选修2-1、知识点
选修2-1
第一章常用逻辑用语
1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系：
② 逆否命题同真同假
2. 充分条件与必要条件
p是q的充要条件：pq
p是q的充分不必要条件：,pqqp¿
p是q的必要不充分条件：,qppq¿
p是q的既充分不必要条件：,pqqp靠
3.
逻辑联结词“或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.
例：“a=1”是“0,21axxx”的（）
A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
第二章圆锥曲线与方程
1. 三种圆锥曲线的性质（以焦点在x轴为例）
椭圆 双曲线 抛物线
定义 与两个定点的距离和等于常数122 (2||)aaFF 与两个定点的距离差的绝对值等于常数122 (2||)aaFF 与一个定点和一条定直线的距离相等
标准方程
图形
顶点坐标 (±a,0),(0,±b) (±a,0) (0,0)
对称轴 x轴，长轴长2a
y轴，短轴长2b x轴，实轴长2a
y轴，虚轴长2b x轴
焦点坐标 (±22ab,0) (±22ab,0) (2p,0) 互 否
为 逆
为 逆
互 否 互
否 互
否
互 逆 原命题
若p则q 互 逆 逆命题
若q则p
逆否命题
若q则p 逆否命题
若q则p 2.
“回归定义”是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、0.
1 1.1.2 四种命题
1．1.3 四种命题间的相互关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．
2．过程与方法
培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
3．情感、态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．
●重点、难点
重点：四种命题之间相互的关系．
难点：正确区分命题的否定形式及否命题．
通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种 2 命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．
(教师用书独具)
●教学建议
这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．
学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．
通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．
第一章 常用逻辑用语
第一节：简单命题
‖知识梳理‖
1．命题的概念
一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
1.1.对于命题概念的理解
(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：
①该语句是陈述句；
②能够判断真假。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．
2．命题的分类
判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．
3．命题的结构
命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．
(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．
(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．
‖题型归纳‖
题型一 命题及其真假的判断
例题1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？ (2)x2＋4x＋5>0(x∈R)；
(3)x2＋3x－2＝0；
(4)一个数不是正数就是负数；
(5)4是集合{1,2,3,4}中的元素；
(6)求证y＝sin 2x的最小正周期为π.
【解】(1)是疑问句，不是命题．
(2)是命题．因为当x∈R时，x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．
(3)不是命题．因为语句中含有变量x，在没给定x的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题．
(4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题．
(5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题．
高二数学命题及其关系试题答案及解析
1. 分别写出下列命题的逆命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若q＜1，则方程x2+2x+q=0有实根；
（2）若x2+y2=0，则x，y全为零．
【答案】（1）见解析（2）见解析）
【解析】逆命题是交换原命题条件和结论,逆否命题是交换原命题条件和结论并否定. (Ⅰ)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1。为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(Ⅱ)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．
试题解析：(Ⅰ)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1。为假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
(Ⅱ)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．
【考点】四种命题之间的关系
2. 下列命题正确的个数是( )
①命题“”的否定是“”；
②函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；
③在上恒成立在上恒成立；
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】(1)把存在量词改为全称量词，同时把结论否定，正确. (2)函数最小正周期为，则；当，函数的周期为，函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，正确.(3)在上恒成立在上恒成立；(4)“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是,且，错误.
【考点】命题的真假性.
3. 命题r：如果则且；若命题r的否命题为p，命题r的否定为q，则
A．P真q假 B． P假q真 C． p，q都真 D． p,q都假
【答案】A
【解析】由已知有命题r：如果则且，是真命题；由于命题r的否命题为p，则命题p为：如果则或，其逆否命题为：如果且则显然是真命题，故知命题P也是真命题；又因为命题r的否定为q，所以命题q是假命题；故选A．
