2013-2014学年高二数学人教A版选修2-2学案 1.7.2 定积分在物理中的应用
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学必求其心得，业必贵于专精
1。7。2 定积分在物理中的应用
问题导学
一、求变速直线运动的路程
活动与探究1
一质点在直线上从时刻t＝0(s）开始以速度v＝t2－4t＋3（m/s)运动，求点在t＝4 s时的位置及经过的路程．
迁移与应用
若某一物体以速度v(t）＝4－t2做直线运动，求它在t＝1到t＝4这段时间内的路程．
物体做变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a（t）在时间［a，b]上的定积分；物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v＝v(t)在时间区间［a，b]上的定积分．用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决．
二、求变力做功
活动与探究2
由胡克定律知,把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0。4 m所做的功．
迁移与应用
1．已知弹簧拉长0.02 m，需要98 N的力，则把弹簧拉长到0。
1 m所做的功为( )
A．24.5 J B．23.5 J
C．22。5 J D．25.0 J
2．在原点O有一个带电量为＋q的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力．现有一个单位正电荷从距离为a处沿着射线方向移至距O点为b（a＜b)的地方,求电场力做的功．错误! 学必求其心得，业必贵于专精
由于力F的大小随物体的位置变化而变化，因此将其记为F(x)，F(x)在[a，b］上所做的功W＝错误!F(x)dx．要解决好变力做功问题，必须熟悉相关的物理知识，正确写出被积函数．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．s＝错误!v(t）dt
预习交流1 提示：路程是位移的绝对值和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程：
(1）若v（t)≥0，s＝错误!v（t)dt；
（2)若v(t)≤0，s＝－错误!v(t)dt；
(3）若在区间［a，c］上v(t）≥0,在区间［c，b］上v(t)＜0,则s＝错误!v(t）dt－错误!v(t)dt．
2．（1）W＝Fs (2）错误!F（x)dx
预习交流2 提示：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式，这是求功的关键．
（2)由功的物理意义知，物体在变力F（x)的作用下，沿力F（x）的方向做直线运动，使物体从x＝a移动到x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．
(3）根据变力做功公式W＝abF（x)dx即可求出变力F(x)所做的功．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是v（t）在［0,4］上的定积分，而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0，4］上，哪些时间段的位移为负． 学必求其心得，业必贵于专精
解：在t＝4 s时该点的位移为
错误!（t2－4t＋3)dt＝错误!40＝错误!(m)．
即在t＝4 s时该点距出发点错误! m．
又∵v(t)＝t2－4t＋3＝（t－1)（t－3)，
∴在区间［0,1]及［3，4]上的v(t）≥0，
在区间[1，3]上，v（t)≤0．
∴在t＝4 s时的路程为s＝错误!（t2－4t＋3)dt＋错误!＋错误!(t2－4t＋3）dt＝错误!（t2－4t＋3）dt－错误!＋错误!(t2－4t＋3)dt＝4(m)．
迁移与应用 解：当1≤t≤2时,v(t）＝4－t2≥0；
当2≤t≤4时，v（t）≤0,
∴物体在t＝1到t＝4这段时间内的路程是
s＝错误!v(t）dt＋错误!
＝错误!（4－t2）dt－错误!（4－t2)dt
＝（）4t－13t321－错误!42＝错误!．
活动与探究2 思路分析：先根据已知条件求出比例系数k，得到变力F(x)与伸长量x的关系式,然后再用定积分求出功W．
解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．∴2＝0。03k，得k＝错误!（N/m)．
于是F（x）＝2003x．
故将弹簧拉长0。4 m所做的功为
W＝0.40错误!xdx＝错误!x20.40＝错误!(J）．
因此将弹簧拉长0。 4 m所做的功为错误! J．
迁移与应用 1．A 解析:∵F(x)＝kx，
∴k＝错误!＝错误!＝4 900．∴F（x）＝4 900x．
由变力做功公式，得
