数学模型2

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。

我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。

N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

乒乓球的弹跳罗基斯第模型[问题]罗基斯第模型一个乒乓球离球拍的高度为h0，落在球拍上反弹，设恢复系数为e，不计空气阻力。

(1)如果e为常数，讨论球的高度变化的规律。

如果e2与高度h n成线性关系e2=μ(1–h n/H0)(2.1)其中H0是最大高度，μ是参数。

对于不同的参数讨论小球高度的变化规律。

(2)当参数连续变化时，分析最后分布的高度。

(3)计算前几个分岔点。

(4)用李雅普洛夫指数判断混沌的发生。

[解析](1)当球从高度h n下落到球拍上之前速度为v(2.2)n球与球拍碰撞后反弹的速度为v'n=ev n(2.3)球反弹的高度为h n+1=e2h n(2.4)如果e<1，则球的反弹高度随次数不断减小；如果e=1，则球反弹后始终保持初始高度；如果e>1，例如球拍每次加一个向上的冲击力，则球的高度随次数不断增加。

e2与高度的线性关系说明：如果球的高度较大，则恢复系数较小，反之较大。

设相对高度为x n=h n/H0，则下一次上升的相对高度为x n+1=μ(1–x n)x n，(n=0,1,2,…)(2.5)这是著名的罗基斯第模型。

由于相对高度0≤x n≤1，而(1–x n)x n的最大值为1/4，所以参数的值在0到4之间。

球的高度强烈依赖参数。

[算法](1)先取一个参数，再取一个相对高度，通过迭代算法计算下一次碰撞后的高度，画出高度点，依此类推。

再取另一高度参数，重新通过迭代算法计算高度，画出高度点，依此类推。

[程序]MATH2_1.m如下。

%乒乓球与球拍的碰撞高度clear%清除变量u=input('请输参数(参考值:0.5,2,3.25,3.5,3.56,3.8):');%键盘输入初始相对高度(1)xn=0.9;%第1个的初始相对高度(2)figure%开创图形窗口plot(0,xn,'.')%画高度点text(0,xn,num2str(xn),'FontSize',16)%标记第1个的初始高度grid minor%加细网格title(['乒乓球与球拍的碰撞高度(\it\mu\rm=',num2str(u),')'],'FontSize',16)%标题n=50;%迭代次数axis([0,n,0,1])%坐标范围hold on%保持图像for j=1:n%按次数循环xn=u*(1-xn)*xn;%计算下一次的相对高度(3)plot(j,xn,'.')%画高度点end%结束循环xn=0.1;%取初始相对高度(4)plot(0,xn,'ro')%画高度点text(0,xn,num2str(xn),'FontSize',16)%初始高度for j=1:n%按次数循环xn=u*(1-xn)*xn;%计算下一次的相对高度(5)plot(j,xn,'ro')%画高度点end%结束循环[说明](1)程序执行时要用户用键盘输入参数，提供6个参数选择。

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

第11 讲全等模型(二)手拉手模型板块一初识手拉手模型(1)双等边三角形模型1 异侧双等边模型2 同侧双等边条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°结论:△ABD≌△ACE,∠BFC=∠BAC=60°典例精讲【例】如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,,BE,CD 交于点P,连接AP.(1)求证:BE=CD;(2)求∠BPD 的度数;(3)求证:PA 平分∠DPE.实战演练如图,AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,直线BE,CD 交于点P,连接AP.(1)求证:BE=CD;(2)求∠BPA 的度数.初识手拉手模型(2)双等腰直角三角形模型 1 异侧双等腰直角三角形模型2 同侧双等腰直角三角形条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°结论:△ABD≌△ACE,BD⊥CE典例精讲【例】如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,,连接BD,CE 交于点 P.(1)求证:△ABD≅△ACE;(2)判断 BD,CE 的关系并证明;(3)连接 PA,求∠APB的度数.实战演练如图，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.,点 D 在 CE 上,AF⊥CB,,垂足为F.(1)求证:BC⊥CE;(2)若BF=2,求CD-DE 的长.板块三初识手拉手模型(3)双等腰三角形条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE结论:△ABD≌△ACE,∠BAC=∠BFC模型 1 异侧双等腰三角形模型 2 同侧双等腰三角形典例精讲【例】如图1,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,直线BD,CE 交于点 P,连接AP.(1)求证:BD=CE;(2)求∠APB 的度数(用α表示);(3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，直接写出∠APB= (用α表示).实战演练如图,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC,G,F 分别为DC,BE 的中点.若∠DAB=α,探究∠AGF 与α的数量关系.板块四构造手拉手模型模型1 构双等边三角形模型 2 构双等腰直角三角形等边△ABC等腰直角△ABC,∠BAC=90°典例精讲题型一构双等边三角形【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ADB=∠BAC=60°.求.∠ADC的度数.题型二构双等腰直角三角形【例2】如图,在△ABC 中,.AB=AC,∠BAC=90°,∠ADB=45°.求∠ADC的度数.题型三构双等腰三角形【例3】如图,在.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∠ADB=30°.求∠ADC的度数.实战演练1.已知,在△ABC中,AB=AC,D 为BC上一点,AD=DE,∠ADE=∠BAC=α. (1)如图1,若α=90°,求∠DCE 的度数.(2)如图2,若α=120°,求∠DCE 的度数.2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ADB=∠ABC..求证:DA 平分.∠BDC.3.如图,P 为等边。

