面的二阶三水平设计，由 2^k 析因设计与不完全区组设计组合而成，所得出的设计对所要求的试验次数来说十分有效，且它们是可旋转的或接近可旋转的。

这种设计的另外一个优点就是它是球形设计，所有设计点都在半径为 2^(1/2)的球面上，即正方体各棱的中点，以及一个中心试验点。

BBD 设计不包含由各个变量的上限和下限所生成的立方体区域的顶点处的任一点。

所以当立方体顶点所代表的因子水平组合因试验成本过于昂贵或因试验限制而不可行，此设计就显示出它特有的长处。

图中每个设计点的三维立体坐标即代表了每一试验点的三个试验水平，试验本身要求三个水平在整个域里是平均分布的。

BBD 设计试验次数 N =2k?( k －1) + C 0 ，公式中 k 表示因素的个数， C 0 表示中心试验点的重复次数，用于估计试验误差。

二、 BBD试验设计原理：建立Box - Behnken模型对实验数据进行精确的统计分析，提供具有连续性特征的图像分析，从而直观地了解所研究因子与响应之间的对应关系。

BBD模型是利用含有二次项的方程来表征因子和响应之间的关系。

三、 BBD实验设计特点：1、可以进行因素数在3~~7个范围内的试验。

2、试验次数一般为15-62次。

在因素数相同时比中心复合设计所需的试验次数少，比较如下：3、可以评估因素的非线性影响。

4、适用于所有因素均为计量值的试验。

5、使用时无需多次连续试验。

6、Box-Behnken 试验方案中不需要将所有试验因素都同 时安排为高水平的试验组合，和中心复合试验相比， Box-Behnken 试验设计不存在轴向点，因而在实际操作时 其水平设置不会超出安全操作范围。

而存在轴向点的中 心复合试验却存在生成的轴向点可能超出安全操作区域 或不在研究范围之列考虑的问题。

中华人民共和国国家标准《感官分析方法学平衡不完全区组设计》（征求意见稿）编制说明一、任务来源本国家标准列入国家标准化管理委员会国家标准制修订项目计划任务，项目名称《感官分析方法学平衡不完全区组设计》，编号“20193291-T-469”，由中国标准化研究院提出，定于2021年完成。

该标准由中国标准化研究院、浙江工商大学、江苏大学、中国茶叶学会、四川郎酒股份有限公司、北京工商大学、中国烟草总公司西南烟叶样品中心等单位的专家组成标准起草工作组共同完成。

二、目的意义与背景现状实验设计是逐步发展起来的一门应用统计学的分支学科，它是制定研究方案和分析实验方案的必要手段，感官分析是把“人”当仪器而开展的一项实验，涉及样品与人感知及人疲劳的问题。

在感官评价实验中，经常会遇到带有区组结构的实验。

其中，平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Blocks Design简称BIBD）作为一种析因试验设计，因其可以在被试对象数目受限的条件下进行试验设计，也能够避免刺激物使评价人员感官疲劳情况的出现，而被广泛应用于食品、饮料、烟草、化妆品等的感官品评实验中。

良好的平衡不完全区组实验设计，能最大限度的缩小随机误差的影响，提高实验效率，缩短实验周期，使实验的数据结果得到有效的统计分析，又能迅速、准确、科学地得到实验结论。

那么，如何设计合理的实验，并对实验进行随机化安排、数理统计和建模分析，是感官相关从业人员进行产品特征确定、品质改进、新产品研发、产品生产及交易标准建立等方面研究和应用时需解决的关键问题。

国际标准中，2011年颁布了ISO 29842:2011《感官分析方法学平衡不完全区组设计》在感官分析实验中的应用标准，并在国外得到了广泛的推广与应用。

然而，国内目前还未有平衡不完全区组设计相关的国家标准。

因此，本标准拟等同转化ISO 2011年颁布的标准ISO 29842:2011，建立《感官分析方法学平衡不完全区组设计》国家标准。