2013-2014学年高二数学人教A版选修2-2学案1.7.2定积分在物理中的应用
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1.7.2 定积分在物理中的应用
问题导学
一、求变速直线运动的路程
活动与探究1
一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求点在t＝4 s时的位置及经过的路程．
迁移与应用
若某一物体以速度v(t)＝4－t2做直线运动，求它在t＝1到t＝4这段时间内的路程．
物体做变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a(t)在时间[a，b]上的定积分；物体做变速直线运动经过的位移s，等于其速度函数v＝v(t)在时间区间[a，b]上的定积分．用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决．
二、求变力做功
活动与探究2
由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0.4 m所做的功．
迁移与应用
1．已知弹簧拉长0.02 m，需要98 N的力，则把弹簧拉长到0. 1 m所做的功为( )
A．24.5 J B．23.5 J
C．22.5 J D．25.0 J
2．在原点O有一个带电量为＋q的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力．现有一个单位正电荷从距离为a处沿着射线方向移至距O点为b(a＜b)的地方，求电场力做的功．电场力F＝k·qx2(k为常数)
由于力F的大小随物体的位置变化而变化，因此将其记为F(x)，F(x)在[a，b]上所做的功W＝abF(x)dx．要解决好变力做功问题，必须熟悉相关的物理知识，正确写出被积函数．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．s＝abv(t)dt
预习交流1 提示：路程是位移的绝对值和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程：
(1)若v(t)≥0，s＝abv(t)dt；
(2)若v(t)≤0，s＝－abv(t)dt；
(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt．
2．(1)W＝Fs (2)abF(x)dx
预习交流2 提示：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移动到x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．
(3)根据变力做功公式W＝abF(x)dx即可求出变力F(x)所做的功．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪些时间段的位移为负．
解：在t＝4 s时该点的位移为
04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．
即在t＝4 s时该点距出发点43 m．
又∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0．
∴在t＝4 s时的路程为s＝01(t2－4t＋3)dt＋13(t2－4t＋3)dt＋34(t2－4t＋3)dt＝01(t2－4t＋3)dt－13(t2－4t＋3)dt＋34(t2－4t＋3)dt＝4(m)．
迁移与应用 解：当1≤t≤2时，v(t)＝4－t2≥0；
当2≤t≤4时，v(t)≤0，
∴物体在t＝1到t＝4这段时间内的路程是
s＝12v(t)dt＋24v(t)dt
＝12(4－t2)dt－24(4－t2)dt
＝4t－13t321－4t－13t342＝373．
活动与探究2 思路分析：先根据已知条件求出比例系数k，得到变力F(x)与伸长量x的关系式，然后再用定积分求出功W．
解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．∴2＝0.03k，得k＝2003(N/m)．
于是F(x)＝2003x．
故将弹簧拉长0.4 m所做的功为
W＝0.402003xdx＝1003x20.40＝163(J)．
因此将弹簧拉长0. 4 m所做的功为163 J．
迁移与应用 1．A 解析：∵F(x)＝kx，
∴k＝F(x)x＝980.02＝4 900．∴F(x)＝4 900x．
由变力做功公式，得
W＝0.104 900xdx＝4 9002x20.10＝24.5(J)． 2．解：取电荷移动的射线方向为x轴正方向，那么电场力为F＝k·qx2(k为常数)，这是一个变力，在[x，x＋Δx]上，显然，W＝kqx2·Δx，
∴W＝abkqx2dx＝kq－1xba＝kq1a－1b．
当堂检测
1．物体以速度v(t)＝3t2－2t＋3做直线运动，它在t＝0到t＝3这段时间内的位移是( )
A．9 B．18 C．27 D．36
答案：C 解析：所求位移s＝30v(t)dt＝30(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)30＝27．
2．物体以速度v(t)＝2－t做直线运动，则它在t＝1到t＝3这段时间的路程为( )
A．0 B．1 C．12 D．32
答案：B 解析：当t∈[1,2]时v(t)≥0，t∈[2,3]时v(t)≤0，故路程为31|2－t|dt＝21|(2－t)|dt＋32(t－2)dt＝1．
3．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e C．1e D．e－1
答案：B 解析：所做的功W＝10F(x)dx＝10(1＋ex)dx＝(x＋ex)10＝e．
4．如果1 N力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为________．
答案：0.18 J 解析：设F(x)＝kx，当F＝1 N时，x＝0.01 m，
∴k＝10.01＝100，即F(x)＝100x，于是拉长6 cm所耗费的功为W＝0.060F(x)dx＝0.060100xdx＝50x20.060＝0.18(J)．
5．质点做直线运动，其速度v(t)＝t2－2t＋1(单位：m/s)．则它在第2秒内所走的路程为________．
答案：13m 解析：由于v(t)＝t2－2t＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s＝21v(t)dt＝21(t2－2t＋1)dt＝3213ttt21＝13(m)．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