实验05 数学规划模型㈡（2学时）（第4章数学规划模型）1.（求解）汽车厂生产计划（LP，整数规划IP）p101~102(1) (LP)在模型窗口中输入以下线性规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3≥ 0并求解模型。

★(1) 给出输入模型和求解结果（见[101]）：(2) (IP)在模型窗口中输入以下整数规划模型max z = 2x1 + 3x2 + 4x3s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3≤ 600280x1 + 250x2 + 400x3≤ 60000x1, x2, x3均为非负整数并求解模型。

LINGO函数@gin见提示。

★(2) 给出输入模型和求解结果（见[102]模型、结果）：2.（求解）原油采购与加工（非线性规划NLP ，LP 且IP ）p104~107模型：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤≤+≤≤=)15001000(63000)1000500(81000)5000(10)(x x x x x xx c注：当500 ≤ x ≤ 1000时，c (x ) = 10 × 500 + 8( x – 500 ) = (10 – 8 ) × 500 + 8x112112221112212211112112122211122122max 4.8() 5.6()()500100015000.50.6,,,,0z x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+≤++≤≤≥+≥+≥2.1解法1（NLP ）p104~106将模型变换为以下的非线性规划模型：1121122212311122122111121121222123122312311122122max4.8()5.6()(1086)50010000.50.6(500)0(500)00,,500,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-+++≤++≤≥+≥+=++-=-=≤≤≥LINGO 软件设置：局部最优解，全局最优解，见提示。

舵机数学模型标准二阶
舵机是一种常用的机电一体化控制器，广泛应用于机器人、自动
化控制等领域。

舵机的数学模型是控制其运动的关键，而标准二阶是
舵机数学模型中最基本的形式。

下面，我们将针对舵机数学模型标准二阶，分步骤进行阐述。

第一步，建立数学模型。

舵机数学模型标准二阶的基本形式可以
表示为：
θ''(t) + 2ξωnθ'(t) + ωn^2θ(t) = K*u(t)
其中，θ(t)表示舵机转角，t表示时间，u(t)为控制输入，K为
控制增益，ωn为自然频率，ξ为阻尼比。

第二步，解释各参数意义。

在舵机数学模型标准二阶中，自然频
率ωn表示舵机未受到外界干扰时，自身在单位时间内的震动次数，
阻尼比ξ则表示舵机响应过程中能量消耗的快慢程度。

控制增益K则
表示控制器对舵机的控制强度。

第三步，分析模型特点。

舵机数学模型标准二阶中，模型特点有
三个：一是舵机的响应过程是有阻尼的，二是舵机响应过程是不稳定的，三是舵机响应过程是有振荡的。

第四步，采用控制策略。

针对舵机数学模型标准二阶的特点，我
们可以采取一些控制策略来提高舵机的控制精度和响应速度。

比如，
采用PID控制器来控制舵机转角，设置合适的控制增益和阻尼比参数，以提高舵机控制精度和响应速度。

综上，舵机数学模型标准二阶是舵机控制中最基本的形式之一。

通过了解和掌握舵机数学模型标准二阶的建立、各参数意义、模型特点，以及采用合适的控制策略优化舵机控制，我们可以更好地掌握舵
机控制的核心技术，为实现舵机控制的自动化和智能化提供有益的参考。

