第三讲---双曲线的第二定义

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596） 四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。

双曲线第二定义学习纲要1. 双曲线的第二定义：到一定点的距离和它到定直线的距离之比是常数(1)ce e a=> 的动点的轨迹。

定点——焦点；定直线——准线说明：①22221x y a b -=的22122(,0),(,0)a F c x a c x c a F c x c ⎫-=-⎪⎪=±⎬⎪=⎪⎭左准线准线:，右准线左焦点是右焦点是 22221x y a b -=的下焦点1(0,)F c -，下准线：2a y c =-上焦点1(0,)F c ，上准线：2a y c=②双曲线的e 是双曲线上一点到焦点的距离与它到相应准线距离之比，它反映双曲线开口的窄阔程度。

，虚半轴b ； 12a e <⇔<<；b a >，中心到实轴端点的距离是a ，中心到虚轴端点的距离是2a ，焦点到相应准线的距离是12F MF =对称轴是两焦点的连线及其垂直平分线，对称中心是焦点连线的中点。

0 00 03. 方法①涉及双曲线上一点到一焦点的距离时，想到双曲线第二定义或焦半径公式；当转化为几何图形求解时，考虑第二定义即||MF de =，MFd e=；当转化为代数方程求坐标时，考虑焦半径公式。

②涉及双曲线上一点到两焦点的距离的和差积时，考虑用第一定义求解。

③不知元素a ，b ，c 时，过两点的椭圆设为：221(0,0)mx ny m n +=>>，过两点的双曲线设为：221(0)mx ny mn +=<，知a ，b ，c 部分元素时，设曲线为标准方程。

④22221x y a b-=的斩近线：22220x y a b -=；22221y x a b -=的渐近线：22220y x a b -=所以，以0Ax By ±=为渐近线的双曲线设为：2222(0)A x B y m m -=≠与22221x y a b-=共渐近线的双曲线设为：2222(0)x y m m a b -=≠[称之为：共轭双曲线]⑤与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的双曲线：2222221()x y b k a a k k b -=<<-- 与22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆：222221()x y k a a k b k +=<-++ 与22221x y a b-=共焦点的双曲线：2222221()x y a k b a k b k -=-<<+-例1. 已知双曲线2241x y -=-，求它的焦点、顶点坐标、准线方程和渐近线方程，并作图。

双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。

3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e ca x MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。

双曲线的第二定义 ：设问：椭圆有第二定义中：平面内一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为一个常数（常数在0、1之间取值得到的动点轨迹是椭圆，若常数大于1得到的动点轨迹又是什么呢？ 点M （x ,y ）与定点F (c ,o )的距离和它到定直线l ：:x =ca2的距离的比是常数),0(>>c a ac求点M 的轨迹.解：设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意，所求轨迹是集合p =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=a c dMF M, 由此得ac cax y c x =-+-222)(.化简得0).b 0,(a 12222>>=+by ax这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆.如果把上题中的条件0>>c a 改为0>>a c ，其他条件不变，所求点M 的轨迹又是什么？ 引导学生分析上面解题过程，发现：)()(22222222c a a y a x c a -=+-可改写为)()(22222222a c a ya x a c -=--设222b ac =-，就可化为：12222=-by ax （0,0>>b a ）这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a 、2b 的双曲线 总结：进一步类比研究椭圆第二定义过程，引导学生得到以下结论：（1）到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e （1>e ）的点的轨迹是双曲线；定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 叫离心率。

（第二定义）; （2）对于双曲线12222=-by ax ，相应与焦点F （c ，0）的准线方程是cax 2=，相应与焦点F （-c ，0）的准线方程是cax 2-=；对于双曲线12222=-bx ay ，相应与焦点F （0，c ）的准线方程是cay 2=，相应与焦点F （0，-c ）的准线方程是cay 2-=；（3）若定点是)0,(c F ，定直线是l ： cax 2=，常数ac e =，则轨迹为双曲线的标准方程12222=-by ax ；若定点是),(b a F ，定直线是l ：0=++C By Ax ，常数)1(>e e ，则轨迹一定是双曲线，但轨迹方程却不一定是标准方程。

双曲线是一类常见的数学曲线，它有三种常见的定义形式，分别为第一定义、第二定义和第三定义。

第一定义：以焦点F1 和F2 为中心，以 c 为焦距的双曲线是平面上满足以下性质的点P 的轨迹：
|PF1| - |PF2| = 2a
其中，|PF1| 表示点P 到焦点F1 的距离，|PF2| 表示点P 到焦点F2 的距离，a 是常数，并且2a 大于焦距c。

第二定义：以原点O 为中心，以 a 和 b 为半轴的双曲线是平面上满足以下性质的点P 的轨迹：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
其中，a 和b 是正实数。

第三定义：以顶点V 和焦距 c 为参数的双曲线是平面上满足以下性质的点P 的轨迹：
|PV| = e * |PH|
其中，|PV| 表示点P 到顶点V 的距离，|PH| 表示点P 到准线的距离，e 是离心率，满足0 < e < 1。

这些定义给出了双曲线的不同特性和形式。

它们在几何学、物理学和数学分析等领域中具有广泛的应用。