双曲线的第二定义及其应用

第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。

（二）焦点三角形的面积公式。

S1  r1r2 sin   b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a yy 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2   1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y  16 13 ，求双曲线的标准方程。

133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2    （   0 ）在分   0 时   4 和   0 时。

。

。

4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。

求动点的轨迹方程。

练习：已知双曲线x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。

圆锥曲线与方程 （2）双曲线1．双曲线定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|) a PF PF 221=-（a 为常数c a <<0）的点的轨迹叫做双曲线． ⑴若2a ＜21F F ，则动点P 的轨迹是双曲线．⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线（在直线F 1，F 2上）． ⑶若2a ＞21F F ，则动点P 无轨迹．双曲线的第二定义:平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x ＝c a2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b2，与椭圆相同.2．双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上时，方程为12222=-b y a x )00(>>b a ， 焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为12222=-bx ay )00(>>b a ， 焦点),0(1c F -),0(2c F 注:222b a c +=（类比勾股定理）双曲线的一般方程：)0(122<=+mn ny mx注：方程C By Ax =+22（C B A ,,均不为0）表示双曲线的条件：方程变形：122=+BC yAC x，考察二次项系数的正负，若AC 与B C 异号，表示双曲线；若C B A ,,同号且B A ≠,则表示椭圆；若C B A ,,同号且AC =BC ，则表示圆．3．双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的性质：(1)范围：a x ≥或a x -≤，y R ∈． (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称．(3)顶点坐标：双曲线和x 轴有两个交点)0,(),0,(21a A a A -，焦点坐标是)0(，c ±． (4)实轴长2a 、虚轴长2b 、焦距2c ；实半轴a 、虚半轴b 、半焦距c ． (5)双曲线12222=-by ax 的准线方程是cax 2±=，准线到中心的距离为2ac，或令双曲线标准方程22ax -22by ＝1中1为零即得渐近线方程.焦准距：（焦点到对应准线的距离）cb2．通径的长是ab 22，通径的一半(半通径)：2ba．(6) 渐近线方程是x ab y ±=① 双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>渐近线方程：令02222=-by ax )0,0(>>b a ，即x ab y ±=;② 渐近线是02222=-bya x(或x a by ±=⇔0=±by a x)的双曲线设为λ=-2222by ax ．(λ≠0),k 是待定系数．③（焦渐距）焦点到渐近线的距离恒为b ．(7) 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 定义式：a b =． 注：①等轴双曲线的渐近线方程为：x y ±= ．②渐近线互相垂直．③等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ．（0>λ时焦点在x 轴，0<λ时焦点在y 轴上）(8) 离心率是22221ab ac ac e +=== （1>e ）e 越大，开口越开阔；e 越小，开口越扁狭． (9) 半径：若点),(00y x P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上一点，21F F 、是其左、右焦点，|||)(|||0201ex a cax e PF +=+=， |||)(|||0022ex a x cae PF -=-=即焦半径：点),(00y x p 在左支上 01ex a PF --=和02ex a PF -=．点),(00y x p 在右支上 01ex a PF +=和02ex a PF +-=．4．双曲线的内外部(1) 00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->． (2) 00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的外部22221x y a b ⇔-<．5．双曲线系方程(1) 双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+λλb ya x（22b a <<-λ）(2) 双曲线12222=-b ya x共渐近线的双曲线系方程可设为λ=-2222bya x)0(≠λ． （当0>λ时焦点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上）．本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.。

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题; 一、双曲线中的基本元素 （1）。

基本量： a 、b 、c 、e几何意义： a —实半轴、b —虚半轴、c —半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ace b a c（2).基本点：顶点、焦点、中心 （3）.基本线: 对称轴 二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a >>，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意,所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，由此得222()x c y caa x c-+=-．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b-=>>，,这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)ce e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =，根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线．例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线， 所以2c a =，21a c c-=,解得2433a c ==，．所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=．评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线,同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________; 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14,则其到左准线的距离是__________; 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）(A ）4， 3， 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8， 6, 45 （D ）4， 3, 456．顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ）（A )221169x y -= （B ）2211625x y -= (C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于(A ） (A ）767 （B ）737 （C ）185 （D )1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 (B ）7（C ）27 (D ）3259．经过点M (3, ―1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 (D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是(D )（A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 。

双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。

3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e cax MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596） 四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。

双曲线必备二级结论摘要：1.引言：介绍双曲线的定义和基本性质2.双曲线的二级结论：解释二级结论的含义和作用3.推导过程：详述如何从基本性质推导出二级结论4.实际应用：说明二级结论在解决双曲线相关问题中的重要性5.结论：总结双曲线二级结论的重要性和应用价值正文：双曲线是一种重要的数学曲线，它在几何学、微积分学等领域都有广泛的应用。

双曲线的定义是：到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

这个常数被称为双曲线的离心率，两个定点被称为双曲线的焦点。

双曲线具有很多基本性质，如渐近线、离心率、焦点等，这些性质为研究双曲线提供了重要的理论基础。

在双曲线的研究中，有一个非常重要的结论，即双曲线的二级结论。

所谓二级结论，是指在双曲线研究中，从基本性质推导出的一些具有重要意义的结论。

这些结论不仅对理解双曲线的性质有帮助，而且在解决实际问题中也具有很大的价值。

那么，如何从双曲线的基本性质推导出二级结论呢？首先，我们需要了解双曲线的渐近线。

双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的离心率有关。

当离心率为0 时，双曲线退化为直线；当离心率为1 时，双曲线退化为抛物线。

通过研究渐近线与双曲线的关系，我们可以得到一些有用的信息。

接下来，我们可以利用双曲线的定义和基本性质，通过一系列的推导和证明，得出一些重要的二级结论。

例如，双曲线的离心率与焦点的距离之间的关系、双曲线的面积公式等。

这些结论为我们深入研究双曲线提供了重要的理论依据。

在实际应用中，双曲线的二级结论具有很大的价值。

例如，在解决与双曲线相关的几何问题、微积分问题时，我们可以利用二级结论简化问题，提高解题效率。

同时，二级结论也为我们理解双曲线的性质提供了直观的解释。

总之，双曲线的二级结论是研究双曲线的重要工具，它不仅对理解双曲线的性质有帮助，而且在解决实际问题中也具有很大的价值。