模型2 用换元思想速解函数嵌套问题【问题背景】形如y ＝f （g （x ））的复合函数（暂称此函数为“嵌套函数”），以基本初等函数相互“复合”成的一些“新函数”为主，常与函数的图象、性质、零点等交汇起来综合考查．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．【解决方法】【典例1】（2024江苏常州高级中学8月期初检测）已知函数()21exx x f x +-=，其中x ÎR ，则函数()()1y f f x =+共有______个零点．【套用模型】第一步：确定内层函数和外层函数．函数()()1y f f x =+分解后是函数()1y f t =+，()t f x =，即内层函数为()t f x =，外层函数为()1y f t =+．第二步：确定外层函数()1f t +的零点及所在区间．令()10f t +=，即()1f t =-．由()0f t =可得210t t +-=，解得t =，所以当t <<()0f t <．对()f t 求导得()22ett t f t -++¢=，令()0f t ¢=，得1t =-或2t =，因此()f t 在(),1-¥-上单调递减，在()1,2-上单调递增，在()2,+¥上单调递减．所以()1f t =-有两解1t ，2t ，不妨设12t t <11t <<-，20t =．第三步：根据外层函数的零点及零点所在区间，确定内层函数的零点情况．根据对()f t 的分析作出()f x 的大致图象，如图1所示．e >-，所以根据图象可知直线1y t =与曲线()yf x =有2个交点，直线2y t =与曲线()y f x =有2个交点．图1第四步：整合结论，确定结果．综上，函数()()1y f f x =+共有4个零点．【典例2】（2024重庆八中8月开学考试｜多选）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ì£ï=í>ïî，，()()()()()g x f f x f x a a =--ÎR ，则下列说法正确的是（）A ．a $ÎR ，使得()g x 有2个零点B ．a $ÎR ，使得()g x 有3个零点C ．若()g x 有3个零点，则1a >D ．若()g x 有4个零点，则1a =【套用模型】第一步：确定内层函数和外层函数，对内层函数实施换元．令()f x t =，则0t ³，则()()()()()0g x f f x f x a f t t a =--=Þ=+．【会转化】换元后，可以看出内层函数为()t f x =，外层函数为()()g t f t t a =--第二步：借助切线，研究外层函数的零点．根据题意作出()y f t =的大致图象，如图2所示，则外层函数的零点个数即直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³的交点个数．【易遗漏】内层函数的值域限制了外层函数的定义域，故换元后要注意新元的取值范围图2直线y t a =+的斜率为1，当1t ³时，ln 0t ³，设曲线()ln 1y t t =³的斜率为1的切线的切点为()00,ln t t ，1y t¢=，则由11t =得01t =，故切点为()1,0，切线方程为1y t =-．向上平移直线1y t =-，当到达直线1y t =+的位置时，与曲线()y f t =()0t ³有2个交点．故当1a >时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足()0,1t Î；当1a =时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有2个交点，交点横坐标分别满足()0,1t Î和0=t ；当11a -<<时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足()0,1t Î；当1a =-时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足1t =；当1a <-时，直线y t a =+与曲线()y f t =()0t ³有1个交点，且交点横坐标满足1t >．第三步：研究内层函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数情况．再看()f x 的图象，如图3所示，图3当1t >时，曲线()y f x =与直线y t =有2个交点，当01t <£时，曲线()y f x =与直线y t =有3个交点，当0=t 时，曲线()y f x =与直线y t =有1个交点，当0t <时，曲线()y f x =与直线y t =没有交点．第四步：整合结论，求得结果．综上可知：当11a -£<或1a >时，()g x 有3个零点；当1a =时，()g x 有4个零点；当1a <-时，()g x 有2个零点．故选ABD ．【典例3】（2024江苏盐城8月期初测试）已知函数()21cos sin 4f x x a x =++在区间[]0,π上有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．51,44æö--ç÷èøB ．11,4æö--ç÷èø C ．1,4æö-¥-ç÷èø D ．5,14æö--ç÷èø【套用模型】第一步：利用降幂公式转化题目条件，换元确定内、外层函数．()222115cos sin 1sin sin sin sin 444f x x a x x a x x a x =++=-++=-++，令sin t x =，[]0,πx Î，则[]0,1t Î，则外层函数为254y t at =-++，内层函数为sin t x =．