人教A版高中数学选修2-2课件1.7.2定积分在物理中的应用()

栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问 题转化为数学问题是关键. 2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时, 要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负 或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
求变力所做的功 【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹 簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力 F(x)的表达式,然后用积分求变力所做的功. 解:设x表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力(单 位:N).由题意,得F(x)=kx, 且当x=0.05 m时,F(0.05)=100 N, 即0.05k=100, 所以k=2 000.所以F(x)=2 000x. 故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为
25 11
解析:由于 v(t)=7-3t+ 1+t , 且汽车停止时速度为0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4, 即汽车从刹车到停止共用 4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离 s=
4 0
7-3t + 1+t dt
25
3t2 = 7t+ 25ln(t + 1) 2
|
4 0
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=(4+25ln 5)(m). 答案:C
W=
0.1500x2|0 = 22.5(J). 0
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第一章 典例透析三角函数

[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
时间内的位移为( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g

1.7.2定积分在物理中的应用预习导引重点难点1・变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(O(v(O三0)在时间区间00］上的定积分，即思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时，如何区分位移和路程？一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为____ :.(2)变力F(Q的做功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从兀="移动到x=b(“vb),那么变力F(x)所做的功为厂______ :课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE交流2 思考:求变力做功问题的关键是什么?课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测一、求变速直线运动的路程E2活动与探究求变速直线运动的物体在时间区间由，切上的路程S课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU 时尸广v(r)d?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测正确吗?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测______ I例1 一质点在直线上从时刻QO(s)开始以速度v=r-4r+3(m/s)运动,求点在匸4 s时的位置及经过的路程.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测又\v(r)=r2-4r+3=(M)(r-3),/在区间［0,1 ］及［3,4］上的v(t)三0, 在区间［1,3］上，叩）W0. ••在t=4 s时的路程为(几4丫+3)&+|『t2-4t+3)dt| +『(t2-4t+3)dt =f^ (?-4z+3)dr-J13 (r-4z+3)d?+J^ (r-4r+3)dr =4(m).课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIUS3迁移与应用若某一物体以速度v(0=4-r2做直线运动,求它在t=l到?=4这段时间内的路程.问题导学当堂检测------------- 名師修津----------------物体做变速直线运动的速度叫等于加速度函数a=a(t)在时间妝切上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v= v(r) 在时间区间［"0］上的定积分.用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.问题导学当堂检测二、求变力做功吧活动与探究当力F的方向与运动方向夹角为0时，怎样求力F所做的功?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU----- 例2由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长 量成正比，现知2 N 的力能使一个弹簧伸长3 eg 试求要把弹簧拉伸0.4 m 所做的功.当堂检测问题导学当堂检测唸迁移与应用1・已知弹簧拉长0.02 g需要98 N的力，则把弹簧拉长到0.1 m所做的功为（）A.24.5 JB.23.5 JC.22.5 JD.25.0 J问题导学当堂检测2•在原点O有一个带电量为+g的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力•现有一个单位正电荷从距离为0处沿着射线方向移至距O点为b@<b）的地方，求电场力做的功.（电场力F = /c・卷（k为常数））问题导学当堂检测------------- 名師❷障---------------- 由于力F的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为F(Q,F(Q 在［G0］上所做的功W=f^ F(x)(k・要解决好变力做功问题,必须熟悉相关问题导学当堂检测的物理知识，正确写出被积函数.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 当堂检测2问题导学1 •物体以速度v(?)=3?-2r+3做直线运动，它在t=0到匸3这段时间内的位移是()A.9B.18C.27D.362•物体以速度v(?)=2-f 做直线运动，则它在t=l 到t=3这段时间的路程为 ()问题导学3•做直线运动的质点在任意位置兀处，所受的力F(x)=l+e^则质点沿着 与F(x)相同的方向，从点x 1=0处运动到点x 2=l 处，力F(x)所做的功是 () 1A. 1+eB.eC -D.e-1问题导学4•如果1 N 力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 eg 所耗费的功为问题导学5•质点做直线运动,其速度叩）=汽2丫+1（单位:凶3）・则它在第2秒内所走 的路程为 ・问题导学£_© _________。

《定积分在物理中的应用》在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念，并研究了其性质。

该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。

上一节微积分基本定理为这一节定积分的应用的学习奠定了基础，在理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法，掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成的图形面积。

同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。

【知识与能力目标】进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感态度价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

【教学重点】曲边梯形面积的求法；【教学难点】定积分在物理中应用。

多媒体课件。

（一）、复习引入，激发兴趣。

【教师引入】1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？(二)、探究新知，揭示概念变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs探究(1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间上的定积分，即()b a s v t dt =⎰（2）．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs探究。