一维无限势阱

6.ξ一维无限深势阱考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内：0,,x x a U x a⎧<⎪=⎨∞≥⎪⎩ 如右图这种势叫一维无限深势阱因x U 不含 t ，属于定态问题。

体系所满足的定态薛定谔方程是：()2222d E x a dx ψψμ-=<① ()22022d U E x a dx ψψψμ-+=≥② ②中，0U →∞由波函数应满足的连续性和有限性条件，只有当ψ=0时，②式才能成立，所以，有：ψ=0，x a ≥现求解①式，改写为：2221222222020sin cos ,d E dxE d x a dx A x B x x aψψμψμααψψαα+=⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭=+<令：则：，其解为： （本身上方说的解可表为如下振荡函数形式：sin x α，cos ,i x x e αα±，但因现在势阱具有空间反射不变性，()()x x U U -=能量本征函数必定有确定的宇称曾书——P49——所以，只能取sin x α，或cos x α的形式。

根据ψ的连续性，因②式得ψ=0，x a ≥，于是：,sin cos 0sin cos 0sin 0cos 0x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。

（物理问题对ψ的要求）所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2)n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2)n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回1222E μα⎛⎫= ⎪⎝⎭，得体系的能量本征值为：2222,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。

一维无限深方势阱的能量班级：姓名：学号：一维无限深方势阱的能量一、 引言：222220202()d E x d m dx d U x E x d ψ⎧-ψ=ψ<<⎪⎪⎨⎪-ψ+=ψ≥⎪ （1） （2）9/10m-020406080100120140160文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。

文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。

基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。

在中国古代，文案亦作" 文按"。

公文案卷。

《北堂书钞》卷六八引《汉杂事》:"先是公府掾多不视事，但以文案为务。

"《晋书·桓温传》:"机务不可停废，常行文按宜为限日。

" 唐戴叔伦《答崔载华》诗:"文案日成堆，愁眉拽不开。

"《资治通鉴·晋孝武帝太元十四年》:"诸曹皆得良吏以掌文按。

"《花月痕》第五一回:" 荷生觉得自己是替他掌文案。

"旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚，其地位比一般属吏高。

《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈，这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去，要文案给他补一份状子。

"文案音译文案英文:copywriter、copy、copywriting文案拼音:wén àn现代文案的概念:文案来源于广告行业，是"广告文案"的简称，由copy writer翻译而来。

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。

其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。

在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。

1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。

这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。

2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。

解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。

3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。

对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。

这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。

4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。

这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。

个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。

对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。

量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。

1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。

在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。

定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。

- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。

- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。

- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。

2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。

该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。

定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。

- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。

- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。

比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。

但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。

- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。

它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。

- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。

而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。

综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。

５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。

一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。

波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。

一维无限深势阱无限深阱假设粒子不能离开势阱，也就是有一个势为无穷大的壁。

势可以写成()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-∞=2022a x a x a x V（注：也可以选用坐标形如第二个图，这样的解简单，且容易推广到三维，但是对称性不如第一个图明显。

）注意，这个势是有奇异性的，我们分别有势阱内和势阱外的方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=≤=+外）（阱外，粒子不能到阱（阱内）2020222a x a x E m dx d ψψψ 考虑势阱内，定义： 22mE k ≡ 定态方程为：0222=+ψψk dxd 此方程的通解为：kx B kx A cos sin +=ψ或：()δψ+=kx A sin连续性条件：02=±=ax ψ（单值、有限自动满足） 于是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+)2(cos )2(sin )2(cos )2(sin a k B a k A a k B a k A （注意：由于势在边界上有奇异性（无限深 ）， ψ不连续，有跃变。

）这是关于 A 、B 的齐次方程，有非零解的条件是系数行列式为零，即：02cos 2sin 2cos 2sin =-a k a k a kak因此， 02cos 2sin 2=a k a k 即：0sin =ka故：() 3,2,1==n n ka π（注意：n 不能取 0 ，否则就出现了不振动的“波”。

）an k k n π== 22222ma n E n π= n maE 222π ≈∆ 可见势阱中能级是分立的，（与用德布罗意驻波直接计算一样）。

需要注意的是，n ma E 222π ≈∆，即能级越高越稀疏，但大量子数情况下02~→∆nE E n n ，即n n E E <<∆，所以在经典情况下（大量子数）感受不到能级的间隔，便认为能量是连续的，与对应原理相符。

下面求波函数，我们有：n 为奇数（偶宇称）：002sin =⇒=A a k A n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202cos a x a x x k B n n ψ n 为偶数（奇宇称）：002cos =⇒=B a k B n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202sin a x a x x k A n n ψ其实上述结果可以直接看出来，因为态应该取确定的宇称，因此只能是sin 或者cos ，不可能是它们的组合。

一维无限深势阱中的能级公式(一)一维无限深势阱中的能级公式一维无限深势阱简介•一维无限深势阱是指在一维空间中的一个势能函数，其势能在有限范围内为无穷大，而在这个范围外为零。

•这个模型常用于量子力学研究中，用于描述束缚电子在限定区域内的能级结构。

能级公式的推导•根据经典力学的思想，势能为零区域内的粒子应该是运动不受限制的，因此在这个区域内的能量取任意值，可以看作连续的。

•而在势能无穷大的区域外，粒子无法存在，因此能量必须是有限的。

•具体推导过程如下：一维薛定谔方程•在量子力学中，波函数满足薛定谔方程。

•对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以表示为:d2ψdx2+2mℏ2(E−V(x))ψ=0•其中，ψ为波函数，x为位置坐标，m为质量，E为能量，V(x)为势能函数。

薛定谔方程的解•由于势能函数V(x)为零，因此在势阱内，薛定谔方程可以简化为:d2ψdx2+2mEℏ2ψ=0•这是一个二阶常微分方程，其解可以表示为：ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)•其中，A和B为常数，k为波数，可以表示为：k=√2mE ℏ2波函数的边界条件•在势阱内，波函数必须满足边界条件，在势能函数为无穷大的区域外，波函数必须趋于零。

•因此，当x=0时，ψ(0)=0；当x=L时，ψ(L)=0。

边界条件的限制•根据边界条件，可以得到以下关系式：Asin(k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0Asin(kL)+Bcos(kL)=0•上述两个方程同时成立时，波函数满足边界条件。

求解能级•根据上述边界条件，可以解得k n L=nπ，其中n为正整数。

•将k n代入波数的公式中，可得能量的公式：E n=ℏ2k n22m=n2π2ℏ22mL2能级公式的解释与例子•以上推导得到的能级公式表明，在一维无限深势阱中，粒子的能量只能取离散的值，且与n的平方成正比。

–n越大，能级越高。

•这也意味着在一维无限深势阱中，粒子存在着多个能级，且能级之间的能量差是固定的。

５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。

一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。

波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。