第二步：分析确定外层函数的零点个数．若函数254y t at =-++的零点含1，不符合题意．【扫清障碍】若函数254y t at =-++只有1个零点1t =，则函数()f x 只有1个零点π2x =；若函数254y t at =-++除1外还有别的零点，则由二次函数图象知函数()f x 的零点有奇数个．均不符合题意假设函数254y t at =-++在区间[)0,1上有n 个零点．第三步：分析确定内层函数的零点个数．若254y t at =-++在[)0,1上有1个零点0t ，则在[]0,π上有2个不同的x 满足0sin t x =，【会分析】正向求解零点个数的问题时，由外向内，逐层分析，即可得出结论；而已知零点个数求解参数范围时，需要先假设外层函数的零点情况，根据内、外层函数的对应关系，分析内层函数的零点情况，据此确定各假设是否成立因此若函数254y t at =-++在区间[)0,1上有n 个零点，则函数()f x 在[]0,π上有2n 个零点，所以函数()f x 在[]0,π上有2个零点，即函数254y t at =-++在区间[)0,1上有1个零点．第四步：根据t 的范围确定参数的范围．又0=t 时255044t at -++=>，则1t =时2551044t at a -++=-++<，得14a <-，即实数a 的取值范围为1,4æö-¥-ç÷èø．故选C ．【典例4】（2024广东茂名9月统测）已知函数()22f x x x =--，()10410x x g x x x x ì+>ï=íï+£î，，若关于x 的方程()()0g f x a -=有4个实数根，则实数a 的取值范围为______．【套用模型】第一步：换元，确定内层函数和外层函数．令()f x t =，则原方程可以化为()g t a =．第二步：根据原方程根的个数，分析内、外层函数的零点情况，确定t 的范围．因为方程()()0g f x a -=有4个实数根，且()()222111f x x x x =--=-++£，当1t =时，关于x 的方程()f x t =只有1个根=1x -，不符合题意．当(),1t Î-¥时，关于x 的方程()f x t =有2个不同的根．则原方程有4个根等价于函数()()1y g t t =<的图象与直线y a =有2个不同的交点．第三步：作出外层函数的图象和直线y a =．作出函数()()1y g t t =<和y a =的图象，如图4所示．图4第四步：数形结合，得出a 的取值范围．由图象可知，当514a £<时，函数()()1y g t t =<的图象与直线y a =有2个不同的交点，故a 的取值范围是51,4éö÷êëø．一、单选题（22-23高三上·河南焦作·期中）1．已知函数22,0()1ln(6),60x x x f x x x ì-³=í-+-<<î则函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2023·浙江温州·二模）2．已知22(0)(){log (0)xx f x x x £=>，则方程[()]2f f x =的根的个数是A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）3．设函数()32,0lg ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2023·黑龙江哈尔滨·一模）4．已知函数131,(1)()ln(1),(1)x x f x x x -ì+£ï=í->ïî，若24()()2()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）A．54(,)63+¥U B．5(2,)6+¥U C ．5[,2)6D ．4(,)3+¥（22-23高三上·天津·期末）5．已知函数|1||ln(2)|,>2()=12+,22x x x f x x --£ìïíïî，若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．35,44ìüæö+¥íýç÷îþèøU B ．15,24ìüæö+¥íýç÷îþèøU C ．35,44æùçèûD ．3,4æö+¥ç÷èø（2023·浙江宁波·二模）6．设a ÎR ，函数()21,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，若函数()y f f x =éùëû恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．()2,0-B ．()0,1C ．[)1,0-D ．()0,2（22-23高三·浙江杭州·阶段练习）7．已知函数3221,0()31,()468,0x x f x x x g x x x x x ì+>ï=-+=íï---£î，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题（22-23高三上·黑龙江黑河·阶段练习）8．已知函数222,0()43,0x x x f x x x x ì--£=í-+>î，,0(),0x e x g x lnx x ì£ï=í>ïî，则函数()(())1h x g f x =-的零点个数为 个．（22-23高三下·浙江温州·期末）9．设a R Î，函数()22,0,0x x f x x ax x ì-³=í-+<î，若函数()y f f x =éùëû恰有4个零点，则实数a 的值为.（22-23高三上·湖北武汉·期中）10．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +£ì=í>î，则函数()1y f f x éù=-ëû的零点个数为 .参考答案：1．C【分析】分段函数，分别在定义域内求函数的零点，解方程即可.【详解】函数22,0()1ln(6),60x x x f x x x ì-³=í-+-<<î在(－6，＋∞)上有零点，则2020x x x ³ìí-=î或601ln(6)0x x -<<ìí-+=î，解得x ＝2或x ＝4或x ＝e －6，即函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选:C .【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.2．C【分析】由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求()f x ，再由()f x 求x 即可．【详解】由题意，当()0f x …时，()[()]22f x f f x ==， ()1f x = 与()0f x …矛盾，此时无解；当()0f x >时，2[()]|log ()|2f f x f x ==；故1()4f x =或()4f x =，若1()4f x =，则0x £ 时，124x=，0x >时，21|log |4x =，故2x =-或142x =或142x -=；若()4f x =，则0x £ 时，24x =，0x > 时，2|log |4x =，故2x =（舍去）或16x =或116x =；故共有5个根；故选：C ．3．C【分析】画出函数()f x 的草图，分析函数的值域及1()2f t =的解，由()f x t =解的个数，可得答案【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +£ì=í>î的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t £时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则=t 所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当=t()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C 4．D【分析】画出()f x 的图象，结合()F x 的零点个数以及函数的图象可得方程24203t at -+=的解1t 、2t 满足1212012t t t t ¹ìï<£íï>î，根据根分布可求实数a 取值范围.【详解】()f x的图象如图所示：因为()24()2()3F x f x af x =-+有4个不同的零点，故24203t at -+=有解，设此关于t 方程的解为1t 、2t ，其中12,t t 均不为零且1243t t =.由题设可得关于x 的方程()1f x t =和()2f x t =共有4个不同的解，故12120101t t t t ¹ìï<£íï<£î（舍）或1212012t t t t ¹ìï<£íï>î或121222t t t t ¹ìï>íï>î（舍）.所以4120344403402003a a a ì-+£ïïï-+<íïï-´+>ïî，解得43a >.故选：D.【点睛】方法点睛：复合方程的解的讨论，一般通过换元转化为内、外方程的解来处理，注意根据已知零点的个数合理推断二次方程的根的情况.5．A【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出()f x 的零点，数形结合求出方程()2f x a =有三个根的a 的取值范围作答.【详解】由()0g x =得：()=0f x 或()2f x a =，因函数|1||ln(2)|,>2()=12+,22x x x f x x --ìïí£ïî，由()=0f x 解得=3x ，因此函数2()=[()]2()g x f x af x -有四个不同的零点，当且仅当方程()2f x a =有三个不同的根，函数()f x 在(,1]-¥上递减，函数值集合为3[,+)2¥，在[1,2]上递增，函数值集合为35[,]22，函数()f x 在(2,3]上递减，函数值集合为[0,+)¥，在[3,+)¥上递增，函数值集合为[0,+)¥，在同一坐标系内作出直线2y a =与函数=()y f x 的图象，如图，方程()2f x a =有3个不同的根，当且仅当直线2y a =与函数=()y f x 的图象有3个公共点，观察图象知，当322a =或522a >，即34a =或54a >时，直线2y a =与函数=()y f x 的图象有3个公共点，所以实数a 的取值范围是35{}(,+)44È¥.故选：A【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.6．A【分析】当0a ³时，画出函数图象，可得()y f f x =éùëû有0x =和2x =两个零点；当a<0，画出函数图象，数形结合可得要使()y f f x =éùëû有3个零点，需满足0x <时，()max 1f x <.【详解】当0a ³时，()f x 的大致图象如图1，此时令()0f f x =éùëû，可得()1f x =，观察图象可解得0x =或2x =，即方程有2个根，则此时()y f f x =éùëû只有2个零点，不合题意；当a<0时，()f x 的大致图象如图2，此时令()0f f x =éùëû，可得()1f x =或()f x a =，由图易知()f x a =恰有一根，则需满足()1f x =有两根，而0x =和2x =均为()1f x =的根，则需满足0x <时，()max 1f x <，又0x <时()2f x x ax =-+的对称轴为2a x =，则()2max 124a a f x f æö==<ç÷èø，解得22a -<<，则20a -<<，综上，a 的取值范围为()2,0-.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数零点个数求参数范围，解题的关键是画出函数图象，数形结合即可进行判断求解.7．A【分析】对()f x 求导，得其单调性，故而可得函数图象，通过作出函数()g x ，()f x 的图象，数形结合，综合即可得结果．【详解】函数()()23632f x x x x x ¢=-=-，由()0f x ¢>得2x >或0x <，此时函数单调递增，由()0f x ¢<得02x <<，此时函数单调递减，即当0x =时，函数取得极大值()01f =，当2x =时，函数取得极小值()23f =-，函数21,0()468,0x x g x x x x x ì+>ï=íï---£î，()131,12g g æö-==ç÷èø，图象如图：令()f x t =，()g t a=当1a >时，()g t a =有2个根，121(0,),(1,)3t t ÎÎ+¥1()f x t =有3个根，2()f x t =有3个或1个根，所以原方程有6个或4个根；当1a =时，()g t a =有2个根，1213,2t t =-=1()f x t =有2个根，2()f x t =有3个根，所以原方程有5个根；当01a <<时，()g t a =有2个根，12(4,3),(3,2)t t Î--Î--1()f x t =有1个根，2()f x t =有3个根，所以原方程有4个根；∴方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个，不可能为3个，故选：A．8．10【分析】令()0h x =，即(())1g f x =，再令()1g x =，根据()g x 的解析式分类讨论，即可求出x ，即()0f x =或()f x e =或1()f x e=，再画出函数()f x 图象，数形结合即可判断；【详解】令()0h x =得(())1g f x =，令()1g x =得10x e x ì=í£î或10lnx x ì=í>î，解得0x =或x e =或1=x e．()0f x \=或()f x e =或1()f x e=．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有4个解，()f x e =有两个解，1()f x e=有4个解，()h x \共有10个零点．故答案为：109．-【分析】分0a ³和a<0两种情况讨论，由()0f f x =éùëû解出()f x 的值，然后分0x ³、0x <解关于x 的方程，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】①当0a ³时，由()0f f x =éùëû，可得()2f x =，当0x ³时，由()22f x x =-=，可得0x =或4，当0x <时，()20f x x ax =-+<.即当0a ³时，函数()y f f x =éùëû只有2个零点，不合乎题意；②当a<0时，由()0f f x =éùëû，可得()2f x =或()f x a =.当0x ³时，由()22f x x =-=，可得0x =或4，方程2x a -=无解，当0x <时，由()2f x x ax a =-+=，即20x ax a -+=，240a a D =->，解方程20x ax a -+=可得x a =，其中0x a =<合乎题意，0x a =+>舍去，所以，方程22x ax -+=在0x <时有唯一解，函数()2f x x ax =-+在,2a æö-¥ç÷èø上单调递增，在,02a æöç÷èø上单调递减，当0a x <<时，()0f x >，当x a <时，()0f x <，故2224a a f æö==ç÷èø，解得a =-综上所述，a =-故答案为：-.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．10．7【解析】先由()10f f x éù-=ëû可求得()f x 的值，再由0x £和0x >两种情况结合()f x 的值，可求得x 的值，即可得解.【详解】下面先解方程()10f f x éù-=ëû得出()f x 的值.（1）当()0f x £时，可得()()1110f f x f x -=+-=éùëû，可得()0f x =；（2）当()0f x >时，可得()()1ln 10f f x f x -=-=éùëû，可得()f x e =或()1f x e=.下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=.①当0x £时，由()10f x x =+=可得=1x -，由()1f x x e =+=可得1x e =-（舍去），由()11f x x e =+=可得11x e=-；②当0x >时，由()ln 0f x x ==可得1x =，由()1ln f x x e==可得1e x e =或1e x e -=，由()ln f x x e ==可得e x e =或e x e -=.综上所述，函数()1y f f x =-éùëû的零点个数为7.故答案为：7.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.。